số 8 toán học 1 nguyễn mạnh hà thư viện giáo án điện tử

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (343.22 KB, 32 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8Năm học 2010-2011
MƠN THI: TOÁN

Ngày thi: 18 /4/2011

Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao
đề)

Đề thi này có 5 bài, gồm 1 trang.
Bài 1: (3 điểm)

Cho biểu thức: A=

[

32x− 2
x+1.

(

x+1

3x − x −1

)

]

:
x −1

x

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị ngun của x để A có giá trị nguyên.

Bài 2: (4 điểm)

a) Chứng minh rằng: a2 + b2 ≥ 1

2 với a+ b ≥1

b) Kí hiệu [a] ( phần nguyên của a) là số ngun lớn nhất khơng vượt q a. Tìm x biết
rằng:

[

3411x+19

]

=2x+1

Bài 3: (3 điểm)

Lúc 7 giờ, một ca nơ xi dịng từ A đến B cách nhau 36 km, rồi ngay lập tức quay
trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nơ khi xi dịng, biết rằng vận tốc nước chảy
là 6 km/h.

Bài 4: (5 điểm)

a) Hãy tính số bị chia, số chia và thương số trong phép chia sau đây:

abcd : dcba = q biết rằng cả ba số đều là bình phương của những số nguyên
( những chữ khác nhau là các chữ số khác nhau )

b) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
b a

+c − a+

b
a+c −b+

c
a+b − c≥3

Bài 5: ( 5 điểm)

Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của
AB các hình vng AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của CD.
a. Tính khoảng cách từ I đến AB.

b. Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào?

Hết

Họ tên thí sinh: ... Chữ kí của giám thị1: ...
Số báo danh: ... Chữ kí của giám thị 2: ...

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

* Giám thị khơng giải thích gì thêm.

PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG LỚP 8Năm học 2010-2011
MƠN : TỐN

Hướng dẫn chấm này có 2 trang

Câu

Nội dung

Điểm

Bài 1

(3điểm)

ĐKXĐ: x ≠ 1, x ≠ -1 , x ≠ 0
a)A=

[

32x− 2

x+1.

(

x+1

3x − x −1

)

]

:
x −1

x =

[

2
3x−

2
x+1.

(

x+1−3x2−3x

3x

)

]

.
x
x −1=

[

2
3x−

2
x+1.

1−2x −3x2
3x

]

x
x −1=¿

[

2
3x−

2
x+1.

(x+1) (1−3x)

3x

]

.
x
x −1=

2−2+6x

3x .
x
x −1=

2x
x −1

0,5

1,5
b) A= x −2x1=2(x −1)+2

(x −1) =2+

x −1

Để A có giá trị nguyên ị x −21 có giá trị ngun ịx-1ẻƯ(2) =
{±1;±2}⇒x∈{−1;0;2;3} vì x ≠ -1; x ≠0 ⇒{x}={2;3}

0,5

Bài:2

(4 điểm)

a) Theo bài ra ta có a+b 1 ⇔ a2+ 2ab +b2 ≥1 (1)
Mặt khác : (a-b)2 ≥ 0 ⇔ a2- 2ab +b2 ≥ 0 (2) .

Từ (1) và (2) suy ra: 2(a2+ b2) ≥1 ⇔ a2+b2≥ 1
2

0,75
0,75
0,5
b)

[

3411 x+19

]

=2x+1 ⇔ 0≤34x+19

11 −(2x+1)<1 và 2x+1ẻZ

⇔ 0≤12x+8 <11 ⇔ -8≤ 12x < 3 ⇔ −4

3 ≤2x<
1
2⇔

−1

3 ≤2x+1<
3
2

Do 2x+1ẻZ ị 2x+1 =0 hoặc 2x+1 =1 ị x=−1

2 ; x=0

1,0
0,5
0,5

Bài:3

(3 điểm)

Gọi x(km/h) là vận tốc ca nơ xi dịng . (ĐK: x>12)
Vận tốc ca nơ khi nước lặng là : x-6 (km/h)

Vận tốc ca nô khi ngược dòng là: x-12 (km/h)

Thời gian cả đi và về của ca nơ là 4,5 giờ nên ta có phương trình:

36
x +

36
x −12=

9
2

0,5

1,0

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

ị (x-4)( x-24) = 0

ị x=4 (Loại) và x=24(thoả mãn điều kiện)
Vậy vận tốc của ca nơ khi xi dịng là 24km/h

1,0
0,5

Bài:4

(5 điểm)

a) abcd : dcba = q Vì q≠1 ị q=4 hoặc q=9 a;d phải là những số thuộc
{1;4;5;6;9} a≠ 0, d≠ 0

Do abcd = dcba x q nên d <3 ị d =1

Giả sử q=4 khi đó 1cba x 4=abc1(vơ lí ) vì 1cba x 4 phải là một số chẵn
nên q =9

Với q=9 ta có 1cba x 9 = abc1 suy ra a=9 , c < 2 vì tích 1cba x 9 là số có 4
chữ số ta lại có c≠ d tức là c≠ 1 ị c= 0

Ta thấy abcd = 9b01= 10b9 x 9 vậy 9b01 là số chia hết cho 9 ị b=8 tóm
lại ta có 9801:1089=9

Thử lại ta có 9801= 99x99 ; 1089 = 33x33 ; 9 = 3x3

0,5

0,5
0,5
0,5
0,5

b) Đặt x = b+c a , y = a+c-b , z = a+b –c Þ (x,y,z >0) Þ x+y+z =
a+b+c vµ 2a = a+b+c – (b+c-a) =x+y+z-x = y+z ⇒a=y+z

2 t¬ng tù :
b=x+z

2 ;c=
x+y

BĐT chứng minh tơng đơng với : y+z

x +

x+z

y +
x+y

z ≥6

⇒

)

≥6 do B®t

(

a
b+

b
a

)

2
Vy Bt ng thc c chng minh.

1,0
1,0
0,5

Bài:5

(5 điểm)

a) KỴ CE, IH, DF cïng
vu«ng gãc víi AB

suy ra tø giác CDFE là hình
thang vuông

chng minh c :
CE = AM

2 ,DF=
BM
2
ịCE+DF=
AB
2 =
a

2IH=

a
4

b) Khi M di chuyển trên AB
thì I di chuyển trên đoạn RS
song song víi AB vµ cách
AB một khoảng bằng a

