Nghiên cứu biến đổi wavelet và ứng dụng biến đổi wavelet để triệt nhiễu

Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G IA H À N Ộ I
K H O A CÔNG NG H Ệ
------------- #

N guyên

N G H IÊ N
V À

Ứ N G

C Ứ U

_
r
K h ăcT u yên

B IẾN Đ Ổ I W A V E L E T

D Ụ N G
Đ Ể

--------------

BI É N

T R I Ệ■ T

Đ Ổ I W A V E L E T

N H IỄ U

Chuyên ngành : Kỹ thuật vô tuyền điện tủ và thông tin liên lạc
Mã số
: 2.07.00*

L U Ậ N

V Ă N T H Ạ C

SỸ

NGỰỊÌ HƯỚNG DÁN KHOA HỌC:
TI ÉN SỸ NGUYỄN QUỐC TRƯNG

Hà Nội - 2004


Luận văn tốt nghiệp

M Ụ C

L Ụ C

Trang
Lời cam (loan...............................................................................................................

1

Mục lụ c.............................................................................................................................2
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tất..............................................................

4

Danh mục các hình v ẽ ............................................................................................... 5
M ơ Đ À U ......................................................................................................................... 7
Chương 1 - TÍN HIỆU V À BIÉN ĐỔI TÍN H IỆU................................................... 10

1.1. TÍN HIỆU........................................................................................................10
1.2. BI ẺN ĐƠI TÍN HIỆU....................................................................................... 1 1
1.3. BIÊN ĐỎI TRỰC GIAO..................................................................................12
1.4. KHUNG TRONG KHƠNG GIAN VECTƠ...........................................................16

1.5. PHẢN TÍCH THỊI GIAN - TÂN s ỏ ...............................................................20
Chương 2 - NGUYÊN LÝ CỬA

BIÊN ĐỐI W AVELET..................................... 27

2.1. GIỚI THIỆU................................................................................................... 27
2.2. BIÊN ĐÒI WAVELET LIÊN TỤC.................................................................. 35
2.3. BIẺN ĐỎI WAVELET THAM sổ RỜI RẠC.................................................. 36
Chương 3 - LỌC SÒ NHIÈU NHỊP............................................................................. 40

3.1. LỌC S ỏ ..........................................................................................................40
3.1.1. Khái n iệ m ...................................................................................................40
3.1.2. Các loại bộ lọc s ố .................................................................................... 42

3.2. LỌC SỐ NHIÊU NHỊP.....................................................................................45
3.2.1. Khái n iệ m .................................................................................................... 45
3.2.2. Bộ lọc phân chia........................................................................................46
3.2.3. Bộ lọc nội s u y ............................................................................................55

3.2.4. Bộ lọc biến đổi nhịp lấv mẫu với hệ so M/L không n m iy ẻn .....61

_ ~> _


Luận văn tốt nghiệp

Chương 4 - PHÂN TÍCH ĐA PHẢN GIAI VÀ WAVELET..............................68
4.1. GIỚI THIỆU......................................................................................................68
4.2. DPVVT VÀ MRA...............................................................................................70
4.3. NGUYÊN LÝ CỦA MRA................................................................................ 77
4.4. CÁC Bộ LỌC KHƠI PHỤC HỒN HAO.........................................................87
4.5. BỒ LỌC ĐỒNG NHÁT THAM s ố VÀ WAVELET TRỰC CHUẢN...............94
4.6. THI ÉT KÉ BỘ LỌC CHO WAVELET TRỰC CHUÁN....................................99
4.7. Bỏ LỌC SONG TRựC GIAO......................................................................... 101
4.8. XẢY DỰNG WAVELET................................................................................ 103
Chương 5 - ỨNG DỤNG WAVELET
ĐẾ K l í ử NHIẺƯ VÀ MÒ P H Ò N G ........................................... 106
5.1. NGUYÊN LÝ.................................................................................................. 106
5.2. BIÊN ĐĨI WAVELET CUA MỘT TÍN HIỆU c ỏ NHIÊU..............................107
5.3. ĐỘNG Lực THÚC ĐÁY VIỆC ĐỊNH NGƯỔNG.......................................... 108
5.4. LẦY NGƯỠNG CÚNG VÀ LẢY NGƯỠNG MÈM........................................1 10
5.5. CHỌN GIẢ TRỊ NGƯỠNG............................................................................. I 1 1
5.6. PHƯƠNG PHÁP CHON c ơ s ơ .....................................................................1 15
5.7. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỌN NGƯỞNG.......................................................1 16
5.7.1. Chọn ngirỡng dùng nguyên lý “ước lượng rủi ro không thiên vị
của Stein" (SU RE):......................................................................... 116
5.7.2. Chọn ngưỡng dùng nguyên lý “minimax”:................................ 117
5.7.3. Chọn ngưởng vạn năng:................................................................117
5.8. CAN NHIÊU BĂNG HẸP............................................................................ 1 17

5.9. THỰC HIỆN MỎ PHÒNG........................................................................... 1 18
5.10. KÉT QUÀ MỎ PHÒNG................................................................................ 120
KẾT LUẬ N..........................................................................................................124
TÀI LIỆU THAM KH ẢO................................................................................ 126


