Xác suất thống kê_ Chương 6

Ch ’u ’ong 6
L
´
Y THUY
´
ˆ
ET T
’
U
’
ONG QUAN V
`
A H
`
AM H
`
ˆ
OI QUI
1. M
´
ˆ
OI QUAN H
ˆ
E
.
GI
˜
’
UA HAI D
¯
A

.
I L
’
U
.
’
ONG NG
˜
ˆ
AU NHI
ˆ
EN
Khi kh
’
ao s´at hai ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X, Y ta th
´
ˆay gi
˜
’
ua ch´ung c´o th

’
ˆe c´o mˆo
.
t s
´
ˆo
quan hˆe
.
sau:
i) X v`a Y ¯dˆo
.
c lˆa
.
p v
´
’
oi nhau, t
´
’
uc l`a viˆe
.
c nhˆa
.
n gi´a tri
.
c
’
ua ¯da
.
i l

’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen n`ay
khˆong
’
anh h
’
u
’
’
ong ¯d
´
ˆen viˆe
.
c nhˆa
.
n gi´a tri
.
c
’
ua ¯da
.
i l
’
u

’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen kia.
ii) X v`a Y c´o m
´
ˆoi phu
.
thuˆo
.
c h`am s
´
ˆo Y = ϕ(X).
iii) X v`a Y c´o s
’
u
.
phu
.
thuˆo
.
c t
’
u
’
ong quan v`a phu
.
thuˆo

.
c khˆong t
’
u
’
ong quan.
2. H
ˆ
E
.
S
´
ˆ
O T
’
U
’
ONG QUAN
2.1 Moment t
’
u
’
ong quan (Covarian)
✷ D
¯
i
.
nh ngh
˜
ia 1

* Moment t
’
u
’
ong quan (hiˆe
.
p ph
’
u
’
ong sai) c
’
ua hai ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X v`a Y, k´ı
hiˆe
.
u cov(X, Y ) hay µ
XY
, l`a s
´
ˆo ¯d

’
u
’
o
.
c x´ac ¯di
.
nh nh
’
u sau
cov(X, Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}
* N
´
ˆeu cov(X, Y ) = 0 th`ı ta n´oi hai ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X v`a Y khˆong t
’
u
’
ong quan.
 Ch´u ´y
cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y )

Thˆa
.
t vˆa
.
y, ta c´o
cov(XY ) = E{X.Y − X.E(Y ) − Y.E(X) + E(X).E(Y )
= E(XY ) − E(X).E(Y ) − E(X).E(Y ) + E(X).E(Y )
= E(XY ) − E(X).E(Y )
99
100 Ch ’u ’ong 6. L´y thuy
´
ˆet t
’
u
’
ong quan v`a h`am h
`
ˆoi qui
⊕ Nhˆa
.
n x´et 1
* N
´
ˆeu (X, Y ) r
`
’
oi ra
.
c th`ı
cov(X, Y ) =

n

i=1
m

j=1
x
i
y
j
P (x
i
, y
j
) − E(X)E(Y )
* N
´
ˆeu (X, Y ) liˆen tu
.
c th`ı
cov(X, Y ) =
+∞

−∞
+∞

−∞
xyf(x, y)dxdy − E(X)E(Y )
⊕ Nhˆa
.

n x´et
i) N
´
ˆeu X v`a Y l`a hai ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen ¯dˆo
.
c lˆa
.
p th`ı ch´ung khˆong t
’
u
’
ong quan.
ii) Cov(X,X)=Var(X).
2.2 Hˆe
.
s
´
ˆo t
’
u

’
ong quan
✷ D
¯
i
.
nh ngh
˜
ia 2 Hˆe
.
s
´
ˆo t
’
u
’
ong quan c
’
ua hai ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X v`a Y, k´ı hiˆe
.

u r
XY
,
l`a s
´
ˆo ¯d
’
u
’
o
.
c x´ac ¯di
.
nh nh
’
u sau
r
XY
=
cov(X, Y )
S
X
.S
Y
v
´
’
oi S
x
, S