4
( R là trung điểm của AQ
, S là trung điểm của BQ , Q
là giao điểm cđa BL vµ AN)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

(Bài hình học sinh không vẽ hình thì không chấm điểm)

PHềNG GI O D C V Á Ụ À ĐÀO T O Ạ ĐỀ THI H C SINH GI I- N M H C 2011- Ọ Ỏ Ă Ọ
2012

HUY N HO NG HO MÔN THI: TO N - L P 8Ệ Ằ Á Á Ớ

Th i gian l m b i: 120 phút (Không k th i gian giao ờ à à ể ờ
)

đề

B i 1à : (3,0 i m). đ ể

Cho bi u th c A = ể ứ 2 2

1 2 5 1 2

1 1 1 1

x x

x x x x

 

 

 

 

   

 

a) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ
b) Tìm x để A > 0.

B i 2à : (4,0 i m). đ ể

a) Ch ng minh r ng bi u th c sau không ph thu c v o bi n x:ứ ằ ể ứ ụ ộ à ế
( 6x + 7)(2x – 3) – (4x + 1)

x

 



 

 

b) Tính giá tr bi u th c P = ị ể ứ

x y
x y



 . Bi t ế x2 – 2y2 = x y ( x + y 0, ≠ y 0).≠

B i 3à : (4,0 i m). đ ể

a) Gi i phả ương trình: x6 – 7x3 – 8 = 0

b) Ch ng minh r ng: N u 2n + 1 v 3n + 1 (n ứ ằ ế à  N) đề àu l các s chính phố ương
thì n chia h t cho 40.ế

B i 4à :(6,0 i m). đ ể

Cho tam giác ABC có ba góc nh n, các ọ đường cao BD, CE c t nhau t i H.ắ ạ
a) Ch ng minh ứ ABD  ACE.

b) Ch ng minh BH.HD = CH.HE.ứ

c) N i D v i E, cho bi t BC = a, AB = AC = b. Tính ố ớ ế độ à đ ạ d i o n th ng DE theo a,ẳ
b.

B i 5à : (3.0 i m). đ ể

a) Gi i phả ương trình: (8x – 4x2 – 1).(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1)
b) Cho hai s a, b tho mãn a + b 0. Ch ng minh r ng: aố ả ≠ ứ ằ 2 + b2 +

ab
a b



 

 



  ≥ 2.

……… Ế ………H T

H v tên thí sinh:ọ à ……… Giám th 1:ị

………

S báo danh:ố ………. Giám th 2:ị ……….

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
 HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2011- 2012

MÔN THI: TOÁN - LỚP 8

Bài Nội dung Điểm

Bài 1
(3,0điểm)

a) (2,0 điểm) KXĐ: x ≠ ± 1

A = 2 2

1 2 2 5 1 2

1 1

x x x x

x x
     
 
=
2
2

2 1 2

1 1 2 1 2

x

x x x



  
0,25đ
0,75đ
1,0đ

b) (1,0 điểm) A > 0  1 – 2x > 0  x <

1
2

Đối chiếu ĐKXĐ, ta được - 1 ≠ x <

1
2.
0,5 đ
0,5đ
Bài 2
(4,0điểm)

a) (2,0 điểm) ( 6x + 7)(2x – 3) – (4x + 1)

7
3
4
x
 

 
 

= 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – 3x +

7
4 =

77
4



2,0đ

b) (2,0 điểm) x2 – 2y2 = xy

 x2 – xy – 2y2 = 0  (x + y)(x – 2y) = 0

Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0  x = 2y

Khi đó A =

2 1

2 3 3

y y y
y y y


 

0,75đ
0,75đ
0,5đ
Bài 3
(4,0điểm)

a) (2,0 điểm) Ta có x6 – 7x3 – 8 = 0

 (x3 + 1)(x3 – 8) = 0

 (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (*)

Do x2 – x + 1 = (x –

1
2)2 +

4 > 0 và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với 
mọi x, nên (*)  (x + 1)(x – 2) = 0  x {- 1; 2}

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b) (2,0 điểm) Do 2n + 1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 chia cho 8

dư 1, suy ra n là số chẵn.

Vì 3n + 1 là số chính phương lẻ nên 3n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra
3n  8 Þ n  8 (1)

Do 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng bằng
1; 5; 9 do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4

Mà (2n + 1) + (3n + 1) = 5n + 2 , do đó 2n + 1 và 3n + 1 khi chia cho 5
đều dư 1. Suy ra 2n  5 và 3n  5 Þ n  5 (2)

Từ (1) và (2) Þ n  BCNN(5; 8) hay n  40

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 4
(6,0điểm)

a) (2,0điểm)

Chứng minh được

ABD ACE. 2,0đ

b) (2,0điểm)

Chứng minh được BHE CHD

Suy ra BH.HD = CH.HE.

1,0đ
1,0đ
c) (2,0điểm)

Khi AB = AC = b thì ABC cân tại A

Suy ra được DE // BC

DE AD
BC AC

Þ 

Þ DE =

AD BC
AC

Gọi giao điểm của AH và BC là F Þ AF  BC,

FB = FC = 2

a

DBC FAC

DC BC
FC AC

Þ  DC BC FC.

AC
Þ 
=
2
2
a
b

Þ DE =

AD BC
AC =

(AC DC BC).

AC

=
2
( ).
2
a
b a
b
b

=
2 2
2
(2 )
2

a b a
b

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ

0,25đ
0,5đ

B i 5à
(3,0 i mđ ể

)

a) (1,5điểm).

Nhận thấy x = - 1 khơng phải là nghiệm của phương trình.
Với x ≠ - 1 PT đã cho tương đương với

2 2

8 4 1 1

4 2 1

x x x x
x x

   



 

Ta có

2 2 2 2

2 2 2

1 4 4 4 3( 2 1) ( 2 1)

2 1 4( 2 1) 4( 2 1)

x x x x x x x x

x x x x x x

        
 
      
=
2
2

3 ( 1) 3

4 4( 1) 4

x
x



 

 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0  x = 1(1)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Lại có:

2 2

8 4 1 3 4( 2 1) 3 3

( 1)

4 4 4 4

x x x x

x

    

    

. Đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi x – 1 = 0  x = 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình chỉ có nghiệm x = 1

0,25đ

b) (1,5điểm)
Ta có a2 + b2 +

ab
a b



 

 



  ≥ 2  (a2 + b2)(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 2(a + b)2
 (a + b)2 [(a + b)2 – 2ab] – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0

 (a + b)4 – 2ab(a + b)2 – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0
 (a + b)4 – 2(a + b)2(ab + 1) + (ab + 1)2 ≥ 0
 [(a + b)2 – ab - 1]2 ≥ 0 suy ra đpcm.

