TT De luyen thi HSG Toan 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Đề số 1

<b>Câu 1. a) Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mÃn điều kiƯn </b>a2b2 1 vµ c  d =3

Chøng minh r»ng

9 6 2
ac bd cd

4



  

b) Tam gi¸c ABC có các góc và các cạnh thỏa mÃn hệ thức:

A B C

(b c)cos A (c a)cos B (a b)cosC 2asin 2bsin 2csin

2 2 2

       

Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
<b>Câu 2. a) Giải phơng trình:</b>



_{1 cos x}



logcos xsin x



_{1 sin x}



logsin xcos x

  

b) Tìm a để hệ phơng trình
2

ax 2cos y 2 0

1 1

x y

x y

   




  




cã nghiƯm duy nhÊt víi

x 0; ; y 0;

2 2

 

   

_ _ _ _

   

<b>Câu 3. Cho số tự nhiên  </b>≥ 3. Dãy (an) đợc xác định nh sau:

1

n 1
n n 1

a

a

a a 1, (n 2,3...)

2








  

   

 _ 

([a] là kí hiệu số nguyên lớn nhất không vợt quá a)
Tìm xlim a n_?

<b>Cõu 4. Cho hai ng trịn có phơng trình </b>
2 2
1

2 2
2

(O ) :x y 2x 4y 1 0

(O ) : x y 18x 20y 81 0

    

    

Cắt nhau theo hai giao điểm A và B. Một đờng thẳng  bất kì qua B, cắt (O1)
tại M và cắt (O2) tại N (B ở giữa M và N).

Xác định phơng trình đờng thẳng  sao cho đờng trịn ngoại tiếp AMN có
bán kính lớn nhất.

đề số 2.

<b>Câu 1. Cho hm s </b>

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

(tức là giá trị lớn nhất của g(t) trên đoạn [x4; x])
a) Tìm GTNN của f(x) trên tập các số thực.
b) Cho dÃy

un n 1





_{xác định nh sau:}un 



f (n) ,n 1,2,...





(trong đó {} là kí hiệu phần lẻ của số thức ). Tìm xlim a  n_?

<b>C©u 2. a) Giải phơng trình </b>5x 4 x3 x3 41 0

b) Cho ABC tháa m·n

A B C

2tg 3tg tg

2  2  2

Chøng minh r»ng



3 3 cos A







3 1 cos B 1



  3



3 3 cosC

.
<b>Câu 3. Tìm tất cả các đa thức với hƯ sè thùc tháa m·n ®iỊu kiƯn:</b>





1

P(x) P(1) P(x 1) P(x 1) , x

2

     

<b>C©u 4. a) Cho elÝp (E): </b>

2 2

2 2

x y

1, (a b 0)

a b    _{víi hai tiªu ®iĨm F1 vµ F2. Gäi M lµ}

điểm thuộc elíp (E), M không trùng với các đỉnh thuộc trục lớn.

Chøng minh r»ng:

 

1 2 2 1

MFF MF F a c

tg .tg

2 2 a c




 _(víi2a2  b2₎

b) Cho hình chóp S.ABC, kí hiệu V là thể tích của khối chóp này. Chứng
minh rằng nếu tồn tại một điểm O sao cho OS = 1; OA = OB = OC = 4 thì

V 9 3 _.

Đề số 3
<b>Câu 1. a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số </b>

1 cos8x
f (x)

6 2cos4x





b) Cho dãy số xác định nh sau:

2

1 n 1 n n

u 0;u _  24u  1 5u ,n 1,2...
Chứng minh mọi số hạng của dãy đã cho là số nguyên.
<b>Câu 2. a) Cho phơng trình </b>



 



3 2

2 2 3 2 2

2

x 2x 9x m 1

lg (x 1) lg x 2x 9x m 1 .lg x 1 2lg

x 1

     

        _ _



 

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b) Xác định dạng của tam giác ABC biết các góc của nó đều nhọn và thoả
mãn điều kiện:

2 2 2 A B

tg A tg B 2tg
2



 

<b>Câu 3. a) Tìm a để hàm số </b>

2

y2x 2 a x   4x 5 _{có cực đại.}
b) Xác định hàm số bậc ba y = f(x) biết:



2



f (1) 1

f (x 1) f (x) 3 x 3x , x.







    




<b>Câu 4. a) Cho hai mặt ABC và ABD của tứ diện ABCD có diện tích bằng nhau.</b>
Chứng minh rằng đờng vng góc chung của AB và CD phải đi qua trung
điểm của CD.

b) Cho đờng thẳng  và trên đó lấy một điểm A cho trớc, hai số dơng a và b
sao cho a>b. Xét tất cả các điểm P, Q sao cho AP = a, AQ = b và đờng thẳng

 là phân giác góc PAQ . ứng với mỗi cặp điểm P, Q xét điểm M sao cho

AM AP AQ   

  

  

  

  

  

  

  

  



. Tìm tập hợp điểm M.

