Sự tồn tại sóng lưu động trong hệ cơ học chất lưu với sự truyền nhiệt hiệu chỉnh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

DƯƠNG XUÂN VINH

SỰ TỒN TẠI SÓNG LƯU ĐỘNG TRONG HỆ
CƠ HỌC CHẤT LƯU VỚI SỰ TRUYỀN NHIỆT
HIỆU CHỈNH
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

DƯƠNG XUÂN VINH

SỰ TỒN TẠI SÓNG LƯU ĐỘNG TRONG HỆ
CƠ HỌC CHẤT LƯU VỚI SỰ TRUYỀN NHIỆT
HIỆU CHỈNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60460112

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

PGS. TS. Mai Đức Thành

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2018


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Mai Đức Thành.
Cán bộ chấm nhận xét 1:
Cán bộ chấm nhận xét 2:
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG
Tp. HCM ngày 07 tháng 01 năm 2019.
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. Chủ tịch: PGS.TS. Nguyễn Đình Huy.
2. Thư ký: TS. Nguyễn Tiến Dũng.
3. Phản biện 1: TS. Nguyễn Bá Thi.
4. Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Bích Huy.
5. Ủy viên: PGS.TS. Nguyễn Huy Tuấn.
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên
ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

PGS.TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY

PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Mã số học viên: 1670708

Họ tên học viên: DƯƠNG XUÂN VINH
Ngày, tháng, năm sinh: 15/05/1991
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Nơi sinh: Phú Yên
Mã số: 60460112

I. TÊN ĐỀ TÀI: SỰ TỒN TẠI SÓNG LƯU ĐỘNG TRONG
HỆ CƠ HỌC CHẤT LƯU VỚI SỰ TRUYỀN NHIỆT HIỆU CHỈNH

II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
- Kiến thức cơ sở.
- Tính ổn định của các điểm cân bằng.
- Ước lượng miền hấp thụ và sự tồn tại sóng lưu động.
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 20/08/2018
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 02/12/2018
V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS. TS. MAI ĐỨC THÀNH.
Tp. HCM, Ngày........... tháng........ năm..........
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)

PGS. TS. MAI ĐỨC THÀNH

CHỦ NHIỆM BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG
(Họ tên và chữ ký)

TS. NGUYỄN TIẾN DŨNG

TRƯỞNG KHOA
(Họ tên và chữ ký)

PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy hướng dẫn PGS. TS. Mai
Đức Thành, người đã nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận
văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến bố mẹ, gia đình và bạn bè của
mình, những người đã luôn ở bên cạnh động viên, tạo mọi điều kiện tốt
nhất cho tôi suốt thời gian học tập, nghiên cứu.
Tôi xin gửi lời cảm ơn các thầy, cô trong Bộ mơn Tốn Ứng Dụng,
khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí
Minh đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tơi hồn thành luận văn của mình.
Cuối cùng, trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của tất cả mọi người.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2018
Tác giả

Dương Xuân Vinh

i


TĨM TẮT LUẬN VĂN
Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu những vấn đề sau:
1. Hệ cơ học chất lưu các phương trình Euler với nhớt, mao dẫn và sự
truyền nhiệt hiệu chỉnh.
2. Xác định các điểm cân bằng và tính ổn định của các điểm cân bằng.
3. Xây dựng phiếm hàm Lyapunov.
4. Ước lượng miền hấp thụ.
5. Sự tồn tại sóng lưu động.
Cách tiếp cận của chúng tơi là ước lượng miền hấp thụ của điểm cân
bằng ổn định tiệm cận, và một quỹ đạo không ổn định của điểm yên đi
vào miền hấp thụ.
Kết quả chúng tôi thu được là sự tồn tại sóng lưu động trong hệ cơ
học chất lưu với nhớt, mao dẫn và sự truyền nhiệt hiệu chỉnh.

