Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Năm học 2008-2009

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. Chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 9 th¸ng 9 n¨m 2008 I.môc tiªu:. II.chuÈn bÞ:. III. Nội dung và phương pháp tiến hành 3.1. Khái niệm phương trình vô tỉ 3.1.1. Khái niệm: Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn .. 3.1.2. C¸c vÝ dô : a). x 1  1. b) 3x  7  x  1  2 c) x  x  3 x 2  x  1 =3 x3 x  1. d). 3. x2 1. . 3 3. x2 1 x 1. 4. 3. 2.Phương pháp chung : Để giải phương trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn . Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ của phương trình . - Biến đổi đưa phương trình về dạng đã học. - Giải phương trình vừa tìm được . - So s¸nh kÕt qu¶ víi §KX§ råi kÕt luËn nghiÖm .. 3.3. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản:. a. Phương pháp nâng lên luỹ thừa (Bình phương hoặc lập phương hai vế phương trình ): 1 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. a.1. C¸c vÝ dô : * Giải phương trình dạng : VÝ dô 1:. f ( x)  g ( x). Giải phương trình : x  1  x  1 (1) §KX§ : x+1  0  x  -1. Với x  -1 thì vế trái của phương trình không âm .Để phương trình có nghiệm thì x-1  0  x  1.Khi đó phương trình (1) tương đương với phương trình : x+1 = (x-1)2  x2 -3x= 0 x  0  x  3.  x(x-3) = 0 . ChØ cã nghiÖm x =3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x  1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =3 . VÝ dô 2:. Giải phương trình: . x  x  1  13. x  1  13  x (1). x  1  0 x  1   13  x  0  x  13. §KX§ : .  1  x  13 (2). Bình phương hai vế của (1) ta được : x  1  (13  x) 2  x 2  27 x  170  0. Phương trình này có nghiệm x1  10 và x 2  17 .Chỉ có x1  10 thoã mãn (2) . Vậy nghiệm của phương trình là x  10 * Giải phương trình dạng : VÝ dô 3:. Giải phương trình:  1 x  1 2  x. §KX§:. 1 x  0 2 x  0. f ( x )  h( x )  g ( x ). 1 x  2  x  1. (1) . x 1 x  2.   2  x 1. Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được : 2 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 1 x  1 2 2  x  2  x  x2  x 1  0. Phương trình này có nghiệm x . 1 5 tho· m·n (2) 2. Vậy nghiệm của phương trình là x . 1 5 2. VÝ dô 4:. 3. Giải phương trình:. x  1  3 7  x  2 (1). Lập phương trình hai vế của (1) ta được: x  1  7  x  33 ( x  1)(7  x). 2  8. . (x-1) (7- x) = 0 . x =-1 x =7. (đều thoả mãn (1 )).. Vậy x  1; x  7 là nghiệm của phương trình . * Giải phương trình dạng : VÝ dô5: . Giải phương trình. f ( x )  h( x ) . g (x). x  1 - x  7 = 12  x. x  1 = 12  x + x  7 (1) x  1  0 §KX§: 12  x  0  x  7  0 .  x  1   x  12  1  x  12 x  7 . Bình phương hai vế ta được: x- 4 = 2 (12  x)( x  7) (3) Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phương 2 vế của phương trình (3) ta được : (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)  5x2 - 84x + 352 = 0. Phương trình này có 2 nghiệm x1 = VËy x1 =. 44 và x2 = 8 đều thoả mãn (2) . 5. 44 và x2 = 8 là nghiệm của phương trình. 5. * Giải phương trình dạng :. f ( x )  h( x ) . g (x) +. q (x). 3 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. Giải phương trình : x  1 + x  10 =. VÝ dô 6:. §KX§ :. x  1  0  x  10  0   x  2  0  x  5  0. .  