Đề số 4

<b>Cõu 1. y là hàm số của x, xác định bởi hệ thức </b>y x 1   (y 2)(y 2x 2)  
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số ti nhng im cú ta
nguyờn.

<b>Câu 2. Giải hệ bất phơng trình:</b>

2 3 3

4 3 2

log x log x 1 log 2

3x 8x 24x 96x 36 80 2 0

  





      




<b>Câu 3. Tìm m để tồn tại cặp sô (x; y) không đồng thời bng khụng v tha món </b>

ph-ơng trình:

 



2 2

4m 3 x  3m 4 y m 1 x  y 0

<b>Câu 4. Cho một hình cầu tâm O, bán kính R. Chứng minh rằng nếu lấy 1000 điểm</b>
khác nhau trong hình cầu đó thì ít nhất có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Câu 5. Cho elíp </b>

2 2

9x 16y 144_{và ®iĨm}

3 3
M 2;

2

 

 

 _{thuộc elíp. Một đờng thẳng}
 song song với tiếp tuyến của elíp tại M. Tìm phơng trình của  sao cho 
cắt elíp tại 2 điểm A, B mà diện tích MAB lớn nht.

Đề số 5.
<b>Câu 1. Cho hàm số f: </b> thỏa m·n ®iỊu kiƯn:

x 0

f (x y) f (x) f (y), x
f (x)

lim 1, x

x


    





  







a) Chứng minh rằng hàm số f(x) có đạo hàm trên .
b) Tìm hàm số f(x).

<b>C©u 2. a) Cho x, y, z>0 tháa m·n </b>

2 2 2

x y z 1_{. Chøng minh r»ng:}

2 2 2 2 2 2

x y z 3 3

y z  z x  x y  2

b) Giải phơng trình 4x 9x 10x2 x 2

<b>Câu 3. a) Chứng minh rằng a, b </b>, phơng trình





2 2 ₃

x a  y b  x 0

không thể có 3 nghiệm phân biệt.

b) Chứng minh rằng nÕu 0 < b < a th×

a b a a b

ln

a b b

 

 

.
<b>C©u 4. Chøng minh r»ng nÕu ABC nhän th× </b>

2 2 2

cos(A B).cos(B C).cos(C A)
64
cos A.cos B.cos C

  



<b>Câu 5. Cho góc </b>AOB 90  0, điểm M di động trên CA, điểm N di động trên OB sao
cho OM + ON = 2a (a là hằng số dơng).

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>C©u 6. Cho elÝp (E): </b>

2 2

2 2

x y

1

a b  _{. A và B là các điểm thuộc (E) sao cho OAOB}

(A, B di động) và cho biết

2 2

2 2 2 2

1 1 a b

OA OB a b



 

. Trong tÊt cả các hình thoi
ABCD nội tiếp elíp (E), tìm hình thoi cã diƯn tÝch lín nhÊt, nhá nhÊt (h×nh
thoi cã tâm O).

Đề số 6.
<b>Câu 1. Cho hàm số:</b>

4 3 2

y 3x 4x cos  sin  3x sin 2

( lµ tham sè,

0

2


 

)
Tìm  để trên đoạn [sin; cos] hàm số có cực tiểu và giá trị cực tiểu cũng
là GTNN của hàm số trên [sin; cos].

<b>C©u 2. a) Giải phơng trình: </b>

2

2 7 2 7

x

log x x log x 3 log x. 2log x 3

2

 

   _   _

 

b) Tìm đa thức P(x) thỏa mÃn:

2

P(1972) 2001

P(x) P(x 1) 33 32







   




<b>C©u 3. Cho </b>a x 0 x1x2 ... x n b_{. Chøng minh:}

k k

k k k k k k

1 0 2 1 n n 1

x  x  x  x ... x  x _ a  b

(Với k là số nguyên cho trớc)
<b>Câu 4. Trong hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy.</b>

a) Cho elÝp

2 2

x y

1

9  4  _{. Gọi A1, A2 là các đỉnh trên trục lớn, M là điểm di}

động trên elíp. Chứng minh rằng trực tâm H của MA1A2 ln nằm trên
một elíp cố định.

b) Cho ABC có A(1; 0), B(2; 0), C(0; 3). Tìm điểm M nằm trong tam giác
để biểu thức MA.BC+MB.CA+MC.AB có giá trị nhỏ nhất.

§Ị số 7.
<b>Câu 1. a) Giải phơng trình </b>

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

b) Cho  lµ tham sè thùc. H·y tìm nghiệm của hệ phơng trình sau:

4

1
1
x

1

x 4x sin 3cos2 sin 3 11 0

2







 _ _ _{ } _  

<b>Câu 2. a) Cho hàm số:</b>

1 1 2 2 3 3

f (x) a sin(b x) a sin(b x) a sin(b x)   _víif (x) sin x , x  



1;1



Chøng minh r»ng: a b1 1a b2 2 a b3 3 1

b) Cho p, q, r là các số thực, q 0 và m là số tự nhiên thỏa mÃn:

q p r

0
m 5 m 4 m 1     
Chøng minh rằng:

3 4

256q r 27p _.
<b>Câu 3. a) Cho phơng tr×nh </b>

2 3 2005 2 3 2005

x x x x x x 1

1 x ... 1 x ...