Y
l`a ¯dˆo
.
lˆe
.
ch tiˆeu chu
’
ˆan c
’
ua X, Y .
•
´
Y ngh
˜
ia c
’
ua hˆe
.
s
´
ˆo t
’
u
’
ong quan
Hˆe
.
s
´
ˆo t

’
u
’
ong quan ¯do m
´
’
uc ¯dˆo
.
phu
.
thuˆo
.
c tuy
´
ˆen t´ınh gi
˜
’
ua X v`a Y . Khi |r
XY
| c`ang
g
`
ˆan 1 th`ı m
´
ˆoi quan hˆe
.
tuy
´
ˆen t´ınh c`ang ch
˘

a
.
t, khi |r
XY
| c`ang g
`
ˆan 0 th`ı quan hˆe
.
tuy
´
ˆen
t´ınh c`ang ”l
’
ong l
’
eo”.
2.3
’
U
´
’
oc l
’
u
’
o
.
ng hˆe
.
s

´
ˆo t
’
u
’
ong quan
Lˆa
.
p m
˜
ˆau ng
˜
ˆau nhiˆen W
XY
= [(X
1
, Y
1
), (X
2
, Y
2
) . . . (X
n
, Y
n
)].
D
¯
’

ˆe
’
u
´
’
oc l
’
u
’
o
.
ng hˆe
.
s
´
ˆo t
’
u
’
ong quan r
XY
=
E(XY ) − E(X).E(Y )
S
X
.S
Y
ta d`ung th
´
ˆong kˆe

R =
XY − X.Y
S
X
.S
Y
trong ¯d´o
X =
1
n
n

i=1
X
i
, Y =
1
n
n

i=1
Y
i
, XY =
1
n
n

i=1
X

i
Y
i
S
2
X
=
1
n
n

i=1
(X
i
− X)
2
, S
2
Y
=
1
n
n

i=1
(Y
i
− Y )
2
2. Hˆe s

´
ˆo t
’
u
’
ong quan 101
V
´
’
oi m
˜
ˆau cu
.
th
’
ˆe, ta t´ınh ¯d
’
u
’
o
.
c gi´a tri
.
c
’
ua R l`a
r
XY
=
xy − x.y

s
x
.s
y
trong ¯d´o
x =
1
n
n

i=1
x
i
, y =
1
n
n

i=1
y
i
, xy =
1
n
n

i=1
x
i
y

i
s
2
x
=
1
n
n

i=1
x
2
i
− (x)
2
, s
2
y
=
1
n
n

i=1
y
2
i
− (y)
2
Ta c´o

r
XY
=
n

xy − (

x)(

y)

n(

x
2
) − (

x)
2
.

n(

y
2
) − (

y)
2
2.4 T´ınh ch

´
ˆat c
’
ua hˆe
.
s
´
ˆo t
’
u
’
ong quan
Hˆe
.
s
´
ˆo t
’
u
’
ong quan r =
xy − x.y
s
x
.s
y
¯d
’
u
’

o
.
c d`ung ¯d
’
ˆe ¯d´anh gi´a m
´
’
uc ¯dˆo
.
ch
˘
a
.
t ch
’
e c
’
ua s
’
u
.
phu
.
thuˆo
.
c t
’
u
’
ong quan tuy

´
ˆen t´ınh gi
˜
’
ua hai ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X v`a Y , n´o c´o c´ac t´ınh
ch
´
ˆat sau ¯dˆay:
i) |r| ≤ 1.
ii) N
´
ˆeu |r| = 1 th`ı X v`a Y c´o quan hˆe
.
tuy
´
ˆen t´ınh.
iii) N
´
ˆer |r| c`ang l
´

’
on th`ı s
’
u
.
phu
.
thuˆo
.
c t
’
u
’
ong quan tuy
´
ˆen t´ınh gi
˜
’
ua X v`a Y c`ang ch
˘
a
.
t
ch
’
e.
iv) N
´
ˆeu |r| = 0 th`ı gi
˜

