Ảnh hưởng của hóa chất bảo vệ thực vật đến vi sinh vật đất trồng chè

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TỐN CƠ TIN

PHAN THỊ THANH VÂN

TÍNH THUẬN VÀ TÍNH NGHỊCH CỦA HỆ
TAM PHÂN MŨ KHƠNG ĐỀU
TRÊN ĐA TẠP TÂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ HUY TIỄN

Hà Nội - Năm 2012


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

1
2

Hệ tam phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Hệ tam phân mũ đều . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Hệ tam phân mũ không đều . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Không gian con tâm, ổn định và không ổn định
Đa tạp tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Sự tồn tại của đa tạp tâm . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

2
2
3
6

8
8
9

2 Tính thuận và tính nghịch của phương trình vi phân trong khơng
gian Banach
12
2.1 Hệ đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Tính nghịch của phương trình vi phân khơng ôtônôm . . . . . . . 14
2.3
2.4
2.5

Tính nghịch của phương trình vi phân ơtơnơm . . . . . . . . . . . 16
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Tính thuận của phương trình vi phân trong khơng gian Banach . 22

3 Tính thuận và tính nghịch của hệ tam phân mũ khơng đều trên
đa tạp tâm
3.1 Tính nghịch của hệ tam phân mũ khơng đều trên đa tạp tâm . . .
3.1.1 Xây dựng kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Các kết quả phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Chứng minh tính nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tính thuận của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm . . .

24
24
24
27
37

39

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
i


Lời nói đầu
Luận văn đã trình bày được các khái niệm mới như hệ tam phân mũ đều và
không đều, một số tính chất cơ bản của chúng, tập trung nghiên cứu hệ tam
phân mũ không đều trên đa tạp tâm. Đối xứng thuận nghịch thời gian là một
trong những đối xứng cơ bản được nghiên cứu trong khoa học tự nhiên, nó xuất
hiện trong nhiều hệ vật lý, đặc biệt là cơ học cổ điển và lượng tử. Trong khn
khổ của luận văn này tơi chỉ trình bày tính thuận và tính nghịch của phương
trình vi phân có tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm trong không gian
Banach vô hạn chiều.
Luận văn được chia thành 3 chương:
Chương 1: Giới thiệu sơ lược các khái niệm tam phân mũ đều, tam phân
mũ khơng đều của phương trình vi phân, khái niệm đa tạp tâm.
Chương 2: Trình bày tính thuận nghịch của phương trình vi phân trong
khơng gian Banach vơ hạn chiều.
Chương 3: Trình bày tính thuận và tính nghịch của phương trình vi phân
có tam phân mũ khơng đều trên đa tạp tâm trong không gian Banach vô hạn
chiều.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS. Lê
Huy Tiễn - Giảng viên khoa Tốn-Cơ-Tin học, trường ĐH Khoa học tự nhiên.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học,
những người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tơi trong suốt khóa
học.

Cuối cùng, tơi gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè và đặc biệt là chồng tôi, đã
luôn ở bên tôi, động viên, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Phan Thị Thanh Vân

1


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Hệ tam phân mũ
Hệ tam phân mũ đều

Cho X là không gian Banach, xét một ánh xạ liên tục t → A(t) sao cho A(t)
là toán tử tuyến tính bị chặn trên X với mỗi t ∈ R và phương trình
v = A(t)v

(1.1)

Nghiệm của (1.1) với v (s) = vs có thể được viết dưới dạng v (t) = T (t, s)v (s), với
T (t, s) là tốn tử tiến hóa liên kết. Ta có
T (t, t) = Id

và T (t, s)T (s, r) = T (t, r)

với mọi t, s, r ∈ R, T (t, s) khả nghịch và T (t, s)−1 = T (s, t) với mọi t, s ∈ R. Giả
sử A(t) có dạng chéo khối tương ứng với các thành phần hợp thành E , F1 , F2
(X = E ⊕ F1 ⊕ F2 ), với E , F1 , F2 tương ứng là các không gian con tâm, ổn định
và không ổn định. Khi đó nghiệm của (1.1) có thể được viết dưới dạng
v (t) = (U (t, s), V1 (t, s), V2 (t, s))v (s)

trong đó U (t, s), V1 (t, s) và V2 (t, s) là các toán tử tiến hóa liên kết tương ứng với
ba khối của A(t), T (t, s) = (U (t, s), V1 (t, s), V2 (t, s)).
Định nghĩa 1.1. Ta nói phương trình (1.1) có tam phân mũ đều nếu tồn tại
các hằng số b > a ≥ 0, d > c ≥ 0, và D > 0 sao cho
2


1. Với mọi s, t ∈ R, t ≥ s,
−1

||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s) , ||V2 (t, s)

|| ≤ De−b(t−s) ,

2. Với mọi s, t ∈ R, t ≤ s
||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t) , ||V1 (t, s)

1.1.2

−1

|| ≤ De−d(s−t) .

Hệ tam phân mũ không đều

Hệ tam phân mũ không đều là một trường hợp mở rộng của hệ tam phân
mũ đều, chúng ta tìm hiểu sự giống và khác nhau căn bản giữa chúng.
Giả sử X là không gian Banach, và A : R → B (X ) là một hàm liên tục, trong
đó B (X ) là tập hợp các tốn tử tuyến tính bị chặn trên X.
Xét bài toán giá trị ban đầu
v = A(t)v,

v (s) = vs ,

(1.2)

với s ∈ R và vs ∈ X . Giả thiết rằng tất cả các nghiệm của (1.2) là tồn cục.
Ta viết nghiệm duy nhất của bài tốn giá trị ban đầu trong (1.2) dưới dạng
v (t) = T (t, s)v (s), ở đó T (t, s) là tốn tử tiến hóa liên kết.
Xét các hằng số
0 ≤ a < b,

0 ≤ c < d,

a, b, c d ≥0

(1.3)
(1.4)

Định nghĩa 1.2. Ta nói rằng phương trình tuyến tính v = A(t)v có một tam
phân mũ khơng đều nếu tồn tại các hàm P, Q1 , Q2 : R → B (X ) sao cho P (t),
Q1 (t) và Q2 (t) là các phép chiếu với
P (t) + Q1 (t) + Q2 (t) = Id,
P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s),

