75 de thi va dap an HSG toan 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

1

<b>Câu 1: (2 điểm) Phân tích thành nhân tử</b>
a) a(x2_{+ 1) – x(a}2_{+ 1)}

b) x – 1 + xn + 3_{– x}n
<b>HD:</b>

a). a(x2_{+ 1) – x(a}2_{+ 1) = ax}2_{– a}2_{x + a – x = ax(x – a) – (x – a) = (x –}
a)(ax – 1).

b). x – 1 + xn_(x3_{– 1) = (x – 1)[1 + x}n_(x2_{+ x + 1)] = (x – 1)(x}n+2_{+ x}n+1₊
1).

<b>C©u 2: (1,5 ®iĨm) Thùc hiƯn phÐp tÝnh:</b>

2 2

2 2 2 2

x y x y

:

y xy x xy x y xy

 

  

 _ _

 

  

   

<b>HD:</b>

+ Điều kiện xác định: (x0;y0;xy;xy).

+

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

x y x y x y xy(x y) x y

A : .

xy(x y) x y

y xy x xy x y xy x y

 

     

_  _ _ _  

 

  

<b>Câu 3: (1,5 điểm) Rót gän biĨu thøc: </b>

x y

A

x y





<b>HD:</b>

+ Điều kiện xác định: (xy).
+ Xét 4 trờng hợp:

x y x y

*NÕu x 0;y 0 B 1; *NÕu x 0;y 0 B 1;

x y x y

x y x y

*NÕu x 0;y 0 B ; *NÕu x 0;y 0 B

x y x y

  

         

 

  

       

 

<b>C©u 4: (1,5 ®iĨm) </b>

Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức

2

x 3

M

x 2

_{có giá trị nguyên.}
<b>HD:</b>

+ M cã nghÜa khi x2









2 2

x 3 x 4 1 (x 2)(x 2) 1 1

M (x 2)

x 2 x 2 x 2 x 2

x Z, M Z (x 2) ¦(1) 1;1 x 3;1

     

      

   

         

Câu 5: (3,5 điểm)

Cho hình vng ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia
CB lấy điểm F sao cho AE = CF.

a)Chøng minh r»ng tam gi¸c EDF vuông cân.

b)Gi O l giao im hai ng chộo AC và BD; I là trung điểm của EF; Chứng
minh rằng ba điểm O, C, I thẳng hàng.

HD:
2 <b>C©u 1: </b>

Cho ®a thøc : P(x) = 2x4_{– 7x}3_2x2_{+ 13x + 6}
a)Phân tích P(x) thành nhân tư.

b)Chøng minh r»ng P(x) chia hÕt cho 6 víi mäi x  Z.
<b>HD:</b>

<b>a). </b>P(x) = 2x4_{– 7x}3_{– 2x}2_{+ 13x + 6 = 2x}4_{– 6x}3_{– x}3 _{+ 3x}2_{– 5x}2_{+ 15x – 2x +}

6

= (x – 3)(2x3_{– x}2_{– 5x – 2) = (x – 3)(2x}3_{– 4x}2_{+ 3x}2 _{– 6x +x – 2)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>b). P(x) = </b>(x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1)<b> = </b>(x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x – 2 + 3)

<b>= 2</b>(x – 3)(x – 2)(x + 1)(x – 1)<b> + </b>3(x – 3)(x – 2)(x + 1)  P(x) 6 <b> </b>(Đfcm).

Câu 2:

Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). VÏ CE AB, CF AD.
Chøng minh r»ng AB.AE + AD.AF = AC2

C©u 3: Cho ph©n thøc

4 3 2

4 3 2

x x x 2x 2

F(x) (x Z)

x 2x x 4x 2

   

 

   

a)Rót gän ph©n thøc.

b)Xác định giá trị của x để phân thức có giá trị nhỏ nhất.
Câu 4:

Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = 289 cm và đờng cao AH = 120
cm. Tính hai cạnh AB v AC.

Câu 5: Cho 3 số dơng a, b, c.
Chứng minh r»ng:

1 1 1

(a b c) 9

a b c

 

  _   _

 

C©u 6: Cho 3 số dơng a, b, c.
Giải phơng trình:

a b x b c x c a x 4x

1

c a b a b c

     

  

3

Câu 1: Giải phơng trình: (3x 1)(x + 1) = 2(9x2_{– 6x + 1)}
C©u 2: Giải bất phơng trình:

x 1 x 4

3

2 2

Câu 3: Tính giá trị của biểu thức:

2a b 5b a
A

3a b 3a b

 

 

 

BiÕt 10a2_{– 3b}2_{+ 5ab = 0 và 9a}2_b2 _0.
Câu 4: Cho biÓu thøc:

4 3

4 3 2

1
P

2 1

+ + +
=

- + - +

<b>x</b> <b>x</b> <b>x</b>

<b>x</b> <b>x</b> <b>x</b> <b>x</b>

a)Tìm điều kiện xỏc nh ca P.
b)Rỳt gn P.

c)Với giá trị nào của x thì biểu thức P có giá trị bằng 2.

Cõu 5: Cho hình bình hành ABCD (BC//AD) có góc ABC = góc ACD.
Biết BC = 12m, AD = 27m, tính độ dài đờng chéo AC.

C©u 6:

Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Từ một điểm E trên cạnh BC ta

kẻ đờng thẳng Ex // AM. Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G.

Chøng minh EF + EG = 2AM.
4

C©u 1:Rót gän biĨu thøc:

4 12 9

A

2 6




 
<b>2</b>

<b>2</b>

<b>a</b> <b>a +</b>

<b>a</b> <b>a</b>

C©u 2: Cho biĨu thøc

0,5 2 8 2

B :

1 0,5 2 2

  

 

  

<b>2</b> <b>3</b>

<b>a</b> <b>a</b> <b>a</b>

<b>a</b> <b>a</b> <b>a(</b> <b>a)</b>

a)Tìm a để B có nghĩa.
b)Rút gn biu thc B.
Cõu 3:

1) Giải bất phơng trình: (x 2)(x + 1) < 0.
2) Giải phơng trình: 2 2  20

<b>2</b>

<b>x</b> <b>x</b> <b>x + 1</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b)Với giá trị nào của x thì A có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất, tìm giá trị nhỏ
nhất hay lớn nhất đó.

Câu 5: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là trung điểm hai cạnh đối diện BC và

AD. Cho

AB DC

MN

2




. Chøng minh r»ng ABCD là hình thang.

Cõu 6: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, trờn đờng chéo AC lấy một điểm I. Tia DI
cắt đờng thẳng AB tại M, cắt đờng thẳng BC tại N.

Chøng minh a)

AM DM CB

AB DN CN _{; b) ID}2_{= IM.IN.}

5

C©u 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam gi¸c, chøng minh r»ng:
a2_{b + b}2_{c + c}2_{a +ca}2_{+ bc}2_{+ ab}2_{– a}3_{– b}3_{– c}3_{> 0.}

Câu 2:

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:

2 3

A

2

<b>2</b>

<b>2</b>

<b>x</b> <b>x</b>

<b>x</b>

Câu 3: Giải phơng trình: <b>x</b> 1 2<b>x</b>3 <b>x</b> 4

Câu 4: Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BM và BN lần lợt vuông góc với
cạnh AD và CD tại M và N. Tính các góc của hình thoi ABCD biÕt r»ng 2MN
= BD.

6

C©u 1: Cho a b = 7.

Tính giá trị của biểu thức: a2_{(a + 1) – b}2_{(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1)}
C©u 2: Thùc hiƯn phÐp tÝnh b»ng c¸ch nhanh nhÊt:

2

6 3

7 2

2 1 6

9 3

 

 _  _

 

<b>x</b> <b>x</b>

C©u 3: Cho biĨu thøc B =

3

2

2 a 8 2

a :

1 0,5a a 2 2a a



 

 

 _  _ _

 

a)Tìm x B cú ngha.
b)Rỳt gn B.

Câu 4: Giải phơng trình: (x – 2)(x + 2)(x2_{– 10) = 72.}

Câu 5: Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là AB = 5 m, CD = 15 cm, độ
dài hai đờng chéo là AC = 16 cm, BD = 12 cm. Từ A vẽ đờng thẳng song song
với BD cắt CD tại E.

1) Chøng minh ACE lµ tam giác vuông tại A.
2) Tính diện tích hình thang ABCD.

Cõu 6: Cho tam giác ABC, đờng phân giác trong của góc C cắt cạnh AB tại D.
Chứng minh rằng: CD2_{< CA.CB}

7 C©u 1:Cho a, b là hai số nguyên. Chứng minh rằng:

Nếu a chia cho 13 d 2 vµ b chia cho 13 d 3 thì : a2_{+ b}2_{chia hết cho 13.}
Câu 2: Cho a, b là các số thực tuỳ ý.

Chứng minh r»ng: 10a2_{+ 5b}2_{+ 12ab + 4a – 6b + 13}_{0. Đẳng thức xảy ra}
khi nào?

Câu 3: ở bên ngoài của hình bình hành ABCD, vẽ hai hình vuông ABEF và
ADGH.

Chứng minh:

1) AC = FH và AC vuông góc với FH.
2) Tam giác CEG vuông cân.

Câu 4: Cho đa thức: P(x) = x4_{+ 2x}3_13x2_{14x + 24 (Với x nguyên)}
1)Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử.

2)Chứng minh rằng P(x) chia hÕt cho 6.

Câu 5: Cho tam giác ABC, BD và CE là hai đờng cao của tam giác ABC. DF
và EG là hai đờng cao của tam giác ADE. Chứng minh rằng:

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2)Chøng minh: FG//BC.
C©u 6:

1)Chøng minh rằng phơng trình x4_x3_{x 1 = 0 chỉ có hai nghiệm.}
2)Giải và biện luận phơng trình: m2_{x + 1 = x + m (m là tham số)}

8

Câu 1: Cho phân thức:

4 2

3

x 2x 1

A

x 3x 2

 



 

1) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
2) Rút gọn A.

3) Tớnh x A < 1.

Câu 2: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa ph©n thøc: 2
3
E

x 2x 4



 

Câu 3: Giải phơng trình:

1 1

x(x 1) 2

Cõu 4: Cho hình bình hành ABCD với đờng chéo AC > BD. Gọi E, F lần lợt là
chân đờng vuông góc kẻ từ C đến các đờng thẳng AB và AD; Gọi G là chân
đ-ờng vng góc kẻ từ B đến AC,

1) Chứng minh tam giác CBG đồng dạng với tam giác ACF.
2) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2_.