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,5đ

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

HUYỆN TĨNH GIA ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2011 - 2012

MÔN : TỐN 8

Đề chính thức THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT

Bài 1 ( 2,0 điểm )

1- Tìm giá trị x của phân thức 2x2+10x+12

x3−4x bằng 0

2- Rút gọn với n là số nguyên dương

(

1+1

)(

1+
1
8

)(

)

. .. ..

(

1+
1
n2

+2n

)

Bài 2 ( 3,5 điểm )

1- Giải phương trình x2x+1

+x+1−

x −1
x2− x+1=

3
x(x4+x2+1)

2- Chứng tỏ rằng phân thức (x

+a)(1+a)+a2x2·+1

(x2−a)(1− a)+a2x2+1 không phụ thuộc vào
x.

3- Cho hình vng ABCD, I là một điểm nằm trên cạnh AB. Tia DI và tia
CB cắt nhau tại K. Tia Dx DK và cắt đường thẳng BC tại L.

a- Chứng minh tam giác DIL cân

b- Chứng minh khi I di chuyển trênđoạn thẳng AB thì 1

DI2+
1

DK2 có

giá trị khơng đổi.

Bài 3 ( 2,5 điểm )

Chứng minh rằng nếu c2+2(ab−ac−bc)=0 , b ≠ c và a+b ≠ c thì

a2+(a − c)2

b2+(b −c)2=

a −c
b −c
Bài 4 ( 2,0 điểm )

Người ta chia một đoạn thẳng dài 12 cm thành 3 phần và dựng các hình
vng có ba cạnh là ba đoạn ấy. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng các diện tích ba hình
vng nhận được.

Chú ý : Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

PHỊNG GD - ĐT
HUYỆN TĨNH GIA

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 1 (2 điểm):

1. Để phân thức: 2x2+10x+12
x3−4x = 0

⇔

2x2

+10x+12=0

x3−4x ≠0

⇔

¿(x+2)(x+3)=0

x ≠0; x ≠ ±2

⇔x=−3
¿{

2. Rút gọn với n là số nguyên dương

n+1¿2
¿
¿n(n+2)

¿
¿

(

1+1

)

(

1+
1
8

)

(

)

. .. . .

(

1+
1
n2+2n

)

22
1. 3.

32
2 . 4.

3 . 5.. . .. .¿

Bài 2 (3,5 điểm):

1. Giải phương trình: x2x+1

+x+1−

x −1
x2− x

+1=

3
x(x4+x2+1)

Ta có:

¿
x2+x+1=

(

x+1

)

4>0
x2− x

+1=

(

x −1

)

4>0
x4

+x2+1>0

x ≠0

⇔ ∀x ≠0
¿{ { {

 x(x + 1)(x2 – x + 1) – x(x - 1)(x2 + x + 1) = 3

 x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x – x4 – x3 – x2 + x3 + x2 + x = 3

 2x = 3

 x=3

2(tm)
2. Phân thức:

(x2+a)(1+a)+a2x2+1
(x2− a)(1− a)+a2x2+1=

x2+ax+a+a2+a2x2+1

x2−ax2−a

+a2+a2x2+1

x2
(a2

+a+1)+a2+a+1

x2(a2−a+1)+a2−a+1
= (x

+1) (a2

+a+1)
(x2+1) (a2−a+1)

=a

+a+1

a2− a

Không phụ thuộc vào x

3. a) Xét ΔACL và ΔDAI có:
^A= ^C=900

ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa

A I B

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

C^D L=A^D I (Cùng phụ ^D

2 )
AD = CD (gt)

Do đó: ΔACL = ΔDAI (Cạnh góc vng – góc nhọn)
Suy ra: ID = DL (Cạnh tương ứng)

Nên: ΔDIL cân tại D

b) Theo cơng thức tam giác ta có:

SΔDKL=1

2CD . KL=
1

2. DK . DL

⇔CD2. KL2

=DK2. DL2
⇔KL2

DK2. DL2=
1
CD2 ⇔

DK2+DL2

DK2. DL2 =
1
CD2 ⇔

1
DL2+

1
DK2=

1
CD2
Theo câu a

DI = DL => 1
DI2+

1
DK2=

CD2 Khơng đổi CD (Cạnh hình vng)

Bài 3 (2,5 điểm): Chứng minh rằng: Nếu c2

+2(ab−ac−bc)=0;b ≠ c ; a+b ≠ c

Thì:

a − c¿2
¿

b − c¿2
¿

b2+¿

a2

+¿
¿

Chứng minh:

Ta có:

¿
c2

+2(ab−ac−bc)=0

b ≠ c

a+b ≠ c

⇒

¿(a+b − c)2=a2+b2

b −c ≠0
a+b − c ≠0

¿{{
¿

Nên: a2 = (a+ b - c)2 – b2 = (a - c).(a + 2b - c)

b2 = (a + b - c)2 – a2 = (b - c).(2a + b - c)

a− c¿2
¿
b− c¿2

¿
a− c¿2

¿
b− c¿2

(b − c)(2a+b − c)+¿
(a − c)(a+2b − c)+¿

b2

+¿
a2+¿

Bài 4 (2, 0 điểm):

ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

a b c
12 cm

Đoạn thẳng chia thành 3 đoạn có độ dài là:
0<a≤ b ≤ c<12

Ta có: a + b + c = 12  a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = 144
 a2 + b2 + c2 = 144 - 2ab - 2bc - 2ca
Tổng diện tích của 3 hình vng là:

S = a2 + b2 + c2 = 144 - 2ab - 2bc - 2ca
Áp dụng BĐT côsi cho các cặp số dương
a2 + b2 2ab

b2 + c2 2bc
a2 + c2 2bc

Nên 2a2 + 2b2 + 2c2 2ab + 2bc + 2ca

- 2S - 2ab - 2bc - 2ca
144 - 2S 144 - 2ab - 2bc - 2ca
144 - 2S S

3S 144
S 48
Dấu “=” xảy ra  a = b = c = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích là 48cm2 khi và chỉ khi đoạn thẳng chia thành 3 
đoạn thẳng bằng nhau bằng 4 cm.

