Một số đặc trưng tính toán và độ phức tạp tính toán trên máy blum shub smale và trên cấu trúc đại số

- 1-V^* >* k‘ . :.y
' 1-.V

•

■I 1 fv.v5F'»'•iff.'Cf'?'!W '‘ĩ ’
K ị iJHpw ; •*&: Ate ịi -yi ,*
R1' nKflpfetafflySt? \ v 3 5 i : '
Ir ^i sjiirJrV
M #;T^fww
Jf đJ M
, V;V. . ã
ằã':, *r - •-'
■
rJRli-,

?***' - -Au /-, J ■

Đ Ạ I HỌC QUỐC GIA HÀ NỘ I
Trường Đại học K hoa học Tự nhiên

Tên đề tài

MỘT SỐ ĐẶC TRUNG TÍNH TỐN VÀ ĐỘ PHỨC
TẠP TÍNH TỐN TRÊN MÁY BLUM-SHUB-SMALE
VÀ TRÊN CẤU TRÚC ĐAI s ố

Mã số : QT- 04 - 01

Chủ trì đề t à i : PGS.TS.TRẦN THỌ C H Â U
HÀ

NỘI - 2 0 0 5


Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G IA H À N Ộ I

C ộ n g h o à x ã h ộ i c h ủ n g h ĩa V iệ t n a m

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

Đ ộ c lập -Tự d o - H ạ n h p h ú c

=======

=*+*=

BÁO CÁO TÓM TẮT
1. Tén đề tài

M ộ t s ố đ ặ c trư ng tính tốn và đ ộ p h ứ c tạ p tính tốn

trên m á y B ỉu m -S h u b -S m a ỉe v à trên c ấ u trú c đ ạ i s ô ”
2. M ã số : Q T -04-01
3. Chủ trì đề tài : PGS.TS.TRẦN THỌ CHÂU
4.

Cán bộ tham gia:

G S .T S .Đ ặ n g H u y R uận,
P G S .T S .V ũ N g ọ c L oãn.

PG S .T S.Đ Ỗ T ru n g Tuấn

5. M ục tiêu và nội dung nghiên cứu
a) M ục tiêu nghiên cứu
M ơ h ìn h tính tốn trên s ố thực đ ư ợc đưa ra bởi ba nhà k h o a h ọ c MỸ là L .B lu m .
M .S h u b , S .S m a le v à o n ã m 1 9 8 9 và thường được g ọ i là m á y B S S .
-

M ộ t tro ng n h ữ n g m ụ c tiêu c h ín h th eo c á c h tiếp cặ n c ủ a B l u m - S h u b - S m a le là
m ộ t c á c h phù h ợ p { c o n f o r m )

phải x â y d ự n g lý th u y ết đ ộ phức tạp tính tốn

n h ằ m g iả i q u y ế t c á c vấn đề dự a trẽn n ề n tảng c ơ bản là tính g iả i tích , tính tó -p ơ .
và ch ỉ ra m ộ t s ố vấn đề thực s ự k h ó trong tính tốn với bản chất là c á c s ố thực
bất k ỳ đ ư ợ c x ử lv n h ư là m ộ t thực thể thực sự.
-

M ộ t s ố k h ái n iệ m v à k ết quả q u a n trọng c ủ a lý th u v ế t đ ộ p hứ c tạp c ổ đ iể n đ ư ợc
c h u y ể n s a n g m ỏ h ìn h B S S -đơn đ ịn h trong thời g ian đa thức (ký h iệ u ì à P r )

và

m ô h ìn h B S S -k ìiâ n í' đ ơ n đ ịn h c ũ n g trong thời g ia n đa thức (ký h iệ u là N P r ) .
M ơ h ìn h tổ n g qt hơn là m ơ h ìn h tính tốn trẽn cấu

trúc đại

số

được

A . H e m m e r l i n g ( U n iv e r s ity G r e ifs w a ld , F e d e r a l G e r m a n y ) n e h i é n cứu từ nhrrni
n ãm 1 9 9 5 tới n a y v ề L ý th u y ết đ ộ phức tạp tính tốn, kha n ã n c đ o án n hãn nL:on
n g ữ và m ộ t s ố k ết q u á c h o c á c bài toá n N P - đ ầ v đú.
ị

f )
! Tp

1

- Tí:'.-

- GIA HA u ..