x  1  x  10    x  2  x  5. x  2 + x  5 (1). . x ≥ -1 (2). Bình phương hai vế của (1) ta được : x+1 + x+ 10 + 2 ( x  1)( x  10) = x+2 + x+ 5 + 2 ( x  2)( x  5)  2+. ( x  1)( x  10) =. ( x  2)( x  5). (3). Với x  -1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3) ta được ( x  1)( x  10) = 1- x. §iÒu kiÖn ë ®©y lµ x  -1 (4) Ta chØ viÖc kÕt hîp gi÷a (2) vµ (4)  x  1   x  1. . x = 1 là nghiệm duy nhầt của phương trình (1).. a.2. NhËn xÐt : Phương pháp nâng lên luỹ thừa được sử dụng vào giải một số dạng phương tr×nh v« tØ quen thuéc, song trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cÇn chó ý khi n©ng lªn luü thõa bËc ch½n Với hai số dương a, b nếu a = b thì a2n = b2n và ngược lại (n= 1,2,3.....) Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phương trình đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phương ph¸p nµy. Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp này với cùng nhiều phương pháp khác lại với nhau . a.3. Bµi tËp ¸p dông: 1.. x 2  4 = x- 2. 2. 1  x x 2  4 = x+ 1 3. 1  x + 4  x =3 4 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. 4.. 3. x  45 -. 3. x  16 =1. 5. 1  x = 6  x -  (2 x  5) 6. 3 x  1 + 3 x  2 = 3 2 x  3 7.. x +. x y =. x 1 +. x4. b. Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối : b.1. C¸c vÝ dô : VÝ dô1: §KX§:. Giải phương trình:. 9 x 2  24 x  16   x  4. 9 x 2  24 x  16  0   x  4  0. . Phương trình (1) . (1). (3 x  4) 2  0x  x  4. . x≤4. 3 x  4 = -x + 4. 3 x  4   x  4   3 x  4  x  4. x  2  x  0. . Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phương trình (đều thoả mãn x  4 ). VÝ dô 2 :. Giải phương trình : §KX§:. x 2  4x  4 +. x 2  8 x  16 = 5. x  R. Phương trình tương đương : x  2 + x  4 = 5 LËp b¶ng xÐt dÊu : x. 2. x- 2. -. x- 4. -. 0. 4 + -. + 0. +. Ta xÐt c¸c kho¶ng : + Khi x < 2 ta cã (2)  6-2x =5  x = 0,5(tho¶ m·n x  2). + Khi 2  x  4 ta cã (2)  0x + 2 =5. v« nghiÖm. + Khi x > 4 ta cã (2)  2x – 6 =5  x =5,5 (tho¶ m·n x > 4 ). Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5 5 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. VÝ dô 3 :. Giải phương trình:. x  4 x 1  3 +. x  6 x 1  8 = 1. §KX§: x  1 Phương trình được viết lại là : ( x  1)  4 x  1  4 +. . ( x  1)  6 x  1  9 = 1. ( x  1  2) 2 +. x 1  2 +. . ( x  1  3) 2 = 1. x  1  3 =1 (1). - NÕu 1  x < 5 ta cã (1)  2- x  1 + 3 - x  1 = 1 . x  1 =2  x= 5 kh«ng thuéc kho¶ng ®ang xÐt. - Nếu 5  x  10 thì (1)  0x = 0 Phương trình có vô số nghiệm - Nếu x> 10 thì (1)  -5 = 1 phương trinh vô nghiệm Vậy phương trình có vô số nghiệm : 5  x  10 b.2. NhËn xÐt : Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối được sử dụng giải một số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc như trên song trong thực tÕ cÇn l­u ý cho häc sinh : -áp dụng hằng đẳng thức. A2 = A. - Học sinh thường hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của ẩn nên giáo viên cần lưu ý để học sinh tránh sai lầm . b.3. Bµi tËp ¸p dông : 1. x 2  6 x  9 +. x 2  10 x  25 = 8. 2.. x 2  2x  1 +. x 2  4x  4 =. 3.. x  3  4 x 1 +. x 2  4x  4. x  8  6 x 1 = 5. 