Luận văn tốt nghiệp

DANH M Ụ C CÁC KÝ H IỆU , CÁC C H Ữ V IẾ T T Ấ T
AD

: Biên địi tín hiệu tươnc tự sang sơ

BLZR

: Tỷ số lỗi bit

CWT

: Biến đôi wavelet liên tục

DA

: Biến đồi tín hiệu số sang tương tự

D ỈT

: Biến đồi Fourier rời rạc

DPWT

: Biến đổi wavelet tham số rời rạc

DWT

: Biến đồi wavelet rời rạc

FIR

: Bộ lọc số có đáp ứn2 xung chiều dài hữu hạn

11R

: Bộ lọc số có đáp írnự xung chiêu dài vơ hạn

1DFT

: Biến đồi Fourier rời rạc ngược

MR A

: Phân tích đa phân giài

PR

: Khơi phục hoàn hào

Q.V1F

: Bộ lọc đối xứng gương cẩu phương

SNR

: Tỷ số tin hiệu trên nhiễu

ST FT

: Biến đổi Fourier thời gian ngấn

ZT

: Biến đổi z


Luận văn tổt nghiệp

Hình 1.1: Hình chiếu cùa một v e c t ơ .............................................................................. 15
Hình 1.2: Lấy cừa s ổ .......................................................................................................... 21
Hình 1.3: Cứa sơ phơ cùa: (a) một hình sin; (h) hai hình sin..................................22
Hình 2.1: So sánh qiữa biến đổi STFT và biến đổi W a velet..................................28
Hình 2.2: Một sơ loại wavelet và bièn đổi Fourier cùa chúníỉ................................3 ]
Hình 2.3: Wavelet Haar và wavelet con cùa n ó ........................................................ 32
Hình 2.4: Thực hiện biến đổi wavelet bằng băng l ọ c ...............................................33
Hình 2.5: Một sơ đồ thực hiện biến đơi wavelet nhanh........................................... 33
Hình 3.1: Sơ đỏ khối cùa một hệ thống lọc s ơ ........................................................... 40
Hình 3.2: Sư đơ khỏi cùa bộ lọ c ...................................................................................... 41
Hình 3.3: Bộ phân chia...................................................................................................... 45
Hình 3.4: Bộ nội s u y ..........................................................................................................46
Hình 3.5: Bộ phân chia......................................................................................................46
Kinh 3.6: Sơ đồ phàn ch ia................................................................................................ 47

Hình 3.7: Phổ cùa tín hiệu x (n )...................................................................................... 48
Hình 3.8: Cộng phổ tín hiệu Y ị2(eiw) ............................................................................ 50
Hình 3.9: Bộ lọc phân chia............................................................................................... 51
Hình 3.10: c ấ u trúc tương đương của bộ lọc phànc h ia ........................................... 52
I lình 3.11: Ví dụ về bộ lọc phân c h ia ..........................................................................55
Hình 3.12: Bộ nội suy trong miền z ............................................................................56
í Lình 3.13: Phố của tín hiệu x(n )................................................................................... 57
Hình 3.14: Phổ tín hiệu Y f 2( Ĩ .................................................................................... 57
Hình 3.15: Bộ lọc nội s u y ...............................................................................................58
Hình 3.16: c ấ u trúc tương đirơns của bộ lọc nộis u y ................................................59

Hình 3.17: Phị tin hiệu Yt 2ii(^w) .........................................................................61


Luận văn tốt nghiệp

Hinh 3.18: Bộ biến đổi nhịp lấy mẫu hệ số M / L .................................................... 62
Hình 3 . 19: Bộ lọc biến đồi nhịp lấy mẫu hệ sổ M /L................................................ 65
ỉ linh 3.20: Bộ lọc biến dôi nhịp tươnơ đ ư ơ n s ...........................................................66
IIình 4.1: Sơ đỏ phân tích da phân giài........................................................................ 68
Hình 4.2: Khơi phục từ các thành phần bănỉi c o n .....................................................69
Hình 4.3: Tầng dầu tiên của phân tích M R A ..............................................................71
Hình 4.4: Tang thứ m của phân tích M R A ................................................................. 73
Hình 4.5: Co giàn hàm s (t ) ............................................................................................. 77
Kinh 4.6: Hàm cơ sờ trực c h u ẩ n .................................................................................. 78
Hình 4.7: Phổ cùa các khơns gian con ........................................................................79
Minh 4.8: Phân tích MR A ................................................................................................. 84
1linh 4.9: Phân tích - tịng hợp đơn tàng đẻ khơi phục hồn h ao......................... 85
Hình 4 . 1 1: Bộ lọc girơns cầu phương...........................................................................93
P-1

Hình 4.12: Khỏi phục <Ị)(t) từ <Ị)(t) = 2]T g(/)(Ị)(2t - / ) ............................................ 94
/=()

I ỉ ình 4. ] 3: Bộ lọc song trực giao P R .......................................................................101
Kinh 5.1: (a) - Tín hiệu dừng và nhiễu trẩnu; (b) - Biến đồi wavelet Haar. 108
Hình 5.2: Các hệ so wavelet sau khi lấy ngưỡng
với ngường À = 1 và khôi phục băng biến đồi wavelet Haar ngược.. 109
Hình 5.3: Lẩy ngưỡng (a) Lây ngưỡng cứng
(b) Lấy ngưỡng mềm; (c) Lấy ngưỡng trung gian............................ 11 1
Hình 5.5: Giao diện w a vem en u................................................................................. 120
Hình 5.6: Giao diện cùa menu SWT De-noising 1-L).........................................121
Hình 5.7: Giao diện của menu SWT De-noising 2 - D .........................................121
Hình 5.8: Một số tin hiệu trước và sau khi triệt nhiễu........................................122
Ifình 5.9: Giao cliện cùa chương trình mơ p h ị n g ................................................ 123