Bài tập t ơng tự :

1)Cho tam giỏc ABC có 3 góc nhọn, hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại

H. Chøng minh r»ng BH.BD = CH.CE = BC2_.

2)Cho tam giác ABC vẽ phân giác AD.

Chứng minh : AD2_{= AB.AC + BD.DC.}

3)Cho tam gi¸c ABC cã: BC = a, AC = b, AB = c.

Chøng minh r»ng µ µ

2 2

A2B  a b bc.

4)Cho tam giác ABC. Biết đờng phân giác ngồi của góc A ct cnh BC

kéo dài tại E. Chứng minh rằng: AE2_{= EB.EC + AB.AC.}

9 Câu 1: Cho đa thức: P(x) = x4_{– 3x}3_{+ 5x}2_{– 9x + 6.}

1)Trong trờng hợp x là số nguyên dơng. Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
2)Giải phơng trình P(x) = 0.

9 Câu 2:Cho tứ giác ABCD có chu vi là 2p và M là một điểm ở trong tứ giác.
Chứng minh: 1) p < AC + BD < 2p;

2) p < MA + MB + MC + MD < 3p.
9 C©u 3: Cho a + b + c = 1, vµ a2_{+ b}2_{+ c}2_{= 1.}

1) NÕu

x y z

a  b c_{. Chøng minh r»ng: xy + yz + xz = 0.}
2) Nếu a3_{+ b}3_{+ c}3_{= 1. Tìm giá trÞ cđa a, b, c.}

9 Câu 4: Cho tam giác ABC (AB < AC). Hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H.
1) So sánh hai góc BAH và CAH.

2) So sánh hai đoạn thẳng BD và CE.

3) Chng minh rằng hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
9

C©u 5: Giải phơng trình: x1 2 x 1 x
9

Câu 6: Giải phơng trình:

x a x b x c 1 1 1

2

bc ac ab a b c

    

   _   _

 _{(Trong ú x l}
n)

10 Câu 1: Giải phơng trình: x4_{+ 2x}3_{– 4x}2_{– 5x – 6 = 0}
10

C©u 2: Rót gän biĨu thøc:

2 2 3 3

2 2 2 2

x y xy x y

A :

x y x y 2xy

  



</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

10 C©u 3:

Chứng tỏ rằng bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x:

2

4

5 0
x 2x 2





10

Câu 4: Tìm gái trị nhỏ nhất của biểu thøc:

2
2

x 4x 1
A

x

 



10 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tai A (AC > AB), đờng cao AH. Trong nửa
mặt phẳng bờ AH có chứa điểm C vẽ hình vng AHKE.

1)Chøng minh r»ng Bµ 450.

2)Gäi P lµ giao điểm của AC và KE. Chứng minh rằng tam giác ABP vuông
cân.

3)Gi Q l nh th t ca hình bình hành APQB và I là giao điểm của BP và
AQ. Chứng minh ba điểm H, I, E thng hng.

4)Chứng minh rằng HE // QK.
11 Câu 1: (3đ)

Chứng minh biÓu thøc P =

2 2 2

2 2 2

(x a)(1 a) a x 1
(x a)(1 a) a x 1

   

    _{kh«ng phơ thc vào}
biến x

11 Câu 2: (2đ) Giải phơng trình: x3_{+ 12 = 3x}2_{+ 4x}
11

Câu 3: (2đ) Giải phơng trình:

2
2

1 8x 4x 32x

0
4 8x 12x 6 3(4 16x )

11 Câu 4: (5đ) Cho ba ph©n thøc:

2 2 2

2 2 2

4xy z 4yz x 4xz y

A ; B ; C

xy 2z yz 2x xz 2y

  

  

  

Trong đó x, y, z đôi một khác nhau.

Chøng minh r»ng nÕu: x + y + z = 0 th×: A.B.C = 1.
11 Câu 5: (4đ)

Cho hỡnh thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A kẻ đờng thẳng song song với
BC cắt đờng chéo BD tại M và cắt CD tại I. Qua B kẻ đờng thẳng song song
với AD cắt cạnh CD ở K. Qua K kẻ đờng thẳng song song với BD cắt BC ở P.
Chứng minh rằng: MP//CD.

11 C©u 6: (4đ)

Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác. Gọi M, N, P, Q lần
lợt là trung điểm của các đoạn thẳng: OB, OC, AC, AB.

1)Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

2) t giác MNPQ là hình chữ nhật thì điểm O nằm trên đờng đặc biệt nào
của tam giác ABC? Giải thớch vỡ sao?

12 Câu 1: Phân tích đa thức thành nh©n tư: P(x) = 6x3_{+ 13x}2 _{+ 4x 3.}
12 Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).
12 C©u 3: Cho a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: a3_{+ b}3_{+ c}3_{= 3abc.}

12 Câu 4: Giải phơng trình: (4x + 3)3_{+ (5 7x)}3_{+ (3x – 8)}3_{= 0.}

12 Câu 5: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
ab + bc + ac  a2_{+ b}2_{+ c}2_{< 2(ab + ac + bc)}

12 Câu 6: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng nếu ( a + b + c)2_{= 3(ab + ac + bc) thì tam giác đó là tam}
giác đều

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

12 Câu 8: Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AM, K là một điểm trên AM sao
cho AM = 3AK. Gọi N là giao điểm của BK vµ AC.

1)Tính diện tích tam giác AKN. Biết diện tích tam giác ABC là S.
2)Một đờng thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC lần lợt tại I và J.
Chứng minh rằng:

AB AC

6
AI  AJ _.

13 Câu 1: Phân tích đa thức thành nh©n tư: (x2_{+ x)}2_{– 2(x}2_{+ x) – 15}
13 Câu 2: Phân tích đa thức thành nhân tö: (a + b + c)3_{– a}3_{– b}3_c3 _.
13

Câu 3: Giải phơng trình: 2 3

2 1 2x 1

x 1

x x 1 x 1



 





13 Câu 4:

Cho a, b, c, d là các số thực thoả mÃn ab, c d. Chứng minh: ac + bd  bc
+ ad.

13 C©u 5:

Cho hình vuông ABCD; Điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuéc c¹nh BC. BiÕt



<i>FAE</i>_{= 45}0_{. Chøng minh chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông}
ABCD.

13 Câu 6: Cho tam giác ABC, lấy một ®iĨm O n»m trong tam gi¸c. C¸c tia AO,
BO, CO cắt BC, AC, AB lần lợt tại P, Q, R. Chøng minh r»ng

OA OB OC

2
AP  BQ  CR _.
14

Câu 1: Cho ba số khác 0 thoả mÃn



a b c



1 1 1 1

a b c

 

  

Tính giá trị của biÓu thøc: (a23_{+ b}23_)(b5_{+ c}5_)(a1995_{+ c}1995₎

14 Câu 2:Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy cho các nhị thức
lần lợt là: (x – 1); (x – 2); (x – 3) đều có số d là 6 và tại x = – 1 thì đa
thức nhận giá trị là (– 18).

14 Câu 3: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, AD
lần lợt lấy các điểm M, N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2. Tính số
đo của góc MCN?

15

C©u 1: Cho biĨu thøc:

2a 1 5 a
A

3a 1 3a 1

1)Tính giá trị của A khi

1
a

2

.

2)Tính giá trị của A khi 10a2_{+ 5a = 3.}

15 Câu 2: Giải phơng trình : x4_{+ 2x}3_{+ 5x}2_{+ 4x – 12 = 0.}
15 Câu 3:

Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm cđa AB. VÏ vỊ mét phÝa cđa AB c¸c
tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy C trên tia Ax, D trªn tia By sao cho gãc
COD = 900_.

1) Chứng minh tam giác ACO và tam giác BDO đồng dạng.
2) Chứng minh : CD = AC + BD.

3) Kẻ OM vuông góc với CD tại M, gọi N là giao điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng MN//AC.

16

Câu 1: Xác định số tự nhiên n để giá trị của biểu thức:

5n 11
A

4n 13




 _{lµ số tự}
nhiên.

16 Câu 2:

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

16

Câu 3: TÝnh tæng

1 1 1

S(n) ... (n N)

2.5 5.8 (3n 1)(3n 2)

    

 

16 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có đờng chéo lớn AC. Tia Dx cắt AC, AB,
CB lần lợt tại I, M, N. Vẽ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD, BG
vng góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh:

1) IM.IN = ID2_.
2)

KM DM

KN DN _.

3) AB.AE + AD.AF = AC2_.
16

C©u 5:Giải phơng trình : x 1 x2  x 3 14

16 Câu 6: Tìm giá trị nguyên của x, y trong đẳng thức: 2x3_{+ xy = 7.}
16 Câu 7: Cho 4 số dơng a, b, c, d. Chứng minh:

a b c d

1 2

a b c b c d c d a d a b

    

       

16 Câu 8: Cho tam giác ABC có BC = a và đờng cao AH = h. Từ một điểm M trên
đờng cao AH vẽ đờng thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC lần lợt tại
P và Q. Vẽ PS và QR vng góc với BC.

1)Tính diện tích của tứ giác PQRS theo a, h, x (trong đó AM = x).
2)Xác định vị trí của điểm M trên AH để diện tích này lớn nhất.
17 Câu 1: (2đ) Phân tích đa thức thành nhân tử: x3_{– 7x – 6}
17 Câu 2: (6đ)

Một trờng tổ chức lần lợt cho các lớp trồng cây: Lớp thứ nhất trồng đợc 18 cây
và thêm 1/11 số cây còn lại. Rồi đến lớp thứ hai trồng 36 cây và thêm 1/11 số
cây còn lại. Tiếp theo lớp thứ ba trồng 54 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Cứ
nh thế các lớp trồng hết số cây và số cây trồng đợc của mỗi lớp bằng nhau.
Hỏi trờng ú ó tng c bao nhiờu cõy?

17 Câu 3: (4đ)

Cho biÓu thøc:

3
3

x 1 x 1
x 1 x 1
A

x
1

1 x

 



 







H·y viÕt A díi d¹ng tỉng cđa một biểu thức nguyên và một phân thức với bậc
cđa tư thÊp h¬n bËc cđa mÉu.