4. x  3  3 2 x  5 + x  2  2 x  5 = 2 2 c.Phương pháp đặt ẩn phụ: c..1. C¸c vÝ dô : 6 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. VÝ dô 1:. Giải phương trình:. 2x2 + 3x + 2 x 2  3x  9 =33 §KX§ :  x  R. Phương trình đã cho tương đương với: 2x2 + 3x +9 + 2 x 2  3x  9 - 42= 0 (1) Đặt 2x2 + 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thường mắc sai lầm không đặt ®iÒu kiÖn b¾t buéc cho Èn phô y) Ta được phương trình mới : y2 + y – 42 = 0  y1 = 6 , y2 = -7 .Cã nghiÖm y =6 tho¶ m·n y> 0. Từ đó ta có 2 x 2  3x  9 =6  2x2 + 3x -27 = 0 Phương trình có nghiệm x1 = 3, x2 = -. 9 2. Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phương trình đã cho. VÝ dô 2:. Giải phương trình:. x+. 4. x = 12. §KX§ : x  o §Æt. 4. x =y  0 . x = y2 ta có phương trình mới. y2 + y -12 = 0 phương trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)  4 x = 3  x = 81 là nghiệm của phương trình đã cho. VÝ dô 3:. Giải phương trình: x  1  0 3  x  0. §KX§ : . . x 1 +  x  1  x  3. . 3 x -. ( x  1)(3  x) = 2 (1). -1 ≤ x ≤ 3. §Æt x  1 + 3  x = t  0  t2 = 4 + 2 ( x  1)(3  x) . ( x  1)(3  x) =. t2  4 (2) .thay vµo (2) ta ®­îc 2. t2 – 2t = 0  t(t-2) = 0. . t  0 t  2 . + Với t = 0 phương trình vô nghiệm. +Víi t = 2 thay vµo (2) ta cã :. ( x  1)(3  x) = 0  x1 = -1; x2 = 3 (tho¶. m·n) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 = -1và x2 = 3 7 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. VÝ dô 4:. Giải phương trình :. 5 x 3  1 = 2( x2 + 2). Ta cã x 3  1 = x  1 x 2  x  1 §Æt x  1 = a  0 ; x 2  x  1 = b  0 vµ a2 + b2 = x2 + 2 Phương trình đã cho được viết là 5ab = 2(a2 + b2)  (2a- b)( a -2b) = 0  2a  b  0 a  2b  0 . . + Trường hợp: 2a = b 2. x 1 =. x2  x 1.  4x + 4 = x2 – x +1  x2 – 5x -3 = 0 5  37 5  37 ; x2 = 2 2. Phương trình có nghiệm x1 = + Trường hợp: a = 2b . x 1 = 2 x2  x 1.  x+ 1 = 4x2 -4x + 3 = 0  4x2 -5x + 3 = 0 phương trình vô nghiệm.. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= VÝ dô 5:. Giải phương trình:. 5  37 5  37 vµ x= 2 2. x  1 + 2 (x+1) = x- 1 +. 1  x + 3 1  x 2 (1). §Æt x  1 = u  0 vµ 1  x = t  0 ĐKXĐ: -1  x  1 thì phương trình (1) trở thành. u + 2u2 = -t2 + t +3ut  (u –t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0  (u-t)(2u – t +1 ) = 0. . u  t  2u  1  t. .  x  1  1  x   2 x  1  1  1  x. x  0  24   x   25. 8 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. thoả mãn điều kiện -1  x  1 là nghiệm của phương trình đã cho. VÝ dô 6:. Giải phương trình:. x  2 x 1 +. x  2 x 1 =. x3 2. §KX§ : x  1 Đặt x  1 = t  0  x = t2 + 1 phương trình đã cho trở thành (t  1) + (t  1) 2. 2.  t 1 + t 1 =. t2  4 = 2 t2  4 2. t 2  4t  4  0 2 (t  1) t  0. . t  2  t  0. . x  5  x  1. §kX§:. x≥ 1 Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= 5 c.2. NhËn xÐt : Phương pháp đặt ẩn nhằm làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ .Song để vận dụng phương pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi hướng giải quyết cách đặt ẩn như thế nào cho phù hợp như : Đặt ẩn phụ để được phương trình mới chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3) Đặt ẩn phụ để đưa về một biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5) c.3. Bµi tËp ¸p dông: 1/ x2 – 5 + 2/ x. 1 - 2x x. x2  6 = 7 3. x = 20. 