ABSTRACT
In this thesis, we research these following subjects:
1. The compressible Euler equations with viscosity, capillarity and
modified thermal conductivity.
2. Determine equilibrium points and stability of equilibrium points.
3. Constructing the Lyapunov value function.
4. Estimating attraction domain.
5. Existence of traveling waves.
The approach utilized is estimating attraction domain of the asymptotically stable equilibrium point, and the unstable trajectory of the saddle
point entering the attraction domain.
After all, we get the existence of traveling waves in compressible Euler
equations with viscosity, capillarity and modified thermal conductivity.

ii


LỜI CAM ĐOAN
Tôi tên là Dương Xuân Vinh, mã học viên: 1670708, học viên cao học
chuyên ngành Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ
Chí Minh khóa 2016 - 2018. Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết quả
tham khảo từ các cơng trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, các cơng
việc trình bày trong luận văn này là do chính tơi thực hiện dưới sự hướng
dẫn của PGS. TS. Mai Đức Thành và tơi hồn tồn chịu trách nhiệm
tính trung thực về đề tài nghiên cứu này.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng 12 năm 2018
Học viên thực hiện

Dương Xuân Vinh

iv


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU
Ký hiệu

Ý nghĩa

IVP

Initial value problem

R

Trường các số thực

Rp

Không gian véc-tơ thực p-chiều

Cn

Tập các hàm có đạo hàm cấp n liên tục
Tốn tử nabla

Ln

Khơng gian hàm có lũy thừa bậc n khả tích

L∞
loc

Khơng gian các hàm đo được bị chặn địa phương

R+

Số thực dương

Z

Tập hợp số nguyên

N

Tập hợp số nguyên không âm

v


LỜI MỞ ĐẦU
Truyền nhiệt là một vấn đề quan trọng trong động lực học lưu chất.
Tuy nhiên, mơ hình cho sự truyền nhiệt liên quan đến đạo hàm cấp cao
gây khó khăn cho việc nghiên cứu sóng lưu động. Trong luận văn này,
chúng tôi xét hệ cơ học chất lưu gồm các phương trình Euler với thành
phần truyền nhiệt hiệu chỉnh, cùng với nhớt và mao dẫn. Ở đây, chúng
tôi giả sử sự truyền nhiệt chỉ phụ thuộc vào khối lượng riêng. Khi đó, ta
có thể đưa về việc xét hệ 2 × 2 các phương trình vi phân cấp một, từ đó
chứng minh sự tồn tại sóng lưu động kết nối hai điểm cân bằng của hệ này.

Mục đích nghiên cứu:
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu ước lượng miền hấp
thụ của điểm cân bằng ổn định tiệm cận để chứng minh sự tồn tại sóng
lưu động kết nối một điểm yên với một điểm cân bằng ổn định tiệm cận
trong hệ cơ học chất lưu với sự truyền nhiệt hiệu chỉnh.
Đối tượng nghiên cứu:
Chúng tôi nghiên cứu trên các đối tượng:

• Hệ các phương trình Euler với nhớt, mao dẫn và sự truyền nhiệt.
• Sóng sốc.
• Điểm cân bằng.
• Sóng lưu động.
Phương pháp nghiên cứu:
Chúng tôi kế thừa và phát triển các kỹ thuật đã có của các tác giả đi

trước.
Nội dung và phạm vi của vấn đề sẽ nghiên cứu:
vi


Ngồi phần lời mở đầu và kết luận, chúng tơi chia luận văn thành ba
chương.
Chương 1: Chúng tơi trình bày kiến thức cơ sở gồm có: các kiến thức
cơ bản về phương trình vi phân, tính ổn định Lyapunov, ngun lý bất
biến, các kiến thức cơ bản của hệ hyperbolic các luật bảo tồn.
Chương 2: Chúng tơi xác định tính chất ổn định của các điểm cân
bằng trong hệ cơ học chất lưu với nhớt, mao dẫn và sự truyền nhiệt hiệu
chỉnh.
Chương 3: Chúng tôi chứng minh sự tồn tại sóng lưu động nối một
điểm yên với một điểm cân bằng ổn định tiệm cận.

vii


Mục lục
LỜI CẢM ƠN

i

LỜI CAM ĐOAN

iv

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU
LỜI MỞ ĐẦU

v
vii

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

1

1.1 Kiến thức cơ bản về phương trình vi phân . . . . . . . . . .

1

1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Tính ổn định của hệ cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1 Hệ tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2 Hệ phi tuyến cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3 Ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1 Tính ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2 Miền hấp thụ và nguyên lý bất biến

. . . . . . . . . .

17

1.4 Kiến thức cơ bản về hệ hyperbolic của các luật bảo tồn . .

22

1.4.1 Tính hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.4.2 Tính thuần phi tuyến và suy biến tuyến tính các trường
đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.4.3 Nghiệm yếu của hệ luật bảo toàn . . . . . . . . . . . .