-ó -


Luận văn tốt nghiệp

MỎ ĐẦU
Biên đôi Fourier trong một thời gian dài là một cơng cụ phân tích cơ
bàn trong các lĩnh vực khác nhau như hệ thống tuyến tính, quang học, lý
thuyết xác suất, vật lý lượng tử, anten và phân tích tín hiệu. Việc áp dụng kỷ
thuật sơ dã làm thay đỏi và phát trièn biến đòi Fourier áp dụng cho tín hiệu và
hộ thịng rời rạc. N hừns tiến bộ troné cơng nghệ phần cứng cùníi sự phát triển
cua các thuật tốn tính tốn tốc độ cao cho biến đổi Fourier đã mờ rộng phạm
vi ứng dụng cho cơng cụ tốn học này.
Một trong những lĩnh vực phát triển nhanh nhờ những tiến bộ này là xử
lý sị tín hiệu. Với cơng nghệ ngày nay, ta có thể tính tốn biến đồi Fourier

cua tin hiệu rời rạc, thời gian thực, cụ thê là tín hiệu tiếng nói và hình ánh số,
xử lý kịt q tron« lĩnh vực biên đơi rịi thực hiện biến đơi ngirợc lại trong
thời íỉian thực. Các giái pháp tính toán cho việc thực hiện các phần cứng khác
nhau cùa biên đôi Fourier đều dã có. Hầu hết các giải pháp này đều phơ biến
và miễn phí.
Bien đoi Kmner, vơi một dai rộng các ưng dụng cua no, cùng ỵiịnỉỉ
như ràt nhiều các cơng cụ tốn học khác, đều có hạn chế. V í dụ bièn đơi này
khơng thè áp dụng cho tín hiệu khơng dừng (non-stationary). Những tín hiệu
này có các đặc tính khác nhau tại các thời điểm và không gian khác nhau.
Mặc dù phiên bàn thay đổi của biến đổi này, gọi là biến đồi Fourier thời gian
ngắn (STFT), cỏ thể giải quyết được một số vấn đề cùa tín hiệu không dừng
nhung không giải quyết được tất cà các vấn đề đặt ra. Biến đơi Fourier thời
íiian nsẩn được sử dụng trong xử lý tín hiệu tiến" nói nhưng rất hiêm khi,
thậm chí là khơng bao giờ, có thể sử dụng đê xử lý hình ành.
Bien đổi wavelet, được phát triển độc lập theo một hướng khác, đã dân
dẩn thay thổ bien đổi Founer tron" một số ứnc dụng xứ lý tín hiệu thièt yêu.

-7-


Luận văn tốt nghiệp

X ứ lý tín hiệu đa phân giải dùng tronii ánh máy tính, mã hố băng con phát
trien cho nén tiêng nói và hình ành, sử dụng biến đôi wavelet để triệt nhiễu và
sự mơ rỏns dãy wavelet phát triển trong toán học ứng dụng được xem là các
cách nhìn khác nhau cùa một lý thuyết duy nhất. Biến đổi wavelet áp dụng
cho cà tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc. Biến đổi này cung cấp một kỳ thuật
chun” được áp dụng cho nhiều nhiệm vụ khác nhau trong xử lý tín hiệu.
Biên dơi wavelet được áp dụng thành cơng đổi vói các tín hiệu khơng
dim 2 trong việc phân tích, xừ lý và cung câp một sự thay thế cho biến đổi

Fourier thời gian nsẩn. Ngược lại với STFT, thứ sử dựng một cửa sổ phân
lích duy nhất, bièn đơi wavelet sử duns' cửa sò ngắn tại tần số cao và cưa sổ
dài tại tàn số thấp. Sự linh hoạt này được đưa ra theo tinh thần gọi là “hang số

Q"

hay hãn LỊ số liên quan đến phân tích băng tàn. Đối với một sô ứng dụng,

nựười ta mong muôn đạt được biến đôi wavelet như là sự phân tích tín hiệu ra
thành tập hợp các hàm cơ bản, các hàm nay gọi là các wavelet. Các hàm cơ
han này đạt được từ hàm wavelet gốc bang các phép dãn (dilation) và co (tý
lệ) cũng như phép dịch. Sự tăng lên nhanh chóng của các ứng dụng của biên
dối wavelet trong các lình vực khác nhau cùa xử lý tín hiệu thể hiện tính hiệu
q cùa cơng cụ tốn học này trong phân tích và tơng hợp tín hiệu.
Mục đích của đề tài này là nghiên cứu nguyên lý của biến đôi wavelet
nhảm ứng dụng biến đổi wavelet trong xừ lý tín hiệu, cụ thê là ứng dụng biên
dối wavelet để triệt nhiễu cho tín hiệu. Ngồi ra, đề tài này cịn phải mỏ
phịng việc áp dụng biến đồi wavelet để triệt nhiễu cho tín hiệu trên máy tính
bànỉi một phần mềm tính tốn rất mạnh là MATLAB.
Vì thời gian và trình độ có hạn nên luận văn chưa thể đề cập và giải
quyết được hết các vấn đề một cách hồn chình. Hơn nữa có thê nói đây là
một lĩnh vực nshiên cứu khá mới nên chác chan luận vãn này sẽ không tránh
khói nhũng hạn chế và thiếu sót. Kính mong các thay cô giáo và các đồng

-8-


Luận văn tốt nghiệp

nỉỉhiệp cho nhiều ý kiên đóng góp sửa chữa đê kèt quả của đè tài được hoàn

thiện hơn.

-9-


Luận văn tốt nghiệp

CHƯONG1
T ÍN

H IỆ U

V À

B IÉ N Đ Ố I T ÍN

H IỆ U

1.1. TÍN HIỆU
Tín hiệu là biêu diễn vật lý của thòns tin. v ề mặt tốn học, tín hiệu
được biêu đièn bơi hàm cùa một hay nhiêu biên độc lập.
Nèu biên độc lập cùa sự biêu diễn tốn học cua một tín hiệu là liên tục
thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu liên tục. Liẻn tục ở đây được hiểu là liên
tục theo biến số. Neu dựa vào hàm số thì ta có thê phân loại tín hiệu liên tục
ra làm hai loại:
-

Tín hiẹu tươne tự: là loại tín hiệu mà hàm của tín hiệu là liên tục.