(Lời giải mang tính chất tham khảo)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 HUYỆN NGA SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
 NĂM HỌC 2009 - 2010

Mơn thi: Tốn 
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ BÀI:

Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức A=

2 3

2 2

2 1 1 2 16 16 4

1 2 1 2 4 1 4 4 1

x x x x x

    

 

 

    

 

a. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
b. Rút gọn biểu thức A.

c. Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị dương.

Câu 2 (4 điểm): Giải các phương trình:
a. (x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2) x2
b.

8 2 1 8

3(1 4 ) 6 3 4 8

x x x



 

  

Câu 3 (4 điểm): Bình thường, bạn An đi học từ nhà đến trường với vận tốc 5km/h thì
đến lớp sớm hơn giờ vào học 5 phút. Nhưng hôm nay, do dậy muộn so với bình thường
29 phút nên bạn An phải chạy với vận tốc 7,5 km/h và đến lớp vừa kịp giờ vào học. Tính
quãng đường từ nhà bạn An đến trường.

Câu 4 (6 điểm): Cho hình vng ABCD và các điểm E, F lần lượt trên các cạnh AB, AD
sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu của A trên DE.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a. Chứng minh AD2 = DH.DE.

b. Chứng minh hai tam giác AHF và DHC đồng dạng.

c. Xác định vị trí của các điểm E và F để diện tích tam giác CDH gấp 9 lần diện
tích tam giác AFH.

Câu 5 (2 điểm): Cho M = 2x2 + 2y2 + 3xy – x – y – 3.

Tính giá trị của M biết xy = 1 và x y đạt giá trị nhỏ nhất.
Hết

Đề thi gồm 01 trang

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2009 – 2010

Mơn thi: Tốn

Câu ý Nội dung Điểm

1(4đ) a
1.5đ

A =

2 3

2 2

2 1 1 2 16 16 4

1 2 1 2 4 1 4 4 1

x x x x x

    
 
 
    
 
=



 



2 2
2

2 1 1 2 16 4 (4 1)

1 2 1 2 1 2 1 2 (2 1)

x x x x x

x x x x x

    
 
 
      
 

ĐK: x
1
2

0.5
1đ
b
1.5đ

Với điều kiện ở câu a ta có:
A =











 



2 2 2

2 1 1 2 16 4 (2 1)(2 1)

1 2 1 2 (2 1)

x x x x x x

x x x

       
 
    
 
=
2

16 8 4 (2 1)

(1 2 )(1 2 ) 2 1

x x x x

x x x

 

  

8 2 1

1 2 4 (2 1)

x x

x x x



 

2
2x 1



0.5
0.5
0.5
c

1đ A > 0

2
0
2x 1



 

 0.5

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

 2x 1 0

1
2

x 

  0.5

2 a

2đ (x + 2)(x

2 – 3x + 5) = (x + 2) x2
 (x + 2)(x2 – 3x + 5 – x2) = 0
 (x + 2)(-3x + 5) = 0


2
5
3
x
x



 


0.5
0.5
1
b
2đ
2
2

8 2 1 8

3(1 4 ) 6 3 4 8

x x x



 

  

8 2 1 8

3(1 2 )(1 2 ) 3(2 1) 4(1 2 )

x x x

x x x x



  

    (1)

ĐK: x

1
2



(1)  32x2 8 (1 2 ) 3(1 8 )x  x   x (1 – 2x)
 26x + 3 = 0

 x =

3
26

0.5
0.5
0.5
0.5
3

4đ Gọi quãng đường từ nhà bạn An đến trường là x (km). ĐK x > 0

Thời gian đi quãng đường x với vận tốc 5km/h là 5

x

Thời gian đi quãng đường x với vận tốc 7.5 km/h là 7.5

x

Thời gian đi quãng đường x với vận tốc 7.5 km/h ít hơn thời gian
đi với vận tốc 5 km/h là 24 phút hay 0.4 giờ. Ta có phương trình:

x
- 7.5

x

= 0.4
Giải ra được x = 6.

x = 6 thoả mãn đk x > 0. Vậy quãng đường cần tìm là 6 km

0.25
0.5
0.5
0.5
1
0.25
4

6đ
a

2đ Xét hai tam giác vng ADE
Và HAD có chung góc nhọn
ADH nên chúng đồng dạng.
Suy ra ADDH=DE

⇒AD2=DH . DE

1
0.5
0.5

ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2đ Từ hai tam giác ADE và HAD đồng dạng ta có:
ADHD=AE

⇒DC

HD=
AF

HA (1) ( Do AD = DC; AF = AE theo bài cho )

Mặt khác HDC = HAD (2) ( cùng phụ với HAD )

Từ (1) và (2) suy ra hai tam giác AHF và DHC đồng dạng
(Trường hợp c - g - c)

0.5
0.5
0.5
0.5
c

2đ Theo chứng minh câu (b) ta có hai tam giác CDH và AFH đồng
dạng nên ta có:

SSΔCDH
ΔAFH

(

)

SΔCDH
SΔAFH

=9⇒

(

)

=9
⇒ CD = 3 AF.

Vậy, để diện tích tam giác CDH gấp 9 lần diện tích tam giác
AFH thì E, F thuộc AB và AD sao cho AE = AF = 13AB .

0.5

0.5
0.5
0.5
5

2đ Biến đổi M = 2x

2 + 2y2 + 3xy – x – y – 3
= 2(x + y)2 -(x + y) - xy - 3

Ta có (x - y)2 0 ⇒ (x + y)2 4xy
Mà xy = 1 nên (x + y)2 4

⇒ x y 2.

⇒ min x y = 2.