' ,f.,Ị Thi.J v t u


b) Nội dung nghiên cứu
-

N g h i ê n cứ u c á c đ ặ c trưng tính to án trên m á v B SS làm v iệ c với s ố thực

*

N g h i ê n cư ú m ộ t s ố đ ặc trưng đ o á n n hận n g ô n n g ữ và đ ộ phức tạp th e o m õ h ìn h
m ở rộn g trên c ấ u trúc đại sỏ

6. Các kết quả đạt được
T ổ n g q u a n m ộ t s ố k ết q u ả

q u an trọng trên hai m ỏ hình: m ơ h ìn h B lu m - S h u b -

S m a le và m ơ hìn h m ở r ộ n g trên cấ u trúc đại sổ
-

V é n g h iê n cứu c ơ bản:
+ C h ứ n g m in h 2 đ ịn h lý tổ n g quát về tính đốn n hận n g ó n n g ữ th e o luật l o g i c và
luật D e M o r g a n trên m ó h ìn h cấ u trúc đại sỏ
+ C h ứ n g m in h m ộ t vài tính ch ất kết hợp giữ a 2 p h é p toán là H ơ p (O 1) và G ia o
( r ì ) trong đ o á n nhận n g ó n n g ữ
+ Á p d ụ n g c á c kết quả đạt đ ư ợ c c h o
tính tốn n ói trên

nhằm

v iệ c n g h iê n cứu sâu h ơn vé hai c â u trúc

đ u a ra n h ữ n g khả n ăn g tính

đư ợc trên c á c m á y trừu

tượng BBS.

7. Tình hình sử dụng kinh phí
a ) Đ ư ợ c cấp:

2 0 .0 0 0 .0 0 0 đồng

b) Sử dụng:
+ Th khốn chuvén m ơn :

1 2 . 0 0 0 .0 0 0 đ

+ H ội nghị khoa học. X ẽ m in a :

4 . 0 0 0 . OOOđ

+ In ấn và c á c v iệ c k hác :

4 .0 0 0 .0 0 0 đ

H à nội, n g à y 31 th ú n g 12 n ă m 2 0 0 4
Ỷ k iến c ủ a Ban C h ủ n h i ê m K h o a

GS.T5KH.

S ÍL

C H Ủ TRÌ Đ Ê TÀI

*


SUMMARY
1. T itle o f p r o j e c t :
S o m e ch ara cteristic Properties

of

th e c o m p u ta b ility and

the c o m p l e x i t y o v e r the

B l u m - S h u b - S m a le ’s M o d e l and the M o d e l o f the a lg eb ra ic Structure
2.

C o d e o f project :

Q T - 04 - 01

3.

H e a d o f re search g r o u p :
Prof.D r. Tran T h o Chau

4.

Participants :

Prof.D r. D a n g H u v R u a n
Prof.D r. V u N g o c L oan
Prof.D r. D o T ru n g Tuan

5.

A i m s and c o n te n ts o f project :

a ) Rearcli a im s :
In 1 9 8 9 . L .B lu m , M .S h u b and S . S m a l e [ l ] in tro d u ced the m o d e l for c o m p u ta tio n s
o v er the real n u m b e r s w h i c h is n o w u s u a llv c a lle d the B S S -m a c h in e .
- O n e o f the m a in p u r p o se s o f the B S S approach w a s to create a u n ifo r m c o m p l e x i t y
th eo r y d e a lin g w ith p r o b le m s h a v in g an a n a ly tica l and t o p o lo g ic a l b a c k g r o u n d , and
to s h o w that certain p r o b le m s hard e v e n if arbitrary reals are treated as b a sic
en tities.
M any

b a sic c o n c e p t s

and fu n d a m e n ta l results o f c la s s ic a l c o m p u t a b ilit y

c o m p l e x i t y th e o r y reap p ea r in th e B SS m o d e l: the c l a s s e s

Pr

and

and N P r .

B a se d on the c o m p u ta tio n m o d e l in tro d u c ed b y A . H e m m e r l i n g [4]

for string

fu n c tio n s o v er s i n g l e s o rted , total a lg e b r a ic structures, h e stu d ed s o m e b a s ic fea tu res o f
a General th eory o f c o m p u ta b ilit y , r e c o c n i s a b i l i t v o f l a n g u a g e s , and s o m e re su lts OÍ the
N P -c o m p l e te n e s s .
b) M a i n c o n te n ts :
- S tu d y in g the properiie.s V)I ihe B S S - m o J c i o v er uiw i i u i

- S tu d y in g the p rop erties o f r e c o c n i s a b i l i t v o f l a n c u a e e s and c o m p l e x j t v o v e r Ihe
a lg e b r a ic structures

3


6.

M ain obtained results :
Prov in g t w o

th e o r e m s ab out the r e c o g n is a b ilit v o f l a n g u a g e s after the l o g ic a l

ru les and D e M o r g a n ru les o v e r the alg eb ra ic structures
-

P ro vin g s o m e a s s o c ia t iv e p rop erties o f la n g u a g e s from tw o o p eration s:

u n io n

( u ) and in te r s e c tio n ( n )
-

A p p ly i n g the o b ta in e d results for ad v a n c e research from tw o a b o v e m o d e l s
w h ic h ca n us h e lp to d o m a n y results about the c o m p u ta b ilit y o v e r the abstract
B S S -m o d e l and o v er the a lg e b r a ic structures.