Qi (t)T (t, s) = T (t, s)Qi (s), i = 1, 2

với mọi t, s ∈ R, và tồn tại các hằng số như trong (1.3)-(1.4) và Di > 0, 1 ≤ i ≤ 4
sao cho
1. Với mọi t, s ∈ R, t ≥ s,
||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+a |s| ,

||T (t, s)−1 Q2 (t)|| ≤ D3 e−b(t−s)+b |t| ; (1.5)

3


2. Với mọi t, s ∈ R, t ≤ s,
||T (t, s)P (s)|| ≤ D2 ec(s−t)+c |s| ,

||T (t, s)−1 Q1 (t)|| ≤ D4 e−d(s−t)+d |t| . (1.6)

Các hằng số trong a, b, c, d được coi như các số mũ Lyapunov, trong khi tính
khơng đều của dáng điệu mũ được quyết định bởi các hằng số trong a , b , c , d .
Khi ba thành phần của nghiệm tương ứng với các thành phần tâm, ổn định và
khơng ổn định của A(t) ta có thể lấy a = c = 0 (do đó b > 0 và d > 0).
Nhận xét 1.1. So sánh hai định nghĩa về tam phân mũ đều và tam phân
mũ không đều ta thấy hệ tam phân mũ khơng đều có thêm một lượng mũ
a |s|, b |t|, c |s|, d |t|. Khi a = b = c = d = 0 thì khái niệm tam phân mũ khơng
đều trùng với khái niệm tam phân mũ đều.
Ví dụ 1.1. Cho ω > ε > 0 là những hệ số thực và hệ phương trình trong R3
x = 0,

y = (−ω − εt sin t)y,

z = (ω + εt sin t)z.

(1.7)

Hệ phương trình vi phân (1.7) có tam phân mũ khơng đều.
Chứng minh. Ta thấy nghiệm của hệ (1.7) được viết dưới dạng
x(t) = U (t, s)x(s), y (t) = V1 (t, s)y (s), z (t) = V2 (t, s)z (s),

trong đó
U (t, s) = 1,
V1 (t, s) = e−ωt+ωs+εt cos t−εs cos s−ε sin t+ε sin s ,
V2 (t, s) = eωt−ωs−εt cos t+εs cos s+ε sin t−ε sin s .

Toán tử tiến hóa T (t, s) của hệ (1.7) được cho bởi
T (t, s)(x, y, z ) = (U (t, s)x, V1 (t, s)y, V2 (t, s)z ).

Giả sử P (t), Q1 (t), Q2 (t) : R3 → R3 là các phép chiếu được xác định bởi
P (t)(x, y, z ) = x, Q1 (t)(x, y, z ) = y, Q2 (t)(x, y, z ) = z

Rõ ràng các phép chiếu này thỏa mãn các điều kiện về phép chiếu trong định
nghĩa của hệ tam phân mũ không đều. Chọn b = d = ω − ε, b = d = 2ε
4


và các hằng số a, a , c, c > 0, a < ω − ε, c < ω − ε. Ta chỉ ra rằng tồn tại
D1 = D2 = D3 = D4 = D > 1 sao cho
||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+a |s| ,

||V2 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| với t ≥ s

||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+c |s| ,

||V1 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(s−t)+2ε|t| với t ≤ s

Vì ||U (t, s)|| = 1 nên ta có
||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+a |s| với t ≥ s
||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+c |s| với t ≤ s

với mọi a, a , c, c > 0, a < ω − ε, c < ω − ε; D > 1. Ta chứng minh
||V1 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(s−t)+2ε|t| với t ≤ s

(1.8)

||V2 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| với t ≥ s

(1.9)

và
Ta viết lại V1 (t, s) như sau:
V1 (t, s) = e(−ω+ε)(t−s)+εt(cos t−1)−εs(cos s−1)+ε(sin s−sin t) ,

suy ra
V1 (s, t) = e(−ω+ε)(s−t)−εt(cos t−1)+εs(cos s−1)−ε(sin s−sin t) .

(1.10)

Với 0 ≤ t ≤ s, từ (1.10) ta có
V1 (s, t) ≤ e2ε e−(ω−ε)(s−t)+2εt ,

với t ≤ 0 ≤ s ta có
V1 (s, t) ≤ e2ε e−(ω−ε)(s−t) ,

với t ≤ s ≤ 0 ta có
V1 (s, t) ≤ e2ε e−(ω−ε)(s−t)+2ε|s| ≤ e2ε e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t|

mà V1 (s, t) = V1 (t, s)−1 suy ra V1 (t, s)−1 ≤ e2ε e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| .
Điều này cho ta (1.8). Để thu được (1.9) ta chứng minh tương tự. Từ
V2 (s, t) = e(−ω+ε)(t−s)−εs(cos s−1)+εt(cos t−1)+ε(sin s−sin t)

ta có
V2 (t, s)−1 ≤ e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t|

Từ việc thỏa mãn (1.9) và (1.8) ta có hệ (1.7) có một tam phân mũ không
đều.
5


1.1.3

Không gian con tâm, ổn định và không ổn định

Giả sử rằng phương trình v = A(t)v có một tam phân mũ không đều. Ta xét
ba không gian con tuyến tính
E (t) = P (t)X, Fi (t) = Qi (t)X, i = 1, 2

với mỗi t ∈ R. Ta gọi E (t), F1 (t) và F2 (t) tương ứng là không gian con tâm, ổn
định và không ổn định tại thời điểm t. Ta có:
X = E (t) ⊕ F1 (t) ⊕ F2 (t) với mọi t ∈ R

và dim E (t), dim F1 (t), dim F2 (t) không phụ thuộc vào thời điểm t. Nghiệm của (1.2)
có thể được viết dưới dạng
v (t) = (U (t, s)ξ, V1 (t, s)η1 , V2 (t, s)η2 ) với t ∈ R

(1.11)

với vs = (ξ, η1 , η2 ) ∈ E (s) × F1 (s) × F2 (s), trong đó
U (t, s) := T (t, s)P (s) = T (t, s)P (s)2 = P (t)T (t, s)P (s)
Vi (t, s) := T (t, s)Qi (s) = T (t, s)Qi (s)2 = Qi (t)T (t, s)Qi (s),

i = 1, 2.