2! 3! 2005! 2! 3! 2005! 2005

   

          

   



Chứng minh rằng phơng trình trên có và chØ cã 2 nghiƯm tr¸i dÊu.

b) Mỗi điểm trong mặt phẳng đợc gắn với một trong hai màu xanh, trắng.
Chứng minh rằng trong mặt phẳng đó tồn tại một tam giác đều cạnh bằng 1
hoặc bằng 3 mà 3 đỉnh của nó cùng một màu.

<b>Câu 4. a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ABC có A(2; 5), trọng tâm </b>

2 1

G ;

3 3

 



 

 

, đờng phân giác trong góc C có phơng trình x 2y 2 0   .

Điểm D có tọa độ (0; 6). Tìm tọa độ điểm M thuộc cạnh BC sao cho

MA MD

đạt giá trị lớn nhất.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 parabol
2

y 2px_vày ax 2bx c _.
Chứng minh rằng nếu 2 parabol này cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì 4 điểm
đó cùng thuộc một đờng trịn.

§Ị sè 8.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

x

1) f (x) e , x

2) f (x y) f (x).f (y), x, y

  

   





b) Cho a, b là các số thực thỏa mÃn a2 b2 c2 1
Chøng minh r»ng:

3 3 3

a b c  3abc 1
.

<b>Câu 2. a) Tìm m để phơng trình sau có đúng 2 nghiệm:</b>





2

2 3m x 4x 3

m 2

2 2 2

1

9 .log x 4x 3 1 3 .log 0

1 3m 2m

    

    _ _ 

 

 

b) Cho biÓu thøc

2 2 2 2

P x (y 1)  x (y 3)

trong đó x, y thỏa mãn 2x  y  2 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

<b>C©u 3. a) Cho ABC cân (AB = AC). Giả sử phân giác trong góc B cắt cạnh AC tại</b>
D và BC = BD + AD. TÝnh gãc BAC ?

b) Cho tứ diện ABCD, với tam diện vng đỉnh A. Xác định vị trí của điểm
M để 3MA MB MC MD   là nhỏ nhất.

§Ị sè 9.

<b>Câu 1. a) Giả sử f(x) là một hàm số xác định với mọi x và thỏa mãn: </b>
2

x.f (x 2) (x   9).f (x)_.

Chøng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

b) Biết x, y, z, t là các số thực thuộc khoảng

1
;1
4

_{. Tìm giá trị nhá nhÊt cđa}

hµm sè:

x y z

1 1 1

f (x, y,z,t) log y log z log x

4 4 4

     

 _  _ _  _ _  _

     

<b>C©u 2. a) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: </b>
x y

4 4 32y 32x 48  _{(với x < y).}
b) Tìm m để phơng trình sau đây có nghiệm:

2 2

x x 1  x  x 1 m 

<b>Câu 3. Trong mặt phẳg kẻ ơ vng đơn vị. Hãy tìm đờng trịn có bán kính lớn nhất</b>
chỉ đi qua các đỉnh ô vuông mà không cắt một cạnh hình vuông nào cả.
<b>Câu 4. a) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

tích của hình chóp S.AMKN và V là thể tích hình chóp S.ABCD. Xác định vị

trí của mặt phẳng () để tỉ số
1

V

V _{đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.}

b) Trong mặt phẳg tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đờng thẳng d có phơng
trình 4x + 3y = 12. Ma là điểm thay đổi trên đờng thẳng d. Trên nửa đờng
thẳng đi qua 2 điểm A và M lấy điểm N sao cho AM.AN 4

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

. Điểm N chạy
trên đờng cong nào? Viết phng trỡnh ng cong ú?

Đề số 10.
<b>Câu 1. Cho hµm sè </b>

2

f (x) ax bx c; a,b,c  _{. Chứng minh rằng tồn tại số}
nguyên z để f(z) = f(2004).f(2005).

<b>C©u 2. Giải phơng trình </b>x3 x sin x 0 .
<b>Câu 3. Cho hệ phơng trình (ẩn x, y, u, v)</b>

2 2

2 2

x y 3

u v 5

xv yu 15

  



 




 



T×m nghiƯm cđa hƯ sao cho tổng y + v là lớn nhất.
<b>Câu 4. Giải phơng tr×nh: </b>2x 4x 2.3x

<b>Câu 5. Cho EFI vng ở I và điểm P (P </b>≠ I). Lấy 2 điểm A, B lần lợt thuộc các
đ-ờng thẳng IE, IF sao cho góc APB vng. Gọi M là hình chiếu của P trên
AB. Tìm tập hợp các điểm M khi A, B thay đổi.

§Ị sè 11.