-

Tín hiệu lượne từ hố: là loại tín hiệu mà hàm cùa tín hiệu là rời rạc.
Neu biến độc lập của sự biểu điền toán học cùa một tín hiệu lả rời rạc

thi tín hiệu đó eọi là tín hiệu rời rạc. Rời rạc ờ đây được hiêu là rời rạc theo
biến số. Nòu dựa vào biên độ thì chúng ta có thẻ phân tín hiệu rời rạc ra làm
hai loại:
Tín hiệu lấy mẫu: Neu hàm cùa tín hiệu rời rạc là liên tục (khơng dược
lượng tử hố) thì tín hiệu dó được gọi là tín hiệu lây mau.
-

Tín hiệu số: Neu hàm cùa tín hiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu đó được
gọi
rời rạc hố cả
o • là tín hiệu số. Như thế tín hiệu
■ số là tín hiệu dã được
•
về biến số và biên độ.
Tín hiệu rời rạc được kv hiệu là s(nTs) trong đỏ Ts là chu kỳ lấy mẫu.

Nếu ta chuẩn hoá biến số độc lập nT, bới chu kỳ lấy mầu Ts thì tín hiệu rời rạc
s(nTs) sau khi đã chuân hoá trờ thành s(n).
Đ è biêu diễn một tín hiệu s(n) ta có các cách sau:
-

Biểu diễn dưới dạng toán học:

- 10-

Luận văn tốt nghiệp

f biểu thức toán
s(n) =

-

[ Q

Nj < n < Ni
n C(j n Ịạj

Biêu diễn dưới dạng đồ thị: Đe tiện minh hoạ một cách trực quan trong
nhiêu trường hợp người ta dùng biêu diễn đồ thị.

-

Biểu diễn bằng dãy số: Đây là cách liệt kê tát cà các giá trị của s(n)
thành một dây số.

1.2. Bỉ ÉN ĐĨI TÍN HIỆU
Biến đổi một hàm hay một tín hiệu là bièu diễn tín hiệu theo dạng tốn
học khác. Biến địi Pourier cho ta phơ của tín hiệu trong khi biến đỏi hai chiều
cua một ánh nhẩm mục đích tập trungnàng

lượng ảnh vào một vùng nhò đê

thực hiện nén ảnh. Một lăng kính sẽ hoạt động như một bộ biên đơi Fourier
khi phán tích ánh sáng trang thành các pho màu khác nhau (tần sô). Như vậy
biến đổi là việc phân tích tín hiệu thành các khối cơ bàn, hay các hàm cơ sờ,

cua miền biến đỏi. Trong miền Pourier các hàm cơ sờ là hàm sin. Mơi tín hiệu
đèu có một cách bièu diên duy nhất trong miền Fourier như là một tơng liên
rục các hàm sin có biên độ, tần số và pha khác nhau.
Cặp biến đối Fourier cùa một tín hiệu liên tục là:
S( 0))= T s(t)e” JÍOtđt
—00

(1.1)

s(t) = JL T S(<.,)eJMtdco
2tí —bo

(1.2)

Biến đỏi Pourier thuận phân tích s(t) ra các thành phân hình sin có tan
số 0), biên độ Re[S(co)] và pha Are[S(co)]. Biến đòi Pourier ngược tông hợp


Luận văn tốt nghiệp

sít) từ các hàm cơ sờ é'", có biên độ phức S(co). Một cách khác để nhìn (1.1)
là hàm trọng S(co) là “tổng” các e)">' mà s(t) chứa. Do đó tươníĩ quan chéo cùa
s(t) với e'-iml sè bao S(co).
Việc sử dụ ne các hàm cơ sờ dơn íiiản nhìn chung sẽ làm đơn giàn hố
việc biịn đỏi và tính tốn. Nhưng dù sao thì khối lượng tính tốn cũng chì là
một trona sị các nhân tị trong việc chọn loại hình biến đổi. Các nhân tố khác
là tính chất của biến đơi và và khá năng thích hợp cùa biến đổi đối với một
ừng dụng nhất định.
Có nhiều lý do đẻ biến đỏi hoặc phàn tích một tín hiệu, nhưng tựu trung
lại ta cỏ thè nêu ra hai mục đích cơ bàn sau:

-

Làm bộc lộ nhừng dặc tính quan trọng cùa tín hiệu mà rất khó hoặc
khơns thê nhận biết trong miên ban đầu.

-

Làm đơn giàn hoá các vấn dè kv thuật phức tạp đê dề giai quyết.
Ví (lụ. xét biến đổi Laplace là sự tịng qt hố biến đơi Fourier, nó

biểu diễn một hàm x(t) dưới dạng tổng liên tục cùa các hàm cơ sở es<. Do đó:
x ( t ) = 7 X ( s > stds

(1.3)

—c o

Trong đó X(s) là biến đồi Laplace cùa x(t) vả s là đại lượng phức được
gọi là tần số phức. Khi dỏ ta có các phép tốn học tương đương sau: tích phân
hoặc vi phàn trong miền t sẽ tương đương với việc nhân X (s) với 1/s hoặc s
trong miền Laplace. Do đó biến đổi Laplace cùa một phương trình vi-tích
phân tuyến tính sẽ cho ta một phương trình đại số. Kết quà quan trọng này là
cơ sở cùa việc phân tích hệ thống tuyến tính bàng biến đổi Laplace.