Trong trường hợp đặc biệt, nếu không gian con tâm, ổn định và không ổn định
không phụ thuộc vào t, tức là E (t) = E , Fi (t) = Fi , i = 1, 2 với mọi t, thì tốn
tử T (t, s) phải có dạng tương ứng với tổng trực tiếp E ⊕ F1 ⊕ F2 , hay T (t, s) có
thể được biểu diễn dưới dạng


U (t, s)
0
0




T (t, s) =  0
V1 (t, s)
0 



0
0
V2 (t, s)
Ngồi ra, các tốn tử
U (t, s) : E (s) → E (t) và Vi (t, s) = Fi (s) → Fi (t), i = 1, 2

là khả nghịch. Kí hiệu tốn tử nghịch đảo tương ứng là U (t, s)−1 và Vi (t, s)−1 , i =
1, 2 ta có:
U (t, s)−1 = U (s, t) và Vi (t, s)−1 = Vi (s, t)

với mọi t, s ∈ R. Chú ý rằng các bất đẳng thức ở (1.5)-(1.6) có thể viết lại thành:
||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+a |s| ,

||V2 (t, s)−1 || ≤ De−b(t−s)+b |t|

6


||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+c |s| ,

||V1 (t, s)−1 || ≤ De−d(s−t)+d |t| .

Tiếp theo ta định nghĩa góc giữa hai không gian con F1 và F2 , E và F1 , E và F2
tương ứng như sau
α(t) = inf {||y − z|| : y ∈ F1 (t); z ∈ F2 (t); ||y|| = ||z|| = 1}

(1.12)

β1 (t) = inf {||x − y|| : x ∈ E (t); y ∈ F1 (t); ||x|| = ||y|| = 1}
β2 (t) = inf {||x − z|| : x ∈ E (t); z ∈ F2 (t); ||x|| = ||z|| = 1}

Mệnh đề 1.1. Với mọi t ∈ R ta có:
2
1
≤ α(t) ≤
,
||Q1 (t)||
||Q1 (t)||

1
2
≤ α(t) ≤
,
||Q2 (t)||
||Q2 (t)||

1
2
≤ β1 (t) ≤
,
||P (t)||
||P (t)||
1
2
≤ β2 (t) ≤
,
||P (t)||
||P (t)||

2

1
≤ β1 (t) ≤
,
||Q1 (t)||
||Q1 (t)||
1
2
≤ β2 (t) ≤
.
||Q2 (t)||
||Q2 (t)||

Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp của góc giữa khơng gian con ổn
định và khơng ổn định α(t). Các bất đẳng thức khác được chứng minh tương
tự. Chú ý rằng Q1 (t)(y − z ) = y với y, z được cho bởi (1.12). Do đó,
1 = ||Q1 (t)(y − z )|| ≤ ||Q1 (t)||.||y − z||,
suy ra

1
≤ α(t).
||Q1 (t)||
2
Tiếp theo ta chứng minh α(t) ≤
.
||Q1 (t)||
Thật vậy, với mỗi v, ω ∈ X mà v¯ = Q1 (t)v = 0 và ω
¯ = Q2 (t)ω = 0 thì
ω
¯
v¯

−
||v|| ||ω||

=

|(¯
v−ω
¯ )||ω|| + ω
¯ (||ω
¯ || − ||v¯||) | 2||v¯ − ω
¯ ||
≤
.
||v¯||||ω
¯ ||
||v¯||

Chú ý rằng Q1 (t)(¯
v−ω
¯ ) = v¯. Cho trước ε ≥ 0 ta có thể chọn v và ω sao cho với
z = v¯ − ω
¯ ta có:
||z||
1
≤
+ ε.
||Q1 (t)z||
||Q1 (t)||
Suy ra
v¯

ω
¯
2||z||
2
−
≤
≤
+ 2ε.
||v|| ||ω||
||Q1 (t)z||
||Q1 (t)||
Vì ε lấy tùy ý nên ta suy ra được chặn trên của α(t).
7


Như vậy ta đã tìm hiểu được định nghĩa của hệ tam phân mũ khơng đều,
phân biệt nó với hệ tam phân mũ đều. Ngồi ra, ta cịn nghiên cứu không gian
con tâm, ổn định và không ổn định của hệ tam phân mũ không đều, Mệnh đề 1.1
cho ta biết rằng, tính bị chặn đều của các phép chiếu tương đương với điều kiện
các góc giữa các khơng gian con tâm, ổn định và không ổn định tách khỏi 0.

1.2

Đa tạp tâm

1.2.1

Các khái niệm cơ bản

Sự tồn tại của hệ tam phân mũ không đều là giả thiết yếu nhất để thiết lập

sự tồn tại của đa tạp tâm, chính xác hơn là các đa tạp "trung gian". Ta đưa ra
một vài giả thiết trên trường vectơ. Đặt
β = max{(k + 1)a + b , (k + 1)c + d }

(1.13)

Ký hiệu ∂ là đạo hàm riêng ứng với biến thứ hai, giả thiết rằng tồn tại một số
nguyên k ≥ 1 sao cho
G1. A : R → B (X ) thuộc lớp C k và thỏa mãn điều kiện nghiệm của (1.2) xác
định với mọi t ∈ R.
G2. f : R × X → X thuộc lớp C k và thỏa mãn
1. f (t, 0) = 0 và ∂f (t, 0) = 0 với mọi t ∈ R;
2. tồn tại δ > 0 và cj > 0 với j = 1, ..., k + 1 sao cho với mọi t ∈ R và
u, v ∈ X ta có
||∂ j f (t, u)|| ≤ cj δe−β|t|

với j = 1, ..., k,

||∂ k f (t, u) − ∂ k f (t, v )|| ≤ ck+1 δe−β|t| ||u − v||.

(1.14)
(1.15)

Chú ý rằng với mọi j = 0, ..., k − 1, t ∈ R, và u, v ∈ X ta có
||∂ j f (t, u) − ∂ j f (t, v )|| ≤ cj+1 δe−β|t| ||u − v||.

(1.16)

Xét các không gian con
E (t) = P (t)X,

F1 (t) = Q1 (t)X,

8

F2 (t) = Q2 (t)X.