24

1.4.4 Nghiệm entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

viii


Chương 2. SĨNG LƯU ĐỘNG VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA
CÁC TRẠNG THÁI CÂN BẰNG

36

2.1 Tính hyperbolicity và sốc Lax . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2 Sóng lưu động và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3 Tính chất ổn định của các điểm cân bằng . . . . . . . . . .

42

Chương 3. SỰ TỒN TẠI SÓNG LƯU ĐỘNG

45

3.1 Phiếm hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2 Ước lượng miền hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.3 Sự tồn tại sóng lưu động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

KẾT LUẬN

55

TÀI LIỆU THAM KHẢO

57

ix


Luận văn Thạc sĩ

Toán ứng dụng

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ
Mục này trình bày các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự
phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài tốn Cauchy, tính ổn định Lyapunov, miền hấp thụ, nguyên lý bất biến và một số kiến thức cơ bản về
hệ hyperbolic của các luật bảo toàn. Tài liệu tham khảo [1],[2],[3].

1.1
1.1.1

Kiến thức cơ bản về phương trình vi phân
Sự tồn tại duy nhất nghiệm

Xét bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân
⎧
⎪
⎨ dx(t) = f (t, x)
dt
⎪
⎩x(t0 ) = a,

(1.1)

trong đó f : dom(f ) ⊂ R × Rn → Rn là một ánh xạ liên tục, và

t0 ∈ I, a ∈ Rn là các hằng số cho trước.
Qua phép lấy tích phân, phương trình (1.1) tương đương với phương
trình tích phân sau:
t

x(t) = a +

f (s, x(s))ds.

(1.2)

t0

Dương Xuân Vinh

1


Luận văn Thạc sĩ

Toán ứng dụng

Với a ∈ Rn và β > 0, ta ký hiệu B(a, β) (B(a, β)) là quả cầu mở
(đóng) tâm a, bán kính β .

Ta có định lý tồn tại nghiệm của bài tốn Cauchy:

Định lý 1.1.1. (Cauchy-Peano)
Giả sử f : [t0 −α, t0 +α]×B(a, β) → Rn là hàm liên tục, bị chặn bởi M >

0. Khi đó (1.2) có nghiệm trên [t0 −b, t0 +b], trong đó b = min{α, β/M }.
Chứng minh. Ta xây dựng dãy Tonelli. Với mỗi k ∈ N, ta định nghĩa

xk (t) như sau
⎧
⎪
⎨a

xk (t) =

(t0 ≤ t ≤ t0 + 1/k)
t−1/k

⎪
⎩a +

t0

f (s, xk (s))ds (t ≥ t0 + 1/k)

(1.3)

với t ≥ t0 , và định nghĩa xk (t) tương tự với trường hợp t ≤ t0 .
Để đơn giản, ta xét trường hợp t ∈ [t0 , t0 + b], trường hợp t ∈ [t0 − b, t0 ]
được chứng minh tương tự. Với mỗi k ∈ N, lấy xk : [t0 , t0 + b] → Rn được
định nghĩa bởi (1.3), ta sẽ chứng minh rằng dãy (xk ) hội tụ đến nghiệm
của (1.1).
Trước hết, ta chứng minh xk (t) ∈ B(a, β) (∀t ∈ [t0 , t0 + b]). Giả sử
ngược lại, khi đó tồn tại t1 ∈ [t0 + 1/k, t0 + b) sao cho | xk (t1 ) − a |= β .
Khi đó

| xk (t1 ) − a |=
≤

t1 −1/k
t0
t1 −1/k

t0

Dương Xuân Vinh

f (s, xk (s))ds ≤

t1 −1/k
t0

| f (s, xk (s)) | ds

M ds = M (t1 − t0 − 1/k) < M (b − 1/k)
2


Luận văn Thạc sĩ

Toán ứng dụng

≤ β − M/k < β = |xk (t1 ) − a|
Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Như vậy, xk (t) ∈ B(a, β) (∀t ∈ [t0 , t0 + b]).
Với k ≥ 1/b, từ (1.3) ta có

|xk (t)| ≤ |a| +

b+t0 −1/k
t0

|f (s, xk (s))|dx ≤ |a| + (b − 1/k)M < |a| + β.

