Tai lieu tham khao on thi TNTHPT mon Toan chuyen de 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (186.03 KB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHẦN 1 : ĐẠO HÀM

A).TÓM TẮT LÝ THUYẾT : 
1). Định nghĩa :

 





 

0 0

lim

x x

f x

x

f x

y

f x

x

   

 











 



2). Các quy tắc tính đạo hàm:

a). Đạo hàm một tổng, hiệu:



u u







u

n





 

u u









u

n



b).Đạo hàm một tích:



u v

.







u v u v



.



.



* Trường hợp đặc biệt:

v k



(

k

là hằng số) ta được:



k u

.







k u

.



c). Đạo hàm một thương: 2





0 .

u

u v u v v

v

























* Trường hợp đặc biệt:

u



1

ta được: 2





1

0 v v

v





 





 

 

3). Các cơng thức tính đạo hàm:

 

u

n



nu u n

n1









 



cot



2





sin

u

gu

u k

u





 



 



0 

2 u







 

e

u





e u

u





sin

u







cos .

u u



 

a

u





a

u

ln

au





0



a



1





cos

u







sin .

u u





ln

u



u



u

0



u



 







cos

2

u

tgu

u

k

u









 





















0

1

0 log

;

ln

a

u

a

u

u a



 

 



B). BÀI TẬP:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>



Ghi nhớ: Để làm các bài toán về giải phương trình, bất phương trình, chứng
minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong đó có chứa biểu thức

F x y y y y



, , , , ,...

  



, với

y f x



 

là hàm số cho trước, ta thực hiện các bước sau:

 Tìm tập xác định của hàm số

y f x



 

 Tính

y y y

   

, , ,

(có khi ta phải rút gọn hàm số

y f x



 

trước, sau đó

mới tính đạo hàm).

 Thay

y y y

   

, , ,

vừa tìm được vào biểu thức

F

, tiếp theo thực hiện

theo yêu cầu của từng bài toán.

Bài 1: Cho hàm số





1

2 x

y



x



. Giải phương trình

y xy







0

Bài 2: Cho hàm số y x e 2 x. Chứng minh đẳng thức:

xy

 



x



2 

y

Bài 3: Cho hàm số

2 cos

x

y



. Chứng minh đẳng thức:

cos

sin

y

x y





x y



.

Bài 4: Cho hàm số y e xsinx. Chứng minh rằng:

2 y





2 y





y





0

.
Bài 5: Cho hàm số





1 cos

y



x



x

.

Hãy tìm các giá trị của

x

sao cho:



x



1  

y y









y





0

Bài 6: Cho hàm số y cos4x sin4x.

a. Chứng minh rằng:

y



2 sin

2 x



0

.
b. Giải phương trình

2 y y







0

Bài 7: Cho hàm số y ln2 x. Giải bất phương trình y xy x y  2 3
Bài 8: Cho hàm số





1

x

y e



x





.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 9: Cho hàm số





1

ln

x

y





e x









.

a. Giải phương trình





2 1 0

y x  y
.

b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

y



.
Bài 10: Cho hàm số y xe x.

Chứng minh bất đẳng thức sau:

y y







y y









0 ,

  

x

Bài 11: Cho hai hàm số:

f x

 



cos cos

2 x

;

 

2 2

1

2 sin

g x



x



x

.
a. Tính

f x



 

g x



 

b. Chứng minh rằng:

f x



 



g x



 



0

.
Bài 12: Cho hàm số

y f x



 



tg x tg x tgx

3 .

2 .

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

PHẦN 2 :

NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN

§1. NGUN HÀM:
1). Định nghĩa :

Hàm số

F x

 

gọi là nguyên hàm của hàm số

f x

 

trên



a b

,



nếu

 

,



,



F x





f x

 

x

a b

.



Ghi nhớ : Nếu

F x

 

là nguyên hàm của

f x

 

thì mọi hàm số có dạng

 

F x



C

(

C

là hằng số) cũng là nguyên hàm của

f x

 

và chỉ những hàm số có
dạng

F x

 



C

mới là nguyên hàm của

f x

 

. Ta gọi

F x

 



C

là họ nguyên hàm
hay tích phân bất định của hàm số

f x

 

và ký hiệu là



f x dx

 

Như vậy:



f x dx F x

 



 

C
2). Tính chất:

a.TC1:



kf x dx k f x dx k

 





 

;



0



b.TC2:



 f x

 

g x dx

 

 



f x dx

 





g x dx

 

c.TC3: Nếu



f x dx F x

 



 

C thì

 

f u du F u





C



.