(1.17)


Nghiệm duy nhất của v = A(t)v có thể được viết dưới dạng
v (t) = (U (t, s)ξ, V1 (t, s)η1 , V2 (t, s)η2 ) với t ∈ R,

(1.18)

với vs = (ξ, η1 , η2 ) ∈ E (s) × F1 (s) × F2 (s) và
U (t, s) := P (t)T (t, s)P (s),

Vi (t, s) = Qi (t)T (t, s)Qi (s),

i = 1, 2.

Cho trước s ∈ R và điều kiện ban đầu vs = (ξ, η1 , η2 ) ∈ E (s) × F1 (s) × F2 (s), ta
kí hiệu (x(., s, vs ), y1 (., s, vs ), y2 (., s, vs )) là nghiệm duy nhất của bài toán
v = A(t)v + f (t, v ), v (s) = vs

(1.19)

với s ≥ 0 và vs ∈ X , hoặc nó là nghiệm của bài tốn
t

x(t) = U (t, s)ξ +

U (t, r)f (r, x(r), y1 (r), y2 (r)) dr,
s

(1.20)

t

yi (t) = Vi (t, s)ηi +

Vi (t, r)f (r, x(r), y1 (r), y2 (r)) dr,

i = 1, 2

s

với t ∈ R. Với mỗi τ ∈ R, ta viết
Ψτ (s, vs ) = (s + τ, x(s + τ, s, vs ), y1 (s + τ, s, vs ), y2 (s + τ, s, vs ))
Đây là dịng được sinh bởi phương trình
v = A(t)v + f (t, v ), v (s) = vs

với s ≥ 0 và vs ∈ X .

1.2.2

Sự tồn tại của đa tạp tâm

Trong mục này ta giới thiệu sơ lược về định lý đa tạp tâm cho điểm gốc của

phương trình v = A(t)v + f (t, v ). Đa tạp tâm thu được có dạng như một đồ thị.
Kí hiệu ∂ là đạo hàm riêng tương ứng với biến thứ hai. Giả sử X là không gian
các hàm liên tục ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) : {(s, ξ ) ∈ R × X : ξ ∈ E (s)} −→ X thuộc lớp C k
sao cho với mọi s ∈ R và x, y ∈ E (s) ta có
1. ϕ(s, E (s)) ⊂ F1 (s) ⊕ F2 (s);
2. ϕ(x, 0) = 0 và ∂ϕ(s, 0) = 0;
9


3. ||∂ j ϕ(s, x)|| ≤ 1 với j = 1, ..., k và
||∂ k ϕ(s, x) − ∂ k ϕ(s, y )|| ≤ ||x − y||.

(1.21)

Chú ý rằng theo định lý giá trị trung bình, với j = 0, ..., k − 1 ta có
||∂ j ϕ(s, x) − ∂ j ϕ(s, y )|| ≤ ||x − y||

(1.22)

với mọi s ∈ R và x, y ∈ E (s). Cho trước một hàm ϕ ∈ X, xét đồ thị của ϕ
V = graph(ϕ) = {(s, ξ, ϕ(s, ξ )) : (s, ξ ) ∈ R × E (s)} ⊂ R × X.

(1.23)

Đặt
αi = 4c1 Di δ

với i = 1, 2,

(1.24)

và xét các điều kiện
T1 := (k + 1)a − b + max{(k + 1)a , b } < 0,

(1.25)

T2 := (k + 1)c − d + max{(k + 1)c , d } < 0.

Các điều kiện này gọi là các điều kiện lỗ hổng phổ.
Bây giờ ta phát biểu định lý đa tạp tâm cho điểm gốc của phương trình
v = A(t)v + f (t, v ), sử dụng kí hiệu ps,ξ = (s, ξ, ϕ(s, ξ )).
Định lý 1.1. Giả thiết rằng G1-G2 đúng. Nếu phương trình v = A(t)v trong
khơng gian Banach X có tam phân mũ khơng đều, và các điều kiện trong (1.25)
đúng, thì với δ trong (1.14)-(1.15) đủ nhỏ, tồn tại một hàm ϕ ∈ X duy nhất sao
cho tập X trong (1.23) là bất biến đối với nửa dòng Ψτ , tức là,
nếu (s, ξ ) ∈ R × E (s) thì Ψτ (ps,ξ ) ∈ V với mọi τ ∈ R.

(1.26)

Hơn nữa,
1. V là một đa tạp trơn thuộc lớp C k chứa đường thẳng R × {0} và thỏa mãn
T(s,0) V = R × E (s) với mọi s ∈ R;
2. với mọi (s, ξ ) ∈ R × E (s) ta có
s

V1 (τ, s)−1 f (Ψτ −s (ps,ξ )) dτ,

ϕ1 (s, ξ ) =
−∞

+∞

V2 (τ, s)−1 f (Ψτ −s (ps,ξ )) dτ,

ϕ2 (s, ξ ) = −
s

10


3. tồn tại D > 0 sao cho với mỗi s ∈ R, ξ, ξ¯ ∈ E (s), τ ∈ R, và j = 0, ..., k , nếu
τ ≥ 0 thì
¯
||∂ξj (Ψτ (ps,ξ )) − ∂ξj (Ψτ (ps,ξ¯))|| ≤ De(j+1)[(a+α1 )τ +a |s|] ||ξ − ξ||,

(1.27)

và nếu τ ≤ 0 thì
¯
||∂ξj (Ψτ (ps,ξ )) − ∂ξj (Ψτ (ps,ξ¯))|| ≤ De(j+1)[(c+α2 )τ +c |s|] ||ξ − ξ||.

(1.28)

Ta gọi đa tạp V trong (1.23) là đa tạp tâm cho điểm gốc của phương
trình (1.19). Ta thấy rằng V là đa tạp tâm duy nhất. Chú ý rằng các hằng
số α1 và α2 trong (1.27)-(1.28) có thể được làm nhỏ tùy ý bằng cách lấy δ đủ
nhỏ.
Chứng minh: Xem [1][Mục 8.3, trang 176].