3/ 3 x 2 - 3 3 x =20 4/ x 3  8 = 2x2 – 6x +4 5/ x  6 x  9 + x  6 x  9 =. x  23 6. d. Phương pháp đưa về phương trình tích : d.1.C¸c vÝ dô : 9 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. VÝ dô 1:. Giải phương trình:. x  10 x  21 = 3 x  3 + 2 x  7 - 6 (1). §KX§ : x  -3 Phương trình (1) có dạng : ( x  3)( x  7) - 3 x  3 + 2 x  7 +6 = 0. x  3 ( x  7  3) -2( x  7  3) ) =3. .  ( x  7  3) ( x  3  2 ) =0  x  7  3  0 x  7  9      x  3  2  0 x  3  4. . x  2  x  1.  §KX§.. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2 VÝ dô 2:. Giải phương trình:. 3. 1 x +. x  2 =1. §KX§ : x  -2 §Æt x  2 = t  0 Khi dã 3 1  x = 3 3  t 2 Phương trình (1)  . 3. 3. 3t2 + t = 1. 3  t 2 = 1- t.  3- t3 = (1-t) 3  t3 - 4t2 + 3t + 2 =0  (t-2) ( t2 -2t -1) = 0. Từ phương trình này ta tìm được x=2 ; x= 1 + 2 2 là nghiệm của phương trình (1) VÝ dô3:. Giải phương trình:. (4x-1) x 2  1 = 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1). §Æt x 2  1 =y ; y  0 (1)  (4x-1) y = 2y2 + 2x -1  2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= 0  ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = 0  (y- 2x+1) (2y- 1) = 0. 10 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. Giải phương trình này ta tìm được x = 0 ; x = VÝ dô4:. Giải phương trình:. 4 là nghiệm của phương trình (1) 3. ( 1  x  1 )( 1  x  1 ) = 2x. §KX§: -1  x  1. (1). đặt 1  x = u (0  u . 2). suy ra x = u2 -1 phương trình (1) trở thành : (u -1 ) ( 2  u 2  1) = 2 ( u2 -1)  (u -1 ){ (. 2  u 2  1) - 2 (u+1)} = 0.  (u-1) (.  (+) (+). 2  u 2  2u  1) = 0. u  1  0  2  2  u  2u  1  0. u-1 = 0  u =1 ( tho¶ m·n u  0 ) suy ra x = 0 tho¶ m·n (1) 2  u 2  2u  1 = 0 . 2u  1  0   2 2  u  (2u  1). . 2  u 2 = 2u + 1. (tho¶ m·n v× u  0 ). . 5u2 + 4u - 1 = 0. u1  1  0(loai )  1  u2  5 1 5. nªn cã x = u22 -1 = ( )2 – 1 =.  24 tho· m·n ®iÒu kiÖn (1) 25. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x =.  24 . 25. d.2.NhËn xÐt : Khi sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau . + Tìm tập xác định của phương trình . +. Dùng các phép biến đổi đại số , đưa phương trình về dạng f(x) g(x) ….= 0. (gọi là phương trình tích) . Từ đó ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ;….. là những phương trình quen thuộc. 11 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. +. Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của các phương trình f(x) =. 0 g( x) = 0 ;….. thuộc tập xác định . +. Biết vận dụng,phối hợp một cách linh hoạt với các phương pháp khác như. nhóm các số hạng,tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn đưa về phương trình về dạng tích quen thuộc đã biết cách giải . d.3.Bµi tËp ¸p dông: 1. x 3  7 x  6 = 0 2. x 2  x  2 - 2 x 2  x  2 =. x 1. 3. x(x+5) = 2 3 x 2  5 x  2  2 4. 2( x2 + 2x + 3) = 5 x 3  3x 2  3x  2 e. Phương pháp đưa về hệ phương trình : e.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1:. Giải phương trình:. 25  x 2 -. 