<b>Câu 1. a) Với giá trị nào của x, y thì 3 số dơng sau đây đồng thời lập thành một cấp</b>
số cộng và một cấp số nhân: 2 2

x log y x log y

1 2 3

a 8  ;a 2  ;a 5y

 _.

b) Tìm giới hạn x 0

cos cos x

2

lim

sin tgx

<b>Câu 2. Cho hệ phơng tr×nh:</b>

2

cos x x
ytgy 1

 



</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Chøng minh r»ng hƯ cã cỈp nghiƯm duy nhÊt (x; y) tháa m·n: 0 x y 1 .
<b>Câu 3. Tìm a sao cho hµm sè </b>

3 2

g(x)2x 3(a 1)x 6(a 1) 2(a 1)   _{có giá trị}

cực đại, cực tiểu đều dơng và g(x) > 0, x ≤ 0.

<b>C©u 4. Cho ABC tháa m·n ®iỊu kiƯn:</b>
sin A
sin B
sin A
sin C

3

4sin A 1 4sin B
3

3

4sin B 1 4sin C
3



  





 _ _{ }




Xác định dạng của tam giác ABC?

<b>Câu 5. a) Cho đờng thẳng : 3x +25 = 0 và điểm F(3; 0). Tìm quỹ tích những</b>
điểm M sao cho 5FM = 3MK với K là hình chiếu vng góc của M trên .

b) Tìm quỹ tích tâm các đờng tròn

2 2 2

(C ) :x_ y  2x cos 4ysin 3sin   sin  1 0

( là tham số, ₎

Đề số 12.

<b>Cõu 1. a) Cho hàm số y = f(x) là hàm số tuần hồn và có đạo hàm xR. Chứng</b>
minh rằng hàm số y = f’(x) cũng là hàm số tuần hoàn.

b) Chøng minh r»ng hµm sè y sin



2c .cos x



không phải là hàm tuần hoàn

<b>Cõu 2. a) Cho dóy số (xn) xác định bởi :</b>
1

2 *

n 1 n n

x a

3

x x x ,n

4







   



 

T×m a sao cho x2004 = x2005.

b) Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n:
2

2

2x x

y 2x 3x

 




 



Chøng minh r»ng

2 2

x y 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

b) Trong các hình nón ngoại tiếp hình cầu cho trớc. Hình nón nào có thÓ tÝch
nhá nhÊt.

<b>Câu 4. Trong mặt phẳng cho hai đờng tròn:</b>

2 2 2

1

2 2 2

2

(C ) : x y a

(C ) : x y b (a b 0)

 

   

P và Q lần lợt là các điểm chuyển động theo thứ tự trên (C1) và (C2) sao cho

Ox là phân giác trong của góc POQ . Tìm tập hợp các điểm M thoả mÃn

OM OP OQ   

  

  

  

  

  

  

  

  

 

.

Đề số 13

<b>Câu 1. a) Cho hµm sè </b>f (x)x  ln 1 x







. Chứng minh rằng

x
f '(x)

1 x

.
b) Tìm giá trị lớn nhÊt vµ nhá nhÊt cđa hµm sè y 1 2cos x   1 2sin x .
<b>C©u 2. a) Chøng minh rằng phơng trình </b>

2 2

x 2y 5_{không có nghiệm nguyên .}

b) Tìn tất cả các giá trị của k sao cho phơng trình sau có không ít hơn 2
nghiệm dơng khác nhau: x4 kx3 x2 kx 1 0 

<b>Câu 3. a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai hình vng OABC và OA’B’C’.</b>
Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ đồng quy.

b) Cho họ đờng tròn













2 2

m

C :x y  2 m 1 x  m 6 y m 10 0   

.
Chứng minh rằng các đờng tròn



Cm



_{luôn tiếp xúc nhau tại một điểm cố}
định khi m thay đổi.

<b>Câu 4. Cho dãy số (xn) đợc xác định nh sau: </b>
0

n n 1

n 1

x 200

1 2004

x x ,n 1,2,3...

2  x








 



 _  _ 



 



Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn. Tìm giới hạn ú.

Đề số 14.
<b>Câu 1. a) Tìm giới hạn của dÃy sè </b>





n
2

n

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

b) Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số

ln x
y

x


.

<b>C©u 2. a) Cho hai sè thøc a, b, tháa m·n ®iỊu kiƯn </b>a2 b2 21 6x 8b  . Chøng
minh r»ng 5a + 12b ≥ 37.

b) Cho hµm sè

2

x a

y

x 1




 _{, a là tham số. Tìm a để}Max y 10;1 
.
<b>Câu 3. a) Cho các số thực a, x, y, z thỏa mãn:</b>

sin x sin y sin z cos x cos y cos z

sin(x y z) cos(x y z) a

   



    

Chøng minh r»ng cos(x y) cos(y z) cos(z x) a     
b) Chøng minh r»ng víi mäi sè thc a, b, c phơng trình:

a cos7x bcos4x ccos3x sin 2x 0
luôn có nghiệm thuộc khoảng

0;

.

<b>Cõu 4. Cho hình chóp có đáy là hình thoi có diện tích bằng 8. Góc nhọn của đáy</b>
bằng 300, đờng cao của hình chóp bằng 2. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt
bên của hình chóp tại các điểm thuộc cạnh đáy.