11

Chương 2

Tính thuận và tính nghịch
của phương trình vi phân
trong không gian Banach
2.1

Hệ đối xứng

Đối xứng đảo ngược thời gian là một trong những đối xứng cơ bản được
nghiên cứu trong khoa học tự nhiên. Do đó nó xuất hiện trong nhiều hệ vật lý,
đặc biệt là cơ học cổ điển và lượng tử. Ở đây ta xét các phương trình vi phân
thường.
Trong mục này ta trình bày định nghĩa tốn học chính xác hơn của hệ đối
xứng đảo ngược thời gian trong hệ động lực.
Xét hai loại hệ động lực, với biến thời gian liên tục t ∈ R và biến thời gian
rời rạc t ∈ Z trong không gian Rn . Trong trường hợp biến thời gian t liên tục
xét phương trình vi phân thường ơtơnơm có dạng:
dx
= F (x),
dt

x ∈ Rn

(2.1)

Trong đó F : Rn −→ Rn là một trường vectơ (trơn, liên tục), hệ (2.1) được cho

12


bởi một họ các tốn tử tiến hóa
ϕt : Rn −→ Rn

(2.2)

x(τ ) −→ ϕt (x(τ )) = x(τ + t)

sao cho
ϕt1 ◦ ϕt2 = ϕt1 +t2 ,

mọi t1 , t2 ∈ R

Ta nói rằng ánh xạ (trơn, liên tục) R : Rn → Rn là một đối xứng đảo ngược
của (2.1) khi
dR(x)
= −F (R(x))
(2.3)
dt

hoặc khi
dR|x ◦ F (x) = −F (R(x))

(2.4)

Trong đó: dR|x là vi phân (Fréchet) của R đối với x.
Điều kiện (2.3)-(2.4) có thể được viết như sau:
R ◦ ϕt = ϕ−t ◦ R = ϕ−1

t ◦R

với mọi t ∈ R.

(2.5)

Trong cơ học cổ điển phương trình vi phân nhận được từ hệ Hamilton H (q, p)
có đối xứng đảo ngược được cho bởi
R(q, p) = (q, −p)

(2.6)

Chú ý rằng trong trường hợp đặc biệt thì R là chập (tức là R2 = Id).
Các khái niệm về đối xứng đảo ngược trong trường hợp không ôtônôm là
mở rộng tự nhiên của các khái niệm về đối xứng đảo ngược trong trường hợp
ôtônôm
dx
= F (x, t)
(2.7)
dt

Cụ thể, ta gọi Ra : (x, t) → (R(x), −t + a) là một đối xứng đảo ngược của (2.7)
dR(x)
= −F (R(x), −t + a)
(2.8)
dt
a
Bằng cách đưa ra một biến mới τ = t − , phương trình vi phân mở rộng

2

d(x, τ )
= (F (x, τ ), 1)
dt

( với F (x, τ ) := F x, τ +

a

2

) là ôtônôm và có đối xứng đảo ngược
R0 : (x, τ ) → (R(x), −τ )

13


Đặc biệt, ta chú ý rằng ánh xạ f có đối xứng đảo ngược R có thể được viết như
sau
f = R ◦ T, trong đó R2 = T 2 = Id
(2.9)
Khi R khơng phải là chập ta có thể biểu diễn được (2.9) dưới dạng tổng quát
f = R ◦ T, với R2 ◦ T 2 = Id

(2.10)

Đối với dịng của trường vectơ khơng ơtơnơm (2.7) khi F (x, t) tuần hoàn theo
thời gian, F (x, t) = F (x, t +1) (thời gian thu lại về 1) thì ánh xạ trở lại là ôtônôm.
Hơn nữa, dễ dàng kiểm tra rằng khi hệ khơng ơtơnơm có tính bất biến theo
Ra thì ánh xạ "thời gian 1" đối với t =

a

2

là đối xứng đảo ngược.

Định nghĩa 2.1. Một hệ được gọi là đối xứng đảo ngược khi có một ánh xạ R
thỏa mãn (2.3), hoặc (2.8) cho dịng ơtơnơm, hoặc dịng khơng ơtơnơm tương
ứng.
Đơi khi có đơi chút nhầm lẫn về việc sử dụng các thuật ngữ, một hệ được gọi
là đối xứng đảo ngược khi nghịch đảo của nó tồn tại. Khái niệm về tính nghịch
đảo được khác với khái niệm về đảo ngược đối xứng ở trên. Trong đó chú ý rằng
tất cả các hệ đối xứng đảo ngược đều có tính nghịch đảo được, nhưng khơng
phải tất cả các hệ có tính nghịch đảo được đều là đảo ngược đối xứng.

2.2

Tính nghịch của phương trình vi phân không
ôtônôm

Cho X là không gian Banach. Xét một hàm liên tục L : R × X → X sao cho
v = L (t, v ) là duy nhất và ánh xạ khả vi S : R × X → X.

Định nghĩa 2.2. Ta nói rằng phương trình v = L (t, v ) có tính nghịch đối với
ánh xạ S nếu:
L (−t, S (t, v )) +

∂S
∂S

(t, v ) L (t, v ) = − (t, v )
∂v
∂t

(2.11)

với mọi t ∈ R và v ∈ X . Ta cũng nói phương trình v = L (t, v ) có tính nghịch
nếu nó có tính nghịch đối với một ánh xạ S nào đó.

14


Mệnh đề dưới đây trình bày một đặc trưng của nghiệm của phương trình vi
phân v = L (t, v ) có tính nghịch. Với mỗi s ∈ R và vs ∈ X ta ký hiệu Φ (t, s) (vs )
là nghiệm của phương trình v = L (t, v ) với v (s) = vs . Giả thiết Φ (t, s) xác định
với mọi t, s ∈ R.
Mệnh đề 2.1. Phương trình v = L (t, v ) có tính nghịch đối với ánh xạ S khi và
chỉ khi
Φ (τ, −t) (S (t, v )) = S (−τ, Φ (−τ, v ) (v ))

(2.12)

với mọi t, τ ∈ R và v ∈ X .
Chứng minh. Giả sử (2.12) đúng. Ta có
∂ (Φ (τ, ±t) (v ))
= L (τ, Φ (τ, ±t) (v ))
∂τ

(2.13)

với mọi v ∈ X . Đạo hàm (2.12) theo τ , kết hợp với (2.13)
∂S
(−τ, Φ (−τ, t) (v ))
∂τ
∂S
−
(−τ, Φ (−τ, t) (v )) L (−τ, Φ (−τ, t) (v ))
∂v

L (τ, Φ (τ, −t)) (S (t, v )) = −

Sử dụng (2.12) và đặt ω = Φ (−τ, t) (v ) ta có
L (τ, S (−τ, ω )) = −

∂S
∂S
(−τ, ω ) −
(−τ, ω ) L (−τ, ω ) ,
∂τ
∂v

Từ đó ta có (2.11).
Bây giờ ta giả sử (2.11) đúng. Cho t ∈ R và v ∈ X . Đặt z (t) = S (−t, Φ (−t, s) (v )).
Đạo hàm theo t và sử dụng (2.13) ta có
z (t) = −

∂S
∂S
(−t, Φ (−t, s) (v )) −
(−t, Φ (−t, s) (v )) L (−t, Φ (−t, s) (v )) .

