Sử dụng thuật giải mô phỏng luyện kim (SA) tối ưu đồng thời kích thước, hình dạng và vị tướng dàn phẳng

i

Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn sâu sắc thầy hướng dẫn luận văn,
PGS.TS Chu Quốc Thắng đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ quan tâm
sâu sắc đến em trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Xin cảm ơn đến gia đình tơi đã động viên tinh thần tơi trong suốt
quá trình học tập và trong quá trình thực hiện luận văn.
Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn bè đã giúp đỡ, chia
sẻ kinh nghiệm, động viên tơi trong suốt q trình học tập và thực
hiện luận văn.


ii

TĨM TẮT
Trong luận văn này thuật giải mơ phỏng luyện kim (Simulated annealing)
được dùng để tối ưu đồng thời kích thước, hình dạng và vị tướng kết cấu dàn phẳng.
Bài toán tối ưu kết cấu dàn phẳng được phát biểu trong các giới hạn của phương
pháp kết cấu nền, hàm mục tiêu được chọn để tối ưu là trọng lượng hoặc thể tích
kết cấu dàn phẳng chịu các ràng buộc về ứng suất, chuyển vị và ổn định. Bài toán
tối ưu đồng thời kích thước hình dạng và vị tướng kết cấu dàn phẳng là một loại bài
toán tối ưu phức tạp, có nhiều miền khả thi hồn tồn khác nhau, vì vậy, thuật giải
mơ phỏng luyện kim sử dụng trong luận văn đã được hiệu chỉnh đồng thời bổ sung
thêm hai thơng số là “ thơng số Boltzmann có trọng số” và “thông số Boltzmann tới
hạn” để nâng cao hiệu quả và khả năng áp dụng thành công thuật giải cho bài tốn.
Ngồi ra thuật tốn cũng đã kết hợp với phương pháp hoàn lại thanh và loại bỏ
thanh cùng với phương pháp hoàn lại nút và loại bỏ nút để tạo ra các kết cấu dàn vị
tướng khác nhau trong thiết kế dự tuyển. Và cuối cùng thuật tốn được áp dụng và
kiểm tra trong một số ví dụ tính tốn cụ thể.

iii

MỤC LỤC
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN THUẬT GIẢI MÔ PHỎNG LUYỆN KIM
(SIMULATED ANNEALING) VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP TỐI ƢU KẾT CẤU
DÀN........................................................................................................................ 1
1.1 Đặt vấn đề .................................................................................................................. 1
1.2 Các loại tối ƣu kết cấu dàn ........................................................................................ 2
1.3 Tổng quan về thuật giải mô phỏng luyện kim ( Simulated annealing ) ................... 3
1.3.1 Khái niệm ................................................................................................................ 3
1.3.2 Nền tảng vật lý và sự tƣơng tự giữa bài toán tối ƣu tổ hợp với q trình tơi
(annealing) ....................................................................................................................... 3
1.3.3 Một số đặc điểm của thuật giải mô phỏng luyện kim ............................................ 4
1.3.4 Một số ứng dụng của thuật giải mô phỏng luyện kim .......................................... 5
1.4 Thiết kế tối ƣu kết cấu dàn sử dụng thuật giải mô phỏng luyện kim ...................... 6
1.5 Nội dung nghiên cứu .................................................................................................. 8
1.6 Phạm vi nghiên cứu ................................................................................................... 8
1.7 Phƣơng pháp nghiên cứu .......................................................................................... 8
1.8 Cấu trúc chƣơng ........................................................................................................ 8

CHƢƠNG 2: THUẬT GIẢI MÔ PHỎNG LUYỆN KIM
(SIMULATED
ANNEALING) ..................................................................................................... 10
2.1 Q trình tơi (annealing) ......................................................................................... 10
2.2 Bài tốn tối ƣu tổ hợp .............................................................................................. 10
2.3 Sự tƣơng tự giữa bài toán tối ƣu tổ hợp với q trình tơi (annealing) vật lý ........ 11
2.4 Thuật giải mô phỏng luyện kim .............................................................................. 12
2.4.1 Thuật giải mô phỏng luyện kim tổng quát ........................................................... 12
2.4.2 Áp dụng thuật giải mô phỏng luyện kim.............................................................. 14

2.4.2.1 Lƣu đồ tổng quát của thuật giải SA ................................................................. 15
2.4.2.2 Thông số Boltzmann .......................................................................................... 17
2.4.2.3 Lịch biểu làm nguội ........................................................................................... 17

CHƢƠNG 3: SỬ DỤNG THUẬT GIẢI MÔ PHỎNG LUYỆN KIM (SA) TỐI
ƢU ĐỒNG THỜI KÍCH THƢỚC, HÌNH DẠNG VÀ VỊ TƢỚNG DÀN
PHẲNG ................................................................................................................ 19
3.1 Giới thiệu bài toán tối ƣu đồng thời kích thƣớc, hình dạng và vị tƣớng kết cấu dàn
phẳng ............................................................................................................................. 19
3.2 Phát biểu bài toán tối ƣu đồng thời kích thƣớc, hình dạng và vị tƣớng kết cấu dàn
phẳng ............................................................................................................................. 20
3.2.1 Các biến thiết kế ................................................................................................... 20
3.2.2 Hàm mục tiêu ........................................................................................................ 21
3.2.3 Quản lí ràng buộc ................................................................................................. 21
3.3 Thiết kế kích thƣớc, hình dạng và vị tƣớng của kết cấu dàn phẳng ...................... 23
3.4 Áp dụng thuật giải mô phỏng luyện kim (SA) ........................................................ 24
3.4.1 Tạo ra thiết kế ban đầu ........................................................................................ 27
3.4.2 Lịch biểu làm nguội (Cooling schedule) ............................................................... 27
3.4.3 Tạo ra thiết kế dự tuyển (candidate design) ........................................................ 28
3.4.4 Chọn lựa thiết kế dự tuyển (candidate design) .................................................... 31
3.4.5 Thơng số Boltzmann có trọng số (Weighted Boltzmann parameter) .................. 32


iv

3.4.6 Thông số Boltzmann tới hạn (Critical Boltzamnn parameter) ........................... 36
3.4.7 Vòng lặp nội .......................................................................................................... 38
3.4.8 Phƣơng pháp chọn thiết kế tốt nhất ..................................................................... 38
3.4.9 Tiêu chuẩn kết thúc .............................................................................................. 39