Do đó, dãy (xk ) bị chặn đều trên [t0 , t0 + b].
Với t1 , t2 ≥ t0 + 1/k , ta có

|xk (t1 ) − xk (t2 )| =

t2
t1

f (s, xk (s))ds ≤

t2
t1

|f (s, xk (s))|ds

≤ M |t2 − t1 |.
Điều này dẫn đến (xk ) liên tục đều trên [t0 , t0 + b].
Dãy (xk ) bị chặn đều và liên tục đồng bậc trên tập compact [t0 , t0 + b],
do đó theo định lý Arzela-Ascoli, tồn tại dãy con (xkl ) ⊂ (xk ) hội tụ đều
(đến x) trên [t0 , t0 + b].
Vì f liên tục trên tập compact [t0 , t0 + b], nên f liên tục đều trên

[t0 , t0 + b]. Với mỗi ε > 0 cho trước, có thể chọn δ > 0 sao cho |f (s, p) −
f (s, q)| < ε (với mọi p, q thỏa |p − q| < δ ). Dãy (xkl ) hội tụ đều đến x, do
đó ta có thể chọn N ∈ N sao cho |xkl (s) − x(s)| < δ (với s ∈ [t0 , t0 + b]
và l ≥ N ). Với l ≥ N , khi đó |f (s, xkl (s) − f (s, x(s))| < ε. Do đó, dãy
hàm f (., xkl (.)) hội tụ đều đến f (., x(.)).
Với t ∈ [t0 , t0 + b]. Nếu t = t0 , hiển nhiên (1.2) thỏa mãn. Nếu t > t0 ,
với l đủ lớn, ta có
t

xkl (t) = a +
Dương Xuân Vinh

t0

f (s, xkl (s))ds −

t
t−1/kl

f (s, xkl (s))ds.

(1.4)
3


Luận văn Thạc sĩ

Toán ứng dụng

Hiển nhiên, vế trái của (1.4) hội tụ đến x(t) khi l ↑ ∞. Từ định lý
hội tụ đều, dẫn đến biểu thức tích phân thứ nhất ở vế phải hội tụ đến
t

f (s, x(s))ds và biểu thức tích phân thứ hai ở vế phải hội tụ về 0. Do
t0

đó, lấy giới hạn hai vế (1.4) với l ↑ ∞, ta thấy rằng x thỏa (1.2) do đó
thỏa (1.1) trên [t0 , t0 + b].

Định nghĩa 1.1.1. (Ánh xạ liên tục Lipschitz)
Ánh xạ f : X → Y (X, Y là các không gian metric) được gọi là liên tục
Lipschitz nếu tồn tại L ∈ R sao cho

d(f (u), f (v)) ≤ Ld(u, v) (∀u, v ∈ X).
L được gọi là hằng số Lipschitz.
Nếu f liên tục Lipschitz, ký hiệu Lip(f ) là hằng số Lipschitz nhỏ nhất
của f .

Định nghĩa 1.1.2. (Ánh xạ co)
Một ánh xạ liên tục Lipschitz từ một không gian metric vào chính nó, với
hằng số Lipschitz bé hơn 1 thì được gọi là một ánh xạ co.

Định nghĩa 1.1.3. (Điểm bất động)
Cho T : X → X . Một điểm bất động của ánh xạ T là một điểm x ∈ X
sao cho T (x) = x.

Định lý 1.1.2. (Nguyên lý ánh xạ co)
Cho X là không gian metric đầy đủ, không rỗng và T : X → X là một
Dương Xuân Vinh

4


Luận văn Thạc sĩ

Tốn ứng dụng

ánh xạ co. Khi đó, T có một điểm bất động duy nhất trong X .

Chứng minh. Giả sử d(T (x), T (y)) ≤ λd(x, y) (λ < 1, ∀x, y ∈ X ).
Với bất kỳ x0 ∈ X , ta định nghĩa dãy (xk ) bởi công thức

xk+1 = T (xk ).

(1.5)

Với k ≥ l ≥ N , ta có

d(xk , xl ) ≤ d(xk , xk−1 ) + d(xk−1 , xk−2 ) + ... + d(xl+1 , xl )
≤ λd(xk−1 , xk−2 ) + λd(xk−2 , xk−3 ) + ... + λd(xl , xl−1 )
...
≤ (λk−1 + λk−2 + ... + λl )d(x1 , x0 )
≤

λN
d(x1 , x0 ).
1−λ

Từ đó, (xk ) là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ X , do đó (xk )
hội tụ đến x ∈ X . Cho k ↑ ∞ ở (1.5) và sử dụng tính liên tục của T , ta
được x = T (x), do đó x là một điểm bất động của T .
Giả sử y là một điểm bất động khác của T . Khi đó, ta có

d(x, y) = d(T (x), T (y)) ≤ λd(x, y),
dẫn đến d(x, y) = 0, suy ra x = y . Điều này chứng tỏ tính duy nhất của
điểm bất động.