Khi x y = 2 ta có x + y = 2 hoặc -2

+ Thay x + y = 2 và xy = 1 vào biểu thức M ta được M = 2
+ Thay x + y = -2 và xy = 1 vào biểu thức M ta được M =8

Vậy M = 2 hoặc M = 8

0.5
0.5
0.5

0.5

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN NGA SƠN

(§Ị thi gåm cã 01 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 THCS CẤP HUYỆN
N M H C: 2010 - 2011Ă Ọ

Mơn thi: Tốn

Th i gian l m b i: 150 phútờ à à
Ng y thi: 16/ 04/ 2011à

Câu 1 ( 4 i m):đ ể

Cho bi u th c: ể ứ

2 2

3 2

3 3 1 1 2 5 5

1 1 1 1

x x x x

A

x x x x x

     

   

    

  .

a) Rút g n ọ A.

b) Tìm giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ A.

Câu 2 ( 4 i m): Cho a th c đ ể đ ứ

4 3 2

( ) 6 40 1979

P x x x  x  x m  .

a) Tìm m sao cho P x( ) chia h t cho ế x 2.

b) V i ớ mtìm được, hãy gi i phả ương trình P x( )= 0.

Câu 3 (4 i m): đ ể

Lúc 8 gi , An r i nh mình ờ ờ à để đ đế i n nh Bình v i v n t c 4 km/h. Lúc 8 già ớ ậ ố ờ
20 phút, Bình c ng r i nh mình ũ ờ à để đ đế i n nh An v i v n t c 3 km/h. An g p Bìnhà ớ ậ ố ặ
trên đường r i c hai cùng i v nh Bình, sau ó An tr v nh mình. Khi v ồ ả đ ề à đ ở ề à ề đến
nh mình An tính ra quãng à đường mình i d i g p b n l n quãng đ à ấ ố ầ đường Bình ãđ

i. Hãy tính kho ng cách t nh An n nh Bình.

đ ả ừ à đế à

Câu 4 (6 i m): đ ể

Cho hình vng ABCD. G i ọ E l m t i m trên c nh à ộ đ ể ạ BC (E khác B v à C).
Qua A k ẻ Ax vuông góc v i ớ AE , Ax c t ắ CD t i ạ F. Trung tuy n ế AI c a tam giácủ

AEF c t ắ CD ở K. Đường th ng k qua ẳ ẻ E, song song v i ớ AB c t ắ AI ở G.

ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa

CH NH TH C

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

a) Ch ng minh ứ AE = AF v t giác à ứ EGFK l hình thoi.à

b) Ch ng minh ứ AKF đồng d ng v i ạ ớ CAF v à AF2 = FK FC.

c) Khi E thay đổi trên BC, ch ng minh chu vi tam giác ứ EKC không đổi.

Câu 5 (2 i m):đ ể

Cho các s ố a b, l n lầ ượt tho mãn các h th c sau:ả ệ ứ

3 3 2 5 2011 0

a  a  a  , b3  3b2 5b2005 0
Hãy tính a b .

---H t---ế

Họ và tên thí sinh:………...……Số báo danh:
………

PHÒNG GI O D C V Á Ụ À ĐÀO T OẠ
 HUY N NGA S N Ệ Ơ

HƯỚNG D N CH MẪ Ấ

K THI CH N H C SINH GI I L P 6,7,8 N M H C 2010 - 2011Ỳ Ọ Ọ Ỏ Ớ Ă Ọ

Mơn thi: Tốn l p 8ớ

Câu ý Tóm t t l i gi iắ ờ ả Đ ểi m

Câu1

4đ (2 )a.đ ĐK: x1

2 2 2

3 2

3 3 2 1 1 1

1 2 5 5

x x x x x x

A

x x x

       

  
2
3 2
1 1
.

1 2 5 5

x x x

  



  

= 2
1
2x  5x5

0.5
0.5
0.5

0.5

b.
(2 )đ

Ta có A 2
1

2x  5x5=

5 25 15

2( 2 )

4 16 8

x  x 

=
2
1
5 15
2( )
4 8

x 

Vì

5 15 15

2( )

4 8 8

x  

 x nên

5 15
2( )

4 8

x  8



x

 (1)
D u “=” x y ra khi ấ ả

5
4

x

3 2

( ) 2 3 12 16

P x  x x  x  x

= 0



x 2

 

x 1 (



x2 4x 16) 0

      



x 2

 

x 1



0

( Vì





2 4 16 2 12 0

x  x  x   x) 

2
1
x
x


 

0.5
0.5
1.0
Câu
3

4đ G i kho ng cách t nh An ọ ả ừ à đến nh Bình l à à

x (x>0, x ođ
b ng km). Theo b i ra ta có quãng ằ à đường An ã i ã l 2đ đ đ à x,
suy raquãng đường Bình ã i l đ đ à

4 2

x x


.

Do ó quãng đ đường Bình i t nh đ ừ à đến khi g p An l ặ à 4
x
,
quãng đường An I t nh đ ừ à đến khi g p Bình l ặ à

4 4

x x

x 

.
Th i gian An i t nh ờ đ ừ à đến khi g p Bình l ặ à

3
16

x

(gi ), th i gianờ ờ
Bình i t nh đ ừ à đến khi g p An l ặ à 12

x

(gi )ờ
Theo b i ra, ta có phà ương trình:

3 1

16 12 3

x x

 

 9x-4x=16

16
3,2
5
x
  
(km)
1.0
1.0
1.0
0.5
0.5
Câu
4
6đ
a.
2.0đ

ST: Phm Vn Vng NBS HH- Thanh Húa

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Xét hai tam giác vuông ABE vµ ADF cã AB = AD, BAE CAF

( Cùng phụ với DAE). Vậy ABE ADF ị AEAF

Vì AEAF và AI là trung tuyến của tam giác AEF ị AI
EF. Hai tam giác vuông IEG và IFK có IE=IF, IEG IFK  ( So le

trong) nªn IEG= IFK

ị EG=FK. Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG v FK song song v

bằng nhau nên là hình bình hành.

Hỡnh bỡnh hnh EGFK cú hai ng chộo GK và EF vng góc nên
là hình thoi

0.5
0.5
0.5
0.5

b.

2.0đ Xét hai tam giác AKF và CAF ta có

AFK CFA ( góc chung),

  450

KAF ACF  ( AC là đường chéo hình vng ABCD, AK là

trung tuyến của tam giác vuông cân AEF)

Suy ra tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF.
Vì tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF nên ta có:

2 .