3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ



a, b a 0



:

dx x C 



dx

1 ln

ax b C

ax b a













1 ,

x

x dx

 

C















x x

e dx e C



sinxdx cosx C



e dx

ax

1 e

ax

C

a





</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

cosxdxsinx C



sin

axdx

1 cos

ax C

a







,

2

cos

dx

tgx C x

k

x















cos

axdx



1 a

sin

ax C



cot

,

sin

dx

gx C x k

x











1

2 ,

cos

dx

tgx C x

k

ax a















0 

ln

,

dx

x C x

x









1 cot

,

sin

dx

gax C x k

ax



a









4). Bài tập:



Ghi nhớ:

 Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu)

của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.

 Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số khơng bao giờ bằng

tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.

 Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành

một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.

Bài 1: Cho hai hàm số

 

1

2

4 sin

F x



x



x

;

f x

 



cos

x

.
a. Chứng minh rằng

F x

 

là nguyên hàm của

f x

 

.
b. Tìm nguyên hàm

G x

 

biết rằng

0

4 G

















.

Bài 2: Cho hàm số

 

4 4

2

3 cos

sin

x

f x

x







.

Tìm nguyên hàm

F x

 

của hàm số

f x

 

biết rằng

F

 







Bài 3: Cho hàm số

f x

 



2 cos cos

x

4 x

. Tìm hàm số

G x

 

biết rằng

 

G x





f x

và

 

29

1

0

144 ;

12

32 G



G

















.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

b. Tìm nguyên hàm

F x

 

của hàm số

f x

 

biết rằng đồ thị của hàm số

 

F x

đi qua điểm

M

8 ;

0 















.

Bài 5: Biết rằng hàm số

 

1 sin

cos

x

F x

x





là nguyên hàm của

f x

 

. Hãy tìm

các giá trị của

x

sao cho

f x

 



f x



 



0

.
Bài 6: Cho hàm số y xe x.

a. Tính

y



và

y



 

2

b. Tìm nguyên hàm của hàm số

  

2007



x

f x



x



e

.

Bài 7: Cho hàm số

f x

 



e

x

sin

x

. Chứng minh rằng hàm số

f x



 



f x



 

là nguyên hàm của hàm số

2 f x

 

Bài 8: Tìm nguyên hàm

F x

 

của hàm số

 

3 2

3

1

2

1 x

f x

x









,biết rằng

 

1

3 F



. (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thơng năm 2003)
§2. TÍCH PHÂN :

1). Định nghĩa :

 

b

b
a
a

f x dx F x



F b



F a



2). Tính chất :

a. TC1:

 

b a

a b

f x dx



f x dx



b. TC2:

 

(

0 )

b b

a a

kf x dx k f x dx k







c. TC3:

 

b b b

a a a

f x



g x dx



f x dx



g x dx











d. TC4:

 

b c b

a a c

f x dx



f x dx



f x dx

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

e. TC5: Nếu

f x

 

  

0 ,

x



a b

;



thì

 

0

b

a

f x dx





f. TC6: Nếu

f x

 



g x

 

,

 

x



a b

;



thì

 

b b

a a

f x dx



g x dx



g. TC7: Nếu m f x M x a b

 

 , 



;



thì





 





b

a

m b a







f x dx M b a





3). Bài tập :



Ghi nhớ:

 Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu

tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.

 Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn

hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.

 Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta

phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích
phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu
GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

Bài 1: Tính các tích phân sau đây:

2 cos cos

x

xdx





b. 4

cos

x

sin

x dx







2
1

2

3

2 x

dx

x







2 2

x x

e

dx

x





Bài 2: Cho hàm số

 

1 x

f x

x



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

a. Chứng minh rằng

F x

 

là nguyên hàm của

f x

 

b. Áp dụng câu a. tính

1
2

1 xdx

x





Bài 3: Cho hàm số

f x

 



x

ln

x



2 x x

ln

.
a. Tính

f x



 

b. Áp dụng câu a. tính

ln

e

xdx



Bài 4: Biết hàm số

 

cos

sin

cos

sin

x

F x

x







là một nguyên hàm của

f x

 

.