Chứng minh rằng đờng thẳng nối tâm mặt cầu và đỉnh của hình chóp đi qua
giao điểm hai đờng chéo của đáy. Tính bán kính mặt cầu nói trên.

§Ị sè 15

<b>Câu 1. a) Chứng minh rằng hàm số </b>yx khơng có đạo hàm tậi x = 0, hàm số
3

yx

có đạo hàm với mọi xR.

b) Cho x, y, z là các số thực dơng tháa m·n x ≥ y ≥ z. Chøng minh r»ng:

2 2 2

2 2 2

x y y z z x

x y z

z  x  y   

<b>C©u 2. a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mÃn a + b + c = 0. Chøng minh r»ng ph </b>
-ơng trình a cos x 9bcos3x 25ccos5x 0 có ít nhất 4 nghiệm trên đoạn

;
2 2



 



 

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

b) Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mÃn abc = 1. Chứng minh rằng

3
4_là

giá trị nhỏ nhất của biểu thøc

3 3 3

a b c

S

(1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b)

  

     _.

<b>Câu 3. a) Giải hệ phơng trình: </b>

3 2

3 2

3 2

y 9x 27x 27 0

z 9y 27y 27 0

x 9z 27z 27 0

    



   




   



b) Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) đồng biến trên đoạn [a; b] và:

1 1

f (a) (a b);f (b) (b a)

2 2

  

Chứng minh rằng tồn tại các ố , , phân biệt trong đoạn [a; b] sao cho:

f '( ).f '( ).f '( ) 1    _.

<b>Câu 4. a) Trong hệ tọa độ Oxy cho elíp có phơng trình (E): </b>

2 2

2 2

x y

1, (a b 0)

a b    _{. Gọi A1, A2 là các đỉnh trên trục lớn; B1, B2 là các}

đỉnh trên trục bé của (E), M là điểm bất kì trên (E). Chứng minh rằng trục
đẳng phơng của hai đờng tròn ngoại tiếp MA1A2 và MB1B2 tiếp xỳc vi
elớp (E).

b) Trong mặt phẳng cho n điểm A1, A2,...,An và vectơ a

c nh. Vit phng
trỡnh ng thng d nhận vectơ a



làm vectơ chỉ phơng sao cho tổng bình
ph-ơng các khoảng cách từ Ai, i = 1,...,n n d l nh nht.

Đề số 16.
<b>Câu 1. a) Giải phơng trình </b>sin x 4cos x 3cos x3 3 .

b) Giải hệ phơng trình:

2 2

2

x 1 16y 1

(x y)

2 2 3 2 y x

3 7

2 x y

2 2

 



 _ _ _




  




<b>Câu 2. a) Cho hàm số f(x) xác định trên R và không đồng nhất bằng 0, thỏa mãn</b>
điều kiện: 1) f(x+y) = f(x).f(y), x,yR

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Chứng minh rằng f(x) có đạo hàm mọi cấp tại xR. Tính

n

f (x)?

b) Cho e x 1x2  ... xn y1y2  ... yk_vµ
x1x2 ... x n y1y2 ... y k

Chøng minh r»ng x .x ...x1 2 n y .y ...y1 2 k

<b>Câu 3. a) Trong tất cả các tứ diện OABC đỉnh O có 3 mặt vng, hãy tìm tứ diện</b>
có:

2 2 2 2 2 2

T tg  tg  tg cot g  cot g  cot g _{đạt giá trị nhỏ nhất.}
Trong đó , ,  lần lợt là góc giữa các mặt OBC, OCA, OAB vi mt phng
(ABC).

b) Cho a, b, là các số thỏa m·n a2 b2 16 8a 6b  . Chøng minh r»ng:
1) 10 4a 3b 40  

` 2) 7a 24b .

Đề số 17.

<b>Câu 1. a) Tính giá trị của biểu thøc </b>



 



2

2 2 1

S 32x x 1 2x 1

x

   

víi

2
x cos

9




b) Cho hàm số f :* * thỏa mÃn các điều kiƯn:





f (1) 5;f f (n) 4n 9 _vµf (2 ) 2n n 1 3

  _{víi mọi}_n *

_{. Tính f(1789)?}
<b>Câu 2. a) Giải phơng trình </b>

x

3

3 1 x log (1 2x) _.

b) Cho c¸c d·y sè





n 2

n(n 2)
u

n 1






vµ xn u .u ...u1 2 n

1) Chøng minh rằng un là dÃy tăng còn xn là dÃy giảm.

2) Chøng minh r»ng
n

n 2
x

2(n 1)







<b>C©u 3. a) Chøng minh r»ng </b>





t
t

3 4 2

t 3 t, t 0;3

2 1



    


b) Cho ABC, gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC. Tính độ dài
AM từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc nhọn tạo bởi AG và BC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Đề số 18.
<b>Câu 1. a) Cho hàm số</b>f : tháa m·n:

f (x) f (y) f (x y) xy 1, x, y       
Nếu f(1) = 1, hãy tìm các số nguyên n sao cho f(n) = n.
b) Xác định số dơng a sao cho

cos 2x 2

a 2cos x, a  _.