∂t
∂v

Kết hợp với (2.11)
z (t) = L (t, S (−t, Φ (−t, s) (v ))) +
−

∂S
(−t, Φ (−t, s) (v )) L (−t, Φ (−t, s) (v ))
∂v

∂S
(−t, Φ (−t, s) (v )) L (−t, Φ (−t, s) (v ))
∂v

= L (t, S (−t, Φ (−t, s) (v ))) = L (t, z (t)) .
Như vậy z (t) thỏa mãn giá trị ban đầu của phương trình z = L (t, z ) , z (−s) =
S (s, v ). Mà Φ (t, −s) (S (s, v )) cũng là nghiệm của phương trình này, theo định
lý về tính duy nhất ta có z (t) = Φ (t, −s) (S (s, v )) với mọi v ∈ X và t, s ∈ R, suy
ra (2.12) đúng.
15


Mệnh đề 2.2. Giả sử L là hàm vi phân Fréchet theo v , nếu phương trình
v = L(t, v ) có tính nghịch đối với ánh xạ S và S (t) là tuyến tính với mỗi t ∈ R,
thì ta có các tính chất sau:
1. Phương trình tuyến tính v = A (t) v có tính nghịch với ánh xạ S ;
2. Nếu So2 = Id thì S−t ◦ St = Id với mọi t ∈ R.
Chứng minh. Đạo hàm (2.11) theo v và sử dụng tính chất tuyến tính của St
ta có

∂L
∂S
∂L
(−t, St , v ) St + St
(t, v ) = − (t, .)
∂v

∂v

∂t

Cho v = 0 ta có
A (−t) St + St A (t) = −

∂S
(t, .)
∂t

(2.14)

Suy ra phương trình tuyến tính v = A (t) v có tính nghịch với ánh xạ S (tính
chất 1.)
Giả sử S02 = Id, gọi v (t) là nghiệm của phương trình v = L (t, v ), khi đó
v (t) = L (t, v (t)). Sử dụng (2.11) ta có
d (S−t ◦ St ) v (t)
∂S
∂S
=
(−t, St (v (t))) + S−t
(t, v (t)) + (S−t ◦ St ) v (t)

dt
∂t
∂t

= L (t, S−t (St v (t))) + S−t L (−t, St v (t))
− S−t [L (−t, St v (t)) + St L (t, v (t))] + (S−t ◦ St ) L (t, v (t))

= L (t, (S−t ◦ St ) v (t)) ,
và (S−t ◦ St ) v (t) cũng là nghiệm của phương trình v = L (t, v ). Từ S02 = Id, ta
có (S−t ◦ St ) v (t) |t=0 = v (0) .
Áp dụng định lý về tính duy nhất của nghiệm ta có (S−t ◦ St ) v (t) = v (t) với
mọi t ∈ R. Suy ra S−t ◦ St = Id với mọi t ∈ R.

2.3

Tính nghịch của phương trình vi phân ôtônôm

Ở đây ta chỉ ra rằng khái niệm về tính nghịch trong Mục 2.2 là một mở
rộng tự nhiên của khái niệm về tính nghịch trong trường hợp hệ ơtơnơm. Cho
L : X → X là hàm liên tục trong khơng gian Banach X , như vậy phương trình

16


v = L (v ) sinh ra một dòng (ϕt )t∈R trong X. Ta nói rằng v = L (v ) có tính nghịch

đối với ánh xạ T : X → X nếu
L◦ T = −T ◦ L.

(2.15)

Chú ý rằng nếu hàm L (t, v ) ở Định nghĩa 2.2 khơng phụ thuộc t khi đó ta có
St = T với mọi t ∈ R, (2.11) và (2.15) đồng nhất.
Tương tự như phương trình tổng qt trong trường hợp khơng ơtơnơm, có
một sự mơ tả tính nghịch của phương trình ôtônôm trong điều kiện của nghiệm
của v = L (t, v ). Trình bày dưới đây là một hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 2.1,
và thực tế là trong trường hợp ôtônôm Φ (t, τ ) = ϕt−τ với mọi τ ∈ R.
Mệnh đề 2.3. Phương trình v = L (v ) có tính nghịch đối với ánh xạ T khi và
chỉ khi ϕt ◦ T = T ◦ ϕ−t với mọi t ∈ R.
Kết quả sau đây chỉ ra rằng khái niệm của tính nghịch trong Mục 2.2 là một
mở rộng tự nhiên của khái niệm tính nghịch của phương trình vi phân ơtơnơm.
Mệnh đề 2.4. Phương trình v = L (t, v ) có tính nghịch đối với ánh xạ S :
R × X → X khi và chỉ khi phương trình ơtơnơm
t = 1 , v = L (v )

(2.16)

có tính nghịch đối với ánh xạ T : R × X → R × X xác định bởi
T (t, v ) = (−t, St (v )) .

(2.17)

Chứng minh. Vì phương trình v = L (v ) có nghiệm duy nhất và tồn cục,
phương trình ơtơnơm trong (2.16) xác định một dịng ϕτ trên R × X cho bởi
ϕτ (t, v ) = (t + τ, Φ (t + τ, t) (v )) ,

với Φ ở Mệnh đề 2.1. Theo Mệnh đề 2.3, phương trình (2.16) có tính nghịch đối
với ánh xạ T khi và chỉ khi
ϕr ◦ T = T ◦ ϕ−r ;

r ∈ R.

