ki thi chon hoc sinh gioi toan 9vong 2 TRIEU SON

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Phòng GD-ĐT Triệu Sơn <b>kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 3)</b>
năm học : 2008 - 2009

<i><b> Môn</b></i> : Toán

(Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2)
<b>Bài 1 </b>( 3,0 điểm)

Cho các số dơng: a; b vµ x = 2 ab

<i>b</i>2+1 . XÐt biĨu thøc P =

√

<i>a</i>+<i>x</i>+

√

<i>a − x</i>

√

<i>a</i>+<i>x −</i>

√

<i>a − x</i>+

1
3<i>b</i>

1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P.

2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
<b>Bài 2 </b>(3,0 im)

Tìm x; y; z thoả mÃn hệ sau:

{

<i>x</i>3<i></i>3<i>x </i>2=2<i> y</i>

<i>y</i>3<i></i>3<i>y </i>2=4<i></i>2<i>z</i>

<i>z</i>3<i></i>₃<i>_z</i>₂

=6<i></i>3<i>x</i>
<b>Bài 3 </b>( 3,0 điểm)

Vi mi s nguyên dơng n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a =

3+

_√

5

2 ; b =

3<i>−</i>

√

5

2 .

1. Chứng minh rằng với n ≥ 1, ta có Sn + 2 = (a + b)( an + 1 + bn + 1) – ab(an + bn)
2. Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên.
3. Chứng minh Sn – 2 =

[

(

√

5+1

2

)

<i>n</i>

<i>−</i>

(

√

5<i>−</i>1

2

)

<i>n</i>

]

2 . Tìm tất cả các số n để Sn 2 l
s chớnh phng.

<b>Bài 4 </b>(5,0 điểm)

Cho on thng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đ
-ờng tròn (O1) đờng kính AE và đờng trịn (O2) đờng kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngồi MN
của hai đờng trịn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2).

<b>1.</b> Gọi F là giao điểm của các đờng thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đờng thẳng
EF vng góc với đờng thẳng AB.

<b>2.</b> Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đờng trịn (O) đờng kính AB. Đờng thẳng MN cắt
đờng trịn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD.

<b>Bài 5: (4đ):</b> Cho ABC đờng thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự . Là E , F , N .

<b>a)</b> Chøng minh : AB
AE +

AC
AF =

2 AM
AN

<b>b)</b> Giả sử đờng thẳng d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đờng thẳng KN cắt AB tại P đờng
thẳng KM cắt AC tại Q.

Chøng minh PQ//BC.

<b>Bµi 6</b>: (2 ®iĨm)

Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh rằng :
₂<i>_a</i>3

+2<i>b</i>3+2<i>c</i>3<3+<i>a</i>2<i>b</i>+<i>b</i>2<i>c</i>+<i>c</i>2<i>a</i>

---

<b>Hết---Đáp án tham khảo và biểu điểm</b>

<b>Câu 1. (3,0 điểm)</b>

<b>Tóm tắt lời giải</b> <b>Điểm</b>

<b>1. (2.0 điểm)</b>

Ta có: a; b; x > 0 <i>⇒</i> a + x > 0 (1)
XÐt a – x =

<i>b −</i>1¿2
¿

<i>a</i>¿
¿

(2)
Ta có a + x > a – x ≥ 0 <i>⇒</i>

_√

<i>a</i>+<i>x −</i>

√

<i>a − x ≠</i>0 (3)
Từ (1); (2); (3) <i>⇒</i> P xác định

Rót gän:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Ta cã: a + x =

<i>b</i>+1¿2
¿

<i>a</i>¿

<i>a</i>+ 2 ab

<i>b</i>2+1=¿

<i>_⇒</i>

_√

<i>a</i>+<i>x</i>=(<i>b</i>+1)

√

<i>a</i>
<i>b</i>2+1

a - x =

<i>b −</i>1¿2
¿

<i>a</i>¿

<i>a −</i> 2 ab
<i>b</i>2+1=¿

<i>_⇒</i>

_√

<i>a − x</i>=|<i>b−</i>1|

√

<i>a</i>

<i>b</i>2+1

<i>⇒</i> P =

(<i>b</i>+1)

√

<i>a</i>
<i>b</i>2

+1+|<i>b−</i>1|

√

<i>a</i>
<i>b</i>2

+1
(<i>b</i>+1)

√

<i>a</i>

<i>b</i>2

+1<i>−</i>|<i>b −</i>1|

√

<i>a</i>
<i>b</i>2+1

+ 1
3<i>b</i>=

<i>b</i>+1+|<i>b−</i>1|

<i>b</i>+1<i>−</i>|<i>b −</i>1|+

1
3<i>b</i>

 NÕu 0 < b < 1 <i>⇒</i> P = 2
2<i>b</i>+

1
3<i>b</i>=

4
3<i>b</i>

 NÕu b 1 <i>⇒</i> P = <i>_b</i>+ 1
3<i>b</i>=

3<i>b</i>2+1
3<i>b</i>

2. <b>(1.0 ®iĨm)</b>

XÐt 2 trờng hợp:

Nếu 0 < b < 1, a dơng tuú ý th× P =
4

3<i>b⇒</i> P

4
3



 NÕu b 1 , a dơng tuỳ ý thì P = <i>b</i>+ 1
3<i>b</i>=

(

<i>b</i>

3+
1

3<i>b</i>

)

+

2<i>b</i>

3
Ta cã: <i>b</i>

3+
1
3<i>b</i>

2

3 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Mặt khác: 2<i>b</i>

3 <i></i>
2

3 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Vậy P 2

3+
2
3=

4

3 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
KL: Giá trị nhỏ nhất của P = 4

3

0,25

0,25
0,25

0,25
0,25

0,25
0,25

Câu 2 (3,0 điểm)

<b>Tóm tắt lời giải</b> <b>Điểm</b>

Bin đổi tơng đơng hệ ta có

<i>x</i>+1¿2=2<i>− y</i>
¿

<i>y</i>+1¿2=2(2<i>− z</i>)
¿

<i>z</i>+1¿2=3(2<i>− x</i>)
¿

(<i>x −</i>2)¿

¿

Nhân các vế của 3 phơng trình với nhau ta đợc:

(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2_(y+1)2_(z+1)2_{= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)}

<i>⇔</i> (x - 2)(y - 2) (z - 2)

<i>z</i>+1¿2+6

<i>y</i>+1¿2¿

<i>x</i>+1¿2¿
¿
¿

= 0

<i>⇔</i> (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0
<i>⇔</i> x = 2 hc y = 2 hc z = 2

Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2
Vậy với x = y = z = 2 thoả món h ó cho

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Câu 3 (3,0 điểm)</b>

<b>Tóm tắt lời giải</b> <b>Điểm</b>

<b>1. (1,0 điểm)</b>

Với n 1thì Sn + 2 = an+2 _{+ b}n+2 ₍₁₎
Mặt khác: (a + b)( an + 1_+bn + 1_{) – ab(a}n_+bn_{) = a}n+2 _{+ b}n+2 ₍₂₎
Tõ (1); (2) ta có điều phải chứng minh

<b>2. (1.0 điểm)</b>

Ta cã: S1 = 3; S2 = 7

Do a + b =3; ab =1 nªn theo 1 ta cã: víi n ≥1 th× Sn+2 = 3Sn+1 - Sn
Do S1, S2 <b>Z</b> nªn S3 <b>Z</b>;do S2, S3 <b>Z</b> nªn S4 <b>Z</b>

Tiếp tục quá trình trên ta đợc S5; S6;...; S2008 <b>Z</b>
<b>3.</b> <b>(1.0 điểm)</b>

Ta cã Sn – 2 =

[

(

√

5
2 +

1
2

)

2

]

<i>n</i>+

[

(

√

5
2 <i>−</i>

1
2

)

2

]

<i>n−</i>2

=

[

(

√

5+1

2

)

<i>n</i>

]

2+

[

(

√

5<i>−</i>1
2

)

<i>n</i>

]

2<i>−</i>2

[

(

√

5+1
2

)(

√

5<i>−</i>1
2

)

]

<i>n</i>

=

[

(

5+1
2

)

<i>n</i>

<i></i>

(

5<i></i>1

2

)

<i>n</i>

]

2 đpcm
Đặt a1 =

5+1

2 ; b1 =

√

5<i>−</i>1

2 <i>⇒</i> a1 + b1 =

√

5 ; a1b1 = 1
XÐt Un= 1 1

<i>n</i> <i>n</i>

<i>a</i>  <i>b</i>

Víi n ≥1 th× Un+2 = (a1 + b1)(a1n+1_{- b1}n + 1_{) – a1b1(a1}n_{- b1}n₎ <i>⇒</i> _{Un+2 =}

_√

5 _{Un+1 – Un}
Ta cã U1 = 1 <b>Z</b>;U2 =

_√

₅ <b> Z</b>; U3 = 4 <b>Z</b>; U4 = 3

_√

₅ <b> Z</b>;...

Tiếp tục quá trình trên ta đợc Un nguyên <i>⇔</i> n lẻ

VËy Sn – 2 lµ sè chÝnh ph¬ng <i>⇔</i> n = 2k+1 víi k <b>Z</b> và 0 <i>k </i> 1003

0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25

0,25
0,25
Câu 4 (5,0 điểm)

<b>Tóm tắt lời giải</b> <b>Điểm</b>

<b>1. (2,5 điểm)</b> O1M; O2N MN <i>⇒</i> O1M/ / O2N
Do O1; E; O2 thẳng hàng nên <i></i> MO1E = <i></i> NO2B

Các tam giác O1ME; O2NB lần lợt cân tại O1 và O2 nên ta có: <i></i> MEO1= <i></i> NBO2 (1)
Mặt khác ta có: <i>_∠</i> AME = 900 <i>_⇒</i> <i>_∠</i> _{MAE +} <i>_∠</i> _{MEO1= 90}0
(2)