1.3. BIẾN ĐỎI T R Ụ C GIAO
Tập hợp các vectơ {Xj}, i = l , 2 ,...,n gọi là trực giao nếu tích vơ hướng:

- 12 -

Luận văn tốt nghiệp

< X;,X .

i’ J

(1.4)

>=cơ;:
ij

Tron" đó:

0 , ir j
J

. ' = J'

và c là hằn«: sổ. Tập hợp nàv là trực chuẩn nếu c = ]. Khi hai vectơ trực giao
thi chím 2 khỏng có tương quan hay khơng có thành phần chung. Hình chiếu
vectơ này lẽn vectơ kia bang khơng và tích vơ hướng của chúng bàng khơníỉ.
Do đó việc phân tích một vectơ ra các thành phẩn vectơ cơ sờ trực chuẩn sẽ
trờ nôn đơn ưiàn hơn. Gọi {Xj} là tập hợp các vectơ trực chuàn bao một khơng
íiian n chiều thì mọi vectơ g dạng nxl thuộc khơng sian đó đều có thê được
biêu diễn dưới dạng tị hợp tuyến tính của các vectơ

Xi

như sau:

n
g = x . < g,x. > X1=1

(1.5)

Nếu { X,} k h ị n g trự c ch uẩ n thì g vần có thể đ ư ợ c b i ể u diễn n h ư tồ hợ p
tuyển tính cu a {X,} n h ư n g các hệ số của X, k h ơ n g c ị n đ ơ n giản là tích vị
h ư ớ n g <g, Xj>. Gọi các hệ số này là hị, h;,

h n thi:

'h ,l
h.

x=

Xn

(1.6)

Đ ẻ tính các hệ số thì ta phải tính X 'g.
Trong mã hố ảnh, việc biến đồi một ảnh ra các thành phẩn trực giao
cua nó là việc chia ánh dó ra thành các thành phần khơng đồng dạng. Do tính
dộc lạp cua nó nên việc lấy ra một sô thành phân trực siao tử ánh biên đôi sè

- 13 -


Luận văn tốt nghiệp

không anh hưởng đến thành phần khác. Đặc tính trực giao quan trọng này
dược tơng qt hố bời định lý hình chiếu. Gọi

{Xj},

i= l, 2,

n là tập hợp

các vectơ trực íziao bao khơng gian n chièu sao cho với mọi vectơ g ta đều có:
g=

n
X < g , x . > X.
1
1
i=l

(1.7)

Gọi:
1< n

¿ = Ẻ < g » X ;> x .t
i=l
1
1

(1.8)

Khơng mât tính tơng qt, ta giả sir răng các vectơ bị bó qua trong ( 1.8)
là Xi, ¡=1+1. 1+2, .... n. Định lý hình chiêu phát biểu như sau [3]:

"Xắp XI tốt n h ấ t cua g

là

g theo nạhĩa sai sị bình phương n h o n h ấ t,

cụ th ổ

la :

(1.9)

Tron<7dó

g ỈCĨ

mọi xắp XI khác cua g (heo tập rút gọn các vectơXị, i=l, 2.......

C h ú n g minh: Ta viêt:

g = y a.x.
i=l

(1.10)

* '

Tron" đó ơi là các hàng số. Khi đó ta phải chứng minh rằng Ị g -g |“ là
nhò nhất khi ct;= <g, Xj>. Sai số xấp xi là:
li n

*

= X<g.x, >X,-Zct,x,

Do các X, là trực giao nên công thức trên trờ thành:

- 14 -

(1.11)


Luận văn tốt nghiệp

1
n
e' = Z ( < ỗ ’ xi > - « , ) ' + Z | < g , X i >1
i-I
i«M

^

O - 12)

H: dạt giá trị nhỏ nhất khi g = g . Hơn nửa số hạng thứ hai cùa (1.12) sè giảm
khi [ tăng. Do đó định lý được chứng minh.

<g, e:>
Sai số
nhị nhất

e2=[l 0jT

Hình 1.1: Hình chiếu của một v e ctơ

về mặt hình học, vectơ g trong hỉnh ]. 1 có các thành phan trực giao ei> và <ỈỊ. e:>. Nêu thành phần e: bị bở qua thì việc biểu diễn 2 = <2. e ?>ei
vẫn là xấp xi sai số bình phương nho nhất cùa g do khoảng cách ngăn nhất
siữa g và ei là hinh chiêu cùa g lên e2.
Với một vectơ g có dạng (1.7) ta dễ dàng thấy rang:

i—1

Do đó bình phương cùa vectơ trong miền ban đầu bầng tổng bình
phương của các hệ số troniz miền biến đổi. Điều này tương tự như định lý
Parseval cho biên đỏi Fourier [3]:
[ s ; (t)dt = — ĩ|S(co)|: dío
2ĩt_x

- 15 -

(1.14)


Luận văn tốt nghiệp

Định lý Parseval phát biểu rẩng năng lirợng trong miền thời gian bànơ

năn í! lượng trong miền tẩn số.
Tiêp theo chúng ta mờ rộng việc khai triển trực giao đối với các hàm.
Tập hợp các hàm (fi(t)} là trực giao trên khoảng t| đến t: nếu:

I

Ị f i(t)f/(t)d t = 5 ij
*2 '|

(1.15)

Trong đó dấu * thể hiện là liên hợp phức. Ví dụ tập các hàm | e w Ị với
n là số tự nhiên và C0() là hang số khác 0 là trực giao trên khoảng [-172, T/2],
với T = 2 tĩ/ cù0. Đặc tính xấp xi bình phương nhỏ nhất cùa các vectơ cũng được
áp dụng với các hàm. Do đó tron‘i việc biêu điền tín hiệu tuần hồn bàng
chuỗi Pouriet' thi tổng cịn lại sau khi đã bỏ đi một số phần từ của dãy cũng sẻ
là xàp xi bình phirơnẹ nhị nhất của tín hiệu.
Trong khi bièu diễn tín hiệu bời tập hợp trực giao (fi(t)}, ta chì có thể
biểu diễn được chính xác tín hiệu nếu đỏ là một tập hợp đầy đu. Một tập hợp
sọi là đầy đủ nếu khơníi tồn tại một hàm h(t) khác không, không thuộc tập
hợp. thoa mãn:
[ h (t)f/(t)d t = 0 ,

i = Ị 2 ,...,n

(1.16)

I,

Nếu tồn tại hàm h(t) như thế thì nỏ sẽ tạrc giao với tập hợp dà cho và

do dó nó sẽ là một phần tử cùa tập hợp, nếu không tập hợp sẽ không đầy đù.
Với các vectơ, tập hợp đảy đủ là tập hợp các vectơ cơ sở bao không gian
vectơ.