CHƢƠNG 4: CÁC VÍ DỤ TÍNH TỐN ............................................................ 40
4.1 Một điều kiện tải trọng ............................................................................................ 40
4.1.1 Bài toán 10 thanh và 6 nút .................................................................................... 40
4.1.2 Bài toán 15 thanh và 8 nút .................................................................................... 43
4.2 Nhiều điều kiện tải trọng ......................................................................................... 47
4.2.1 Bài toán 31 thanh và 14 nút .................................................................................. 47
4.2.2 Bài toán 41 thanh và 14 nút .................................................................................. 50
4.2.3 Bài toán 31 thanh và 14 nút thêm điều kiện biên ................................................ 53
4.3 Ảnh hƣởng của các thông số của thuật giải đến kết quả bài toán .......................... 55
4.3.1 Một điều kiện tải trọng, bài toán 10 thanh và 6 nút ............................................ 55
4.3.2 Nhiều điều kiện tải trọng, bài toán 31 thanh và 14 nút thêm điều kiện biên ...... 62
4.4 Nhận xét ................................................................................................................... 67

CHƢƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ...................................................... 68
5.1 Kết luận về kết quả đã nghiên cứu .......................................................................... 68
5.2 Các vấn đề còn tồn tại ............................................................................................. 69
5.3 Kiến nghị chung ....................................................................................................... 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 70


1

CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN THUẬT GIẢI MÔ PHỎNG
LUYỆN KIM (SIMULATED ANNEALING) VÀ CÁC
PHƢƠNG PHÁP TỐI ƢU KẾT CẤU DÀN
1.1 Đặt vấn đề
Trong thực tế hiện nay, thiết kế tối ưu kết cấu là một vấn đề đang được quan
tâm. Mục đích của tối ưu kết cấu là tìm ra được một sơ đồ chung của kết cấu hiệu
quả nhất chịu tải trọng cho trước.

Kết cấu dàn là một kết cấu được sử dụng nhiều trong thực tế (ví dụ cho mái
cơng trình dân dụng và cơng nghiệp, cơng trình cầu), việc tối ưu kết cấu dàn là một
yêu cầu cần thiết. Kết cấu dàn có trọng lượng hoặc thể tích nhỏ nhất đạt được khi
tối ưu đồng thời biến kích thước, hình dạng và vị tướng của kết cấu dàn.
Các phương pháp tối ưu kết cấu dàn như: phương pháp qui hoạch toán học,
phương pháp tiêu chuẩn tối ưu (Optimality criteria method) chỉ giải quyết hiệu quả
cho các trường hợp đặc biệt và thơng thường thì rất khó khăn để tìm thấy lời giải tối
ưu tồn cục. Gần đây một số các phương pháp tối ưu toàn cục nổi lên như là những
thuật toán triển vọng để giải quyết các bài toán tối ưu phức tạp, các phương pháp
phổ biến nhất bao gồm: thuật giải di truyền, mô phỏng luyện kim, tabu
search…Trong luận văn thạc sỹ tác giả sẽ dùng thuật giải mô phỏng luyện kim để
tối ưu kết cấu dàn.
Theo tài liệu tác giả thu thập được, hiện nay ở Việt Nam chỉ có luận văn thạc
sỹ của tác giả Trương Tuấn Hiệp [24] trường ĐHBK TPHCM năm 2008 sử dụng
thuật giải mô phỏng luyện kim để tối ưu đồng thời biến kích thước và vị tướng của
kết cấu dàn phẳng. Nhưng tối ưu đồng thời biến kích thước và vị tướng vẫn chưa
cho kết quả là tốt nhất so với tối ưu đồng thời biến kích thước, hình dạng và vị
tướng của kết cấu dàn.


2

1.2 Các loại tối ƣu kết cấu dàn
Tối ưu kết dàn là để tạo ra một kết cấu dàn tiết kiệm nhất (ví dụ như trọng
lượng nhỏ nhất, thể tích nhỏ nhất) và thỏa mãn tất cả các ràng buộc về ứng suất, ổn
định các thanh dàn, chuyển vị nút dàn….
Có ba loại thiết kế tối ưu chính của kết cấu dàn [25] (hình 1.1):
1. Tối ưu kích thước: Biến thiết kế là các thơng số kích thước liên kết với mơ
hình phần tử hữu hạn, như diện tích mặt cắt ngang của dàn. Diện tích mặt cắt
ngang có thể xem là biến liên tục hoặc biến rời rạc.

2. Tối ưu hình dạng : Hình học của kết cấu được xem là biến thiết kế. Tối ưu
hình dạng của dàn được thực hiện bởi sự thay đổi vị trí tọa độ nút của kết cấu
dàn.
3. Tối ưu vị tướng: Ở đó chuỗi khơng gian của các nút và các thanh được tối
ưu, biến thiết kế vị tướng liên quan đến sự xuất hiện hoặc không xuất hiện của
các thanh trong một kết cấu nền ban đầu. Kết cấu nền ban đầu này được tạo ra
bởi một tập hợp n các điểm nút cho trước và m liên kết thanh có thể, trong đó ở
một vài nút được áp đặt điều kiện biên và tải trọng. Nhiệm vụ của bài toán là
tìm ra một kết cấu dàn tối ưu từ kết cấu nền ban đầu này thỏa mãn tất cả các
điều kiện tải trọng và điều kiện biên.
Tối ưu kích thước (size)

Tối ưu hình dạng (shape)

Hình 1.1 Các loại tối ƣu kết cấu dàn

Tối ưu vị tướng
(Topology)


3

1.3 Tổng quan về thuật giải mô phỏng luyện kim ( Simulated annealing )
1.3.1 Khái niệm
Mô phỏng luyện kim (Simulated Annealing) là một phương pháp tối ưu xác
xuất thích hợp để tìm tối ưu tồn cục của một hàm đã cho trong khơng gian tìm
kiếm rộng lớn. Mơ phỏng luyện kim (SA) được đề xuất bởi Kirkpatrick và các đồng
sự năm 1983 [1] ứng dụng vào bài tốn hành trình người bán hàng (travelling
salesman problem). Phương pháp này là một dạng của phương pháp tìm kiếm cục
bộ (local search) cho phép tạo ra những bước chuyển trạng thái tốt hơn theo một

cách có kiểm sốt.
1.3.2 Nền tảng vật lý và sự tƣơng tự giữa bài toán tối ƣu tổ hợp với q trình
tơi (annealing)
Phương pháp Simulated Annealing mơ phỏng q trình tơi (annealing) trong
ngành luyện kim. Annealing là một q trình vật lý, ở đó chất rắn đầu tiên được
nung nóng ở nhiệt độ cao vượt qua nhiệt độ nóng chảy và sau đó được làm nguội
dần dần tới nhiệt độ ban đầu. Ở nhiệt độ cao các phân tử của chất rắn di chuyển tự
do, dẫn tới kết quả là các phân tử có thể di chuyển đến bất kỳ vị trí nào trong chất
rắn. Nếu q trình làm nguội xảy ra đủ chậm các phân tử trong chất rắn sẽ sắp xếp
lại vào trong một trạng thái năng lượng thấp nhất. Do đó các tính chất của cấu trúc
kim loại sau khi tôi (annealing) sẽ phụ thuộc vào tốc độ làm nguội.
Trong vật lý chất rắn, những phân tử chất rắn được đặc trưng bởi một xác suất
PE tương ứng với một trạng thái năng lượng E ở nhiệt độ T . Xác xuất này được

gọi là phân bố xác xuất Boltzman.
Prob E   exp  E / k bT 
Trong đó k b là hằng số Boltzman. Sự phân bố xác xuất trên có ngụ ý rằng
những phân tử của hệ thống ở nhiệt độ cao thì có nhiều khả năng ở trong trạng thái
năng lượng cao (tức phân bố xác xuất Boltzman lớn hơn) so với ở nhiệt độ thấp
hơn.
Sự thay đổi trạng thái của các phân tử chất rắn có thể được mơ phỏng hiệu quả
bởi một thuật giải đơn giản dựa vào phương pháp Monte Carlo được đề nghị bởi