17 Câu 4: (4đ) Chứng minh rằng “Tổng độ dài ba trung tuyến của một tam giác
thì lớn hơn

3

4_{chu vi và nhỏ hơn chu vi của chính tam giác ấy.}
17 Câu 5: (4đ)

Gọi O là một điểm nằm trong tứ giác lồi MNPQ. Giả sử bốn tam giác MON,
NOP, POQ, QOM cã diƯn tÝch b»ng nhau.

1) MP c¾t NO ở A. Chứng minh A là trung điểm của NP.

2) Chứng minh O nằm trên đờng chepos NQ hoặc ng chộo MP ca t giỏc
MNPQ.

18 Câu 1: (4đ)

Rót gän biĨu thøc: A = 75(41993₊…_{+ 4}2_{+ 5) + 25.}
18 Câu 2: (3đ)

Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: 2
1

B

1



 

<b>x</b> <b>x</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Chøng minh r»ng nÕu: abc = a + b + c vµ

1 1 1

2
a  b  c  _th×

2 2 2

1 1 1

2
a  b  c 

18 Câu 4: (3đ) Tìm các số nguyên dơng n để: n1988_{+ n}1987_{+ 1 là số nguyên tố.}
18 Câu 5: (3đ)

Cho tam gi¸c ABC cã AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Gọi G là trọng tâm
tam giác ABC, O là giao điểm của hai tia phân giác trong của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: GO//AC.

18 Câu 6: (5®)

Cho hình vng ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM, trên tia
đối của tia CD lấy điểm N sao cho AD = 2CN. Gọi I là giao điểm của AM và
BN.

Chứng minh rằng: 5 điểm A, B, I, C, D cùng cách đều một điểm.
19 Câu 1: Chứng minh rằng: 2130_{+ 39}21_{chia hết cho 45.}

19 C©u 2: Cho a, b, c là ba số dơng.
Chứng minh rằng:

2 2 2

a b c a b c

b c a c a b 2

 

  

  

19 C©u 3: Chøng minh r»ng nÕu x + y + z = 0 th×: 2(x5_{+ y}5_{+ z}5_{) = 5xyz(x}2_{+ y}2₊
z2₎

19 Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến CM. Qua điểm Q trên AB kẻ đờng
thẳng d song song với DM. Đờng thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P. Chứng

minh nếu QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vng tại C.

19 Câu 5: Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC cố định; Ngời ta lần lợt
lấy các điểm M, N, P sao cho

AM BN CP

k (k 0)
MB NC PA  

Tính diện tích tam giác MNP theo diện tích tam giác ABC và theo k.
Tính k sao cho diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất.

20 C©u 1: BiÕt m + n + p = 0. Tính giá trị của biểu thức:

m n n p p m p m n

S

p m n m n n p p m

      

_   _{ }   _

  

   

20 Câu 2: Cho tích của hai số tự nhiên bằng 19851986_{. Hỏi tổng của haio số đó có}

phải là bội của 1986 hay không?

20 Câu 3: Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B cách nhau 200 km. Cùng lúc đó có
một ngời đi xe gắn máy khác từ B đến A. Sau 5 giờ hai xe gặp nhau. Nếu sau
khi đi đợc 1giờ 15 phút mà ngời đi từ A dừng lại 40 phút rồi mới đi tiếp thì
phải sau 5 giờ 22 phút kể từ lúc khởi hành, hai ngời mới gặp nhau. Tính vận
tốc cua mỗi ngời?

20 Câu 4: Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại O. Chứng minh rằng
nếu các tam giác AOB, BOC, COD và DOA có chu vi bằng nhau thì tứ giỏc
ABCD l hỡnh thoi.

20 Câu 5: Cho tứ giác ABCD có hai dờng chéo cắt nhau tại O. Kí hiƯu S lµ diƯn
tÝch. Cho SAOB = a2_(cm2_{) vµ SCOD = b}2_(cm2_{) víi a, b lµ hai số cho trớc.}

1)HÃy tìm giá trị nhỏ nhất của SABCD ?

2) Giả sử SABCD bé nhất. Hãy tìm trên đờng chéo BD một điểm M sao cho
đ-ờng thẳng qua M song song với AB bị hai cạnh AD, BC và hai đđ-ờng chéo AC,
BD chia thành ba phần bằng nhau

21 C©u 1: Chøng minh r»ng víi x, y nguyên thì:

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4_{là một số chính phơng.}

21 Câu 2: Phân tích đa thức thanh nhân tử: (a – x)y3_{– (a – y)x}3_{+ (x y)a}3_.
21

Câu 3: Giải phơng trình: 2 2

1 1 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

21 Câu 4: Giải phơng trình: x4_{+ 2x}3_{+ 8x}2_{+ 10x + 15 = 0.}

21 Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn); CD là đờng phân giác của
góc ACB (D thuộc cạnh AB). Qua D kẻ đờng vuông góc với CD; đờng này cắt
đờng thẳng BC tại E. Chứng minh: EC = 2BD.

21 Câu 6: Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc ở đỉnh bằng 200_{; cạnh đáy là a,}
cạnh bên là b. Chng minh: a3_{+ b}3_{= 3ab}2_.

22

Câu 1:Giải phơng trình: 2 2x 5 3 7
22

Câu 2: Giải phơng trình:

315 x 313 x 311 x
3

105 103 101

  

  

22

C©u 3: Cho biĨu thøc:

4 3

4 3 2

x x x 1

A

x x 2x x 1

  



   

1) Rót gän A.

2) Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tị của x.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

22 Câu 4: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lợt là trung
điểm của cạnh AB, BC. Các đờng thẳng DN, CM cắt nhau ti I. Chng minh:

1) Tam giác CIN vuông.

2) Tính diƯn tÝch tam gi¸c CIN theo a.
3) Tam gi¸c AID cân.

23

Câu 1: (3đ) Cho phân thức:

5 4 3 2

2

x 2x 2x 4x 3x 6

M

x 2x 8

    



 

1). Tìm các giá trị của x để M có nghĩa.
2). Tìm các giá trị của x để M = 0.
3). Rút gọn M.

23

Câu 2: (5đ) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất:

2

2

x 2x 1995

A (x 0)

x

23

Câu 3: (5đ) chứng minh rằng:





n *

10  9n 1 27M nN

23 C©u 4: (7đ) Cho tứ giác ABCD có: AB//CD, AB < CD, AB = BC = AD, và BD
vuông góc với BC.

1). Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?
2). Tính c¸c gãc trong cđa tø gi¸c ABCD.

2). So s¸nh diƯn tÝch cđa tam gi¸c ABD víi diƯn tÝch cđa tø giác ABCD.
24

Câu 1: Rút gọn rồi tính giá tị của biÓu thøc:

3 2

2a 12a 17a 2
A

a 2

  




BiÕt rằng a là nghiệm của phơng tình:

2

a 3a1 1
24 Câu 2:

Tìm giá trị nhỏ nhất của B và giá trị tơng ứng của x với:

2

B 3x 1  4 3x 1 5
24

C©u 3: Cho a + b + c = 1. Chøng minh r»ng:

2 2 2 1

a b c

3

  

24 Câu 4: Cho 4 điểm A, E, F, B theo thứ tự ấy trên một đờng thẳng. Trên cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vng ABCD; EFGH.

1). Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng các tam giác OHE và
OBC đồng dạng.

2). Chứng minh rằng các đờng thẳng CE và DF cùng đi qua O.
24 Câu 5:

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

cho AF = CE. Gọi I là giao điểm của AF và CE.
Chứng minh rằng ID là phân giác của góc AIC.

25 Câu 1: Tìm một số có hai chữ số mà bình phơng của nó bằng lập phơng của
tổng các chữ sè cña nã.

25 Câu 2: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Xác định hình dạng của
tam giác để biểu thức sau :

a b c

A

b c a a c b a b c

  

      _{đạt giá trị nhỏ}
nhất.

25 C©u 3: Cho ba sè , y, z thoả mÃn điều kiện x + y + z = 0 vµ xy + yz + xz = 0.
H·y tính giá trị của biểu thức: S = (x – 1)1995_{+ y}1996_{+ (z + 1)} 1997_.

25 Câu 4: Cho hihf vuông ABCD cạnh a. Điểm M di động trên cạnh AB; Điểm N
di động trên cạnh AD sao cho chu vi tam giác AMN không đổi và bằng 2a.
Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn nhất và tính
giá trị lớn nhất đó.

25

C©u 5: Cho tam giác ABC có 3A 2B 180à à 0. Tính số đo các cạnh của tam
giác ABC biết các số đo ấy là ba số tự nhiên liên tiÕp.

26

C©u 1:Chøng minh r»ng nÕu:

1 1 1 1

a  b  c a b c  _{th× (a + b)(b + c)(a + c) =}

0.
26

C©u 2: a) Giải phơng trình: 3 x 3 2 x 2    x 1 4  .
b) Giải phơng trình: x4_{+ 7x}2_{12x + 5 = 0.}

26 Câu 3: Hai đội bóng bàn của hai trờng A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi
đối thủ của đội A phải lần lợt gặp các đối thủ cua đội B một lần và số trận đấu
gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.

26 C©u 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh CD và BC lÊy ®iĨm M, N sao
cho BM = DN. Gọi I là giao điểm cua BM và DN. Chứng minh IA là phân giác
của góc DIB.

26 Cõu 5: Cho hình bình hành ABCD, với AC > DB. Gọi E và F lần lợt là chân
đ-ờng vng góc kẻ từ C đến các đđ-ờng thẳng AB và AD.

Chøng minh r»ng: AB.AE + AD.AF = AC 2 _.
27 Câu 1:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2a2_{b + 4ab}2_{– a}2_{c + ac}2_{– 4b}2_{c + 2bc}2
4abc.

27 Câu 2: Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x2_{+ x – 6.}

27 Câu 3: Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau, chứng minh rằng:

b c c a a b 2 2 2

(a b)(a c) (b a)(b c) (c b)(c a) a b b c c a

  

    

        

27 C©u 4: Giải phơng trình: m2_{x + 2m = 4x + m}2_{. (víi x lµ Èn).}

27 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC.
Kẻ tia Ax vng góc với BM. Gọi H là giao điểm của Ax với BC và K là điểm
đối xứng với C qua H. Kẻ Ky vng góc với BM. Gọi I là giao điểm của Ky
với AB. Tính góc AIM?