Với mọi (t, v ) ∈ R × X , ta có
(ϕr ◦ T ) (t, v ) = ϕr −t, St(v) = (r − t, Φ (r − t, −t) (St (v ))) ,
17

(2.18)


và
(T◦ ϕ−r ) (t, v ) = T (t − r, Φ (t − r, t) (v )) = (r − t, St−r (Φ (t − r, t) (v ))) .
So sánh hai đồng nhất thức ta suy ra (2.18) đúng khi và chỉ khi (2.12) đúng (đặt
r − t = τ ), suy ra phương trình v = L (t, v ) có tính nghịch đối với ánh xạ S .
Cũng như hệ quả của Mệnh đề 2.4, tính nghịch của một phương trình
khơng ơtơnơm có thể đưa về một phương trình ơtơnơm. Chú ý rằng T 2 (t, v ) =
(t, (S−t ◦ St ) (v )). Theo Mệnh đề 2.2, nếu L là hàm vi phân Fréchet theo v , St
tuyến tính với mỗi t ∈ R, và S◦2 = Id thì T 2 = Id hay T là chập.

2.4

Ví dụ

Ví dụ 2.1. Hệ Hamilton
Ở dạng đơn giản nhất hệ Hamilton H (q, p) là hàm được cho bởi:


∂H
dq

 =

dt
∂p

∂H
dp

 =−
dt
∂q

Tính chất của hệ Hamilton: H (q, p) = H (q, −p)
Trong trường hợp của cơ học cổ điển, phương trình vi phân thường nhận được
từ hệ Hamilton có tính nghịch đối với ánh xạ T được xác định bởi T : R2 → R2 ,
T (q, p) = (q, −p)
Ta có
T 2 (q, p) = T (T (q, p)) = T (q, −p) = (q, p)

và


T =

1

0

suy ra T 2 = Id,




0 −1

Tính H ◦ T và T ◦ H
H ◦ T (q, p) = H (q, −p) = H (q, p) ,

  ∂H   ∂H 
1 0  ∂p   ∂p 

T ◦ H (q, p) = 
∂H  =  ∂H  = −H (q, p)
−
0 −1


∂q

suy ra H ◦ T = −T ◦ H .
18

∂q


Ví dụ 2.2. Xét phương trình vi phân x = L(x), trong đó L : R → R , L(x) =
x (1 − x).

Phương trình x = L (x) có tính nghịch đối với ánh xạ T : R → R được xác định
bởi T (x) = 1 − x.
Thật vậy ta có
L ◦ T (x) = L (1 − x) = (1 − x) x,

T ◦ L (x) = (1 − x) (1 − x) x = − (1 − x) x,

suy ra L ◦ T = −T ◦ L.
∂ 4ξ
∂ξ
∂ 2ξ
Ví dụ 2.3. Xét phương trình vi phân:
+ 4 + 2α 2 + ξ +
∂t
∂x
∂x
∂ξ
Với
= 0 thì phương trình trên có tính nghịch với biến x.
∂t

∂ξ
∂x

2

=0

Phương trình vi phân cấp 4 ở trên có thể được viết như một hệ bốn phương trình
vi phân cấp 1 đối với biến ξ,

∂ξ ∂ 2 ξ ∂ 3 ξ
,
,
như sau:

∂x ∂x2 ∂x3




q1 = q2






 q = q3
2



q3 = q4





 q = −2αq − q − q 2
3
1
4
2
∂ 2ξ
∂ 3ξ

∂ξ
= q2 , 2 = q3 , 3 = q4 .
∂x
∂x
∂x
Phương trình L (q1 , q2 , q3 , q4 ) = (q2 , q3 , q4 , −2αq3 − q1 − q22 ) có tính nghịch đối với

Trong đó ξ = q1 ,

ánh xạ T : (q1 , q2 , q3 , q4 ) → (q1 , −q2 , q3 , −q4 ) .
Ta có
L ◦ T (q1 , q2 , q3 , q4 ) = L (q1 , −q2 , q3 , −q4 )

= −q2 , q3 , −q4 , −2αq3 − q1 − q22 ,



1 0 0 0
q2






0 −1 0 0  

q3



T ◦ L (q1 , q2 , q3 , q4 ) = 



0 0 1 0  

q4



2
−2αq3 − q1 − q2
0 0 0 −1

19






=




q2
−q3
q4

2αq3 + q1 + q22





,




suy ra T ◦ L = −L ◦ T.
Ví dụ 2.4. Xét phương trình v = L(v ), v = (x, y, z ), L(v ) được cho bởi
L : R3 −→ R3

(x, y, z ) −→ zx + y + C1 , zy − x, C2 − x2 − y 2
Phương trình v = L (v ) có tính nghịch đối với ánh xạ T : R3 → R3 xác định bởi
T : (x, y, z ) → (−x, y, −z ).

Ta có
L ◦ T (x, y, z ) = L (−x, y, −z ) = zx + y + C1 , −zy + x, C2 − x2 − y 2 ,







−1 0 0
zx + y + C1







T ◦ L (x, y, z ) =  0 1 0  zy − x 



2
2
0 0 1
C2 − x − y

= −zx − y − C1 , zy − x, −C2 + x2 + y 2 ,
suy ra T ◦ L = −L ◦ T.
Ví dụ 2.5. Xét phương trình v = L (v ), v = (x, y, z ) ∈ R3
L (x, y, z ) = (y, F − ε sin x − zy, α (y 2 − 1)). Phương trình v = L (v ) có tính nghịch
đối với ánh xạ T : R3 → R3 xác định bởi T (x, y, z ) = (x, −y, −z ).
Ta có:
L ◦ T (x, y, z ) = L (x, −y, −z ) = −y, F − ε sin x − zy, α y 2 − 1







−1 0 0

y






T ◦ L (x, y, z ) =  0 1 0 F − ε sin x − zy 



2
0 0 1
α (y − 1)

= y, −F + ε sin x+zy, −α y 2 − 1
suy ra T ◦ L = −L ◦ T.
20

,


Ví dụ 2.6. Tính nghịch của phương trình vi phân khơng ơtơnơm
Dưới đây là một ví dụ quan trọng về tính nghịch của phương trình khơng
ơtơnơm. Xét biến đổi tuyến tính


−1
0
0





St =  0
0
b (t)


−1
0 b(−t)
0
với mọi t ∈ R, trong đó
b (t) = eε(sin t−t cos t−cos t−t sin t) .