<b>Câu 2. a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:</b>

2 2 2

a b(a b) b c(b c) c a(c a) 0  
b) Giải phơng trình xlog 92 x .32 log x2  xlog 32

<b>Câu 3. Trên một tờ giấy trắng kẻ ơ carơ vơ hạn có n ơ đợc tô đen, vào các thời</b>
điểm t = 1, 2,... xảy ra sự biến đổi màu đồng thời của tất cả các ô trên tờ giấy
theo qui tắc sau: Mỗi ô k có đợc màu mà thời điểm trớc đó phần lớn trong 3
ơ sau có: Chính ơ k và các ơ kề phải và kề trên nó (2 trong 3 ô này là đ ợc).
Chứng minh rằng:

a) Sau mét thời gian hữu hạn, trên tờ giấy không còn ô màu đen.
b) Các ô đen bị loại trừ không muộn hơn tại thời điểm t = n.

<b>Cõu 4. Trong khụng gian cho 4 đờng thẳng d1, d2, d3, d4 song song với nhau, trong</b>
đó khơng có 3 đờng thẳng nào cùng nằm trong một mặt phẳng. Mặt phẳng
(P) cắt 4 đờng thẳng trên theo thứ tự tại A, B, C, D; một mặt phẳng (Q) khác
(P) cắt 4 đờng thẳng ấy theo thứ tự taịi A’, B’, C’, D’. Chứng tỏ rằng các tứ
diện D’ABC và DA’B’C’ có thể tích bng nhau.

Đề số 19.

<b>Câu 1. a) Cho hàm số f xác dịnh trên </b>* và thỏa mÃn các điều kiện:

n 1

f (1) 2005

f (n 1) n.( 1)  2f (n)






   



TÝnh S f (1) f (2) ... f (2004)?   

b) Tồn tại hay không các số thực a, b để phơng trình sau có 4 nghiệm thực

ph©n biƯt:

3x 2x x x

5 1

x a.e b.e c.e e

6 4



    

<b>C©u 2. a) Cho </b>

0 ;0

2 2

 

     

vµ

2 2

3sin 2sin 1

3sin 2 2sin 2 0

    



</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Chøng minh r»ng 2

  
b) Giải hệ phơng trình:

1 2

2

2 3

3

2005 1
1

1 1

x x

2 x

1 1

x x

2 x

....

1 1

x x

2 x

  

 

  

 



 _ _

 _ _

  

 _ _




 _ _

 

 _ _

  



<b>Câu 3. a) Cho dãy vô hạn đợc xác định nh sau: </b>
u1 = 1 v un+1 = 1+u1.u2...un, n =1, 2...

Đặt
n

1 2 n

1 1 1

S ...

u u u

   

. T×m limSn?

b) Hỏi có thể xếp vào hình lập phơng cạnh 1 hai hình tứ diện đều cạnh

3
2
4

sao cho miền trong của hai hình tứ diện đó khơng có im chung no hay
khụng?

<b>Câu 4. Hình chữ nhật (Q) ngoại tiÕp elÝp (E): </b>

2 2

2 2

x y

1

a b  _{nếu mỗi cạnh hình chữ}

nht tip xỳc vi elớp (E). Hãy xác định:
a) Hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
b) Hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất.

§Ị sè 20.

<b>Câu 1. a) Cho 0<x<1, 0<y<1, và x</b>y. Chứng minh r»ng:

1 y x

ln ln 4

y x 1 y 1 x

 

 

 

 _   _

b) Hàm số f(x) xác định trên  và thỏa mãn điều kiện:



f (x) f (y)



2  x y , x, y3 

<b>Câu 2. a) Cho hàm số </b>

2

y 2x 1   mx 2x 4 _{. Chứng minh rằng với mọi m,}
các đồ thị của hàm số trên đều tiếp xúc nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

ax by c
bx cy a
cx ay b

 




 


 _ _


cã nghiƯm lµ a3 b3c3 3abc.

<b>Câu 3. Cho dãy số xác định bởi: </b>

1 2

n n 1 n 2

u u 1

u 2u _ u _ 2, n 3,n

 




     

 

a) Xác định cơng thức truy hồi?

b) Tìm cơng thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho?

<b>Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(2; 4), B(3; 1), C(1; 4) và đờng thẳng</b>
d: x  y  1 =0.

a) Tìm trên đờng thẳng d một điểm M sao cho AM +BM nhỏ nhất.
b) Tìm điểm N trờn d sao cho AN +CN nh nht.

Đề số 21.

<b>Câu 1. Cho tam thøc bËc hai </b>

2

f (x) x 2001x 2000
1) Chøng minh r»ng f f (x) x







f (x).f (x 1)
2) Chøng minh r»ng

2

1999 4f (a).f (a 1) _{là số chính phơng với mọi aZ.}

<b>Cõu 2. 1) Cho dãy số </b>(u )n _{đợc xác định nh sau:}
1

2

n 1 n n

u 0

u _ 5u 24u 1, n 1,2...