28 C©u 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x4_{+ 1997x}2_{+ 1996x + 1997.}

b) bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) + 2abc.

28 C©u 2: TÝnh giá trị của biểu thức A = xy + xz + yz + 2xyz.
BiÕt:

a b c

x ; y ; z

b c a c a b

  

 

28 Câu 3: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biÕt tÝch cđa chóng lµ: 57120.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

1). Tứ giác ANFM là hình vuông.

2). Điểm F nằm trên tia phân giác của góc MCN và góc ACF = 900_.

3). Ba diểm B,O,D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang(O là trung điểm
FA).

28 Cõu 5: Cho đoạn thẳng PQ = a. Dựng một hình vng PABC sao cho P là đỉnh
và Q là trung điểm của cạnh AB.

29 C©u 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dơng thoả mÃn điều kiện: a2_{– b}2_{= c}2
– d2_.

Chøng minh r»ng S = a + b + c + d là hợp số.

29 Câu 2: chứng minh rằng nếu a, b là hai số dơng thoả mÃn điều kiện a + b = 1
th×:

3 3 2

a b 2(b a)

b 1 a 1 (ab) 3



 

  

29 C©u 3: Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử: x4_{+ 1996x}2_{+ 1995x + 1996.}

29 Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy một điểm M bất kỳ. Các tia
phân giác của các góc BAM và DAM lần lợt cắt cạnh BC tại E và cắt cạnh CD
tại F. Chứng minh AM vuông góc với FE.

29 Câu 5: Cho tam giác ABC (AB khác AC). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D,
trên tia đối của tia CA lấy điểm E, sao cho BD = CE. Gọi N là trung điểm của
cạnh BC. Vẽ hình bình hành ECNK và hình bình hành BDFN. Gọi M là giao
điểm của DE và FK. Tìm quỹ tích điểm M khi D và E di động.

30 C©u 1: Cho biĨu thøc:

4 3 2

x 10
B

x 9x 9x 9x 10




   

a). Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.
b). Rút gọn biểu thức B.

30 C©u 2: Chøng minh r»ng: A = n8_{+ 4n}7_{+ 6n}6_{+ 4n}5_{+ n}4_{chia hÕt cho 16, với}

mọi n là số nguyên.

30 Câu 3:

1). Giải phơng trình:

3 3 3

4x 3 1 3x (3 4x)(3x 1)

2). Giải bất phơng trình:

x 1 4 x
2

2 2

30 Câu 4: Giải và biện luận phơng trình sau

x a 1 x b 1 a

x a x b (x a)(x b)

   

 

    _{Trong đó a, b là hằng số.}

30 Câu 5: Cho hình thang vng ABCD có đáy CD = 9 cm; đáy AB = 4 cm, cạnh
xiên BC = 13 cm. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = AB. Đờng thẳng
vng góc với BC tại M cắt AD tại N.

1). Chứng minh rằng điểm N nằm trên tia phân gi¸c cđa gãc ABM.
2). Chøng minh r»ng: BC2_{= BN}2_{+ ND}2_{+ DC}2_.

3). TÝnh diƯn tÝch h×nh thang ABCD.
31 Câu 1: Giải phơng trình:

_2x2 _{x 1998}

2 _{4 x}



2 _{3x 950}



2 _{4 2x}



2 _{x 1998 x}

 

2 _{3x 950}



     

31 Câu 2: Tính giá trị của ®a thøc: f(x) = 6x4_{– 7x}3_{– 22x}2_{+ 7x + 2004, với x là}
nghiệm của phơng trình 6x2_{+ 5x = 6.}

31

Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức:

2 2 2 2 2

a b c d e a(b c d e)  

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

b c c a a b 2 2 2

(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) (a b) (b c) (c a)

  

    

        

31 Câu 5: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 6 cm, CA = 8 cm. Các đờng
phân giác trong AD và BE cắt nhau tại I.

1). Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD.

2). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh IG//BC và suy ra độ dài
của đoạn thẳng IG.

31 C©u 6:

1). Cho tam giác ABC có góc A = 300_{. Dựng ra bên ngồi tam giác đều BCD.}
Chứng minh rằng: AD2_{= AB}2_{+ AC}2_.

2). Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của một đa giác có số
đo là 47058,50_{. Tính số cạnh của đa giác?.}

32 Câu 1:

1). Chứng minh rằng với mọi số nguyên chẵn n thì: n3_{+ 20n chia hết cho 48.}
2). Phân tích đa thức thành nhân tử: (x – a)b3_{– (x – b)a}3_{+ (a – b)x}3_.
32 Câu 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta đều có:

2 2 2 19

a 9b c 2a 12b 4c

2

     

32 C©u 3:

Cho x, y, z là ba số thoả mÃn điều kiện:

2 2 2

3 3 3

x y z 1

x y z 1

x y z 1



HÃy tính giá trị của biÓu thøc:

17 9 1997

P (x 1)  (y 1) (z 1)

32 Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm cạnh BC. Gọi I là hình
chiếu vuông góc của H trên cạnh AC và O là trung điểm của IH.

Chứng minh rằng AO vuông góc với IB.

32 Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A, lấy các điểm E và K lần lợt trêncác tia AB
và AC sao cho AE + AK = AB + AC. Chøng minh r»ng: EK > BC.

33 Câu 1:

1). Phân tích đa thức thành nhân tư: x2_{– 4x + 3 b»ng hai c¸ch.}

2). Cho A(x) = 8x2_{– 26x + m và B(x) = 2x – 3. Tìm m để A(x) chia hết cho}

B(x).

33 Câu 2: Với giá trị nào của a thì bất phơng trình sau có nghiệm duy nhất:

(x a)(x 5) 0

33

Câu 3: Giải phơng trình:

2

x 1 a(x 1) 0

33 Câu 4: Cho hình vng ABCD trên BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM. Trên
tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho BC = 2CN. Cạnh AM cắt BN tại I và CI
cắt AB tại K. Gọi H là hình chiếu của M trên AC. Chứng minh K, M, H thẳng
hàng.

33 Câu 5: Cho hình thang can ABCD (AB//CD) có AC = 6 cm, góc BDC = 450_.
Gọi O là giao điểm hai đờng chéo. Tính diện tích hình thang ABCD bằng hai
cách.

34 C©u 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1). x8_{+ 3x}4_{+ 4 . 2). x}6_{– x}4_{– 2x}3_{+ 2x}2
34 C©u 2: Cho biĨu thøc:

2
2

2x 3y 6 xy x 9

A

xy 2x 3y 6 xy 2x 3y 6 x 9

  

  

      

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

34 C©u 3:

Cho 3 sè a, b, c tho¶ m·n:

3 2 3 2 3 2 1

a b b b c c c a a

3

        

Chøng minh r»ng a = b = c.

34 Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD. Qua trung điểm K của đờng chéo BD dựng

đ-ờng thẳng song song với đđ-ờng chéo AC, đđ-ờng thẳng này cắt AD tại E. Chứng
minh rằng CE chia tứ giác thành hai phần có diện tớch bng nhau.

34 Câu 5: Dựng hình bình hành biết trung điểm ba cạnh của nó.
35 Câu 1:

1). Chứng minh r»ng: 8351634_{+ 8241}142_{chia hÕt cho 26.}

2). Chøng minh rằng A là số chính phơng, biết rằng A cã d¹ng:

{

ˆ

ˆ ˆ 999 so 6

1998 so 1 1000 so 1

A 11...1 11...1 66...6 8



 

_{1442443 1442443}  
35

C©u 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thøc:

4

4 2

x 1

B

x 2x 1




 

35 C©u 3:

Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn đẳng thức:

a b c a c b b c a

c b a

Tính giá trị của biÓu thøc:

(a b)(b c)(a c)
P

abc

  



.

35 Câu 4: Các đờng chéo của tứ giác lồi ABCD vng góc với nhau. Qua trung
điểm các cạnh AB và AD kẻ những đờng vng góc theo thứ tự với các cạnh
CD và CB. Chứng minh rằng hai đờng thẳng vng góc này và đờng thẳng AC
đồng quy.

35 Câu 5: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB = 2a và CD =a. Hãy xác định
vị trí của điểm M trên đờng thẳng CD sao cho:

1). Đờng thẳng AM chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau.
2). Đờng thẳng AM chia hình thang thành hai phần mà phần có chứa đỉnh D
có diện tích bằng (n – 1) lần diện tích phần kia(n là số tự nhiên lớn hơn 2).
36 Câu 1:

TÝnh giá trị của biểu thức: 2 2 2 2

1 1 1 1

A 1 1 1 ... 1

2 3 4 1998

       

_  _{ }  _{ }  _{ }  _

       

36 C©u 2: Ph©n tÝch đa hức thành nhân tử:
1). x2_{x 12}

2). x2_{+ 8x + 15}
36

C©u 3: Chøng minh r»ng: (x 1)(x 3)(x 4)(x 6) 10 1
36 Câu 4: Giải phơng trình: x4_{+ 2x}3_{– 4x}2_{– 5x – 6 = 0.}
36 C©u 5:

Cho tam giác ABC (BC < AB). Từ C vẽ đờng vng góc với đờng phân giác
BE tại F và cắt AB tại K; Vẽ trung tuyến BD cắt CK tại G.

Chøng minh r»ng DF đi qua trung điểm của đoạn thẳng GE.
37 Câu 1: (3,5®)

Cho biĨu thøc:

2 2

2 2 3

2 x 4x 2 x x 3x

A :

2 x x 4 2 x 2x x

      

_   _{ } _

   

   

1). Rót gän biĨu thøc A.

2). Tìm giá trị của x đê A dng.

3). Tìm giá trị của A trong trờng hợp x 7 4
37 Câu 2: (3,5đ)

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

1). Tính độ dài đờng cao CH của tam giác ABC.

2). Gọi CD là đờng phân giác của tam giác ACH. Chứng minh tam giác ACD
cân.

3). Chøng minh r»ng: BC2_{+ CD}2_{+ BD}2_{= 3CH}2_{+ 2BH}2_{+ DH}2
37 Câu 3: (1,5đ)

Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn và M là một điểm nằm trên cạnh BC. Gọi E
và F lần lợt là hình chiếu của B và C xuống đờng thẳng AM. Xác định M trên
BC để tổng BE + CF lớn nhất.