1.4. K H U N G T R O N G KHÔ NG GIAN V E C T O
Việc phân tích một vectư ra tập hợp trực chuẩn của các vectơ cơ sở đơn
iĩinn chi là phép tính tích vơ hướng. Bây

2 ÌỜ ta

mon 2 mn vẫn giữ nguyên

phép tinh đơn gian như thế khi các vectơ cư sư khơng cịn là trực chuẩn (hoặc

- 16-


Luận văn tốt nghiệp

trực giao) nữa. Chú ý rầng các vectơ cơ sở khơne cẩn phải trực chuẩn, nó
thậm chí có thẻ phụ thuộc tuyến tính và do đó có thể là dư thừa. Chi có một
yẻu câu là chủng bao khịng gian vectư sao cho mọi vectơ thuộc khơng gian
vectơ đều có thể được biểu diễn theo các vcctơ dó. Lý thuyết khunơ là sự tổng
qt hố ngun lv phàn tích trực chuẩn và cho ta cách biểu diễn một vectơ
mxl như sau [3]:
g = Ề < g , X ị >Xj ,
1=1

n>m

(1.17)

Điều này cũng tưcmc tự như công thức (1.7) trừ tập hợp {\j} không
nhàt thiết phài trục chuân và do n>m nên các vectơ cơ sờ

Xj

có thê phụ thuộc

tuyến tính. Tập hợp | x I gọi là tập đối ngầu của tạp hợp {Xi}. Công thức
(1.17) cho thấy ràng khi phân tích ta vần tính tích vơ hướng nhưng khi khôi
phục ta phải đưa thèm các đối ngầu vào.

X, bây uiờ được gọi là phẩn tư cùa một khung và | x Ị gọi là khung dối
ngầu cùa {Xị}. Để đơn giản ta già sư Xj là vectơ dơn vị. Một khung {Xj} là tập
hợp các vectơ thoả cơn«; thức sau với mọi vectơ m có dạng mxl khác không:
A||g||: < X | < g , x , >|: <B|Ịg|Ị: n > m

(1.18)

irl

Trong dó A và B là các hàng số chi phụ thuộc vào {X|} và gọi là các
ui ới hạn khung, với 0 < A < B giới hạn trên thấp nhất cùa khung. Giới hạn dưới đảm bào rằng tập hợp
bao không gian vectơ, cụ thể là

Ỳ,\< g, X

{Xj}

{Xj }

là một khung đầy đù, nếu khơng

>Ị: có thể bàng khơng với một số giá trị của 11 g I ỉ khác khơng. Nếu

1-1

íX,} là một khung thì (1.17) được duy trì. Một khung là chặt nếu A = B và
(1.17) thoa mãn với

X

= X,/A.

Hơn nữa, nếu bỏ một phần tử của một khung
ị c-

•17-

,

tk ĩ-1 0 /ĩM


Luận văn tốt nghiệp

chặt thì sẽ vi phạm siiới hạn dưới cùa (1.18), cụ thể là khung sè trờ nên không
đay đù. Các phàn tử cùa một khung chặt với A = B = 1 sê tạo thành một cơ sờ

trực chuẩn và (1.17) đ ư ợ c duy trì với X = X,.
Tóm lại, lý thuyết khung cung cấp cách biểu diễn một vectơ theo tập
hợp các vectơ cơ sờ mà các vectư này không cần thiết phãi trực chuẩn hay
đọc lạp tun tính. Các hệ sị vàn là tích vơ hướng cùa vectơ với vectơ cơ sờ.
Việc khơi phục yêu cầu các vectơ cơ sờ mới gọi là đơi ngầu. Khi {Xi} thoả
mãn (1.18) thì mọi vectơ g đều có thể dược tổng hợp theo (1.17). Neu A = B
thì X = X ,/A và nêu {Xj} là chặt và A = B = 1 thì X =Xj và {Xj} tạo thành một
cơ sở trực chuẩn. Lý thuyết khuníí sau này được dùng để phân tích và khơi
phục một hàm băng các wavelet.
Nếu {x,Ị là một khung chặt thì X = c x ¡ , trong đó c là một hang sổ. Đè

lim khung đổi ngẫu Ịx. I khi {XịỊ không chặt, gọi:
X tnxti = fL X.I

X,2

.

.

X n1J

X m .n = [ x i

X:

.

.

X .]

(1.19)

Giá sư {x,J tuân thù (1.18), do đó từ (1.17) ta có:
g = X X Tg

(1.20)

với mọi vectơ g có dạng m xl. Do đó X phải thồ mãn:
X„,*nXl.„
mxn =1 num

v(1.21) '

Trong đó ỉ là ma trận đơn vị. Trong cịng thức trên có mxn số khơng
biết troniĩ X và ta có m 2 (n > m) phương trình. Do vậy sơ nghiệm cho X là
khòns duy nhất.
Một trong các nụhiộm dạng nghịch đào là:

X = ( X X T) ' X

- 18 -

(1.22)


Luận văn tốt nghiệp

Nghịch dào trong công thức trên tồn tại do ta đã giả sử rằng

{Xj}

là

khung đầy đu. Thay thố trực tiếp (1.22) vào (1.21) tất nhiên sẽ cho kết qua là
ma trận đơn vị. Dù sao thì (1.22) cùng chi là nghiệm chuẩn nhỏ nhất. Ta sẽ có
các nghiệm khác là X + x với X là mọi vectơ thoá mãn !
^ 0 và X X 1 = 0 .
I I
Do đó khung đối ngẫu là khơns duy nhất như mong muốn, trừ phi chúng ta
thèm diều kiện chuân hoá nhỏ nhát.
Sau đày ta sẽ chứng minh ràng {*,]■ là trực chuân nếu và chi nếu A = B
= 1 trong (1.18).
Già sử