AF FK

AF FK FC

FC AF  

0.5
0.5
0.5
0.5

c.

2.0 đ Theo ý a, ta có

ABE ADF

  nên EB = FD
Tứ giác EGFK là hình thoi nên EK=KF
Do đó, chu vi tam giác EKC bằng

-EK+KC+CE=CF+CE=CD+DF+CE=2CD ( không đổi)

0.5

0.5
1.0

Câu5

 



(a b 2) ( a 1) a 1 b 1 b 1 2 0

          

 

Vì



 



2
2

(a 1)  a 1 b 1  b 1 2













1 1 1

1 1 2 0

2 a b 2 a 2 b

        a b,



Nên a b  2 0  a b 2

0.5
0.5

0.5

Ghi chó: - Bµi hình học nếu học sinh không vẽ hình hoặc hình sai cơ bản thì không chấm.
điểm.

- Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tơng ứng.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO

TRIỆU SƠN

KIỂM ĐỊNH CHẤT LNG HC SINH GII
LP 8

Năm học: 2011 - 2012

Đề chính thức

Số báo danh

Môn: Toán

Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao đề)
Ngày thi: 09/05/2012

(§Ị thi cã 01 trang, gåm 05 c©u)
Câu 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức: P =

(

x2+1− 3
x −1−

x+7

1− x2

)

1−2x
x2−1 .

1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm x để P < 0.

Câu 2: (4,0 điểm)

1. Giải phương trình: 4x2−4x −5|2x −1|−5

=0.

2. Giải bất phương trình: (2x2

+3x+4)2 −(x2

+x+4)2 > 0
Câu 3: (4,0 điểm)

1. Tìm cá số tự nhiên n để (n2−8)2+36 . là số nguyên tố.

2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất đẳng thức:

10x2+20y2+24 xy+8x −24y+51<0 .

Câu 4: (6,0 điểm)

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết AB = 15cm và AC =
20cm.

a) Chứng minh rằng: AH.BC = AB.AC. Tính: BC, AH.

b) Kẻ HM AB, HN AC. Chứng minh: Δ AMN  Δ ACB.

c) Trung tuyến AK của tam giác ABC cắt MN tại I. Tinh diện tích tam giác AMI.

2. Cho tam giác ABC cân tại A, có BAC = 108 ❑0 . Tính tỷ số BCAC .

Câu 5: (2,0 điểm )

Cho a, b, c là ba số dương và 1a+1

c=
2
b .

Chứng minh rằng: 2aa − b+b + c+b

2c − b≥4 .

--- Hết

---Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Bài ý Nội dung điể

m
Câu

1:
4,0
điểm

1.

2đ Rút gọn: P =
2

1−2x 2đ

2.

2đ Để P < 0, nghĩa là:
2

1−2x < 0  x >
1

2 2đ

Câu
2:
4,0
điểm

1.
2đ

Giải phương trình: 4x2−4x −5|2x −1|−5=0. (1)

 Nếu: x  12 (1)  2x(2x – 7) = 0 

x=0(loai)
¿
x=7

2
¿
¿
¿
¿

1đ

 Nếu: x < 12 (1)  (2x + 5)(x – 1) = 0 

x=1(loai)

¿
x=−5

2
¿
¿
¿
¿
Vậy (1) có nghiệm x = - 52 ; x = 72

1đ

2.

2đ Giải bất phương trình: (2x
2

+3x+4)2 −(x2

+x+4)2 > 0

Biến đổi về dạng: x(x + 2)(3x ❑2 + 4x +8) > 0 1đ

Nhận xét: vì 3x ❑2 + 4x +8 = (x + 2) ❑2 + 2x ❑2 + 4 > 0

Þ x(x + 2) > 0  x < - 2 x > 0

1đ

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

3:

4,0
điểm

2đ Ta có: (n2−8

)2+36 =

n4−16n2+64+36=n4+100−16n2=(n2+10)2−36n2=(n2+10−6n) (n2+10+6n)

1đ
Để (n2−8

)2+36 . là số nguyên tố, điều kiện cần là: n2+10−6n=1 

n −3¿2=0⇔n=3

¿ . Thử lại: với n = 3 thì: (n
2

−8)2+36 = 37 là số nguyên
tố.

Vậy n = 3 thì (n2−8)2+36 là số nguyên tố.

1đ

2.

2đ Biến đổi: 10x2

+20y2+24 xy+8x −24y+51<0 .

 (3x+4y)2+(x+4)2+(2y −6)2−1<0

1đ

¿
3x+4y=0

x+4=0

2y −6=0
⇔
¿x=−4

y=3
¿{ {

1đ

Câu 
4:

6,0
điểm

1. a. ABH CBH Þ AB
BC =

AH
AC (∗)
Þ AH.BC = AB.AC.

Và tính dược: BC = 25 cm
(1) Þ AH = AB . ACBC =12 cm

b. Chứng minh: ACB HCA HCA NHA

NHA = AMN ÞAMN ACB

c. Þ N❑

1 = B
❑

(AKC cân tại K)

Và A❑1 = C❑ , mà B❑ + C❑ = 90 ❑0 Þ N

❑

1 + A
❑

1 = 90

❑0

ÞAIN vng cân tại I và NHA  ACB (chứng minh trên)
Þ NHAC=AH

BC Þ NH=

AC. AH

BC =

20. 12

25 =9,6 cm.
Þ AM = NH = 9,6 cm

Và IMA AMN ÞIMA ACB Þ AMBC =IM

AC=
AI
AB=

9,6
25 .
Þ IM = 19215 ; AI = 14425 Þ S ❑AMI = 1

2 AI.IM =
1

192
25 .

144
25 =

13824
625 .

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

I 1

B H C

N
A

2.

C
B

Ta có: AMB BAC Þ ABBC=BM

AC ⇒

AB+BC

BC =

BM+AC

AC =

BC
AC

Þ BCAC=1+AB

BC =1+
AC

BC . Đặt: x =
BC

AC (x > 0)

Þ x = 1 + 1x  x2− x −1=0 . GiảI ra ta được: x = 1+√5

2 .