37 C©u 4
37 C©u 5:
38 C©u 1:

1). Xác định giá trị của m để bất phơng trình sau vơ nghiệm:

2

(m  3m 2)x 3 2m

2). Giải và biện luận phơng trình Èn x sau:

x 2 x 1

x m x 2

 



 

38

C©u 2: Cho a b c 0   . Chøng minh r»ng:

a b c b a c

b  c  a  a c  b

38 C©u 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm D bất kỳ trên cạnh BC kẻ
DE, DF vuông góc với AB, AC tại E và F. Chứng minh: EA. EB + FA.FC =
DB.DC.

38

Câu 4: Giải phơng trình:

2 2

2 2

12x 12x 11 5y 10y 9

4x 4x 3 y 2y 2

   



   

38 Câu 5: Cho hình thoi ABCD có góc A = 600_{. Gọi M là một điểm thuộc cạnh}
AD. Đờng thẳng CM cắt đờng thẳng AB tại N.

1). Chøng minh: AB2_{= DM.BN.}
2). BM cắt DN tại P. Tính góc BPD.
38 Câu 6:

Cho ba số a, b, c thoả m·n: a + b + c = 3 vµ 0 a 2;0 b 2;0 c 2      .
Chøng minh r»ng: a2_{+ b}2_{+ c}2 _5.

39 C©u 1:

1). Rót gän biĨu thøc: 2 4 8 16

1 1 2 4 8 16

A

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

     

     

2). Cho biÓu thøc:

2

2 2

2

2 2

1 1

x 9

x 9 x 9

B

1 1 _x

x 9 x 9





 

 



 

a). Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.
b). Rỳt gc biu thc B.

39 Câu 2: Giải phơng trình:

1). x3_{+ 3x}2_{+ 2x + 6 = 0. 2).}

2

x  1 a(x 1) 0

39 Câu 3: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:

a b c

2

b c a c a b

39 Câu 4: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm D sao cho BD = 3DA. Trên BC
lÊy ®iĨm E sao cho BE = 4EC. Gäi F là giao điểm của AE và CD.

Chứng minh r»ng: FD = FC.
39 C©u 5:

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Chøng minh r»ng: BC < MC.AB + MB.AC.

39 Câu 6: Trong tất cả các hình chữ nhật có độ dài đờng chéo khơng đổi là d. Hãy
tìm diện tích hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?

40 C©u 1:

1). TÝnh: S = 12_{– 2}2_{+ 3}2_{– 4}2₊…_{+ 99}2_{- 100}2_{+ 101}2_.

1). Cho a + b + c = 9 vµ a2_{+ b}2_{+ c}2_{= 53. TÝnh P = ab + ac + bc.}
40 Câu 2: Cho a, b, c, d là bốn số thùc tho¶ m·n: a + b + c + d = 0.

Chøng minh r»ng: a3_{+ b}3_{+ c}3_{+ d}3_{= 3(c + d)(ab – cd).}
40 C©u 3: Chøng minh r»ng víi ba sè thùc a, b, c tuú ý th×:

a2_{+ 4b}2_{+ 3c}2_{> 2a + 12b + 6c – 14.}

40 C©u 4: Cho gãc xOy = 600_{. Trên hai tia Ox, Oy lần lợt lấy các điểm tuỳ ý B và}
C. Chứng minh rằng: OB OC 2BC.

40 Câu 5:

Cho tứ giác ABCD (AB kh«ng song song víi CD). Gäi M, N lần lợt là trung
điểm của cạnh AB và CD.

Chứng minh r»ng nÕu: BC + AD = 2MN th× ABCD là hình thang.
41 Câu 1: Giải phơng trình:

1).

2 2

2 2

x x x x 2

1

x x 1 x x 2

  

 

   

2).

2 2

x  5x 5 10x 2x    11

41 Câu 2: Cho a, b, c là ba số thực đôi một khác nhau.
1). Tính:

ab bc ac

S

(b c)(c a) (c a)(a b) (a b)(b c)

  

     

2). Chøng minh r»ng:

2 2 2

2 2 2

a b c

2

(b c) (c a)  (a b)  _.

41 Câu 3: Cho ba số dơng có tổng bằng 4. Chứng minh rằng tổng của 2 số bất kỳ
trong ba số đó khơng bé hơn tích của ba s ú.

41 Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A (Â < 900_{). Từ B kẻ BM vuông góc víi AC.}
Chøng minh r»ng:

2

AM AB

2 1.

MC BC

 

 _ _ 

 

41 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, có O là giao điểm hai đờng chéo. Gọi M, N
lần lợt là trung điểm của BO, AO. Trên cạnh AB lấy điểm F sao cho tia FM cắt
cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng:

AB BC

1). 4 2). BE AK BC

BF  BE   

42 C©u 1: Ph©n tÝch thành nhân tử:

1). x2_{6x 16. 2). x}3_{– x}2_{+ x + 3.}
42

C©u 2: Rót gän biĨu thøc:

2 2 2

x yz y xz z xy

A

(x y)(x z) (y z)(y x) (z x)(z y)

  

  

     

42

C©u 3: Cho a 1; a c 1999; b 1 1999.     Chøng minh: ab c 3998 .
42 Câu 4: Tìm x, y, z thoả mÃn phơng trình: 9x2_{+ y}2_{+ 2z}2_{– 18x + 4z – 6y +}

20 = 0.

42 Câu 5: Cho tam giác ABC (BA = BC). Trên cạnh AC chọn một điểm K nằm
giữa A và C. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho: CE = AK.

Chøng minh r»ng BK + BE > BA + BC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

43

C©u 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 1

A x x

3

  

43

C©u 2: Cho biĨu thøc:



2



2 ₃ ₃

2

1 x ₁ _x ₁ _x

B : x x

1 x 1 x

1 x

 __ _ _{ } _ __

 __  _{ }  __

 

 __ _{ } __

a). Tìm x để B có nghĩa.
b). Rút gọn B.

c). Chứng minh B ln dơng với mọi x thoả mãn điều kiện xác định của B.
43 Câu 3: Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a, và E là một điểm bất kỳ trên

BC (E khác B và C). Hai đờng thẳng AE và CD cắt nhau tại F. Tia Ax vng
góc với AE tại A cắt đờng thẳng CD tại I.

1). Chøng minh dãc AEI = 450_.

2). Chøng minh: 2 2 2

1 1 1

AB AE  AF

3). Chøng minh diÖn tÝch tam giác AEI không nhỏ hơn

2

a
2

43 Cõu 4: Cho hinh bình hành ABCD (AB > AD). Từ C kẻ CE và CF lần lợt
vng góc với các đờng thẳng AB, AD (E thuộc AB và F thuộc AD).
Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC2_.

43 C©u 5:
44 C©u 1:

Cho 4a2_{+ b}2_{= 5ab víi 2a > b > 0. Tính giá trị của biểu thức:} 2 2
ab
P

4a b

44 Câu 2:

Giải và biện luận phơng trình (ẩn x): (ab + 2)x + a = 2b + (b + 2a)x.
44 C©u 3: Ph©n tích thành nhân tử: A = x3_{+ y}3_{+ z}3_{– 3xyz.}

44 Câu 4: Trong một cuộc đua ôtô có 3 xe khởi hành cùng một lúc. Xe thứ hai
trong một giờ chạy chậm hơn xe thứ nhất 15 km và nhanh hơn xe thứ ba 3 km

nên đến đích chậm hơn xe thứ nhất 12 phút và đến sớm hơn xe thứ ba 3 phút.
Tính vận tốc mỗi xe, quãng đờng đua va thời gian chạy của mỗi xe.

44 C©u 5:

Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Một điểm M thuộc cạnh BC. Kẻ MD vng
góc với AB, ME vng góc với AC. Chứng minh rằng tổng MD + ME không
phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên BC.

44 Câu 6: Cho góc nhọn xAy. Tìm tập hợp các điểm M có tổng các khoảng cách
đến hai cạnh Ax và Ay bằng một số cho trớc.

44 C©u 7: Cho tam giác ABC, qua một điểm O tuỳ ý trong tam giác kẻ các tia
AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại các điểm M, N, vµ P.
Chøng minh r»ng:

OM ON OP

1
AM  BN CP _.
45 Câu 1: Giải phơng trình:

1). (x + 2)(x + 3)2_{(x + 4) = 12.}
2). 2x 1  3 x1 2x6.
45 C©u 2:

1). Cho tam giác ABC có đờng cao BD và CE. Chứng minh: góc AED = góc
ACB.

2). Cho tam giác ABC coa đờng phân giác AD.

Chứng minh: AD 2_{= AB.AC – DB.DC.}
45 Câu 3:

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

2).Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n ®iỊu kiƯn:

1 1 1 1

a  b  c abc

TÝnh



 

 



25 25 3 3 2000 2000

a b b c c  a

45 Câu 4: Cho tam giác ABC (Â < 900_{). Dựng ra bên ngoài tam giác ABC các}
hình vuông ABDE và ACFG. Dựng hình bình hành AEIG. Chứng minh:
1) ABCGIA_{vµ CI = BF.}

2) Ba đờng thẳng AI, BF, CD ng qui.

45 Câu 5: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: M = 5x2_{+ 2y}2_{+ 4xy – 2x + 4y +}
2005

46 C©u 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3_5x2_{+ 8x – 4}
46

C©u 2:

x y z a b c

Cho 1 vµ 0.

a  b  c  x  y  z 

Chøng minh r»ng:

2 2 2

2 2 2

x y z

1
a  b c
46 Câu 3: Giải phơng trình:

1). x2_{+ 8x – 20.}

2). x  2 x 1 3 x 2 4

46 Câu 4: Cho tam giác ABC có ba đờng phân giác AD, BE, CF. Chứng minh
rằng:

DB EC FA

1) . . 1.

