CHUONG2-GT

CHƯƠNG 2
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN
§1. Đạo hàm cấp và vi phân cấp 1
§2. Đạo hàm cấp cao và vi phân cấp cao
§3. Các đònh lý cơ bản về hàm số khả vi
§4. Ứng dụng của đạo hàm
1. Đạo hàm và vi phân cấp 1
1.1. Các khái niệm
ĐN1: Hàm số y=f(x) xác định /(a,b), x0∈(a,b).
Cho x0 một số gia ∆x, khi đó có số gia hàm số là:
∆y=f(x)-f(x0)=f(x0+∆x)-f(x0)
Xét:
Nếu giới hạn (*) tồn tại và hữu hạn thì ta gọi giới hạn
này là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0.Kí hiệu f’(x0)
Ý nghĩa: f’(x0) cho ta biết xu hướng biên thiên của
đại lượng y theo x tại điểm x0
0 0
x 0 x 0
f (x x) f (x )
y
lim lim (*)
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
=
∆ ∆
1. Đạo hàm và vi phân cấp 1
1.1. Các khái niệm
Hệ quả: 1) Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì liên tục
tại điểm đó.

2)
Đạo hàm trái: Hàm số y=f(x) xác định /(a,b),
x0∈(a,b).

Nếu giới hạn (**) tồn tại và hữu hạn thì ta gọi giới
hạn này là đạo hàm trái của f(x) tại x0. Kí hiệu f’(x-0)
Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm phải tại x0
0 0
x 0 x 0
f (x x) f (x )
y
Xét : lim lim (**)
x x
− −
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
=
∆ ∆
0
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
→
−
=
−
x

f x f x
f x
x x
1. Đạo hàm và vi phân cấp 1
1.1. Các khái niệm
ĐN3: Hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi x∈(a,b) thì ta
nói f(x) có đạo hàm /(a,b)
TD:
Tính f’(0)=?

+
≠

=


=

2
ln(1 x )
vôùix 0
Cho f(x)
x
0 vôùix 0
2
2
0 0
( ) (0) ln(1 )
'(0) lim lim 1
0

→ →
− +
= = =
−
x x
f x f x
f
x
x
1. Đạo hàm và vi phân cấp 1
1.2. Các công thức tính đạo hàm
a) Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản
−
=
= =
= =
= = −
= =−
1
2 2
1. (C)' = 0 2. (x )'
1
3. ( )' .ln ; 4. (log )'
ln
1
( )' (ln )'
5. (sin )' cos 6. (cos )' sin
1 1
7. ( )' 8. (cot )'
cos sin

x x
a
x x
x
a a a x
x a
e e x
x
x x x x
tgx gx
x x
α α
α
1. Đạo hàm và vi phân cấp 1
1.2. Các công thức tính đạo hàm
a) Công thức tính đạo hàm
Cho f(x), g(x) có đạo hàm tại x∈(a,b)
1) (f±g)’=f’±g’
2) (f.g)’=f’g+fg’
3) (f/g)’=(f’g-g’f)/g2
4) (f(u(x)))’=u’(x)f’(u)
5) y=f(x) có hàm ngược x=f-1(y)⇒x’=1/f’(x)
6/
y={u(x)}v(x)=ev(x)lnu(x)⇒y’=[v(x)lnu(x)]’ev(x)lnu(x)
1. Đạo hàm và vi phân cấp 1
1.2. Các công thức tính đạo hàm-TD
Tính đạo hàm các hàm số:
2
y ln(1 1 x )
= + +

. (arcsinx)' . (arctanx)'
x
x
. (arccosx)' (ar cot anx)'
x
x
= =
+
−
= − = −
+
−
2
2
2
2
1 1
1 2
1
1
1 1
3 4
1
1

1. Đạo hàm và vi phân cấp 1
1.3. Vi phân cấp 1
ĐN: Hàm số y=f(x) xác đònh /(a,b), f(x) được gọi
là khả vi tại điểm x0∈(a,b) nếu tồn tại số A không
phụ thuộc vào ∆x sao cho:

∆y=f(x0+∆x)-f(x0)=A.∆x+α(∆x), trong đó α(∆x) là
VCB bậc cao hơn so với ∆x khi ∆x→0
Biểu thức A.∆x là vi phân cấp 1 của hàm f(x) tại
điểm x0 và ký hiệu là dy=df=A∆x
ĐL1: Hàm số f(x) khả vi tại x0 khi và chỉ khi f(x)
có đạo hàm tại x0. và df=f’(x0)∆x=f’(x0)dx
(y=x⇒dy=dx=∆x)
1. Đạo hàm và vi phân cấp 1
1.3. Vi phân cấp 1- Công thức tính vi phân
Nếu u(x), v(x) khả vi tại x ta có:
1/ d(u±v)=du±dv
2/ d(ku)=kdu (k là hằng số)
3/ d(u/v)=[vdu-udv]/v2 (v≠0)
4/ Cho y=f(u(x)), f(u) khả vi theo u, u(x) khả vi
theo x. Khi đó: dy=f’(u)du
Chú ý: y=f(u) ⇒ dy=f’(u)du, cho dù u là biến
độc lập hay u là biến phụ thuộc (u=u(x)). Tính
chất này được gọi là tính bất biến của biểu thức
vi phân cấp 1
1. Đạo hàm và vi phân cấp 1
1.3. Vi phaân caáp 1- TD
Cho y = e-x ⇒ dy=-e-xdx
d[sin(lnx)] = cos(lnx).d(lnx)=[cos(lnx)dx]/x
2. Đạo hàm và vi phân cấp cao
2.1. Các khái niệm
ĐN1: Đạo hàm cấp n (n>1) của hàm số y=f(x) tại
x là đạo hàm của của đạo hàm cấp n–1 của f(x)
tại điểm đó. Kí hiệu y(n)=f(n)(x).
ĐN2: Vi phân cấp n (n>1) của hàm số y =f(x) là vi
phân của biểu thức vi phân cấp n–1. Ký hiệu là

dnf(x). Vậy dny = d(dn–1y)=f(n)(x)dxn
2. Đạo hàm và vi phân cấp cao
Biểu thức vi phân cấp n
dnf=f(n)(x)dx.dx...dx=f(n)(x)dxn
n lần
Chú ý: Dạng của biểu thức vi phân cấp cao
không có tính bất biến như dạng của vi phân cấp
1.
TD: Tìm đạo hàm cấp n và vi phân cấp n của
y=ln(1+x)
Giải:
(CM bằng quy nạp)
−
−
= −
+
( ) 1
( 1)!
( 1)
(1 )
n n
n
n
y
x