Dương Xuân Vinh

5


Luận văn Thạc sĩ

Tốn ứng dụng

Ta có định lý về tính duy nhất nghiệm của bài tốn Cauchy:

Định lý 1.1.3. (Picard-Lindelă
of)
Gi s f : [t0 , t0 + ] × B(a, β) → Rn là ánh xạ bị chặn bởi M và

f (., t) liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L với mọi t ∈ [t0 −α, t0 +α].
Khi đó, bài tốn (1.1) có nghiệm duy nhất trên [t0 − b, t0 + b], trong đó

b = min{α, β/M }.

Chứng minh. Gọi X là tập các hàm liên tục từ [t0 − b, t0 + b] đến B(a, β).
Chuẩn

||g||w := sup{e−2L|t−t0 | |g(t)| | t ∈ [t0 − b, t0 + b]}
tương đương với chuẩn ||.||∞ trên C([t0 − b, t0 + b]). Ta thấy rằng không
gian X với metric d(x1 , x2 ) := ||x1 − x2 ||w là không gian metric đầy đủ.
Với x ∈ X , ta định nghĩa T (x) là hàm trên [t0 − b, t0 + b] được cho bởi
công thức
t

T (x)(t) = a +

f (s, x(s))ds.
t0

Hiển nhiên nếu x ∈ X thì T (x) < ∞. Hơn nữa, với t ∈ [t0 − b, t0 + b],
ta có

|T (x)(t) − a| =

t
t0

f (s, x(s))ds ≤

t

|f (s, x(s))|ds ≤ M b ≤ β,

t0

do đó T (x)(t) ∈ B(a, β). Như vậy T (x) ∈ X .
Với x, y ∈ X , ||T (x) − T (y)||w được tính bởi
Dương Xuân Vinh

6


Luận văn Thạc sĩ

Toán ứng dụng

sup e

t

−2L|t−t0 |

t0

[f (s, x(s)) − f (s, y(s))]ds | t ∈ [t0 − b, t0 + b] .

Cố định t ∈ [t0 − b, t0 + b], ta có

e

t

−2L|t−t0 |

[f (s, x(s)) − f (s, y(s))]ds

t0

≤e

t

−2L|t−t0 |

|f (s, x(s)) − f (s, y(s))|ds

t0

≤e

t

−2L|t−t0 |

L|x(s) − y)s)|ds

t0

≤ Le

−2L|t−t0 |

t
t0

=

||x − y||w e2L|s−t0 | ds

||x − y||w
1 − e−2L|t−t0 |
2

1
≤ ||x − y||w .

2
Như vậy, T là ánh xạ co (với λ = 1/2).
Theo nguyên tắc ánh xạ co, T có điểm bất động duy nhất trong X ,
nghĩa là bài tốn (1.1) có một nghiệm duy nhất trong X .

1.1.2

Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm

Định lý 1.1.4. (Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm)
Giả sử

f : [t0 − α, t0 + α] × Ω1 × Ω2 ⊆ R × Rn × Rk → Rn
Dương Xuân Vinh

7


Luận văn Thạc sĩ

Toán ứng dụng

là một ánh xạ liên tục. Hơn nữa, giả sử f (t, ., μ) liên tục Lipschitz
với hằng số Lipschitz L1 > 0 với mọi (t, μ) ∈ [t0 − α, t0 + α] × Ω2
và f (t, x, .) liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L2 > 0 với mọi

(t, x) ∈ [t0 − α, t0 + α] × Ω1 . Nếu xi : [t0 − α, t0 + α] → Rn (i = 1, 2)
thỏa mãn
⎧
⎨x. i = f (t, xi , μi )

⎩x (t ) = a,
i 0
khi đó

|x1 (t) − x2 (t)| ≤

L2
|μ1 − μ2 |(eL1 |t−t0 | − 1)
L1

(1.6)

với t ∈ [t0 − α, t0 + α].