DC EA FB

1 1 1 1 1 1

2)

AD BE CF BC AC AB



    

46 C©u 5:
47

C©u 1: Rót gän ph©n thøc:

3 3 3

a b c 3abc

A

a b c

  



 

47 C©u 2: Giải phơng trình: x3_{+ x}2_{+ 4 = 0}

47 C©u 3: Chøng minh r»ng nÕu: abc = 1 th×

a b c

1
ab a 1 bcb1 ac c 1
47

C©u 4:

5 5 4 4

Cho x, y0 vµ xy0. Chøng minh: x y x yxy
47 Câu 5: Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của AB. Trên cạnh AC lấy

điểm E sao cho AE = 2EC. Gọi O là giao điểm của CD và BE. Chứng minh
rằng:

1). Hai tam giác BOC vµ AOC cã diƯn tÝch b»ng nhau.
2). BO = 3.EO.

48 C©u 1:

Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC, biết

b c a

1 1 1 8

a b c

     

   

     

      _{. Chứng minh rằng tam giác ABC l tam giỏc u.}
48

Câu 2: Giải phơng trình:

2

x 3x2 x 1 0

48 Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2_y_{+ xy}2 _{+ x}2_{z + xz}2_{+ y}2_{z + yz}2₊
2xyz

48 C©u 4:

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

= 0.

48 Câu 5: Trên cạnh AB của hình vuông ABCD ngời ta lấy một điểm tuỳ ý E. Tia
phân giác của góc CDE cắt BC tại K. Chøng minh: AE + KC = DE.

49 C©u 1:

Giải phơng trình:

2

2 2 6

x 1 x 1 2(x 2)

x x 1 x x 1 x 1

  

 

    

49 C©u 2:

Tìm giá trị của x để biểu thức 2
x
A(x)

(x 1999)



 _{(với x > 0) đạt giá trị lớn}
nhất.

49 C©u 3:

1). Chøng minh r»ng nÕu x > 0, y > 0 th×:

1 1 4

x  y xy

2). Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:

1 1 1 1 1 1

ab c  b c a  a c b  a b  c

49 Câu 4: Cho tam giác ABC (Â = 900_{) đờng cao AH, trung tuyến BM, phân giác}
CD cắt nhau tại một điểm.

1). Chøng minh:

BH CM AD

. . 1

HC AM BD  _.
2). Chøng minh: BH = AC.

49 Câu 5: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và x, y, z là độ dài các
đ-ờng phân giác của tam giác đó. Chứng minh:

1 1 1 1 1 1

x  y  z a  b  c_.

50 Câu 1: Trong một cái hộp đựng một số táo. Đầu tiên ngời ta lấy ra một nửa số
táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy ra thêm 1/3 số táo còn lại và lấy thêm 4 quả.
Cuối cùng trong hộp còn lại 12 quả. Hỏi trong hộp lúc đầu có bao nhiêu quả
táo.

50 C©u 2: Cho a > 0, b > 0 vµ c > 0. Chøng minh:

1 1 1 3

bc  ac  a b  abc
50 C©u 3:

Cho tam giác ABC vng tại A có đờng cao AH. Cho biết AB = 5 cm, BH = 3
cm. Tính BC ?

50 Câu 4: Cho tam giác ABC. Một đờng thẳng song song với BC cắt AC tại E và
cắt đờng thẳng song song với AB kẻ từ C ở F. Gọi S là giao điểm của AC và
BF.

Chøng minh r»ng: SC2_{= SE.SA}
50 C©u 5:

51 C©u 1:

Giải phơng trình: 2 3

1 9x 1

x 3
x 3x9  x 27  

51 Câu 2: Chứng minh đẳng thức sau:

2 2 2 2

2 2 2 2 2

a 3ab 2a 5ab 3b a an bn ab

a 9b 6ab a 9b 3bn a an 3ab

     

 

     

51 Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có đờng chéo AC lớn hơn đờng chéo BD.
Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của B và D xuống đờng thẳng AC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

2).Gọi CH và CK lần lợt là đờng cao của tam giác ACB và ACD.
a). Chứng minh:

CH CK

CB CD_.

b). Chứng minh hai tam giác CHK và ABC đồng dạng với nhau.
c). Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC 2_.

51 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB và CD lần lợt lấy các điểm

M và K sao cho AM = CK. Trên đoạn AD lấy điểm P tuỳ ý. Đoạn thẳng MK
lần lợt cắt PB và PC tại E vµ F. Chøng minh r»ng: SP FE SBME SCKF

51 Câu 5:

52 Câu 1: Phân tích thành tích: a3_{+ b}3_{+ c}3_3abc.

52 Câu 2:Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc: A = x + y + xy x2_y2_{và các giá}
trị tơng ứng của x và y.

52 Câu 3:

1). Giải phơng tr×nh: 3x3_{+ 4x}2_{+ 5x – 6 = 0.}
2). Giải bất phơng trình:

x 3
2
x 2

_.

52 _{Câu 4: Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kỳ thuộc đoạn AC (B}_{A, B}
_{C). Vẽ tia Bx vuông góc với AC, trên tia Bx lần lợt lấy các ®iĨm D vµ E sao}
cho BD = AB vµ BE = BC.

1). Chøng minh r»ng: CD = AE và CD vuông góc với AE.

2). Gi M l trung điểm của AE, N là trung điểm của CD, I là trung điểm của
MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến AC không đổi khi B di chuyển
trờn on AC.

3). Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng điện tích hai tam giác
ABE và BCD có giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất này theo m.

52 Câu 5: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Vẽ CH vu«ng gãc
víi CM. VÏ HN vu«ng gãc víi DH (N thuéc BC).

1). Chứng minh rằng hai tam giác DHC và NHB đồng dạng với nhau.
2). Chứng minh rằng: AM.NB = NC.MB.

53 Câu 1: Tính giá trị của biểu thức:

2

2 2

3 2 2

x 25 y 2

A : BiÕt: x 9y 4xy 2xy x 3

x 10x 25x y y 2

 

     

   

53 C©u 2: Giải phơng trình: 2x3_{+ 3x}2_{+ 2x 2 = 0.}
53 C©u 3:

1). Chøng minh r»ng: x2_{+ xy + y}2_{– 3x – 3y + 3}_0.

2). Chứng minh rằng: (a + b – c)(a – b + c)(b + c – a)  abc, với a, b, c là
độ dài 3 cạnh của một tam giác.

53 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của BC và
AD. K là một điểm bất kỳ nằm giữa C và D. Gọi P và Q theo thứ tự là các
điểm đối xứng của K qua tâm M và N.

1). Chøng minh r»ng Q, A, B, P th¼ng hµng.

2). Gọi G là giao điểm của PN và QM. Chứng minh GK luôn đi qua điểm I cố
định khi K thay đổi tên đoạn CD.

53 Câu 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H. Chứng minh rằng:

1). Tam giác FHE đồng dạng với tam giác BHC.

2). H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác FED.
54 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1). x3_{– 5x}2_{+ 8x – 4}
2).

2 1 2 2 1

3x y y

3 3 3

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

54 C©u 3:

Cho biĨu thøc:

2

2 2 3 3

x 1 2 3 x 2 6x 3x

A : 2 x

x 1 x

x 1 x 1 x 2x

  

 

_   _   



  

 

1). Rót gän biĨu thøc A.

2). Tìm các giá trị của x để A có giá trị õm.

54 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài của tam giác ta vẽ các
hình vuông ABDE và ACGH.

1). Chứng minh rằng tứ giác BCHE là hình thang cân.

2). K ng cao AH1 ca tam giác ABC. Chứng minh các đờng thẳng AH1, DE
và GH ng quy.

54 Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi M và K
lần lợt là trung điểm của AH và CD. Chứng minh rằng BM vuông góc với MK.
55 Câu 1: Giải bất phơng trình:

1). x2_{3x > 0.}
2). x 2 1

55 Câu 2: Chứng minh cá bất đẳgn thức:
1). a4_{+ b}4_a3_{b + ab}3_.

2). a4_{+ b}4_{+ c}4_a2_b2_{+ b}2_c2_{+ a}2_c2

55 C©u 3:

Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức sau:

2

x x 6

y

x 1

 



55 C©u 4:

Cho tam giác ABC vng tại A có đờng cao AH. Cho biết AH = 3 cm, CH = 4
cm.

1). TÝnh AC vµ AB.

2). Vẽ đờng phân giác trong AD của góc A của tam giác ABC. Tính diện tích
tam giác ABD.

55 Câu 5: Cho hình thang ABCD có AD//BC và BC = 10 cm, AD = 6 cm, AB = 4
cm và CD = 6 cm. Các đờng phân giác của góc A và B (trong hình thang) cắt
nhau tại M. Các đờng phân giác của góc C và D (trong hình thang) cắt nhau tại
N. Tính MN?

56 C©u 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1). ab + ac + b2_{+ 2bc + c}2_.

2). x4_{+ 2x}2_{– 3.}

3). (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1.

56 C©u 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức A víi x + y = 2005.
x(x 5) y(y 5) 2(xy 3)

A

x(x 6) y(y 6) 2xy

    



   

56 C©u 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh:

a b b c a c

(b c)(c a) (c a)(c b) (a b)(b c)

  

 

     

56 C©u 4:

Cho a + b + c = 1 vµ

1 1 1

0

a b  c  _{. Chøng minh: a}2_{+ b}2_{+ c}2_{= 1}

56 Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Điểm M bất kỳ nằm trong hình
thang, vẽ các hình bình hành MDPA, MCQB. Chøng minh r»ng: PQ//CD.
57 C©u 1:

Cho a, b, c là 3 số khác 0 thoả mÃn a + b + c = 2002 vµ

1 1 1 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

57 Câu 2:

Cho x, y, z là 3 số thoả mÃn điều kiện: x + y + z = 0 vµ x2_{+ y}2_{+ z}2_{= 14.}
HÃy tính giá trị của biểu thức: A = 1 + x4_{+ y}4_{+ z}4_.

57 C©u 3: T×m 3 sè x, y, z sao cho:

2 2

x 5y  4xy10x 22y xyz 260
57 Câu 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1).



 



2 2 2 2

a b a 1 4a b

, víi mäi a,b.
2).

1 1 4

a  b a b_{, víi mäi a,b > 0.}
3).

1 1 1 1 1 1

a 3b  b3c  c3a a 2bc b2ca c2a b_{,với a,b,c >}
0.

57 Câu 5:

Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD ta lần lợt lấy hai điểm E và F
sao cho:

AE CF

BE DF_{. Chứng minh rằng nếu đờng chéo AC đi qua trung điểm I}

của đoạn FE thì AC chia đơi điện tích của tứ giác ABCD.