Vậy: BCAC = 1+√5

2
Câu

5:
2,0
điểm

Từ: 1a+1

c=
2

b Þ 2a – b =
ab

c và 2c – b =
bc

a .
Þ

a+b

2a − b+
c+b

2c+b=

a+b

ab
c

+c+b

bc
a

=c

b+
c
a+

a
b+

a
c≥4

√

acb2≥4 .

Bất đẳng thức Cosi và a, b, c dương.
Dấu bằng xẩy ra  a = b = c.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

PHÒNG GD - ĐT

HUYỆN TĨNH GIA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2003 - 2004

MÔN : TOÁN 8

THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT
Câu I (2.5 điểm):

1- Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 – 4x2 + 4x – 1
2- Tìm a∈Z sao cho a4 – 4a2 + 4a – 1 là số nguyên tố

Câu II (3.0 điểm):

1- Giải phương trình: x2x+1

+x+1−

x −1
x2− x

+1=

3
x(x4

+x2+1)
2- Tìm giá trị lớn nhất: A=2x+1

x2+2

3- Chứng minh rằng: Tích 4 số tự nhiên liên tiếp khơng thể là số chính phương
Câu III (3.0 điểm):

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F là trung điểm của BC và CD. Đường chéo BD
cắt AE và AF tại M, N và AF cắt BC tại P.

a) Chứng minh rằng: BP.DF = AB.BC

b) Chứng minh rằng: AN2 = NF.NP

c) Cho diện tích ABCD bằng a2. Tính diện tích tứ giác BNFC

Câu IV (1.5 điểm): Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Hãy xác định tam giác
đã cho để: b a

+c − a+

b
a+c −b+

c

a+b − c đạt giá trị nhỏ nhất

a- Giả sử AH = 12cm; BC = 25cm. Hãy tính độ dài các cạnh AB, AC

b- Gọi M là điểm đối xứng của B qua H. Đường tròn tâm O đường kính MC, cắt AC
tại D. Chứng minh HD là tuyeep tuyến của đường tròn (O)

c- Cho BC = 2a, AH phải có độ dài bằng bao nhiêu theo a để diện tích tam giác HDO
lớn nhất

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

PHÒNG GD - ĐT
HUYỆN TĨNH GIA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2004 - 2005

MÔN : TOÁN 8

THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT
Câu I (2.5 điểm):

1- Giải phương trình: 9x2 + 6x – 8 = 0

2- Giải và biện luận phương trình theo a: x −x+a3+ x+3

x − a=2

Câu II (1.5 điểm): Một tổ học sinh lớp 8A cùng chung tiền mua đồ dùng học tập tặng
bạn nghèo học giỏi. Tổng số tiền mua hết 72.000 đồng được chia đều cho các thành viên
trong tổ đóng góp. Nhưng trong tổ học sinh có 3 bạn có hồn cảnh đặc biệt khó khăn
được miễn khơng phải góp. Bởi vậy mỗi bạn cịn lại trong tổ phải đóng góp thêm 4.000
đồng. Hỏi tổ có bao nhiêu bạn?

Câu III (2.0 điểm):

Cho tam giác ABC vuông tại A, một đường thẳng d cắt AB và AC tại D và E

a) Chứng minh rằng: CD2 – CB2 = ED2 – EB2

b) Xác định tập hợp điểm M sao cho diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác
ABC

Câu IV (1.5 điểm): Tìm hai phân số dương có tử số bằng 1 sao cho tổng của chúng cộng
với 61 tích của chúng bằng 61

Câu V (2.5 điểm): Cho 1x+1

y+
1

z=0 tính giá trị biểu thức:
yz

x2+
zx

y2+
xy

z2

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

PHÒNG GD - ĐT
HUYỆN TĨNH GIA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2007 - 2008

MÔN : TOÁN 8

THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT
Câu I (2.0 điểm):

1- Tính giá trị của biểu thức : A = x5 – 5x4 + 5x3 – 5x2 + 5x – 1 với x = 4
2- Tìm điều kiện để phân thức: B= 5x

x2−7x+12 xác định

Câu II (3.0 điểm):

1- Với giá trị nào của a thì phương trình: x − a2x − 1

1− x2+a=
x2

x2−1 có nghiệm duy
nhất

2- Tìm giá trị lớn nhất của B=3x

+6x+10

x2+2x+3

Câu III (3.0 điểm): Cho ΔABC vuông tại A. Một đường thẳng song song với BC lần
lượt cắt AB và AC tại D và E.

a. Chứng minh rằng: CB2 – CD2 = EB2 – ED2

b. Hãy xác định điểm D thỏa mãn: DC2 = BC.DE

Câu IV (2.0 điểm): Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

|

a −ba

+b+

b −c
b+c+

c − a
c+a

|

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

PHÒNG GD - ĐT
HUYỆN TĨNH GIA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008 - 2009

MÔN : TOÁN 8

THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT
Câu I (2.5 điểm):

1- Tìm điều kiện xác định của x để phân thức: 2x

8x3+12x2+6x+1 xác định
2- Rút gọn biểu thức: x − y1 + 1

x+y+

2x
x2+y2+

4x3
x4+y4+

8x7
x8+y8

Câu II (2.5 điểm):

1- Cho phương trình : x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m - 2) = 0

a. Tìm giá trị của m để một trong các nghiệm của phương trình bằng 1

b. Giải phương trình ứng với các giá trị m vừa tìm được

2- Từ một phần tường bao quanh trường, một lớp học sinh dùng một sợi dây dài 40m
căng ba phía để thành một vườn trồng hình chữ nhật. Em hãy giúp các bạn căng dây
để có diện tích vườn cây lớn nhất?