Chứng minh. Để đơn giản, ta xét t ≥ t0 , trường hợp t < t0 được chứng
minh tương tự. Ta có
t

|x1 (t) − x2 (t)| =
≤

t0
t
t0
t

≤

t0
t

+
t0

≤

t
t0

[f (s, x1 (s), μ1 ) − f (s, x2 (s), μ2 )]ds

|f (s, x1 (s), μ1 ) − f (s, x2 (s), μ2 )|ds
|f (s, x1 (s), μ1 ) − f (s, x1 (s), μ2 )|ds
|f (s, x1 (s), μ2 ) − f (s, x2 (s), μ2 )|ds
[L2 |μ1 − μ2 | + L1 |x1 (s) − x2 (s)|]ds

Đặt M (t) = L2 |μ1 − μ2 | + L1 |x1 (t) − x2 (t)|. Khi đó

Dương Xuân Vinh

8


Luận văn Thạc sĩ

Toán ứng dụng

M (t) ≤ L2 |μ1 − μ2 | + L1

t

M (t)ds,
t0

sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta được M (t) ≤ L2 |μ1 − μ2 |eL1 (t−t0 ) .
Như vậy, (1.6) được chứng minh.

1.2
1.2.1

Tính ổn định của hệ cấp hai
Hệ tuyến tính cấp hai

Xét hệ ô-tô-nôm

x = Ax,

(1.7)

trong đó A là một ma trận thực 2 × 2 và det(A) = 0.
Giả sử λ1 , λ2 ∈ R (λ1 > λ2 ) là các trị riêng của A.
Giả sử v1 , v2 là các vector riêng ứng với các giá trị riêng λ1 , λ2 . Nghiệm
tổng quát của (1.7) có dạng

x(t) = c1 eλ1 t v1 + c2 eλ2 t v2 ,

(1.8)

trong đó, c1 , c2 là các hằng số thực. Quỹ đạo (1.8) tiếp cận với đường
thẳng L1 qua gốc song song với vector v1 khi t → +∞ (c1 = 0) và tiếp

cận với đường thẳng L2 qua gốc song song với vector v2 khi t → −∞

(c2 = 0). Ta có các trường hợp sau.
(I) λ2 < λ1 < 0, khi đó lim x(t) → 0. Ta gọi gốc O là nút ổn định.
t→∞

Trong trường hợp này, quỹ đạo trở nên tiếp xúc với đường thẳng L1 gần
gốc và song song với L2 ở xa gốc.

Dương Xuân Vinh

9


Luận văn Thạc sĩ

Toán ứng dụng

(II) 0 < λ2 < λ1 , khi đó lim ||x(t)|| → ∞. Ta gọi gốc O là nút không
t→∞

ổn định. Trong trường hợp này, quỹ đạo trở nên tiếp xúc với đường thẳng

L1 ở gần gốc và song song với L2 ở xa gốc. Tuy nhiên hướng của quỹ đạo
phải ngược lại.

(III) λ2 < 0 < λ1 , khi đó các quỹ đạo nằm trên L1 tiếp cận gốc khi

t → −∞ và được gọi là quỹ đạo không ổn định. Các quỹ đạo nằm trên
L2 tiếp cận gốc khi t → +∞ và được gọi là quỹ đạo ổn định. Ngoài ra,

tất cả các nghiệm khác của (1.7) có dạng hyperbol và tiệm cận với L1 và

L2 . Trong trường hợp này, ta gọi gốc O là điểm yên.

1.2.2

Hệ phi tuyến cấp hai

Xét hệ ô-tô-nôm cấp hai phi tuyến

x1 = f1 (x1 , x2 ),

(1.9)

x2 = f2 (x1 , x2 ),
trong đó f1 , f2 là các hàm khả vi liên tục.
Khai triển Taylor tại p, ta được

∂f1 (p1 , p2 )
∂f1 (p1 , p2 )
(x1 − p1 ) +
(x2 − p2 ) + ◦(x − p),
∂x1
∂x2
∂f2 (p1 , p2 )
∂f2 (p1 , p2 )
x2 = f2 (p1 , p2 ) +
(x1 − p1 ) +
(x2 − p2 ) + ◦(x − p).
∂x1

∂x2
Giả sử p = (p1 , p2 ) là một điểm cân bằng của hệ, nghĩa là
x1 = f1 (p1 , p2 ) +

f1 (p1 ) = 0,

(1.10)

f2 (p2 ) = 0.