    




Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.
2) Chứng minh rằng trong ABC ta có:

sin A sin B sin C

P 2

sin B.sin C 1 sin C.sin A 1 sin A.sin B 1

   

  

<b>C©u 3. Cho 5 số thực dơng x, y, z, a, b thoả m·n </b>

x y z 0
a b 0

  




 


Chứng minh bất đẳng thức













a b b a b b a b b

x y  z y z  x z x  y 0

<b>Câu 4. 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. M, N là trung </b>
điểm của AB và SC. AN cắt (SBD) tại P. MN cắt (SBD) tại Q.

Chứng minh QM = QN.
2) Cho 2 đờng tròn

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

2 2 2 2

m

(C ) :(1 m )(x y ) 2ax 2amy 3a 0

(a là hằng số khác 0; m là tham số)

Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến với (C) và
(Cm) tại mỗi điểm chung này vuông góc với nhau.

<i>((C) v (Cm) nh vậy gọi là 2 đờng trịn trực giao)</i>

§Ị sè 22.

Thi hsg Lớp 12 tỉnh Nghệ An Năm 04-05

<b>Bi 1. a) Tìm giá trị của m để phơng trình sau cú nghim:</b>

<i>x</i>2

+<i>x</i>+1<i></i>

<i>x</i>2<i> x</i>+1=<i>m</i> .

b) Giải phơng trình: 2003x_{+ 2005}x_{= 4006x + 2.}

<b>Bài 2. a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:</b> <i>f</i>(<i>x</i>)= 1+cos 8<i>x</i>

6+2 cos 4<i>x</i>

b) Tìm m để tồn tại cặp số (x; y) không đồng thời bằng o và thỏa mãn phng trỡnh:

(4<i>m</i>3)|<i>x</i>|+(3<i>m</i>4)|<i>y</i>|+(<i>m</i>1)

<i>x</i>2+<i>y</i>2=0

<b>Bài 3. Tìm tất cả các đa thức p(x) tháa m·n:</b>

<i>p</i>(<i>x</i>)+<i>p</i>(1)=1

2[<i>p</i>(<i>x</i>+1)+<i>p</i>(<i>x −</i>1)] x.

<b>Bµi 4. a) Cho a, b, c, d là 4 số thực và thỏa mÃn các ®iỊu kiƯn:</b>
a2_{+ b}2_{= 1 vµ c – d = 3.}

Chøng minh r»ng: ac+bd<i>−</i>cd<i>≤</i>9+6√2

4 .

b) Trong mặt phẳng Oxy cho họ đờng tròn (Cm):

x2_{+ y}2_{– 2(m – 1)x – (m + 6)y + m + 10 = 0 (m  0)}

Chứng minh rằng: Các đờng tròn (Cm) luôn tiếp xúc nhau tại một điểm cố
định khi m thay i

Đề số 23.

<b>Câu 1. 1) Tìm đa thức P(x) bậc </b>1 thoả mÃn điều kiện
2

(x 2)(x 4)P"(x) 2x(x 2)P'(x) 12P(x) 0, x

P(1) 27

       






2) Tìm m để hàm số

2 1 2

y 2mx 2cos x msin x.cos x cos 2x

4

   

đồng biến
với mọi x.

<b>C©u 2. 1) Chøng minh r»ng nÕu ABC tháa m·n ®iỊu kiƯn </b>
3

2 2 2 2 2 2

a b c a b c

A B C

cot gA cot gB cot gC _tg _{tg tg}

2 2 2

   



 

 

 

thì đó là tam giác đều

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>Câu 3. Cho elip (E) có phơng trình </b>

2 2

2 2

x y

1, (a b 0)

a  b  _{với 2 tiêu điểm là F1 và}

F2. M là điểm di động trên elíp. Gọi I là tâm đờng trịn nội tiếp MF1F2. Tìm
quỹ tích điểm I.

<b>Câu 4. Cho dãy số (un) xác định bởi:</b>

n

0 u 1_vµ n 1



n



1

u 1 u

4

  

, víi n 1
Tính lim u .n n

Đề số 24.

<b>Câu 1. 1) Giải hệ phơng trình </b>

2 3 2

2 3 2

2 3 2

x y y y 3

y z z z 3

z x x x 3

    


 

2) Tìm các nghiệm nguyên (x; y) của phơng trình:

x 4y 1   y 3x 2   x y 2   x 2y 3 4  
<b>C©u 2. 1) Cho các số thực a, x, y, z thoả m·n:</b>

sinx sin y sin z cos x cos y cosz

a

sin(x y z) cos(x y z)

   

 

   

Chøng minh r»ng: cos(x y) cos(y z) cos(z x) a     

2) Chøng minh r»ng víi mọi số thực a, b, c. Phơng trình sau luôn có nghiệm
thuộc khoảng

0;

: a.cos7x b.cos4x c.cos3x sin 2x 0   

<b>Câu 3. Cho họ đờng tròn (Cm) có phơng trình </b>
2 2

x y  2m(x a) 0 
(trong đó a>0 là số cố định, cịn m là tham số)

1) Chứng minh rằng quỹ tích tất cả những điểm có phơng tích bằng nhau
đối với mọi đờng trịn (Cm) là một đờng thẳng . Viết phơng trình của .