57 C©u 6:

Cho hình thoi ABCD biết  = 1200_{. Vẽ tia Ax tạo với tia AB một góc BAx =}
150_{và cắt cạnh BC tại M, cắt đờng thẳng CD tại N.}

Chøng minh r»ng: 2 2 2

3 3 4

AM AN AB _.
58 Câu 1: Phân tích thành tích:

1). 3x2_{– 2x – 1.}
2). x3_{+ 6x}2 _{+ 11x + 6}
58 C©u 2:

1). Giải phơng trình:

x 2 1 2

0

x 2 x x(x 2)



  

 

2). Gi¶i bất phơng trình:

4x 7
2
2x 1

_.

58 Câu 3:

Chứng minh r»ng nÕu: xyz = 1 th× :

1 1 1

1
1xxy 1yyz 1 z xz 
58 C©u 4:

1). Chøng minh r»ng: a4_{+ a}3_{b + ab}3_{+ b}4 _{0, víi}a, bQ_.

2). Cho : 7x2_{+ 8xy + 7y}2_{= 10. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhÊt cña A = x}2₊
y2_.

58 Câu 5: Cho tứ giác ABCD. Đờng thẳng qua A và song song với BC cắt BD tại
P, đờng thẳng qua B và song song với AD cắt AC tại Q. Chứng minh rng:

PQ//CD.

58 Câu 6: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC, AC và AB lần lợt lấy các ®iÓm M, N,
P.

1). Chøng minh:

ANP
ABC

S AN.AP

S AB.AC

2). Chøng minh:





3

ANP MPB MNC ABC

1

S .S .S . S

64

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

59 Câu 1: Rút gọn rồi tính giá trị cđa biĨu thøc:

2 2

2 2

xy (x y) x y(x y) 1

A víi x 2;y

3
2y 2x

  

 

59 Câu 2: Rút gọn rồi tính giá trị của biÓu thøc:

3 3 2 2

2 2

(27x y )(16y x ) 1

A víi x 1; y .

2
(x 4y)(9x 3xy y )

 

  

  

59 Câu 3: Xác định thơng và d của phép chia: (x4_{– 1) : (2x}2_{+ 1).}

59 Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm các cạnh
AB, BC, CD, AD. Đờng thẳng AN lần lợt cắt DM, BP tại I và J. Đờng thẳng
CQ lần lợt cắt BP, DM tại H, K. Hỏi tứ giác IJHK là hình gì?

59 Câu 5:

60

Câu 1: Phân tích thành nhân tử: x3_3x2_{9x – 5.}

Câu 2: Chứng minh rằng phơng trình: x4_{– 3x}3_{+ 8x – 24 = 0 có đúng hai}
nghiệm.

C©u 3:

Cho biĨu thøc:

3 3

2 2

x x x x 1 x 1 x

A :

1 x 1 x

1 x 1 x

       

_  _{ }  _

 

   

 

1). Tìm các giá trị của x để A cú ngha.
2). Rỳt gn biu thc A.

Câu 4:

Cho hình bình hành ABCD. Vẽ phân giác AM của góc A (M thuộc cạnh CD),
vẽ phân giác CN của góc C (N thuộc cạnh AB). Các phân giác của góc A và C
cắt BD lần lợt tại E và F. Chứng minh diện tích hai tứ giác AEFN và CFEM
b»ng nhau.

61

Câu 1: Tìm x thoả mãn đẳng thức:

3 2

2

6x 7x 5x 2

x 5
2x x 1

  

 

 

61 C©u 2:

Rót gän biĨu thøc:

2

2 2

2 3x x x

A 1

3 x

x x 2xy 2y xy 2y

 

  

_ __  _



   

   

61 Câu 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD). Gọi M, N lần lợt là trung
điểm của cạnh BC, AD, và I là trung điểm của MN. Một đờng thẳng bấ kỳ qua
I cắt hai đáy AB, CD lần lợt tại E và F. CHứng minh rằng hai tứ giác AEFD và
BEFC có diện tớch bng nhau.

62 Câu 1: Giải phơng trình: (x2_9)(x2_{+ 4x) = 0.}
62

Câu 2: Giải phơng tình:

x x 2

x 1 x 3




 

62

Câu 3: Tìm giá trị nguyên của x để

3 2

2x 5x 5x 5

A

2x 1

_{có giá trị là số}
nguyên.

62 Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và hai đờng cao AM và BN cắt nhau
tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC.

1). Chøng minh tø gi¸c BHCD la hình bình hành.
2). Chứng minh hai góc BDC và BAC bï nhau.
62 C©u 5:

63

C©u 1: Cho biĨu thøc:

2
2

3x 9 9 x

A :

5x 5 x 2x 1

 



   _.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

63

C©u 2: Rót gän biĨu thøc:





x y z x x y

B : : x y, y z, x z

y z y z z x

 

63 Câu 3:

Tính giá trị cđa biĨu thøc:

3

2 2

x x

C khi x 12, y 99.

(1 xy) (x y)



  

  

63 Câu 4: Cho hình thang cân có hai đay dài 3 cm và 11 cm, góc của cạnh bên và
đáy lớn bằng 450_{. Tính diện tích hình thang đã cho.}

63 Câu 5: Một hình vuông và một hình thoi có cùng chu vi. Hỏi diện tích hình
nào lớn hơn? Giải thích vì sao?

64

Câu 1: Giải phơng trình:

2
2

x 2x

2x 0

x 1

64

Câu 2: Giải phơng trình:

2

3 2

1 2x 5 4

x 1 x 1 x x 1





64

Câu 3: Giải và biện luận phơng trình (ẩn x):

a x a
5
10 2

.
64

Câu 4: Giải và biện luận phơng trình (ẩn x):

x a b x b a

b a a b

 

  

64 C©u 5: Cho hình thang cân ABCD với AB//CD. Gọi I,J,K,L lần lợt là trung
điểm của AB, BC, CD, DA.

1).Chứng minh tứ giác IJKL là hình thoi.

2). Cho biết diÖn tÝch ABCD b»ng 20 cm2_{. TÝnh diÖn tÝch tø giác IJKL.}
65 Câu 1: Giải các phơng trình sau:

1). 2x3_{+ 5x}2_{= 7x.}
2).

x 11 x 12 x 33 x 67 x 88 x 89

89 88 67 33 12 11

     

    

3). 2 2 2

2 1 x 4

4 x x 2x x 2x



 

  

65 C©u 2:

1). Cho x, y thoả mÃn x > y > 0 và x2_{+ 3y}2_{= 4xy. TÝnh:}

2x 5y
A

x 2y





2). Cho a, b, c, d tho¶ m·n: a + b = c + d vµ a2_{+ b}2_{= c}2_{+ d}2_.
Chøng minh r»ng: a2002_{+ b}2002_{= c}2002_{+ d}2002

65

Câu 3: Cho x0. Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc:

2
2

2002x 2x 1
B

x

 



65 Câu 4: Cho tam giác ABC (Â = 900_{), D là một điểm di động trên BC. Gọi E, F}
lần lợt là hình chiếu vng góc của điểm D trên AB và AC.

1). Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vng.

2). Xác định vị trí của điểm D để tổng 3.AD + 4.FE đạt giá trị nhỏ nhất.
65 Câu 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, BD và CE là hai đờng cao cắt nhau

t¹i H. Chøng minh r»ng:
1). HD.HB = HE.HC.

2). Hai tam giác HDE và HCB đồng dạng với nhau.
3). HB.BD + CH.CE = BC2_.

66 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tö:
1). a3_{– b}3_{+ c}3_{+ 3abc.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

1). x8_{– 2x}4_{+ x}2_{– 2x + 2 = 0.}

2). 2 2 2

1 2 3 6

0
5
x 5x6  x  8x 15  x  13x40  
66 C©u 3:

1). Chứng minh bất đẳng thức: a2_{+ b}2_{+ c}2_{+ d}2_{+ e}2 _{ab + ac + ad + ae.}
2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2_{+ x.}

3). T×m giá trị lớn nhất của biểu thức:

2
2

3x 4x
B

x 1






66 Câu 4:Cho tam giác ABC cân tại C. Kẻ đờng phân giác AA1 của góc A và đờng
trung tuyền CC1 của tam giác ABC. Biết AA1 = 2CC1. Tính số đo góc ACB?.
66 Câu 5: Cho tứ giác ABCD có AC = 10 cm, BD = 12 cm. Hai ng chộo AC v

BD cắt nhau tại O. BiÕt sè ®o gãc AOB = 300_{. TÝnh diƯn tích tứ giác ABCD.}
66 Câu 6: Trên hai cạnh AB và BC của hình vuông ABCD lấy hai điểm P vµ Q

theo thứ tự sao cho BP = BQ. Gọi H là chân đờng vng góc kẻ từ B xuống CP.
Chứng minh rằng số đo góc DHQ = 900_.

67 Câu 1:

Giải phơng trình:

2 3

2x x 4

2x 1

_.

67 Câu 2:

Cho các biểu thức:

2 2

2 3 2

x 2x 1 2x 8x 10

A vµ B

x 4x 5 x x 5x 3

   

 

    

1). Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.

2). Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tơng ứng của x.
3). Tìm giá trị của x để A.B < 0.

67 C©u 3:

Cho tam giác ABC vng tại A có đờng cao AH và đờng phân giác BD cắt
nhau tại I. Chng minh rng:

1). Tam giác ADI cân.
2). AD.BD = BI.DC.

3). Từ D kẻ DK vuông góc với BC tại K. Tứ giác ADKI là hình gì? chøng
minh?

67 C©u 4:

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AD là đờng phân giác.
Chứng minh rằng: AD2_{< AB.AC.}

68 C©u 1:

Tìm giá trị ngun của x để biểu thức

3 3

4x 6x 8x

A

2x 1

_{có giá trị nguyên.}
68 Câu 2:

Tìm giá trị của a, b để biểu thức B = a2_{– 4ab + 5b}2_{– 2b + 5 đạt giá trị nhỏ}
nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ú.