4

Metropolis et. Al [1]. Theo thuật giải Metropolis, một trạng thái năng lượng hiện tại
E1 và một trạng thái năng lượng mới phát sinh E2 được tạo ra bởi sự xáo trộn nhỏ
của các phân tử chất rắn. Sự chuyển từ trạng thái năng lượng E1 sang trạng thái E2
được chấp nhận với xác xuất là (trong quá trình chuyển trạng thái này nhiệt độ T là

hằng số):
1
Nêu E 2  E1

exp  ( E 2  E1 ) / k bT  Nêu E 2  E1

P chấp nhận  

Áp dụng q trình mơ phỏng luyện kim (SA) trên vào bài toán tối ưu tổ hợp.
Sự tương tự giữa q trình tơi (annealing) và bài tốn tối ưu tổ hợp dựa vào những
sự tương ứng sau [2]:
 Trạng thái của hệ thống vật lý giống như lời khả thi của bài toán tối ưu
 Mức năng lượng của một trạng thái tương ứng với hàm mục tiêu của bài
toán tối ưu.
 Chuyển trạng thái tương ứng với các lời giải lân cận.


Nhiệt độ là thông số điều khiển quá trình tối ưu.

 Trạng thái năng lượng thấp nhất tương ứng với lời giải tối ưu.
1.3.3 Một số đặc điểm của thuật giải mô phỏng luyện kim
Thông thường trong khơng gian lời giải của một bài tốn tối ưu có nhiều cực
tiểu địa phương. Những phương pháp tìm kiếm cục bộ đơn giản bắt đầu với một lời
giải ngẫu nhiên ban đầu và phát sinh các lời giải lân cận từ lời giải đó. Lời giải lân
cận chỉ được chấp nhận khi nó cải thiện lời giải ban đầu, do đó các thuật giải tìm
kiếm cục bộ đơn giản có hạn chế là thường hội tụ về một tối ưu địa phương. Khác
với các phương pháp tìm kiếm cục bộ đơn giản khác, phương pháp mô phỏng luyện
kim (Simulated Annealing) có thể tránh được tối ưu địa phương do nó vẫn chấp
nhận lời giải lân cận khơng cải thiện lời ban đầu với một xác xuất nào đó. Cịn lời
giải lân cận cải thiện lời giải ban đầu thì nó ln chấp nhận [3].

Trở ngại chính của thuật giải SA là thời gian chạy quá dài để hội tụ tới tối ưu
toàn cục.


5

1.3.4 Một số ứng dụng của thuật giải mô phỏng luyện kim
Trong những năm gần đây, thuật giải SA được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh
vực [4]: Mạng nơron, sinh vật học, vật lý, tốn học, tài chính, thiết kế mạch (circuit
design), xử lý ảnh (image process) …
Trong đó có một số bài toán tối ưu tổ hợp cơ bản sau đây:
 Bài tốn hành trình người bán hàng ( Travelling salesman problem )
Mục tiêu của bài toán là xác định chiều dài đường đi ngắn nhất của người bán
hàng ghé thăm N thành phố, dừng ở mỗi thành phố duy nhất một lần, và cuối cùng
trở lại thành phố ban đầu.
 Bài toán sắp lịch ( Job shop scheduling Problem )
Có một tập hợp cơng việc, J = {j1, j2,…, jn}, được nên kế hoạch cho một tập
hợp nguồn lực, RES = R1 , R2 ,..., Rm . Mỗi công việc yêu cầu thực hiện một tập hợp
các quá trình O l = O1l , O2l ,..., Oml  để hồn thành cơng việc, giả thiết là q trình Oil
được hồn thành trước khi q trình Oil1 bắt đầu. Mỗi q trình Oil có một khoảng
thời gian xác định du il và yêu cầu một nguồn lực Ril  RES . Nguồn lực không thể
được sử dụng nhiều hơn một quá trình ở cùng một thời điểm. Nhiệm vụ của bài tốn
là tìm thấy lịch tối ưu để tổng thời gian hồn thành tất cả các cơng việc là ngắn nhất.
Khả năng ứng dụng rộng rãi và thành công của thuật giải SA đã được kiểm
chứng trong nhiều lĩnh vực bao gồm lĩnh vực tối ưu kết cấu. Balling [5] ứng dụng
thuật giải SA trong thiết kế tối ưu kích thước của một cái khung sáu tầng khơng đối
xứng và kết luận rằng thuật giải SA mạnh hơn so với các phương pháp khác. Tzan
và Pantelides [6] giải quyết thành cơng bài tốn tối ưu khung chịu tải trọng động
bằng thuật giải SA, và khả năng của thuật giải SA trong việc quản lí các khơng gian
thiết kế có các miền khả thi không liên tục được nhấn mạnh. Shim và Manoochehri

[7] cũng đã ứng dụng thuật giải SA để xác định thiết kế vị tướng của tấm cho tối ưu
thể tích và được mơ hình bằng phần tử hữu hạn. Dựa vào nguyên lí tối ưu 0-1, tối
ưu vị tướng được tìm thấy bởi loại bỏ và hồn lại các ơ lưới được mơ tả trong mơ
hình. Vì vậy, mỗi ô lưới được đặc trưng bởi một biến có giá trị bằng 0 hoặc 1, với