’
ua X v`a Y khˆong c´o phu
.
thuˆo
.
c tuy
´
ˆen t´ınh t
’
u
’
ong quan.
v) N
´
ˆeu r > 0 th`ı X v`a Y c´o t
’
u
’
ong quan thuˆa
.
n (X t
˘
ang th`ı Y t
˘
ang). N
´
ˆeu r < 0 th`ı
X v`a Y c´o t
’
u

’
ong quan nghi
.
ch (X gi
’
am th`ı Y gi
’
am).
• V´ı du
.
1 T
`
’
u s
´
ˆo liˆe
.
u ¯d
’
u
’
o
.
c cho b
’
’
oi b
’
ang sau, h˜ay x´ac ¯di
.

nh hˆe
.
s
´
ˆo t
’
u
’
ong quan c
’
ua Y v`a
X
X 1 3 4 6 8 9 11 14
Y 1 2 4 4 5 7 8 9
Gi
’
ai
Ta lˆa
.
p b
’
ang sau
102 Ch ’u ’ong 6. L´y thuy
´
ˆet t
’
u
’
ong quan v`a h`am h
`

ˆoi qui
x
i
y
i
x
2
i
x
i
y
i
y
2
i
1 1 1 1 1
3 2 9 6 4
4 4 16 16 16
6 4 36 24 16
8 5 64 40 25
9 7 81 63 49
11 8 121 88 64
14 9 196 126 81

x = 56

y = 40

x
2

= 524

xy = 364

y
2
= 256
Hˆe
.
s
´
ˆo t
’
u
’
ong quan c
’
ua X v`a Y l`a
r
XY
=
n

xy − (

x)(

y)

n(


x
2
) − (

x)
2
.

n(

y
2
) − (

y)
2
=
8.364 − (56).(40)

8.524 − (56)
2
.

8.256 − (40)
2
=
672
687, 81
= 0, 977

2.5 T
’
y s
´
ˆo t
’
u
’
ong quan
D
¯
’
ˆe ¯d´anh gi´a m
´
’
uc ¯dˆo
.
ch
˘
a
.
t ch
’
e c
’
ua s
’
u
.
phu

.
thuˆo
.
c t
’
u
’
ong quan phi tuy
´
ˆen, ng
’
u
`
’
oi ta d`ung
t
’
y s
´
ˆo t
’
u
’
ong quan:
η
Y/X
=
s
y
s

y
trong ¯d´o
s
y
=

1
n

n
i
.(y
x
i
− y)
2
; s
y
=

1
n

m
j
.(y
j
− y)
2
T

’
y s
´
ˆo t
’
u
’
ong quan c´o c´ac t´ınh ch
´
ˆat sau:
i) 0 ≤ η
Y/X
≤ 1.
ii) η
Y/X
= 0 khi v`a ch
’
i khi Y v`a X khˆong c´o phu
.
thuˆo
.
c t
’
u
’
ong quan.
iii) η
Y/X
= 1 khi v`a ch
’

i khi Y v`a X phu
.
thuˆo
.
c h`am s
´
ˆo.
iv) η
Y/X
≥ |r|.
N
´
ˆeu η
Y/X
= |r| th`ı s
’
u
.
phu
.
thuˆo
.
c t
’
u
’
ong quan c
’
ua Y v`a X c´o da
.

ng tuy
´
ˆen t´ınh.
2.6 Hˆe
.
s
´
ˆo x´ac ¯di
.
nh m
˜
ˆau
Trong th
´
ˆong kˆe, ¯d
’
ˆe ¯d´anh gi´a ch
´
ˆat l
’
u
’
o
.
ng c
’
ua mˆo h`ınh tuy
´
ˆen t´ınh ng
’

u
`
’
ot ta c`on x´et
hˆe
.
s
´
ˆo x´ac ¯di
.
nh m
˜
ˆau β = r
2
v
´
’
oi r l`a hˆe
.
s
´
ˆo t
’
u
’
ong quan. Ta c´o 0 ≤ β ≤ 1.
3. H
`
ˆoi qui 103
3. H