68 Câu 3:

Giải phơng trình: 2

3x 1 2x 5 4

2

x 1 x 3 x 2x 3

 



68

Câu 4: Giải phơng trình:

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6

2002 2001 2000 1999 1998 1997

     

    

68 Câu 5: Trên quãng đờng AB dài 72 km, hai ngời khởi hành cùng một lúc đi từ
A để đến B. Vận tốc của ngời thứ nhất là 12 km/h, vận tốc của ngời thứ hai là
15 km/h. Hỏi sau lúc khởi hành bao lâu thì ngời thứ nhất cịn cách B một
quãng đờng gấp đôi quãng đờng từ ngời thứ hai n B.

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

điểm của AB và BC.

1). Tính diện tích của tứ giác AMND theo a.

2). Phân giác của góc CDM cắt BC tại P, chứng minh DM = AM + CP.

68 Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là một điểm nằm giữa A và C, qua C
dựng CE vng góc với đờng thẳng BD tại E. Chứng minh:

1). Tam giác ADE đồng dạng với tam giác BDC.
2). AB.CE + AE.BC = AC.BE.

69 C©u 1:

Cho xy0, y 0 và x2_2y2_{= xy. Tính giá trị của biểu thức:}

x y
A

x y

_.
69 Câu 2:

Giải phơng trình:

2
2x 2x 1 m x

, với m là tham số.
69

Câu 3: Cho a, b là hai số thoả mÃn:

2
2

2

1 b

2a 4

4
a

 

. Chứng minh:
ab 2 0_{. Dấu đẳng thức xy ra khi no?}

69

Câu 4: Cho các số a, b, c



0;1 .



Chøng minh r»ng:
2 3

ab c  ab bc ca 1_.

69 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: P = x4_{+ 2x}3_{+ 3x}2_{+ 2x + 1.}
69 Câu 6: Cho tam giác ABC, gọi D là điểm thuộc cạnh BC.

Chứng minh rằng: AB2_{.CD + AC}2_{.BD – AD}2_{.BC = CD.BD.BC (Hệ thức}
Stewart).

(+) Nếu D là trung điểm của BC, hÃy tìm hệ thức liên hệ giữa trung tuyến AD
và các cạnh của tam giác.

(+) Nếu AD là phân giác, hÃy tìm hệ thức liên hệ giữa phân giác AD và các

cạnh của tam giác.

70 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2_{10x + 16.}
70 C©u 2:

Tìm giá trị ngun của x để biểu thức

2

10x 7x 5
A

2x 3

 



 _{có giá trị nguyên.}
70 Câu 3: Giải bất phơng trình: m2_x_{+ 1 < m – x.}

70 C©u 4:

1). Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2
2

5x 4x 4

B (x 0)

x

.
2). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thøc: 2

4x 1
C

x 5




 _.

70 C©u 5: Cho tø giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của các cạnh
AB, BC, CD và AD.

1). Chøng minh r»ng:

AB CD
NQ

2




.
2). Trong trêng hỵp

AB CD

NQ

2




thì tứ giác ABCD là hình gì? Vẽ đờng
thẳng song song với AB cắt AD tại E, cắt MP tại O và cắt BC tại F. Chứng
minh O là trung điểm của EF.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Chøng minh r»ng: 2 2 2

1 1 1

AB AM  AP
71 C©u 1:

Cho

1 1 1

0

x  y  z  _{. TÝnh} 2 2 2
yz xz xy
x y z

71 Câu 2: Giải phơng tr×nh: x3_{+ 2x}2_{– x – 2 = 0}
71

Câu 3: Giải phơng trình: 2

x 3 x 1 2

x 4 x 2 6x 8 x

 

 

   

71 _{Câu 4: Chứng minh bất đẳng thức: a}2_{+ b}2_{+ c}2 _{ab + ac + bc.}
71 Câu 5:

Cho a,b,c lµ 3 sè d¬ng. Chøng minh:

a b c 1 1 1

bc ac  ab  a b  c

71 Câu 6: Cho hình vng ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M, đờng thẳng AM cắt
DC tại P. Chứng minh rằng: 2 2 2

1 1 1

AB AM  AP

71 Câu 7: Cho tam giác ABC có các đờng trung tuyến AD và BE vng góc với
nhau tại O. Cho AC = b, BC = a. Tính diện tích hình vng có cạnh là AB.
72 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1). 4x2_{– 9y}2_{+ 4x – 6y.}
2). x2_{– x – 2001.2002.}

72 C©u 2: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0.
Chøng minh r»ng: a3_{+ a}2_{c – abc + b}2_{c + b}3_{= 0.}

72 _{C©u 3: Chøng minh: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1}_{0 với mọi giá trị của x.}
72

Câu 4: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức

2
3 2

x 4x 4
A

x 2x 4x 8

 



   _{víi x =}
2002.

72 C©u 5:

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F là trung điểm của AD và BC.
1). Tìm điều kiện của tứ giác để 2EF = AB + CD.

2). Gäi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của DF, EB, FA vµ EC.
Chøng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

73 Câu 1: Giải phơng trình:

1 1

1). x 0. 2). x 2.

x x

73 Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức sau:
A = 3x2_{+ 2x + 1; B = x – x}2_.

73 C©u 3:

1). Chøng minh r»ng: (a3_{+ 11a – 6a}2_{– 6) chia hÕt cho 6, víi mäi a nguyên.}
2). Chứng minh rằng tổng các lập phơng của ba sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt
cho 9.

73 Câu 4: Chứng minh bất đẳng thức:
1). Cho a > 0, b > 0. Chứng minh:

12ab
a b

9 ab

 

 _.

2). Cho a, b, c là số đo độ dài các cạnh của một tam giác.
Chứng minh: (a + b – c)(b + c – a)(a + c – b)  abc.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

1). Chøng minh tø gi¸c IOMB là hình thang vuông.

2). Gi K l trung im ca OM. Chứng minh tam giác IKB cân.
Chứng minh tứ giác AIKC có tổng các góc đối bằng 1800_.

73 Câu 6: Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ ba đờng cao AD, BE và CF.
1). Chứng minh: Góc FEA = góc ABC.

2). Chứng minh EB là phân giác của góc FED.
74

Câu 1: Giải phơng trình: x 1 x 5 4
74

Câu 2: Giải bất phơng trình: 2

(x 1)(x 3)
1
x 2x 3

 



  _.

74 _{C©u 3: Chøng minh r»ng: x}2_{+ 4y}2_{+ z}2_{+ 14}_{2x + 12y + 4z, víi mäi x,y,z.}
74 C©u 4:

Cho a, b, c là 3 số dơng. Chứng minh rằng:

bc ac ab

a b c
a  b  c 
74 Câu 5:

1).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc: M = x2_{+ x + 3.}
2). T×m giá trị lớn nhất của biểu thức: N 5 x  1

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài cạnh huyền bằng 2 (đơn vị).
Gọi AM, BN và CP là các trung tuyến của tam giác.

1). TÝnh: AM2_{+ BN}2_{+ CP}2_.

2). Chøng minh: 4 < AM + BN + CP < 5.

74 Câu 7: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA và CA lấy hai điểm di động
M và N sao cho BM = CN. Gọi I là trung điểm của MN. Hỏi điểm I di động
trên đờng nào?.

75 <b>Bµi 1:</b>

Cho a, b, c lµ 3 số hữu tỉ thoả mÃn: abc = 1 và

2 2 2
2 2 2

a b c b c a

a b c

b  c  a    _.
Chøng minh rằng một trong ba số a, b, c là bình phơng của một số hữu tỉ.
75 <b>Bài 2: </b>

Cho hai số x, y thoả mãn đẳng thức:

2
2

2

1 y

2x 4

4
x

  

. Xác định x, y để tích
xy đạt giá trị nhỏ nhất.

75 <b>Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và a + b + c =2.</b>
Chứng minh:

2 2 2
52

a b c 2abc 2

27    

75 <b>Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích là 32 (đơn vị), tổng AB + BD + CD =</b>
16 (đơn vị). Tính BD.

75 <b>Bài 5: Biết các cạnh của một tam giác là ba số tự nhiên liên tiếp. Tìm độ dài </b>
các cạnh của tam giác đó nếu: 3Â + 2Bˆ= 1800_.

75 <b>Bài 6: Cho tam giác ABC vng tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Gọi I là giao </b>
điểm của các đờng phân giác trong, M là trung điểm của BC. Tính số đo góc
BIM.

75 <b>Bài 7: Cho BE và CF là hai đờng phân giác trong của tam giác ABC. Gọi O là </b>
giao điểm của BE và CF.

Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi 2OB.OC = BE.CF.
75 <b>Bài 8: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là 5cm, 6cm, 7cm. Tính khoảng </b>

cách giữa giao điểm các đờng phân giác và trọng tâm của tam giác.

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

75 <b>Bài 10: Trên hai cạnh góc vuông AC, BC của tam giác vuông ABC dựng ra </b>
bên ngoài tam giác lần lợt các hình vuông ACKL và BCMN. Gọi R, P lần lợt
là giao điểm của BL với AN và AC. Gọi Q là giao điểm của BC và AN.

Chứng minh rằng diện tích tứ giác CPRQ và diện tích tam giác ABR bằng
nhau.

75 <b>Bi 11: Cho tam giác đều ABC, Gọi O là trọng tâm của tam giác và M là điểm</b>
bất kỳ thuộc cạnh BC (M không trùng với trung điểm của BC). Kẻ MP và MQ
lần lợt vng góc với AB và AC, các đờng vng góc này lần lợt cắt OB, OC
tại I và K.

1). Chøng minh r»ng tø gi¸c MIOK là hình bình hành.

2). Gi R l giao im của PQ và OM. Chứng minh R là trung điểm của PQ.
75 <b>Bài 12: Tứ giác ABCD có trung điểm hai ng chộo M, N khụng trựng nhau. </b>

Đờng thẳng MN cắt AD tại P và cắt BC ở Q. Chøng minh r»ng: PA.QB =
PD.QC.

75 <b>Bµi 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc ABC = 20</b>0_{. Kẻ phân giác trong}
BI và vẽ góc ACH = 300_{về phía trong tam giác. Tính số đo góc CIH.}

75 <b>Bµi 14: </b>

Gọi AA1, BB1, CC1 là các đờng phân giác trong của tam giác ABC. L là giao
điểm của AA1, và B1C1 ; K là giao điểm của CC1 và A1B1.

Chøng minh r»ng: BB1 lµ phân giác của góc LBK.
75 <b>Bài 15:</b>

</div>

<!--links-->