15  x 2 =2. §KX§: 0  x2  15 §Æt: 25  x 2 = a (a  0) (* ) 15  x 2 = b ( b  0) ( ** ). Từ phương trình đã cho chuyển về hệ phương trình : a  b  2  (a  b)(a  b)  2(a  b) a  b  0 . . a  b  2  a  b  5. Thay vào phương trình (*) ta có 25 –x2 = (  §kX§ ) . VÝ dô 2:. 49 4. .  x2 =. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =  Giải phương trình:.  a   b  . 51 51  x=  2 4. 51 . 2. (5  x) 5  x  ( x  3) x  3 5 x  x3. 7 2 3 2. =2. (1) 12. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. §KX§ : 3  x  5  5  x  u (u  0) §Æt   x  3  t (t  0). Ph¬ng tr×nh (1 ) trë thµnh hÖ ph¬ng tr×nh : u 2  t 2  2  2 u  ut  t 2  2. . u  0  t  0. . ut = 0. x  3 (thâa m·n ®iÒu kiÖn ) x  5.  . Vậy phương trình đẫ cho có nghiệm x =3 ; x= 5. VÝ dô3:. Giải phương trình:. 3. 2 x +. x 1 = 1. §KX§: x  1 §Æt. 3 2  x  u   x  1  t (t  0). Khi đó ta có u3 = 2 – x ; t2 = x- 1 nên u3 + t3 = 1 u  t  1(1). Phương trình đã cho đợc đa về hệ: . 3 3 u  t  1(2). Từ phương trình (1)  u = 1 – t .Thay vào phương trình (2) ta có : ( 1 – t )3 + t2 = 1  t( t2 - 4t + 3 = 0. t  0  2 t  4t  3  0. t  0  t  1 t  3 . . Từ đó ta đợc x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x  1 ) là nghiệm của phơng trình đã cho . VÝ dô 4:. Giải phương trình:. 3. ( x  1) 2 +. 3 §Æt: x  1 = a ;. 3. ( x  1) 2 + 3. 3. x2 1 = 1. x  1 = b nªn ta cã:. a2 = 3 ( x  1) 2 13 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. b2 = 3 ( x  1) 2 ab = 3 x 2  1 . Ta được phương trình : a2 + b 2 + ab = 1 ( 1) a 3  x  1  3 b  x  1. Ta được phương trình : a3 – b3 = 2 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : a 2  b 2  ab  1  3 a  b3  2. Từ hệ phương trình ta suy ra a –b = 2  b = a – 2 Thay vào hệ phương trình (1) ta đợc :. (a -1 )2 = 0  a =1. Từ đó ta đợc x = 0 Vậy nghiệm của phương trình là : x = 0 e.2.NhËn xÐt : Qua 4 vÝ dô trªn cho ta thÊy ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh cã nh÷ng ®iÓm sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải t duy hơn do đó phơng pháp này đợc áp dụng cho học sinh khá , giỏi .Ta cần chú ýmột số điểm sau: +. T×m ®iÒu kiÖn tån t¹i cña ph¬ng tr×nh. +. Biến đổi phơng trình để xuất hiện nhân tử chung .. +. Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình về việc giải hệ phơng trình. quen thuéc . Ngoµi ra ngêi häc cßn biÕt kÕt hîp ph¬ng ph¸p nµy víi ph¬ng ph¸p kh¸c nh phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng hằng đẳng thức. e.3.Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1.. 1 + x. 1 2  x2. =2. 2. 2 3 2 x  1 = x3+ 1 14 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. 3. 3 1  x + 3 1  x =1 4. 3 x  1 +. 3. x  21 =. 3. 2x  3. 5. 4  4  x = x g. Phương pháp bất đẳng thức : g.1. Phương pháp chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau , khi đó phương tr×nh v« nghiÖm . g.1.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1:. Giải phương trình:. x 1 -. x  1  0  5 x  1  0 3 x  2  0 . §KX§:. 5x  1 =. 3x  2. (1).  x  1  1  x  5  2   x  3. . Với x  1 thì x < 5x do đó x  1 < 5 x  1 Suy ra vÕ tr¸i cña (1) lµ sè ©m , cßn vÕ ph¶i lµ sè kh«ng ©m . Vậy phương trình vô nghiệm . VÝ dô2:. Giải phương trình: x 2  6 x  11 + . Mµ. x 2  6 x  13 +. ( x  3) 2  2 +. ( x  3) 2  2 +. ( x  3) 2  4 +. ( x  3) 2  4 +. 