6

biến có giá trị là 1 chỉ sự xuất hiện của ơ lưới đó trong mơ hình và ngược lại chỉ sự
khơng xuất hiện của ơ lưới đó trong mơ hình. Tương tự, Sonmez [8] cũng đã thành
cơng trong việc sử dụng thuật giải SA để tìm ra tối ưu hình dạng tồn cục của kết
cấu hai chiều chịu tải trọng tĩnh.
Với những ứng dụng thực tế của thuật giải SA trong các lĩnh vực đa dạng đã
chứng minh sức mạnh của giải thuật. Nói chung, thuật giải SA được áp dụng dễ
dàng, và có thể ứng dụng với hầu hết các bài tốn tối ưu tổ hợp và thơng thường
cung cấp những lời giải chấp nhận.
Ở nước ta, thuật giải SA là một thuật giải tương đối mới cho nên ứng dụng của
nó trong các nghiên cứu khoa học là cịn tương đối ít. Sau đây là một số ứng dụng
mà tác giả thu thập được trong một số luận văn thạc sĩ:
- Trong luận văn thạc sĩ “Xếp lịch thi học kì bằng cách kết hợp lập trình ràng
buộc và giải thuật mô phỏng luyện kim“ của tác giả Lâm Kim Hòa ĐHBK Thành
Phố HCM [9] tác giả đã ứng dụng thành công thuật giải SA vào việc lập trình xếp
lịch thi học kỳ của trường đại học bách khoa với nhiều ràng buộc khác nhau.
- Trong luận văn thạc sĩ “Ứng dụng kỹ thuật mô phỏng luyện kim cho bài tốn
xếp phịng sinh viên ký túc xá“ của tác giả Lê Trung Hiếu ĐHBK Thành Phố HCM
[10] tác giả cũng đã ứng dụng thành công thuật giải SA vào việc lập trình xếp
phịng sinh viên ký túc xá.
1.4 Thiết kế tối ƣu kết cấu dàn sử dụng thuật giải mô phỏng luyện kim
Các nghiên cứu tối ưu kết cấu dàn sử dụng thuật giải SA ngày càng trở nên
phổ biến trong những năm gần đây, do nó có khả năng giải quyết hiệu quả các bài

tốn tối ưu kết cấu phức tạp [2]. Sau đây là một số nghiên cứu tối ưu kết cấu dàn sử
dụng thuật giải SA:
- Dhingra và Bennage (1995) [11] ứng dụng thành cơng thuật giải SA cho bài
tốn tối ưu kích thước kết cấu với biến liên tục và rời rạc được minh chứng trong
bài toán tối ưu 10 thanh dàn.
- Dhingra và Bennage (1995) [12] cũng đã ứng dụng thành công thuật giải SA
cho bài toán tối ưu vị tướng kết cấu dàn. Trong đó tác giả đã đề nghị hai phương


7

pháp trong việc tạo ra và đánh giá các vị tướng khác nhau cùng với sự phát triển của
các thiết kế chi tiết cho các vị tướng triển vọng được kết hợp vào trong thuật giải
SA.
- Topping, Khan và De Barros Leite (1996) [13] sử dụng thuật giải SA để thiết
kế tối ưu vị tướng kết cấu dàn phẳng chịu nhiều trường hợp tải trọng, với biến kích
thước được xem xét là biến rời rạc và liên tục. Cơ cấu phát sinh của thuật giải SA
thực hiện thay đổi vị tướng của kết cấu trong khi diện tích mặt cắt ngang của các
thanh được tối ưu, cho phép chương trình loại bỏ những thanh không cần thiết.
- Hasancebi và Erbatur (2002) [14,2] trình bày các vấn đề liên quan đến sự
phát triển và sự thích hợp của thuật giải SA cho thiết kế tối ưu sơ đồ kết cấu dàn.
Trong cơng thức của bài tốn, hàm mục tiêu được chọn là trọng lượng hoặc thể tích
của của kết cấu chịu các ràng buộc về ứng suất, chuyển vị và ổn định.
- Yu Chen và Su (2002) [15] đề nghị hai phương pháp để cải thiện hiệu quả
của thuật giải SA trong tối ưu kết cấu, một là đánh giá các miền khả thi sử dụng các
ràng buộc tuyến tính hóa và các tìm kiếm của thuật giải SA bắt nguồn trong các
miền khả thi được đánh giá. Sự cải thiện hiệu quả của thuật giải được minh chứng
trong bài toán tối ưu 3 thanh dàn cho kết quả khá tốt.
- Park và Sung (2002) [16] sử dụng thuật giải SA hai giai đoạn để giảm bớt
khối lượng tính tốn trong tối ưu kết cấu, trong đó q trình làm nguội được chia

thành hai giai đoạn: quá trình làm nguội nhanh được sử dụng trong giai đoạn đầu
tiên và quá trình làm nguội chậm được sử dụng trong giai đoạn thứ hai. Thuật giải
được ứng dụng để thiết kế tối ưu rời rạc đối với trọng lượng 25 thanh dàn không
gian, kết quả đạt được tương đối tốt so với các phương pháp khác.
- Kripka (2004) [29] trình bày một ứng dụng của thuật giải SA trong tối ưu
trọng lượng kết cấu dàn với diện tích mặt cắt ngang là biến thiết kế rời rạc chịu các
ràng buộc về ứng suất và chuyển vị. Kết quả đạt được của nghiên cứu tốt hơn so với
các phương pháp khác.
- Genovese, Lamberti và Pappalettere [17] (2005) cải tiến thuật giải SA với sự
tìm kiếm ngẫu nhiên 2 cấp độ: “tơi tồn cục” ở đó tất cả các biến thiết kế được xáo


8

trộn đồng thời và “tơi cục bộ“ ở đó mỗi lần chỉ có một biến thiết kế được xáo trộn.
Thuật tốn đã áp dụng thành cơng bài tốn tối ưu quy mô lớn của 200 thanh dàn
(200 biến thiết kế và 3500 ràng buộc) chịu 5 trường hợp tải trọng và bài tốn tối ưu
hình dạng của 45 thanh dàn với 81 biến thiết kế.
Còn rất nhiều tác giả và các cơng trình nghiên cứu việc tối ưu kết cấu nói
chung và tối ưu kết cấu dàn nói riêng sử dụng thuật giải SA do nhiều ưu điểm của
nó. Trên đây chỉ là một số nghiên cứu mà tác giả thu thập được, điều đó chứng tỏ
vấn đề này cho đến nay vẫn được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm.
1.5 Nội dung nghiên cứu
- Tổng quan thuật giải mô phỏng luyện kim (SA) và các phương pháp tối ưu
kết cấu dàn.
- Thuật giải mô phỏng luyện kim (SA) và các nguyên lý hoạt động của nó.
- Áp dụng thuật giải mô phỏng luyện kim vào tối ưu kết cấu dàn phẳng.
1.6 Phạm vi nghiên cứu
- Tối ưu đồng thời kích thước, hình dạng và vị tướng kết cấu dàn phẳng sử
dụng phương pháp kết cấu nền (ground structure) với tải trọng và điều kiện

biên cho trước.
- Các thanh làm việc trong giai đoạn đàn hồi.
- Biến thiết kế được xem xét là biến kích thước (diện tích mặt ngang của các
thanh trong kết cấu dàn), hình dạng (tọa độ vị trí các nút trong dàn) và vị
tướng (sự xuất hiện hay không xuất hiện của thanh trong dàn).
- Xét đến các ràng buộc về diện tích mặt cắt ngang, ứng suất trong các thanh,
ổn định của các thanh chịu nén, chuyển vị tại các mắt dàn.
1.7 Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phân tích kết cấu dàn phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn.
- Lập chương trình tối ưu hệ dàn phẳng bằng ngôn ngữ Matlab.
1.8 Cấu trúc chƣơng
- Chương 1: Tổng quan về thuật giải mô phỏng luyện kim và các phương pháp
tối ưu kết cấu dàn.