2) Chứng minh rằng qua mỗi điểm (x0; y0) không nằm trên , và khác với

điểm O(0; 0) và A(2a; 0) có một và chỉ một đờng trịn (Cm).

3) Chứng minh rằng nếu M là điểm bất kì của đờng trịn (Cm) thì t s

OM
k

MA _{không phụ thuộc vào M. Tìm giá trị k theo m.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Chng minh bất đẳng thức: c2 d2  2ac 2bd 3 2 2 .
s 25

<b>Câu 1. 1) Cho hàm sè </b>

2

x (m 2)x m 1

y

mx m 1

   



  _{có đồ thị (Cm)}

Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua 3 điểm cố định khi m ≠ 1 v

1
m

3

.
2) Giải hệ phơng trình:

sin x y
sin y x









<b>Câu 2. a) Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất</b>

x x 2a 1 a 0   

b) Chứng minh rằng với mọi n ta có bất đẳng thức:

3 3 3

1 1 1 5

S 1 ...

2 3 n 4

     

<b>Câu 3. Với điều kiện nào thì ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân là độ dài ba</b>
cạnh của một tam giác?

<b>Câu 4. Qua tâm O của 2 đờng tròn đồng tâm vẽ hai đờng thẳng vng góc d1 và</b>
d2. Đờng thẳng  di động quay quanh O về cùng một hớng cắt các đờng tròn nhỏ
và lớn lần lợt tại A và B (tức A, B nằm cùng phía đối với O). Qua A vẽ đờng thẳng

'
1 1

d // d _{, qua B vẽ đờng thẳng} '
2 2

d // d _{. các đờng thẳng} ' '
1 2

d ,d _{cắt nhau tại M. Tìm}

quỹ tích điểm M.

Đề số 26

<b>Câu 1. 1) Tồn tại hay không các đa thức P(x) và Q(x) thỏa mÃn:</b>
2

P(x)

x 2005

Q(x)

2) Chứng tỏ rằng với a0 thì hệ phơng tr×nh sau cã nghiƯm duy nhÊt:
2

2

2
2

a

2x y

y
a

2y x

x



 





 _

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>Câu 2. 1) Cho 3 số không ©m x, y, z tháa m·n x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất</b>

của biểu thức:

1 1 1

P

4 2ln(1 x) y 4 2ln(1 y) z 4 2ln(1 z) x

  

        

2) Cho số a>0 và dãy số (un) xác định bởi:





1

3 ₃

1 n 1 3 n

4

u a, u log u 1

3


   

T×m nlim u ? n

<b>Câu 3. Giải hệ: </b>

f (y)

3

2002

1

log sin x

f (y)

sin x 1

f '(y) 2006y 2002









 _

 _

 _víi





2003

f (y) tg y

<b>C©u 4. 1) Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a. Trên AD và BD lấy các</b>

điểm M và N tơng ứng thoả m·n AM = DN = x,



0 x a 2

.
Chứng minh rằng khi

a 2
x

3

thì MN ngắn nhÊt.

2) Cho c¸c sè thùc a, b, c, d tho¶ m·n: 9a2 16b2 144 vµ

3c 4 135d 60  _{. Chøng minh r»ng}

2 2 2 2 26

a b c d 2ac 2bd

241

     

§Ị sè 27

<b>Câu 1. 1) Giả sử các hàm số f, g: </b>



0; 





0;



liên tục và thỏa mãn điều kiện:
Với mọi x>0 mà g(x) ≠ x, ta đều có f(g(x)) =1  f(x) ≠ 1. Chứng minh rằng
tồn tại x0 > 0 sao cho g(x0) = x0.

b) Xác định m sao cho mọi x đều là nghiệm của bất phơng trình:

2 2

2 cos 2x 1 cos x sin x

2  2 2 m

  

<b>Câu 2. Xét dãy số (an) xác định bởi</b>





1

3

7 13

3
n n 1

a 1

a a 1 ,n 2.











  

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Chứng minh dãy số (an) có giới hạn và nếu đặt x0 nlim a n_{thỡ x0 l nghim}

của phơng trình x13 x6 3x4  3x2  1 0.

<b>C©u 3. a) Giải phơng trình </b>

1 3sin x

2

2 1 3sin x log 1 9sin x

   

b) Cho ABC cã 00    A B C 900. Chøng minh:

2cos3C 4cos 2C 1
2
cosC

 



<b>Câu 4. a) Cho tứ diện ABCD có một cạnh lớn hơn a. Các cạnh cịn lại đều khơng</b>

lớn hơn a. Gọi V là thể tích của tứ diện đó. Chứng minh rằng:

3

a
V

8


.
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng tròn

2 2 2

x y R _{và một điểm}

</div>

<!--links-->