4. 4. 4. x 2  4x  5 = 3 + ( x  2) 2  1 = 3 +. ( x  2) 2  1 . 2 +. 2 2 (*) 4+1=3+. 2.  Vế phải của phương trình đã cho lớn hơn vế trái .. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm . g.1.2.Bµi tËp ¸p dông: 1. x  1 - x  1 = 2 2.. x2  6 = x - 2 x2 1. 3. 6  x +. x  2 = x2 - 6x +13. g.2. Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế : 15 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. g.2.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1:. Giải phương trình:. 3x 2  6 x  7 +. 5 x 2  10 x  14 = 4 – 2x – x2. (1) Ta cã vÕ tr¸i cña (1) 3x 2  6 x  7 +. 5 x 2  10 x  14 =. 3( x  1) 2  4 +. 5( x  1)  9 . 4 +. 9 =5. VÕ ph¶i cña (1) : 4 -2x –x2 = 5 – (x + 1)2  5 Vậy hai vế đều bằng 5 khi x = -1 .Do đó phương trình (1) có nghiệm là x = -1 Ví dụ2: Giải phương trình:. x4 +. 6  x = x2 -10x + 27 (1). §KX§: 4  x  6 XÐt vÕ ph¶i cña (1) ta cã : x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2  2 víi mäi x vµ vÕ tr¸i cña (1) (. ( ( x  1) 2  ( 6  4 ) 2 x4  6 x 2 )  =1 hay 2 2. x4 +. 6 x  2. Vì vậy phương trình (1) có nghiệm là :  x 2  10 x  27  2(*)   x  4  6  x  2(**). Giải phương trình (*) ta dợc x = 5 giá trị này thoả mãn (**) Vậy x =5 là nghiệm của phương trình (1) g.2.2. Bµi tËp ¸p dông : 1. 3x 2  12 x  16 +. y 2  4 y  13 = 5. 2. 3x 2  6 x  12 + 5 x 2  10 x  9 = 3-4x -2x2 3. x 2  3x  3,5 = ( x 2  2 x  2)( x 2  4 x  4) h. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số : h.1.C¸c vÝ dô : Ví dụ1: Giải phương trình :. 3. x2 +. x  1 = 3 (1). §KX§: x  1 Ta thấy x =3 là nghiệm đúng với phương trình (1) 16 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. Víi x > 3 th× 3 x  2 > 1 , x  1 > 2 nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n 3. Víi x< 3 vµ x  -1  -1  x  3 th×. 3. x  2 < 1,. x  1 < 2 nªn vÕ tr¸i cña (1). nhá h¬n 3. Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) VÝ dô 2: 5. Giải phương trình :. x 2  28 + 2 3 x 2  23 +. x 1 +. x =. 2 + 9 (1). x  1  0  x 1 x  0. §KX§: . Ta thÊy x =2 lµ nghiÖm cña (1) h2.NhËn xÐt : Khi giải các phương trình vô tỉ mà ta cha biết cách giải thường ta sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm ,thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng .Rồi tìm cách chøng minh r»ng ngoµi nghiÖm nµy ra kh«ng cßn nghiÖm nµo kh¸c . h.3.Bµi tËp ¸p dông : 1. 3 x 2  26 + 3 x + 2. 2 x 2  1 +. x3 = 8. x 2  3x  2 =. 2x 2  2x  3 +. x2  x 1. i. Phương pháp sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt i.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1:. Giải phương trình x2 +. y  1995 +. z  1996 =. 1 (x+y+z) 2. §KX§ : x  2; y  -1995; z  1996 Phương trình (1)  x+y+z = 2 x  2 + 2 y  1995 + 2. z  1996.  ( x  2  1) 2 + ( y  1995  1) 2 + ( z  1996  1) 2 = 0  x2 1    y  1995  1   z  1996  1. . x  3   y  1994  z  1997 . ( tho· m·n §KX§ ). 17. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. Là nghiệm của phương trình (1) VÝ dô 2: . Giải phương trình:. 3( x  1) 2  4 +. VÕ tr¸i cña (*) VÕ ph¶i cña (*). 3x 2  6 x  7 +. 5 x 2  10 x  14 = 4 – 2x – x2. 5( x  1) 2  9 = 5 – (x+1)2 (*) 3( x  1) 2  4 +. 