{Xj}

là một tập hợp trực chuân, do đó với mọi vectơ g cỏ dạng

Iìixl ta đều có:
rì

^

,

X ị < g , x ; >1 = g TX X Tg=||gị|

(1.23)

t-i

Kết hợp công thức này với (1.18) cho ta A = B = 1.
Tiếp theo, già sử A = B = 1. Gọi:
F= X X t

(1.24)

là một ma trận dương đối xứng do X có đày du các hàng. Do đó tơn tại một
ma trận đơn vị p sao cho:
Pt FP = A

(1.25)

là một ma trận đường chéo có các phần tử là các trị riêng cùa F. Do đó:
m

£ |< g ,x ,> | » g V A P g

(1.26)

1=1

Do p là ma trận đơn vị nên 11 Pg 11 “ I! g 11 . Do đó:

k

,M

ắ Ệ | g . x ,f ^ ™ J g f
1=1

( L 27)

Xnun và

A-max là các trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của F (cả hai

đểu dirơng). Nếu Ằmm =

= Â thi F phải là ma trận chéo với các phân tư là

Trong đó

-19-


Luận văn tốt nghiệp

À và X

=

xựx.

Nhưng nếu

K = 1,

tức là A = B = 1 thì X = X, và

{Xj}

là trực

chn.
Nêu một bicn địi có biến địi ngược thì nănc lượng tín hiệu trona; miền
ban đàu phải băng năng lượng tronu miền biến đổi nhân với một hảng số. Đây
uọi là tính đồng nhât. Một ví dụ đièn hình cùa tính đồng nhất là đinh lý
Parseval. Do đó việc khơi phục tín hiệu theo các hàm cơ sờ chi khả thi nếu
năng lượng được giừ trong một hang số. Khunc nhìn chung khơng thoa mãn
tính đồng nhất. Vì vậy khi khôi phục ta phái đưa các đối ngẫu vào.

Ị.5. PHÂN TÍCH THỜI GIAN - T Ả N SĨ
Rất nhiều tín hiệu là tín hiệu khơn" dừng. C ơns st và phị cua tín
hiệu thay đơi theo thời gian. Do đỏ việc mơ tã đầy đu tín hiệu khơng dửng
trong miền tần số phai chừa cà khía cạnh thời gian. Điều này dần đến việc
phân tích thời gian - tan sỏ cùa một tín hiệu.
Neu phơ cùa một tín hiệu phụ thuộc thời gian thì ta phải sừ dụng các
phân đoon dù ngan cùa nó ( với già sir rang phổ l:'i han 'ĩ số trên mơi phân
(loạn) đề tính tốn phổ. Việc lấy một đoạn cùa một hàm thời gian được gọi là
lầy cửa sổ. Như thể hiện trên hình 1.2. điều này tương đương với việc nhân
tín hiệu với một hàm cửa sị có dạng:
với t’ < t < t’ + T
với t khác

(1.28)

Cửa sổ sè dịch chuyển dọc theo trục thời gian, có thể chồng lên nhau

nếu cần thiết, để tạo ra các đoạn cùa tin hiệu s(t) để phân tích. Ví dụ, ta có thê
cỏ đồ thị 3 chiều của biên độ phổ theo thời ẹian và tần số, hoặc đồ thị 2 chiêu
cùa tẩn số theo thời gian với độ lớn cùa phơ thị hiện bời độ đậm nhạt cùa

-20-


Luận văn tốt nghiệp

màu. Các đò thị như thế gọi là các phổ dị (spectrĩram) trons phân tích tiếng
nói.
Một phần đoạn có chiều dài T cua tín hiệu là:
s(t) = s(t)w(t)

(1.29)

Theo định lý nhân chập thì biến đổi Fourier của s(t) là:

S(co) = S(co)*W(co)

(1.30)

vv( 0

> t

Hình 1.2: Lấy c ử a s ồ
Trong đó S(co) và VV(co) là biến đổi Pouriet' cùa s(t) và vv(t). Giả sử tín
hiệu s(t) là dừng và là tín hiệu hình sin có chiều dài vô hạn, tần số
các biến đổi I S(củ) I , I W(co) I và S(co)| cỉược thể hiện trên hình sau:

-21 -

03,

khi dó


Luận văn tốt nghiệp

ir(co)|

|S(co)|

co

031

(a)
|S(co)|

C0|

Củ2

CO

(b)

Hình 1.3: C ử a sổ phổ của: (a) một hình sin; (b) hai hình sin

Do việc lấy cửa sổ nên S(co) chính là I S(co) I được trài ra bởi cửa sổ
I VV(co) I . Bây giờ nếu s(t) chứa hai sóng sin có cùng biên độ và tàn số là C0|
và co2 thì S(co) được thê hiện trên hình 1.3b, trong đó hình dạng phơ phụ
thuộc vảo khoảng cách I co2 - C0| I. Nếu I co2 - C0 | ị > 2~/T thì ịS(cù)| có hai đỉnh
phàn biệt tại C')| và co2. Khi I CO: - C0 j I càng nhị thì hai đinh càng dịch lại gần
nhau và đèn một mức nào đó thì chỉ xuảt hiện một đinh. Qua đó ta thày dẻ

77 -


Luận văn tốt nghiệp

phân biệt hai sóng sin thì thời gian quan sát phái chừa ít nhất một chu kỳ cua
tàn sò lấy mầu, cụ thè là:
I 2 tt
co, - co, > — T

(1.31)

Do đó độ phân giải tân sơ có thê thực hiện được của một đoạn có chiều
dài T là:
A f = (°2 ~ ơ)-1- = 2 71
T

(1.32)