Câu III (5.0 điểm):

1- Chứng minh rằng: 10n – 9n – 1 chia hết cho 27

2- Cho hình vng ABCD và một tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc 4 cạnh hình
vng.

a. Chứng minh rằng: SABCD≤1

4 AC(MN+NP+PQ+QM)

b. Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

PHÒNG GD - ĐT
HUYỆN TĨNH GIA

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008 - 2009

MƠN : TỐN 8

THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT
Câu I (2,5 điểm):

1. Tìm điều kiện xác định của x để phân thức: 2x

8x3+12x2+6x+1 xác định

Giải:
Điều kiện: 8x3 + 12x2 + 6x + 1 0

 (2x + 1)(4x2 + 4x + 1) 0
 (2x + 1)2 0
 2x + 1 0
 x −21
2. Rút gọn biểu thức: x − y1 + 1

x+y+

2x
x2+y2+

4x3
x4+y4+

8x7
x8+y8

= 2x
x2− y2+

2x
x2+y2+

4x3
x4+y4+

8x7
x8+y8

= 4x3

x4− y4+

4x3
x4

+y4+

8x7
x8

+y8

= 8x
7
x8− y8+

8x7
x8+y8
= 16x15

x16− y16

Câu II (2.5 điểm):

1- Cho phương trình : x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m - 2) = 0

a. Tìm giá trị của m để một trong các nghiệm của phương trình bằng 1

b. Giải phương trình ứng với các giá trị m vừa tìm được

Giải:

1. Phương trình: x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m - 2) = 0 (1)

a. Phương trình (1) có nghiệm x = 1
ó 1 – m2 + m – 7 – 3m2 + 3m + 6 = 0

ó -4m2 + 4m = 0

ó -4m(m - 1) = 0
ó

m=0
¿
m=1

¿
¿
¿
¿

Vậy với m = 0 hoặc m = 1 thì phương trình nhận x = 1 là nghiệm của phương trình

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

b. Với m = 0 A bờ tường B
(1) ó x3 – 7x + 6 = 0

ó (x - 1).(x - 2).(x + 3) = 0 a

x −1=0
¿
x −2=0

¿
x+3=0

¿
⇔

¿
x=1

¿
x=2

¿
x=−3

¿
¿
¿
¿
¿
¿

D C

b
Với m = 1

(1) ó x3 – 7x + 6 = 0 (Giống trường hợp trên)

2. Gọi a (m) là chiều rộng
b (m) là chiều dài
( 0<a≤ b<40 )

Theo bài ra ta có: 2a + b = 40 => b = 40 – 2a
Diện tích vườn trồng cây:

SABCD = a.b = a.(40 – 2a) = 2(20 – a2) = 200 – 2(a2 – 20a + 100)

SABCD = 200 – 2(a - 10)2 200

Do đó: MaxSABCD=200 dấu “=” xảy ra khi a = 10

Câu III (5, 0 điểm):

1. Chứng minh rằng: 10n – 9n – 1 chia hết cho 27 (n N)
Chứng minh:

Ta có: 10n – 9n – 1 = (10n - 1) – 9n = 999 .. . .. 99

n

− n ) chia hết cho 3 =>9( 11 .. . .. 1

⏟

n

− n ) chia hết cho 27 do đó:

10n – 9n – 1 chia hết cho 27 (đfcm)

2. Cho hình vng ABCD và một tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc 4 cạnh hình
vng.

a. Chứng minh rằng: SABCD≤1

4 AC(MN+NP+PQ+QM)

b. Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Giải:
a. Ta có:

a>0; b>0 thì:

√

a2

+b2≥a+b

√2 (1)

Thật vậy: Bình phương hai vế BĐT (1)

a2+b2≥a

+b2+2 ab

2
¿
a −b¿2≥0

⇔¿

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Áp dụng định lý Pitago và BĐT (1) ta có:

MN=

√

MB2+NB2≥MB+NB

√2
NP=

√

NC2+PC2≥NC+PC

√2
PQ=

√

PD2+QP2≥PD+QP

√2
QM=

√

AQ2+AM2≥AQ+AM

√2
¿+{ { {

dấu “=” xay ra khi và chỉ khi

MB=NB

NC=PC

PD=QP

AQ=AM

¿{ { {

MN+NP+PQ+QM≥MB+MA+NB+NC+PC+PD+AQ+QD

√2
MN+NP+PQ+QM≥AB+BC+CD+AD

√2 =

4 AB

√2
AC

4 (MN+NP+PQ+QM)≥

AB . AC

√2 (2)

Mặt khác: AC2 = AB2 + BC2 = 2AB2 => AC = AB.

√2

Thay vào BĐT (2) ta được:

AB . AB .√2

√2 ≤

4 (MN+NP+PQ+QM)
AB2≤AC

4 (MN+NP+PQ+QM)
SABCD≤AC

4 (MN+NP+PQ+QM)

b. Theo câu a

MN, NP, PQ, QM nhỏ nhất ó MB = NB = NC = PC = PD = QD = QA = AM = AB2
Do đó: Chu vi MNPQ nhỏ nhất ó M, N, P, Q là trung điểm của AB, BC, CD, AD.

(Lời giải mang tính chất tham khảo)

ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH- Thanh Hóa

A M B

N
Q

C
D

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

PHÒNG GD - ĐT
HUYỆN TĨNH GIA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011

MÔN : TOÁN 8

THỜI GIAN LÀM BÀI: 120 PHÚT
Câu I (2.0 điểm):

1- Phân tích đa thức thành nhân tử: 1 + 6x – 6x2 – x3

2- Rút gọn phân thức: x2+4x+4
x3

+3x2−4

Câu II (3.0 điểm):

1- Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể. Sau 3 giờ 20 phút đầy nước. Nếu chỉ cho vòi
thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vịi chảy được 45 bể
nước. Nếu chỉ một vòi chảy vào bể thì trong bao lâu sẽ đầy bể đó?

2- Cho ba số dương a, b, c có a.b.c = 1 và a+b+c>1

a+
1
b+

1
c
Chứng minh rằng: (a - 1)(b - 1)(c - 1)>0

Câu III (3.0 điểm):

a) Chứng minh rằng: một tứ giác lồi nếu mỗi đường chéo chia tứ giác ra hai phần có
diện tích bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành

b) Hình bình hành ABCD có diện tích là a2. Gọi E, F là điểm giữa của BC và CD.

Đường chéo BD cắt AE và AF tại M và N.
Tính diện tích tứ giác BNFC

Câu IV (2.0 điểm):
Chứng minh rằng nếu:

(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = (a + b – 2c)2 + (b +c – 2a)2 + (c + a – 2b)2

Thì: a = b = c

</div>

số 8 toán học 1 nguyễn mạnh hà thư viện giáo án điện tử

[

(

)

]

[

]

<b>Câu</b>

<b>Nội dung</b>

<b>Điểm</b>

[

(

)

]

[

(

)

]

[

]

[

]

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)



 













 



(

)

(

)



























 