<i>⇒</i> <i>∠</i> MAE + <i>∠</i> NBO2 = 900 <i>⇒</i> <i>∠</i> _{AFB = 90}0

<i>⇒</i> Tø giác FMEN có 3 góc vuông <i></i> Tứ giác FMEN là hình chữ nhật

<i></i> <i></i> NME = <i>∠</i> FEM
(3)

Do MN MO1 <i>_⇒</i> <i>_∠</i> MNE + <i>_∠</i> EMO1 = 900
(4)

Do tam giác O1ME cân tại O1 <i></i> <i></i> MEO1 = <i>∠</i> EMO1
(5)

Tõ (3); (4); (5) ta cã: <i>∠</i> FEM + <i>∠</i> MEO1= 900_hay <i>∠</i> _{FEO1 = 90}0_(®pcm)

<b>2. (2,5 ®iĨm)</b>

Ta cã EB = 12 cm <i>_⇒</i> O1M = 3 cm < O2N = 6 cm

0,25
0.25
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5

O1 E O O2

A B

C M

I

N

D

S

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i>⇒</i> MN cắt AB tại S với A nằm giữa S và B.

Gọi I là trung điểm CD <i></i> CD OI <i>⇒</i> OI// O1M //O2N <i>⇒O</i>1<i>M</i>

<i>O</i>2<i>N</i>
=SO1

SO2
<i>⇒</i> SO2 = 2SO1 <i>⇒</i> SO1+O1O2 = 2SO1 <i>⇒</i> SO1= O1O2

Do O1O2 = 3 + 6 = 9 cm <i>⇒</i> SO1= O1O2 = 9 cm <i>⇒</i> SO =SO1 + O1O = 15cm
Mặt khác: OI

<i>O</i>₁<i>M</i>=

SO

SO₁ <i></i> OI = 5 cm

Xét tam giác COI vuông tại I ta cã: CI2_{+ OI}2_{= CO}2 <i>⇒</i> _CI2_{+ 25 = CO}2
Ta cã: CO = 9 cm <i>_⇒</i> CI2_{+ 25 = 81} <i>_⇒</i> _{CI =}

√

56
<i>⇒</i> CD = 4

_√

₁₄ cm

0,25
0,25

<b>C©u 5 (2,0 điểm)</b>

<b>Điểm</b>

<b>a)</b>

Kẻ BI<i>,</i>CS // EF (<i>I , S∈</i>AM)
Ta cã: AB

AE=
AI
AN <i>,</i>

AC
AF =

AS
AN
¿

<i>⇒</i>AB
AE +

AC
AF=

AI
AN+

AS

AN(<i>∗</i>)
¿

Ta cã: <i>Δ</i>BIM=<i>Δ</i>CSM (cgc)
<i>⇒</i>IM=MS

Vậy: AI+AS=AI+AI+IM+MS=2 AM
Thay vào (*) ta đợc (đpcm)

1,0

0,5
Khi <i>d</i>// BC<i>⇒</i>EF // BC<i>⇒N</i> là trung điểm của EF

_{+Từ F kẻ đờng thẳng song song với AB cắt KP tại L}

Ta có: <i>Δ</i>NFP=<i>Δ</i>NFL(cgc)<i>⇒</i>EP=LF
Do đó :

EP
PB=

LF
PB=

KF

KB (1)

+Từ B kẻ đờng thẳng song song với AC cắt
KM tại H

Ta cã <i>_Δ</i>_BMH=<i>Δ</i>CMQ(cgc)
<i>_⇒</i>_BH¿=QC

¿

Do đó: FQ
QC=

FQ
BH=

KF
KB(2)
Tõ

(1)<i>va</i>(2) <i>FP</i> <i>FQ</i> <i>PQ BC</i>//

<i>PB</i> <i>QC</i>

(đpcm)

0,5
0,5

0,5

0,5

0,5

<b>Bài 6</b>: 2 ®iÓm)

Do a <1 <i>⇒</i> <i>_a</i>2 _{<1 vµ b <1}
Nªn









2 2 2

1 <i>a</i> . 1 <i>b</i>   0 1 <i>a b a</i>  <i>b</i>0

0,5

E

E

I

S
M
N

C
B

A

K

P Q

F
L

E N

M C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Hay ₁₊<i>_a</i>2<i>_b</i>

><i>a</i>2+<i>b</i> (1)
Mặt khác 0 <a,b <1 <i>_⇒</i> <i>_a</i>2

><i>a</i>3 ; <i>b</i>><i>b</i>3
<i>⇒</i> ₁₊<i>_a</i>2

><i>a</i>3+<i>b</i>3
VËy <i>_a</i>3

+<i>b</i>3<1+<i>a</i>2<i>b</i>
T¬ng tù ta cã

<i>b</i>
3

+<i>c</i>3<1+<i>b</i>2<i>c</i>

<i>a</i>3+<i>c</i>3<1+<i>c</i>2<i>a</i>
<i>⇒</i> ₂<i>_a</i>3₊₂<i>_b</i>3₊₂<i>_c</i>3_<₃₊<i>_a</i>2<i>_b</i>₊<i>_b</i>2<i>_c</i>₊<i>_c</i>2<i>_a</i>

</div>

<!--links-->