5( x  1) 2  9  2 + 3 = 5. 5 – (x+1)2  5. Vì thế phương trình (*) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi hai vế của phương trình (*) bằng nhau và bằng 5  x+ 1 = 0  x = -1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =-1 VÝ dô3: §KX§: x>. x. Giải phương trình:. 4x  1. +. 4x  1 =2 (1) x. 1 4. áp dụng bất đẳng thức. a b  2 víi a,b > 0  b a. x¶y ra dÊu “=” khi vµ chØ khi a =b DÊu “=” cña (1) x¶y ra khi x= 4 x  1  x2 - 4x +1 = 0 (do x>. 1 ) 4. Giải phương trình này ta tìm đợc x= 2  3 (thoả mãn ĐKXĐ). Vậy x= 2  3 là nghiệm của phương trình. i.2. NhËn xÐt : Khi sử dụng phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau : +. Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x)  a , g(x)  a. (a lµ h»ng sè ) Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x) =a vµ g(x) = a +. Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số ) mà ta luôn có h(x) . m hoặc h (x)  m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra. 18 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. +. áp dụng các bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki. i.3. Bµi tËp ¸p dông: 1. 2 x 2  8 x  12 = 3 - 4 3x 2  12 x  13 2.. x2 +. 3. 19. x 1. 10  x = x2 -12x + 40. +5. 4. x 2 1. x 2  6 x  15 4. 2 = x  6 x  11. + 95. 6. x 2 3 x  2. = 3. x 2  6 x  18. k. Một số phương pháp khác : k.1.Phương pháp miền giá trị : VÝ dô1:. Giải phương trình:. x 1 +. x  1  5  x  18  3 x  9 (1). Ta t×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè : y = x  1 + x  1  5  x  18  3x  9 trên tập xác định 1;5 ta có: y, =. 1 2 x 1. . 1 2 x 1. . 1 2 5 x. . 3 2 18  3 x. > 0 víi mäi x  1;5. Do hàm số y liên tục và đồng biến trên 1;5 nên miền giá trị của hàm số là.  y(1); y(5) hay. . . 2  2  15 ;2  6  3` . Suy ra y min =. 2  2  15 vµ. ymax = 2 + 6  3 víi mäi x  1;5 Để phương trình (1) có nghiệm thì y min  9  ymax nhưng điều này không xảy ra v× y min = 2  2  15 < 9 vµ ymax = 2 + 6  3 < 9 Do đó phương trình (1) vô nghiệm vì không tồn tại giá trị x  1;5 để y(xi) = 9 k.2.Phương pháp hàm số: VÝ dô 2:. Giải phương trình:. Ta cã: (1) . x3 +1 = 2 3 2 x  1 (1). x3  1 3  2x  1 2. 19 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ x3  1 3x 2 hàm số có đạo hàm y, =  0 với mọi x nên đơn điệu tăng 2 2. §Æt y =. vµ liªn tôc trong R. y =. x3  1 có hàm ngược y = 2. 3. 2 x  1 (v× y =. Do đó nghiệm của phương trình là phương trình. x3  1 =x 2. x3  1  x= 2. 3. 2x  1 ). x3  1 3  2 x  1 còng lµ nghiÖm cña 2.  x3 -2x + 1 = 0  x = 1 hoÆc x = . Vậy nghiệm của phương trình là x= 1 và x = . 1 5 . 2. 1 5 . 2. k.3. NhËn xÐt: Phương pháp miền giá trị và phương pháp hàm số ở trên mang nội dung kiÕn thøc ë bËc phæ th«ng trung häc nªn kh«ng ¸p dông vµo viÖc gi¶ng d¹y ë bËc THCS mµ chØ dµnh cho gi¸o viªn d¹y ë bËc THCS tham kh¶o thªm mµ nªn t×m cách đa về những phương pháp quen thuộc để dạy học sinh THCS . Chẳng hạn như ví dụ 2 ta có thể đa về hệ phương trình nh sau: x3 + 1 = 2 3 2 x  1 §Æt t = 3 2 x  1  2x -1 = t3 Ta cã hÖ:. x3 + 1 = 3t 2x -1 = t3.  x3 – t3 + 2 (x-t) = 0  x1 =1 ; x2,3 = . 1 5 . 2. Bµi tËp vËn dông:. 20 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>