Hãy tính :

 

f x dx







§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:

1). Công thức tổng quát :

 

.

 

b

a

f

x

x dx

f t dt





















Cơng thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu
tích phân có dạng tích của f 



 

x  (hàm số theo biến là



 

x

) với đạo hàm của
hàm



 

x

. Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt
cụ thể như sau:

a). TH1:



sin .cos



f

x

xdx







 Đặt

t



sin

x

 hoặc t p sinx q



p q

,

 



 hoặc

t



n

p

sin

x q



nếu như biểu thức psinx q nằm trong n .

b). TH2:



cos .sin



f

x

xdx



</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

 Đặt tcosx

 hoặc

t p



cos

x q





p q

,

 



 hoặc

t



n

p

cos

x q



nếu như biểu thức

p

cos

x q



nằm trong n .

c). TH3:



ln .



1 f

x

dx

x







 Đặt

t



ln

x

 hoặc t p x q ln 



p q

,

 



 hoặc

t



n

p x q

ln



nếu như biểu thức p x qln  nằm trong dấu n .

d).TH4:





1 .

cos

f tgx

dx

x







 Đặt

t tgx



 hoặc

t ptgx q







p q

,

 



 hoặc

t



n

ptgx q



nếu như biểu thức

ptgx q



nằm trong dấu n .

e). TH5:





1 .

sin

f cotgx

dx

x







 Đặt

t cotgx



 hoặc

t pcotgx q







p q

,

 



 hoặc

t



n

pcotgx q



nếu như biểu thức

pcotgx q



nằm trong n .

2). Bài tập:

Bài 1: Tính các tích phân sau đây:





2

1 cos

sin

xdx

x





</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

6 cos

x

1 sin

xdx







c. 1



3 ln

2 

e

dx

x





19
2
3

8 xdx

x





Bài 2: Tính các tích phân sau đây:





1
2
0

2

4

5 x

dx

x







2
4

2
0

cos

tgx

e dx

x









2
6

3 cot

1 sin

dx

gx

x







2 1

1 x

dx

e



x



Bài 3: Tính các tích phân sau đây:

3
3
0

cos

tgxdx

x





2 3

sin cos

x

xdx





4 4

2 sin

cos

sin

xdx

x





</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>





4
2
0

2 cos

sin

cos

xdx

x







Bài 4: Tính các tích phân sau đây:

a.
3
3
4
0

sin

cos

xdx

x





b.
3
2 3
0

1 x



x dx



c.
6
0

2

1 sin

xdx

x







d.
4
3
6

dx

tgx tg x







§4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:

1). Cơng thức tổng quát :





b b

b

a

a a

uv dx





uv



vu dx





hay

 

b b
b
a
a a

udv



uv



vdu



(1)
2). Các bước thực hiện:

 Bước 1:

( )

( ) (

)

Đặt

( )

( ) (nguyên hàm)

u u x

du u x dx Đạohàm

dv v x dx

v v x

















 Bước 2: Thế vào cơng thức (1).

 Bước 3: Tính

 

b
a

uv

và suy nghĩ tìm cách tính tiếp
b

a

vdu



</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

3). Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần:

Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như
sau:

a). Dạng 1:

   

.

b

a

p x q x dx



Trong đó

p x

 

là hàm số đa thức, còn

q x

 

là hàm sin ( )



x hoặc

cos ( )



x .

 Trong trường hợp này ta đặt:

 

u p x

dv q x dx











 Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào
cơng thức ta được

b

a

vdu



phức tạp hơn
b

a

udv



ban đầu.

b).Dạng 2:

   

.

b

a

p x q x dx



Trong đó

p x

 

là hàm số đa thức, còn

q x

 

là hàm logarit.

 Trong trường hợp này ta đặt:

 

u q x

dv p x dx













Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn
khi suy ra

v

từ

dv

4). Bài tập:

Bài 1: Tính các tích phân sau đây:





2 x

1 sin

xdx











2
0

2 cos

x

xdx





</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

2
0

cos

x

xdx





4
2
0

cos

xdx

x









2 2
0

1

x



e dx



3

2

x

dx

e





3 2

(

x

)

x

dx









2
0

x

x e



dx



Bài 2: Tính các tích phân sau đây:





3
2
1

3 x



1 ln

xdx







1 ln

x



dx



2
1

ln

e

xdx







2
0

1 ln

x



dx



§5. CÁC BÀI TỐN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:
Tính các tích phân sau đây:





2
6

1 cos

sin

x dx

x





</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>





ln

x x e dx

x









2
6

2 cot

sin

g x

x dx

x







2

3 cos

x

1 x

sin

xdx





















e. 0 2

1 sin cos

cos

x

xdx

x







1
2
0

1

2

x

xdx

x

e



















g. 0

2

3 cos

sin

x

xdx

x





















2
0

3

1 ln

x



dx



§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:

1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :

 

C

:

y f x



  

;

C



:

y g x x a x b



 

;



;



(trong đó hai đường thẳng

x a x b



;



có thể thiếu một hoặc cả hai).

a). Cơng thức:

 

b

a

S





f x



g x dx

(2)
b). Các bước thực hiện:

 Bước1: Nếu hai đường

x a x b



,



đề bài cho thiếu một hoặc cả hai

thì giải phương trình

f x

 



g x

 

(PTHĐGĐ của

 

C

1 và



C



) để tìm.

 Bước 2: Áp dụng cơng thức (2).

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

 Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ

để khử dấu GTTĐ.
c). Chú ý:

Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng
hình vẽ để khử dấu GTTĐ sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân
nào đó mà trên hình vẽ,

 

C

1 nằm trên



C



thì hiệu

f x

 



g x

 



0

, và

 

C

1 nằm

dưới



C



thì hiệu

f x

 



g x

 



0

.

2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường khơng rơi vào trường hợp 1:

 Bước 1: Vẽ hình (khơng cần phải khảo sát).

 Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính

được diện tích bằng cơng thức (2).

 Bước 3: Dùng cơng thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng

diện tích tất cả các hình nhỏ.

3). Thể tích của hình trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
sau đây quanh trục Ox:

 

C y f x Ox x a x b

:



 

;



;



(trong đó hai đường thẳng

x a x b



;



có thể thiếu một hoặc cả hai).

a). Công thức:

 

2
b

a

V











f x





dx

(3)
b). Các bước thực hiện:

 Bước 1: Nếu hai đường

x a x b



,



đề bài cho thiếu một hoặc cả hai

thì giải phương trình

f x

 



0

(PTHĐGĐ của

 

C

và trục Ox) để tìm.

 Bước 2: Áp dụng cơng thức (3).

4). Bài tập:

Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

 

6

5

2

1 :

x

C y

x









và trục Ox.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

 

C y x

:

x





và trục Ox.

Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

 

C y x

:

3

x

1







và đường thẳng d y: 3.

Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 

2

1 :

x

C y

x







; đường tiệm cận xiên của

 

C

; Ox;

x e

 

1

.

Bài 6: Cho đường cong

 

3

4

:

C y x





x



x

. Viết phương trình tiếp
tuyến

d

của

 

C

tại gốc tọa độ O. Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

 

C

và

d

.

Bài 7: Cho parabol

 

6

5

:

P y x





x



.

a. Viết phương trình các tiếp tuyến của

 

P

tại các giao điểm của

 

P

với trục Ox.

b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

 

P

và các tiếp tuyến
nói ở câu a.

Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 

C y:  x ;
2

d y   x và trục Ox.

Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol

 

P y

:



4 x

và
đường thẳng d y: 2x 4.

Bài 10: Cho parabol

 

4

:

P y



x

.

a. Viết phương trình tiếp tuyến của

 

P

tại điểm tung độ bằng
4.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài 11: Cho đường cong

 

2

1 :

x

C y

x







. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn

bởi các đường:

 

C Ox Oy

;

. Tính thể tích của hình trịn xoay được sinh ra khi
quay (H) xung quanh trục Ox.

</div>

Tai lieu tham khao on thi TNTHPT mon Toan chuyen de 2

<b> </b>

<b> </b>

<b>PHẦN 1 : ĐẠO HÀM</b>

 





 

lim

lim

<i>f x</i>

<i>x</i>

<i>f x</i>

<i>y</i>

<i>f x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

 

















<i>u u</i>









<i>u</i>





 

<i>u u</i>











<i>u</i>





<i>u v</i>

.







<i>u v u v</i>



.



.



<i>v k</i>



<i>k</i>



<i>k u</i>

.







<i>k u</i>

.







0

.

<i>u</i>

<i><sub>u v u v v</sub></i>

<i>v</i>

<i>v</i>



<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