Nhìn (1.31) theo một cách khác, bảng cách xem Af như là độ rộng băn”
tàn cua tín hiệu thi tích thời gian - băng tàn của một phân đoạn tín hiệu phải
lớn hơn đơn vị để có thẻ tạo ra độ phân giải Af. Từ khía cạnh nội dung thơng
tin thì tích thài gian - băng tẩn lớn là một đặc tính mong muốn. Đe cỏ khả

năn II phân biệt sự có mặt của hai hình sin trong một tín hiệu thì ta phải quan
sát tín hiệu trong một thời gian du lớn. Nếu chúng ta đánh giá tần sổ cùa một
sónii sin từ phị cùa đoạn đã lẩy cửa sị thì sai số đánh giá sẽ lớn nếu đoạn chi
chứa một phần nhỏ của một chu kỳ, đặc biệt khi cỏ mặt cùa nhiêu.
Troníí phần tích thời gian - tần số của một tín hiệu khơng clìrns, có hai u
cầu xung đột nhau. Đ ộ rộng cửa sồ T phái đủ lớn để cho ta độ phân giai tân số
motm muốn nhưng cùng phải đù ngan để không làm mờ đi các biên cơ phụ
thuộc thời gian. Nếu tín hiệu chứa hai xung cách nhau d giây thì T phải nhỏ
hơn d giây để có thể phân biệt hai xung. Đ ộ phân giải tốt theo thời gian hay
tần sổ biểu hiện sự định vị tốt theo thời gian hav tần sổ. Một cừa sô rât hẹp, lý
tường là một xung, cho ta độ phân giải (định vị) hoàn hảo theo thời gian
nhưng độ phân giải (định vị) tồi theo tần số do nó có băng tần vơ hạn. Mặt
khác, một bộ lọc băng hẹp sè cho ta định vị tốt theo tẩn số nhung định vị tôi
theo thời gian do đáp ứng xung của nó khơng siàm xuống đủ nhanh theo thời
ụian [3],

- 23 -


Luận văn tốt nghiệp

Các sóng sin là cục bộ trong miền tần số nhưng lại trài dài trong miền
thời gian. Chúng có chiều dài vơ hạn. Được sử dụng như hàm cơ sở trong
phân tích Fourier, chúng dựa vào sư triệt tiêu để biếu diễn (tổ hợp) sự không
liên tục theo thời gian. Đây là nguyên nhân của hiệu ứng Gibb. Do đó tronẹ
việc biêu diên các hàm hữu hạn (các hàm khác khơng trong một khoảng thời
íỊĨan hữu hạn), các hình sin khơng hiệu q băng các hàm cơ sở hữu hạn. Hiệu
qua ờ đây được đo bằng số các hệ số cần thiết trong miền biến đồi để biểu
diễn một hàm nhất định.
Trong khi thiêt ke hình dạrui cừa sô đè đạt được độ phân giải thời gian

hav tân số mong muốn, có một giới hạn cơ bản mà theo đó ta có thể đưa ra giá
trị T. Giới hạn này xuất phát từ níiuvên lý bàt định, trong đó phát biêu rang
mọi cặp biến dồi s(t) và S(co) đều phai thồ màn:

frong đó:

f|s(t)|: đt

_ [co2|s(co)|2đco
I |s(co)f deo
Chúng dược đo bằng sự biến thiên hay phân bố của s(t) và S(co). Coi
‘ / \l2
- - Ị— như là hàm mật độ xác suất cùa biến ngẫu nhiên t thì theo (1.34),
s(t)| dt
A: là mơmen bậc hai cùa t. Ta có thể làm rõ hơn cơng thức (1.33) với Àt và
Aw là thời gian và băng tần hiệu dụng của tín hiệu nlur sau: nếu một tín hiệu
có băng tần A0) thì thời gian tồn tại của nó phai lớn hơn l/(2A t0) và ngược lại.
Sau này ta sẽ thấy rần« biến đơi wavelet, thơng qua việc sử china độ rộng cửa

_ 24 -


Luận văn tổt nghiệp

sỏ khác nhau, có thể đạt dược At hav A0) nhị theo u cầu (ít nhất là về mặt lý
thut), mặc dầu tất nhiên ta khịníí thể đồníi thời đạt được cả hai [3].
Hàm thồ mãn dấu bang trone (1.33) là hàm Gausian. Thật vậy, gọi:
1

s(t) = —^==—e

v

-ịĩ

(1.36)

2 tĩỗ,

Khi đó:
(1-37)

S(G>) = e *

Trong dó 5 : = — . Đăt hai công thức trên vào (1.34) và (1.35) ta đươc
6;
A ’ = — và Aí = — . Do đó:
-)
° 9
5

AA

s

=- r ' r
4 Ĩ4 Ĩ

1
=

O -38)

2

Do vậy s(t) thồ mãn (lau bang trong ( 1.33) [3].
Có một số phương pháp phân tích thời gian - tẩn số, đáng chú ý là biên
đòi Fourier thời gian ngắn (STFT) sử dụng để tạo ra phò đồ trong phân tích
tiêng nói và phân bố VVigner-Ville.
T ất cà các phương pháp phân tích thời gian - tần số đều có thề được
tổng qt hố bởi tích phân sau:

P(T,co) = —^ -Ị I j e

: : ' Jộ ( 9 , À ) s ( u ) s ( u + —)du(iẰdO

4 tĩ u x e

-

(1.39)

2

Trong đó P(t,co) là cường độ của tín hiệu s(t) tại thời gian T và tần số 0).
Bang cách chọn ệ(0,Ằ) = 1 và tính tích phân trên theo 0 ta được:
P(t, co)= — f f s(u - - ) s ( u + - ) e - lX"S(u 2 tỀtt (I >•.

?

2

Đây chính là phân bố VVigner-Ville:

-25 -

x)dudẰ

(1.40)