Dương Xuân Vinh

10


Luận văn Thạc sĩ

Toán ứng dụng

Đổi biến

y 1 = x1 − p1 ,
y 2 = x2 − p2 ,
ta được

∂f1 (p1 , p2 )
∂f1 (p1 , p2 )
y1 +
y2 + ◦(y),
∂x1

∂x2
∂f2 (p1 , p2 )
∂f2 (p1 , p2 )
y2 =
y1 +
y2 + ◦(y).
∂x1
∂x2
Trong một lân cận đủ bé của gốc y = 0, ta có
y1 =

(1.11)

◦(y)
= 0.
y→0 y
lim

Do đó bỏ qua các số hạng bậc cao, ta được hệ xấp xỉ tương ứng
⎛ ⎞
y1
y = ⎝ ⎠ ∈ R2 ,
y2

y = Ay,

(1.12)

trong đó
⎛

∂f1
⎜
1
A = Df (p) = ⎝ ∂x
∂f2
∂x1

∂f1 ⎞
∂x2 ⎟
∂f2 ⎠
∂x2

,
x=p

là ma trận Jacobian của hệ tại p.
Nếu hệ (1.12) có gốc y = 0 là một nút ổn định (khơng ổn định), hoặc
một điểm n thì trong một lân cận đủ bé của điểm cân bằng, các quỹ
đạo của hệ phi tuyến (1.9) cũng tương ứng có dáng điệu giống như một
nút ổn định (không ổn định), hoặc một điểm yên.

Dương Xuân Vinh

11


Luận văn Thạc sĩ

Tốn ứng dụng

1.3
1.3.1

Ổn định Lyapunov
Tính ổn định Lyapunov

Xét hệ ơ-tơ-nơm

(1.13)

x = f (x),

trong đó, f : D → Rn là một hàm Lipschitz địa phương, với D ⊂ Rn .
Giả sử x ∈ D là một điểm cân bằng của hệ (1.13), tức là
(1.14)

f (x) = 0.
Dùng phép đổi biến y = x − x, và đặt

g(y) = f (y + x)
Khi đó, ta có

y = x = f (x) = f (y + x) = g(y),

g(0) = 0.

Điểm cân bằng của hệ theo biến y là y = 0.
Khơng mất tính tổng qt, để đơn giản ta sẽ xét các khái niệm và tính
chất của điểm cân bằng là gốc x = 0.

Giả sử x(t) là một nghiệm của (1.13).

Định nghĩa 1.3.1. Một hàm liên tục V : D ⊂ Rn → R (D là một tập
mở chứa gốc) được gọi là xác định dương nếu:
(i) V (0) = 0,
(ii) V (x) > 0 (∀x = 0).

Dương Xuân Vinh

12


Luận văn Thạc sĩ

Toán ứng dụng

Định nghĩa 1.3.2. Một hàm số liên tục V được gọi là xác định âm nếu

−V là xác định dương.
Định nghĩa 1.3.3. Một hàm liên tục V : D ⊂ Rn → R (D là một tập
mở chứa gốc) được gọi là nửa xác định dương nếu:
(i) V (0) = 0,
(ii) V (x) ≥ 0 (∀x ∈ D).

Định nghĩa 1.3.4. Một hàm số liên tục V được gọi là nửa xác định âm
nếu −V là nửa xác định dương.

Định nghĩa 1.3.5. Điểm cân bằng x = 0 của hệ (1.13) được gọi là
(i) ổn định, nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho nếu

||x(0)|| < δ thì ||x(t)|| < ε (∀t ≥ 0).
(ii) khơng ổn định, nếu nó không phải là điểm ổn định.
(iii) ổn định tiệm cận, nếu nó ổn định và số δ có thể chọn sao cho nếu

||x(0)|| < δ thì lim x(t) = 0.
t→+∞

Định lý 1.3.1. (Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov)
Cho x = 0 là điểm cân bằng của (1.13) và 0 ∈ D ⊂ Rn . Nếu tồn tại
.

hàm V : D → R là hàm khả vi liên tục xác định dương sao V nửa xác
.

định âm trên D, khi đó x = 0 là ổn định. Ngoài ra, nếu V xác định âm
trên D thì gốc x = 0 là ổn định tiệm cận.

Chứng minh. Với ε > 0, ta xây dựng quả cầu đóng tâm 0, bán kính r
trong D (0 < r ≤ ε)

B(0, r) = {x ∈ Rn |||x|| ≤ r} ⊂ D.
Dương Xuân Vinh

13