9

- Chương 2: Thuật giải mô phỏng luyện kim.
- Chương 3: Sử dụng thuật giải mô phỏng luyện kim tối ưu đồng thời kích
thước, hình dạng và vị tướng hệ dàn phẳng.
- Chương 4: Các ví dụ tính tốn.
- Chương 5: Kết luận và kiến nghị chung


10

CHƢƠNG 2: THUẬT GIẢI MÔ PHỎNG LUYỆN KIM
(SIMULATED ANNEALING)
Thuật giải mô phỏng luyện kim được đề xuất đầu tiên trong lĩnh vực tối ưu bởi
Kirkpatrick và các đồng sự năm 1983 [1]. Thuật giải mô phỏng luyện kim là một

thuật giải tối ưu tổ hợp mạnh, đa năng dựa vào phương pháp tối ưu xác xuất. Thuật
giải này được ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực như: Thiết kế mạch, xử lý
ảnh, vật lý, toán học, tối ưu kết cấu…
2.1 Q trình tơi (annealing)
Q trình tơi (annealing) [13] là một q trình vật lý mà ở đó nhiệt độ của chất
rắn được tăng lên tới nhiệt độ nóng chảy, ở nhiệt độ này tất cả các phân tử của chất
rắn bị nóng chảy có thể di chuyển tự do, sau đó được làm nguội từ từ cho tới khi
tính lưu động nhiệt bị mất đi. Theo cách này, nếu q trình làm nguội đủ chậm, các
ngun tử thơng thường có khả năng sắp xếp chúng vào trong một trạng thái năng
lượng thấp nhất và tạo thành một dạng tinh thể hồn tồn. Tuy vậy nếu q trình
làm nguội q nhanh cho chất rắn để đạt được trạng thái cân bằng nhiệt ở mỗi nhiệt
độ, chất rắn sẽ tạo thành một dạng đa tinh thể hoặc vơ định hình có mức năng lượng
cao hơn. Trong trường hợp này cần phải tơi (annealing) lại để tạo thành một dạng
tinh thể hồn tồn.
2.2 Bài tốn tối ƣu tổ hợp
Bài tốn tối ưu tổ hợp là bài toán cực đại hoặc cực tiểu, nó u cầu tìm thấy lời
giải tối ưu hay lời giải tốt nhất từ một tập hợp các lời giải khả thi. Bài tốn được đặc
trưng bởi khơng gian tìm kiếm và giá trị hàm mục tiêu.
Khơng gian tìm kiếm  là một tập hợp các hữu hạn hay vô hạn các lời giải khả
thi, và hàm mục tiêu F: R là một giá trị số thực, nó liên kết với mỗi lời giải,
x, cho một giá trị F(x). Bài tốn đi tìm lời giải tối ưu x* làm cho giá trị hàm
mục tiêu F là nhỏ nhất trên tập hợp .
F ( x * )  min F ( x)
x

(2.1)


11

2.3 Sự tƣơng tự giữa bài toán tối ƣu tổ hợp với q trình tơi (annealing) vật lý
Thuật ngữ mơ phỏng luyện kim (Simulated Annealing) bắt nguồn từ sự tương
tự giữa bài tốn tối ưu tổ hợp với q trình tơi (annealing) của vật lý. Q trình tơi
(annealing) có thể được mô tả như sau: Chúng ta xem xét các sự giảm nhiệt độ liên
tiếp bắt đầu từ một nhiệt độ lớn nhất t 0 , ở mỗi nhiệt độ được giảm t , hệ thống được
phép đạt tới trạng thái cân bằng nhiệt. Ở trạng thái cân bằng nhiệt này, xác suất của
hệ thống ở trong trạng thái i được đặc trưng bởi phân bố Boltzmann.
P( E  E i ) 

1   Ei

Z (T )  K B t





(2.2)

Trong đó E i là năng lượng của trạng thái i , Z (t ) là một hàm chuẩn hóa
(normalization function), K B là hằng số Boltzmann. Khi nhiệt độ t giảm, phạm vi
của phân bổ Boltzmann sẽ tập trung vào các trạng thái có mức năng lượng thấp
nhất. Vì vậy khi nhiệt độ t giảm quá thấp, hệ thống sẽ đóng băng (freeze) và nếu
nhiệt độ giảm đủ chậm thì trạng thái bị đóng băng (frozen state) này sẽ có mức năng
lượng cực tiểu.
Một thuật giải đơn giản được đề nghị bởi Metropolis (1953) [1] cho sự mô
phỏng hiệu quả các nguyên tử trong trạng thái cân bằng ở một nhiệt độ cố định cho
trước dựa vào quá trình sau: cho một trạng thái hiện hành của hệ thống có mức năng
lượng E 0 , chúng ta tạo ra một trạng thái mới bằng cách chọn ngẫu nhiên một phân
tử và thay đổi vị trí của nó. Nếu trạng thái mới có mức năng lượng E và E  E 0 thì

nó được chấp nhận và thay thế trạng thái hiện hành, các trạng thái mới khác tiếp tục
được tạo ra như trên. Tuy vậy, nếu E  E 0 thì xác suất để chấp nhận trạng mới này
được cho như sau:
 E  E0 
P( E 0  E )  exp 

kBt 


(2.3)

Qui luật chấp nhận này được gọi là tiêu chuẩn Metropolis. Khi quá trình được
lặp, hệ thống cuối cùng sẽ đạt tới một trạng thái cân bằng nhiệt cho một nhiệt độ cố
định cho trước. Khi đó sự phân bố xác suất của các điểm được chấp nhận sẽ là phân


12

bố Boltzamnn và được cho bởi phương trình (2.3). Quá trình này gọi là thuật giải
Metropolis.
Cho một bài tốn tổ hợp đặc trưng có các lời giải khả thi x  tương ứng với
trạng thái của hệ thống , giá trị hàm mục tiêu F(x) tương ứng với mức năng lượng
của một trạng thái và thông số điều khiển t tương ứng với nhiệt độ. Thuật giải mô
phỏng luyện kim (SA) đơn giản chỉ là bao gồm các bước lặp của thuật giải
Metropolis cho các giá trị nhiệt độ được giảm liên tiếp của thông số điều khiển t .
Một vài sự tương tự của q trình tơi (annealing) trong nhiệt động lực học với
việc giải quyết một bài toán tối ưu tổ hợp được tóm tắt trong bảng 2.1:
Bảng 2.1 Sự tƣơng tự giữa bài toán tối ƣu tổ hợp với q trình tơi trong nhiệt
động lực học
Bài tốn tối ƣu tổ hợp