`
ˆ
OI QUI
3.1 K`y vo
.
ng c´o ¯di
`
ˆeu kiˆe
.
n
i) D
¯
a
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen r
`
’
oi ra
.
c
* K`y vo
.

ng c´o ¯di
`
ˆeu kiˆe
.
n c
’
ua ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen r
`
’
oi ra
.
c Y v
´
’
oi ¯di
`
ˆeu kiˆe
.
n X = x l`a
E(Y/x) =

m

j=1
y
j
P (X = x, Y = y
j
)
* T
’
u
’
ong t
’
u
.
, k`y vo
.
ng c´o ¯di
`
ˆeu kiˆe
.
n c
’
ua ¯da
.
i l
’
u
’

o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen r
`
’
oi ra
.
c X v
´
’
oi ¯di
`
ˆeu kiˆe
.
n
Y = y l`a
E(X/y) =
n

i=1
x
i
P (X = x
i
, Y = y)
ii) D
¯
a

.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen liˆen tu
.
c
E(Y/x) =
+∞

−∞
yf(y/x)dy
E(X/y) =
+∞

−∞
xf(x/y)dx
trong ¯d´o
f(y/x) = f(x, y) v
´
’
oi x khˆong ¯d
’
ˆoi
f(x/y) = f(x, y) v

´
’
oi y khˆong ¯d
’
ˆoi
3.2 H`am h
`
ˆoi qui
* H`am h
`
ˆoi qui c
’
ua Y ¯d
´
ˆoi v
´
’
oi X l`a f(x) = E(Y/x).
* H`am h
`
ˆoi qui c
’
ua X ¯d
´
ˆoi v
´
’
oi Y l`a f(y) = E(X/y).
Trong th
’

u
.
c t
´
ˆe ta th
’
u
`
’
ong g
˘
a
.
p hai ¯da
.
i l
’
u
’
o
.
ng ng
˜
ˆau nhiˆen X, Y c´o m
´
ˆoi liˆen hˆe
.
v
´
’

oi nhau,
trong ¯d´o viˆe
.
c kh
’
ao s´at X th`ı d
˜
ˆe c`on kh
’
ao s´at Y th`ı kh´o h
’
on thˆa
.
m ch´ı khˆong th
’
ˆe kh
’
ao
s´at ¯d
’
u
’
o
.
c. Ng
’
u
`
’
oi ta mu

´
ˆon t`ım m
´
ˆoi liˆen hˆe
.
ϕ(X) n`ao ¯d´o gi
˜
’
ua X v`a Y ¯d
’
ˆe bi
´
ˆet X ta c´o th
’
ˆe
d
’
u
.
¯do´an ¯d
’
u
’
o
.
c Y .
Gi
’
a s
’

’
u bi
´
ˆet X, n
´
ˆeu d
’
u
.
¯do´an Y b
`
˘
ang ϕ(X) th`ı sai s
´
ˆo pha
.
m ph
’
ai l`a E[Y − ϕ(X)]
2
.
V
´
ˆan ¯d
`
ˆe ¯d
’
u
’
o

.
c ¯d
˘
a
.
t ra l`a t`ım ϕ(X) nh
’
u th
´
ˆe n`ao ¯d
’
ˆe E[Y − ϕ(X)]
2
l`a nh
’
o nh
´
ˆat.
Ta s˜e ch
´
’
ung minh khi cho
.
n ϕ(X) = E(Y /X) (v
´
’
oi ϕ(x) = E(Y /x)) th`ı E[Y − ϕ(X)]
2
s˜e nh
’

o nh
´
ˆat.
Thˆa
.
t vˆa
.
y, ta c´o
E[Y − ϕ(X)]
2
= E{([Y − E(Y/X)] + [E(Y/X) − ϕ(X)])
2
}
= E{[Y − E(Y/X)]
2
} + E{[E(Y/X) − ϕ(X)]
2
}
+2E{[Y − E(Y/X)][E(Y/X) − ϕ(X)]}