Chú ý rằng S◦2 = Id và St ◦ S−t = Id với mọi t ∈ R. Ta xác định một ánh xạ
S : R × R3 → R3 bởi S (t, v ) = St v . Xét ánh xạ L : R × R3 → R3 được cho bởi
L (t, v ) = A (t) v + f (t, v ) ,

(2.19)

trong đó




0
0
0





A (t) = 0 −ω − εt sin t
 , ω > ε > 0,
0


0
0
ω + εt cos t
và đặt v = (x, y, z ), β (t) = e−2ε(cos t+t sin t) ,


δtk+1 e−12εt α( v 2 )(x2 , xy + β (t)xz, xy + xz ),
f (t, v ) =

−S−t f (−t, St v ),

(2.20)

t≥0

(2.21)
t<0

đối với một số hàm C k , α : R → R với α = 0 ở ngoài đoạn [−1, 1].
Ta sẽ chỉ ra rằng phương trình v = L (t, v ) với L như trong (2.19) có tính
nghịch đối với ánh xạ S . Từ mỗi St tuyến tính, đồng nhất thức (2.11) tương
đương với

A (−t) St v + f (−t, St v ) + St A (t) v + St f (t, v ) = −

∂S
(t, v ) .
∂t

Đẳng thức trên được chứng minh nếu ta chứng minh được hai đẳng thức sau :
A (−t) St + St A (t) = −

∂S
(t, .) ,
∂t

(2.22)

và
f (−t, St v ) = −St f (t, v ) .

21

(2.23)


Đẳng thức (2.22) tương đương với
− (ω + εt sin t) b (t) + b (t) (ω + εt cos t) = −b (t) ,
ω − εt cos t − (ω + εt sin t) = −

b (−t)
,
b (−t)

ta có thể dễ dàng chứng minh được hai đẳng thức trên.
Bây giờ ta chỉ ra rằng (2.23) đúng. Với mỗi t < 0 ta có
St f (t, v ) = −St S−t f (−t, St v ) = −f (−t, St v ) .

(2.24)

Khi t > 0 từ (2.24) (thay thế v bởi S−t v và t bởi −t) ta có S−t f (−t, St v ) =
−f (t, v ), như vậy
St f (t, v ) = −St S−t f (−t, St v ) = −f (−t, St v ) .

Mặt khác ta có f (0, v ) = 0 và
−S−t f (−t, St v ) |t=0− = −S0 f (0, S0 v ) = 0.

Suy ra (2.23) và do đó cũng có (2.11). Đặc biệt, f là liên tục. Để kiểm tra rằng
nó thuộc lớp C k ta chú ý rằng bất cứ khi nào j = a + b ≤ k ta có:
∂f j
(t, v )|t=0+ = 0
∂v a ∂tb

và

∂j
[−S−t f (−t, f (t, v ))]|t=0− = 0.
∂v a ∂tb

Ta thấy phương trình v = L (t, v ) với L như ở trong (2.19) thỏa mãn các giả
thiết của Định lý 1.1 và 3.1. Đặc biệt, điều này cho phép chúng ta kết luận rằng
phương trình v = L (t, v ) có một đa tạp tâm khả ngược toàn cục trên C k , điều
kiện là ω > (k + 2) ε.

2.5

Tính thuận của phương trình vi phân trong
không gian Banach

Trong mục này ta giới thiệu về khái niệm tính thuận của phương trình vi
phân. Cách tiếp cận tương tự như trong Mục 2.2 nên ta có thể trình bày ngắn
gọn hơn.
Xét trong khơng gian Banach X một hàm liên tục L : R × X → X , phương
trình v = L (t, v ) có nghiệm duy nhất và tồn cục.
22


Định nghĩa 2.3. Ta nói rằng phương trình v = L (t, v ) có tính thuận đối với
ánh xạ khả vi (Fréchet) S : R × X → X nếu
L (t, St v ) −

∂S
∂S
(t, v ) L (t, v ) =
(t, v )
∂v
∂v

(2.25)

với mọi t ∈ R và v ∈ X . Ta cũng nói rằng phương trình v = L (t, v ) có tính thuận
nếu nó có tính thuận đối với một ánh xạ S nào đó.
Kí hiệu Φ (t, s) (vs ) là nghiệm duy nhất của v = L (t, v ) với v (s) = vs . Chứng

minh mệnh đề sau đây về cơ bản nhắc lại lí luận trong chứng minh của Mệnh
đề 2.1 và 2.4, vì thế nó được bỏ qua.
Mệnh đề 2.5. Cho ánh xạ S , các phát biểu sau đây là tương đương :
1. Phương trình v = L (t, v ) có tính thuận đối với ánh xạ S ;
2. Φ (τ, t) (S (t, v )) = S (τ, Φ (τ, t) (v )) với bất kỳ t, τ ∈ R và v ∈ X ;
3. Phương trình ơtơnơm t = 1, v = L(t, v ) có tính thuận đối với ánh xạ T :
R × X → R × X xác định bởi
T (t, v ) = (t, S (t, v )) .

Mệnh đề chỉ ra rằng khái niệm tính thuận của phương trình khơng ơtơnơm ở
trên là một sự tổng qt hóa tự nhiên của khái niệm về tính thuận trong trường
hợp hệ ôtônôm. Thật vậy, cho L : X → X là hàm liên tục mà phương trình
v = L (v ) xác định một dịng (ϕt )t∈R trong X. Phương trình v = L (v ) được gọi
là có tính thuận nếu tồn tại một ánh xạ S : X → X sao cho
L ◦ S = S ◦ L.

(2.26)

Dễ dàng chỉ ra rằng điều này xảy ra khi và chỉ khi ϕt ◦ S = S ◦ ϕt với mọi t ∈ R .
Tương tự trong trường hợp xét tính nghịch, nếu trong (2.25) hàm L (t, v ) không
phụ thuộc vào t thì đặt St = S với mọi t ∈ R, đẳng thức (2.25) trở thành (2.26).

23