Mô phỏng nhiệt động lực học

Lời giải khả thi

Trạng thái hệ thống vật lý

Giá trị của hàm mục tiêu

Mức năng lượng của một trạng thái

Các lời giải lân cận

Chuyển trạng thái

Thông số điều khiển

Nhiệt độ

Lời giải tối ưu

Trạng thái năng lượng thấp nhất

2.4 Thuật giải mô phỏng luyện kim
Mô phỏng luyện kim là một loại thuật giải tối ưu dựa theo phương pháp xác
xuất, bởi vì có một vài sự ngẫu nhiên bao hàm trong quá trình tìm kiếm lời giải.
Một chuỗi các lời giải được phát sinh bởi tạo ra ngẫu nhiên một lời giải mới theo
một sự xáo trộn của lời giải hiện hành và sau đó một lời giải mới được chấp nhận
hoặc loại bỏ với một xác suất, xác suất này phụ thuộc vào nhiệt độ và sự thay đổi
trong giá trị của hàm mục tiêu.

2.4.1 Thuật giải mô phỏng luyện kim tổng quát
Thuật giải SA dùng để giải quyết bài toán tối tổ hợp có bốn thành phần [18]:
1. Khơng gian tìm kiếm (search space).


13

2. Hàm mục tiêu (objective function) hay hàm giá trị dùng để tối ưu trên khơng
gian tìm kiếm đã cho.
3. Cơ cấu xáo trộn (perturbation mechanism) được sử dụng để tạo ra một lời
giải mới từ lời giải hiện hành.
4. Lịch biểu làm nguội (cooling schedule) bao gồm nhiệt độ ban đầu, phương
pháp cập nhật nhiệt độ, và tiêu chuẩn hoàn thành được sử dụng để xác định
điểm dừng của thuật giải.
Ở đó, khơng gian tìm kiếm và hàm mục tiêu được phát biểu dưới dạng cơng
thức tốn học của bài toán tối ưu, trong khi cơ cấu xáo trộn và lịch biểu làm nguội
được dùng để điều khiển quá trình tìm kiếm.
Thuật giải SA tổng quát theo [19] được thực hiện bởi các bước sau:
-

Bước 1: Bắt đầu với một nhiệt độ ban đầu t 0 , chúng ta tạo ra một lời giải
ban đầu có giá trị hàm mục tiêu là F .

-

Bước 2: Ngẫu nhiên tạo ra một lời giải mới trong khơng gian tìm kiếm,
trong phạm vi lân cận của lời giải ban đầu, và tính giá trị hàm mục tiêu
tương ứng.

-

Bước 3: Nếu giá trị hàm mục tiêu của lời giải mới thấp hơn giá trị hàm mục
tiêu của lời giải cũ, thì lời giải mới luôn được chấp nhận và thay thế cho lời
giải cũ. Ngược lại, F  Fmoi  Fcu và tiêu chuẩn Metropolis được áp dụng,
xác suất chấp nhận lời giải mới có dạng như sau:
 F 
P  exp 

 Kt 

(2.4)

Tạo ra ngẫu nhiên một số thực r  0,1 , Nếu P  r thì lời giải mới được
chấp nhận và thay thể cho lời giải cũ, ngược lại lời giải mới bị loại bỏ và
lời giải cũ vẫn được duy trì.
-

Bước 4: Dù cho lời giải mới có được chấp nhận hay khơng, bước 2-3 vẫn
được lặp lại cho tới trạng thái cân bằng nhiệt đạt được.

-

Bước 5: Mỗi lần trạng thái cân bằng nhiệt đạt được ở một nhiệt độ đã cho,
nhiệt độ t được giảm xuống nhiệt độ mới theo lịch biểu làm nguội (cooling


14

schedule). Q trình sau đó tiếp tục được lặp lại từ bước 2-4 cho tới khi
tiêu chuẩn dừng (stopping criterion) được hoàn thành. Lời giải cuối cùng sẽ

gần đúng với giá trị tối ưu.
2.4.2 Áp dụng thuật giải mô phỏng luyện kim
Thuật giải SA theo [2] phụ thuộc vào 12 thành phần và có thể được biểu diễn
dưới dạng tổng quát như sau:



SA  x c , x a , S , F , t , t s , t f , f , P, K ,  , I



(2.5)

Trong đó x c và x a lần lượt là thiết kế hiện hành và thiết kế dự tuyển, và được
xác định trong một tập hợp rời rạc S có khơng gian n chiều.









x c  x1c , x 2c ,..., xic ,..., x nc , x a  x1a , x2a ,..., xia ,..., xna , i  1,..., n và x c , x a  S n (2.6)

Trong phương trình (2.5), F : F x c , x a   R là hàm mục tiêu, nó được gán cho
các thiết kế x c và x a . F c và F a lần lượt là giá trị hàm mục tiêu cho thiết kế hiện
hành và thiết kế dự tuyển, và F  F a  F c . t , t s , t f  R  lần lượt là nhiệt độ hiện
hành, nhiệt độ bắt đầu, nhiệt độ cuối cùng, và f  0,1 R  là hệ số làm nguội được

sử dụng để làm giảm nhiệt độ trong các vòng làm nguội liên tiếp. P  0,1 R  là
xác suất chấp nhận của thiết kế dự tuyển. K  R  là thông số Boltzmann.   N  (có
giá trị là số nguyên dương) là giới hạn xáo trộn, tạo ra miền giới hạn trong phạm vi
lân cận của thiết kế hiện hành được xáo trộn để phát sinh một thiết kế dự tuyển.
Cuối cùng, I  N  là số lượng bước lặp cho vòng lặp nội (hay còn gọi là chiều dài
chuỗi Markov) để thuật giải đạt được trạng thái cân bằng nhiệt ở các nhiệt độ khác
nhau trong suốt các vòng làm nguội.


15

2.4.2.1 Lƣu đồ tổng quát của thuật giải SA
Sau đây là một lưu đồ tổng quát của thuật giải SA được biểu diễn như sau:
Begin
Lời giải ban đầu x c ;
Nhiệt độ ban đầu t : t s ;
While ( t  t f ) do begin

{vòng lặp ngoại}

j : 1 ;

while ( j  I ) do begin

{các bước lặp của vòng lặp nội}

k : 1;

while (k  n) do begin

{vòng lặp nội}

Xáo trộn x c để tạo ra x a
ở đó m  1,..., n: xma  xmc , i  m : xia  x xic ;
if F : F a  F c  0
then P : 1.0 ;
else K : ( KN a  F ) /( N a  1); N a : N a  1 ;
P : e  W / Kt ;

end
k : k  1;

end
j : j  1 ;

end
t : t. f ;

end
end
Bước đầu tiên là tạo ra một thiết kế ban đầu được sử dụng như lời giải ban đầu
và hiện hành của quá trình tối ưu. Điều này thông thường được tạo ra bằng cách mỗi
biến thiết kế lấy ngẫu nhiên một giá trị của tập hợp rời rạc S . Sau đó chọn một lịch


16

biểu tơi (annealing) thích hợp, nhiệt độ hiện hành được gán cho một giá trị ban đầu.
Vòng lặp ngoại đáp ứng các điều kiện sau của thuật giải.
-

Để bắt đầu thuật giải ở các nhiệt độ khác nhau trong suốt các vòng làm
nguội.

-

Điều khiển tiêu chuẩn kết thúc, thuật giải SA kết thúc khi hiện độ hiện
hành giảm xuống tới nhiệt độ cuối cùng.

Các bước lặp của vòng lặp nội được thực hiện sử dụng số đếm j để đảm bảo
các bước lặp này được thực thi với số lượng I lần. Trong một bước lặp đơn của
vòng lặp nội, số lượng các thiết kế dự tuyển bằng với số lượng các biến thiết kế (n)
và được tạo ra trong lân cận thiết kế hiên hành. Điều này được làm như sau:
-

Mỗi biến thiết được chọn duy nhất một lần trong một trình tự ngẫu nhiên,
sử dụng số đếm k .

-

Biến được chọn x mc ngẫu nhiên được gán cho một giá trị mới x ma  trong
một khoảng lân cận của x mc .

-

Thiết kế dự tuyển được tạo ra bởi lấy giá trị mới của biến này và giữ các
giá trị của các biến khác giống như trong thiết kế hiện hành. Điều này có
nghĩa là thiết kế dự tuyển chỉ khác với thiết kế hiện hành duy nhất trong
các

giới

hạn

của

các

biến

thiết

kế

của

nó:

ví

dụ,

m  1,..., n: xma  xmc , i  m : xia  x xic .

Bất cứ khi nào thiết kế dự tuyển được tạo ra có giá trị hàm mục tiêu thấp hơn

F  0 , nó lập tức được chấp nhận bởi vì xác suất chấp nhận của nó

P  1.0 , và

thay thế thiết kế hiện hành. Nếu khơng thì (lời giải kém F  0 ), tiêu chuẩn kiểm tra
Metropolis được áp dụng, và thông số Boltzmann được cập nhật như trong bàn luận
của phần tiếp theo. Trong trường hợp này, xác suất chấp nhận của một thiết kế dự
tuyển kém (poor candidate) là P  exp  F / Kt  . Thiết kế dự tuyển có được chấp
nhận thay thế cho thiết hiện hành hay không được xác định bằng cách tạo ra một số
thực r  0,1 và so sánh nó với P . Vì vậy, thiết kế dự tuyển được chấp nhận nếu
r  P , nếu khơng thì (r  P) thiết kế dự tuyển bị loại bỏ và thiết kế hiện hành vẫn


17

duy trì. Sau khi hồn thành tất cả các bước lặp của vòng lặp nội  j  I  ở một nhiệt
độ đặc trưng, nhiệt độ cho vòng làm nguội tiếp theo được xác định bằng cách nhân
nhiệt độ hiện hành với hệ số làm nguội t : t. f . Quá trình trên được lặp cho tới khi
tất cả các vịng làm nguội hồn thành.
2.4.2.2 Thơng số Boltzmann
Mặc dù thơng số Boltzmann có thể sử dụng một giá trị cố định thích hợp (K ) ,
nhưng một phương pháp có lợi hơn và được chấp nhận rộng rãi là sử dụng một giá
trị động, nó bằng với giá trị trung bình của các giá trị dương F trong suốt quá
trình tối ưu, K  Fave [2]. Cho nên, ở mỗi lần khi một thiết kế dự tuyển kém được
tạo ra (F  0) , giá trị (K ) được cập nhật theo (2.7) trước khi xác suất chấp nhận
của nó được tính tốn theo tiêu chuẩn Metropolis.
K

( N a 1)

K ( N a ) N a  F ( N a 1)

Na 1

(2.7)

Trong đó N a là số lượng các thiết dự tuyển kém trước (previous poor
candidates). Giá trị ban đầu của các thơng số trong phương trình trên là: N a  0 và
K  1 cho thiết kế dự tuyển kém đầu tiên. Thông số Boltzamnn tính theo các này sẽ

có nhiều thuận lợi bởi vì ba lí do sau:
-

Nó đáp ứng sự chuẩn hóa các giá trị F cho tiêu chuẩn kiểm tra
Metropolis.

-

Kinh nghiệm tìm kiếm đạt được trên không gian thiết kế được lưu giữ trong
thơng số này.

-

Kinh nghiệm này sau đó được sử dụng để chi phối tiêu chuẩn chấp nhận
của các thiết kế dự tuyển kế tiếp trong sự liên quan với các thông tin của
các thiết kế dự tuyển trước.

2.4.2.3 Lịch biểu làm nguội
Sự chọn lựa một lịch biểu làm nguội thích hợp là yếu tố quan trọng cho sự
thành cơng của thuật giải SA. Một phương pháp nổi bật cho lịch biểu làm nguội
được đề nghị bởi Balling [5], ở đó các thơng số lịch biểu làm nguội t s , t f , f  được


18

tính tốn trong giới hạn của ba thơng số: một xác suất chấp nhận giả thiết ban đầu

P  , một xác suất chấp nhận giả thiết cuối cùng P  và số lượng vòng làm nguội
s

f

N c  . Ở đây.

P s và P f dùng để điều chỉnh nhiệt độ bắt đầu và nhiệt độ cuối theo

một phương pháp mà thiết kế dự tuyển kém (poor candidate design) ở thời điểm bắt
đầu và cuối cùng được ứng xử với xác suất chấp nhận trung bình là P s và P f tương
ứng.
Các thông số Boltzmann bằng với Fave cho các thiết kế dự tuyển đầu tiên
được thử ở nhiệt độ bắt đầu t  t s . Dựa vào công thức xác suất chấp nhận tổng
quát, xác suất chấp nhận P s được xác định như sau:





P s  exp  1 / t s hay t s  

1
ln P s

(2.8)

Tương tự, giả sử các thiết kế dự tuyển được thử ở thời điểm cuối cùng t  t f 
tạo ra một giá trị F trung bình, giá trị này gần bằng với K , dẫn tới nhiệt độ cuối
cùng được tính như sau:





P f  exp  1 / t f hay t f  

1
ln P f

(2.9)

Sự giảm nhiệt độ trong suốt quá trình tối ưu liên quan đến số lượng vòng làm
nguội N c được tính tốn như sau: t f  t s f

N c 1

. Thay phương trình (2.8) và (2.9),

dẫn tới hệ số làm nguội được tính tốn như sau:

 
 

 Ln P s 
f 
f 

 Ln P 

1 /  N c 1

(2.10)


19

CHƢƠNG 3: SỬ DỤNG THUẬT GIẢI MÔ PHỎNG LUYỆN
KIM (SA) TỐI ƢU ĐỒNG THỜI KÍCH THƢỚC, HÌNH
DẠNG VÀ VỊ TƢỚNG DÀN PHẲNG
Đây là phần quan trọng nhất của luận văn, trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu
phương pháp dựa vào thuật giải mô phỏng luyện kim (SA) để tối ưu đồng thời các
biến kích thước, hình dạng và vị tướng của kết cấu dàn phẳng.
3.1 Giới thiệu bài toán tối ƣu đồng thời kích thƣớc, hình dạng và vị tƣớng kết
cấu dàn phẳng
Bài tốn tối ưu đồng thời kích thước (size), hình dạng (shape) và vị tướng
(topology) kết cấu dàn phẳng được xem xét trong luận văn này dựa vào phương
pháp kết cấu nền (ground structure approach) được đề nghị đầu tiên bởi Dorn [20].
Trong phương pháp kết cấu nền (ground structure approach) cho bài toán thiết
kế tối ưu kết cấu dàn, một kết cấu nền ban đầu được tạo ra từ một tập hợp n các
điểm nút cho trước và m liên kết thanh có thể, trong đó ở một vài nút được áp đặt
điều kiên biên và tải trọng. Nhiệm vụ của bài tốn là tìm ra một kết cấu dàn tối ưu
từ kết cấu nền ban đầu này thỏa mãn tất cả các điều kiện tải trọng và điều kiện biên.
Thông thường trong phương pháp kết cấu nền, kết cấu nền ban đầu được tạo ra bởi
một tập hợp tất cả các liên kết thanh có thể giữa các nút được chọn, tức là nếu có n
nút được chọn thì có tất cả n(n  1) / 2 liên kết thanh có thể giữa các nút. Tuy nhiên
theo [21] chúng ta có thể cho phép kết cấu nền được tạo ra bởi một tập hợp các liên
kết thanh bất kỳ ( hình 3.1). Phương pháp này có thể dẫn tới các thiết kế này khơng

phải là các thiết kế tốt nhất cho một tập hợp các điểm nút được chọn, tuy nhiên
phương pháp này cho phép ta giới hạn số lượng liên kết thanh trong kết cấu nền.


20

Hình 3.1 Kết cấu nền chịu một tải trọng đứng và điều kiện biên là các liên kết
khớp ở các nút biên. (A)-(C) các cấu kết cấu nền do sự biến đổi phức tạp trong
một phạm vi hình chữ nhật với 15 điểm nút. (D) kết cấu nền đầy đủ bao hàm
tất cả các liên kết thanh giữa các nút
3.2 Phát biểu bài tốn tối ƣu đồng thời kích thƣớc, hình dạng và vị tƣớng kết
cấu dàn phẳng
Bài tốn thiết kế tối ưu đồng thời kích thước hình dạng và vị tướng của kết cấu
dàn đối với trọng lượng được phát biểu như sau :
3.2.1 Các biến thiết kế
Tập hợp các biến thiết kế bao gồm các vectơ thông số thiết kế A, C và T tương
ứng với các biến kích thước, hình dạng và vị tướng hoặc là hằng số trong quá trình
thiết kế.



 C X , Y C X , Y  IR, j  1,..., N 
 T T  S  S , i  1,..., N 

T
P

ANm
1  Ai Ai  S  S , i  1,..., N m
T

C Nj
1
T
TNm
1

j

j

j

0

i

i

j

j

j

m

1

m

(3.1)
(3.2)
(3.3)

Trong phương trình (3.1-3.3), N m và N n lần lượt là tổng số các thanh và các
nút trong kết cấu. Ai là diện tích mặt cắt của thanh thứ i và được chọn từ tập hợp
thiết kế của S P và S  . Cho nên tập hợp các mặt cắt S P , và S  chỉ các thanh diện
tích bằng 0, những thanh này sẽ được loại bỏ từ mơ hình thiết kế. Thông số thiết kế


21

C j là giá trị tọa độ thực X j , Y j của nút thứ i. Ti là biến thiết kế hoặc là hằng số điều

khiển sự xuất hiện hoặc sự vắng mặt của thanh thứ i trong mô hình thiết kế tối ưu.
Trong trường hợp sự xuất hiện của thanh, Ti  S 1 và nếu khơng thì, Ti  S 0 . Vì vậy,
có sự liên quan giữa các tập hợp kích thước và vị tướng: i : Ti  S 1  Ai  S P và
i : Ti  S 0  Ai  S 

3.2.2 Hàm mục tiêu
Hàm mục tiêu không ràng buộc Wu  được chọn để tối ưu là trọng lượng của
kết cấu dàn được định nghĩa trong phương trình (3.4). Trong đó Li và  i là chiều
dài và trọng lượng riêng của thanh thứ i .
Wu  Ai , Ti  

Nm

 A L

i

Ti S 1 ,i 1

i

i

(3.4)

3.2.3 Quản lí ràng buộc
Các ràng buộc của bài toán về ứng suất, ổn định Euler và chuyển vị lần lượt là:


 

(3.5)
Ti  S 1 : g i  g i  X i   max 0, 0i  1



i




 

(3.6)
Ti  S 1 : hi  hi  X i   max 0, 0i  1 đối với  i  0




Ei


 U j ,k

u j ,k  u j ,k  X i   max 0, 0  1
(3.7)
 U j ,k

Trong đó  i là ứng suất trong thanh thứ i, U j ,k là chuyển vị của nút thứ j theo

hướng k . Các giá trị ứng suất, chuyển vị cho phép lần lượt là  i0 , U 0j ,k và  Ei0 là ứng
suất ổn định Euler.
Trong trường hợp bài toán tối ưu có các ràng buộc, lời giải khơng những được
đánh giá bởi phương trình (3.4) mà cịn phải xem xét thêm các vi phạm ràng buộc.
Do vậy chúng ta cần phải có các phương pháp quản lí ràng buộc, theo [22] có hai
phương pháp chung được sử dụng cho quản lí ràng buộc trong thuật giải SA đó là
phương pháp loại bỏ đơn giản (simple rejection approach) và hàm phạt (penalty
function approach). Trong phương pháp loại bỏ đơn giản [5], các thiết kế không khả
thi tự động được bỏ qua và do vậy quá trình tìm kiếm được thực hiện duy nhất trong