7.

F in a n c e

a

a) R e c e i v i n g (F r o m C oll. Nat. S c . ) :

2 0 .0 0 0 .0 0 0 đ ổ n g

b) S p e n d in g s :

12.000.000d

+

For research w o r k s :

+

For s c i e n t i f i c c o n f e r e n c e s and s e m in a rs :

+ O th er w o r k s :

4 .0 0 ũ .0 0 0 đ
4 .0 0 0 .0 0 0 d

H u noi, D e c e m b e r 3 1 - 2 0 0 4

P rof.D r. Tran T h e C hau

4

KÊT LƯẶN
T rên c ơ s ở lý th u y ết T in h ọ c . c á c khái n iệ m về k h ả n ăn g tính đ ư ợ c, đ ộ phức tạp
tín h tốn, và k h ả n ă n g đ o á n n hận n g ó n n g ữ trên m á y BSS và trên cấu trúc đại s ố . Chuns
tỏi

đã n g h iê n cứ u th ê m m ộ t s ơ tính ch ất c ơ bản c ủ a hai m ơ hìn h n ó i trên và đưa ra

đ ư ợc 2 đ ịn h lý tổ n g quát v ề tính đ o á n nhận n g ó n n g ữ th eo luật lo g i c và luật D e M o r s a n
trên cấ u trúc đại số. Đ ổ n g thời áp d ụ n g luật đã n êu c h o m ỏ hìn h cấu trúc đại s ố . m ột
c ó n g cụ rất hữu h iệ u trong quá trình x ử lý x âu k ý tự dựa trên cấu trúc đại s ố n h ư n h ữ n e
k ết q u ả truyền th ố n g trên m ó h ìn h m á y T uring, đ ả m bảo tót tính h iệ u quả và khá n ăn g
đ o á n n h ận củ a hai m ó h ìn h th e o tư tưởng

lý thuyết đ ộ phức tạp m ộ t c á c h đ ó n g đéu

( u n i f o r m ) từ m ộ t h ìn h thức h o á n à y đ ến m ộ t hình thức hố khác.
C á c kết q u ả đạt được c ủ a đ ề tài vừa m a n g V n g h ĩa lv th u vết vừa m a n s V n g h ĩa
ih ự c tiễn , nhất là trong thời đại c ô n g n g h ệ th ô n g tin đã và đ a n g phát triển m ộ t cá c h
m ạ n h m ẽ như n g à y n ay trẽn t h ế giới.


MỤC LỤC
T ra n g
1. M ở đầu

7

2.

9

M ô h ìn h B lu m - S h u b - S m a le

2.1 C á c khái n iệ m , đ ịn h n g h ĩa

9

2 .2 T h í dụ m in h h o ạ

11

2 .3

C á c kết quả c ơ bản

13

2 .4

M ộ t s ố kết q u ả k h á c về vấn đ ề đ ầ y đủ

14

3.

M ơ hìn h tính tố n trén c ấ u trúc đại s ố

]4

3.1

C á c k hái n iệ m , đ ịn h n g h ĩa

14

3 .2

M ộ t s ố kết quả c ơ bản trên m ơ h ìn h cấu trúc đại s ố

]6

TÀI LIỆU T H A M K H Ả O

21

6


MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG TÍNH TỐN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH
TỐN THEO MƠ HÌNH BLUM-SHUB-SMALE VÀ MƠ
HÌNH TỔNG QT TRÊN CÂU TRÚC ĐẠI s ố
1. M ờ đầu
V â n đ ề c ơ bản củ a lý th u yết tính tốn c ó thể được đặt ra và phát b iế u m ộ t cá c h
d ễ h iể u như sau:

-

Có thể tính được cái gì

Đ ố i với n h ữ n g bài toán n à o c h ú n g ta c ó thê x ả v d ựng được c á c thú tục m á y
c ù n g với tính h iệ u q u ả củ a n ó n h ầ m giải q u y ế t m ọ i tình h u ố n g đặt ra c ủ a bài
toán
N h ữ n g bài tốn n à o c ó tồn tại thuật tốn đ ê giải được nó
Sự phát triển m a n g tính chất n ến tảng củ a lo g i c T o á n h ọ c từ n h ữ n e n ă m 1 9 3 0

n gư ời ta đã ch ỉ ra rang tổn tại c á c bài toán k h ó n g giải đư ợc, n e h ĩa là k h ỏ n c tốn tại m ột
thuật toán nào đ ể g iải đ ư ợ c c á c bài tốn đ ó.T rư ớ c đ ây người ta lu ô n c ô g ắ n g x â y d im e
m ộ t thuật toán c h o m ồ i bài to án s a o c h o n ó được phát biểu m ộ t c á c h ch ín h x á c c h ừ n s
n ào tìm đ ư ợc m ộ t thuật to á n đ ú n g đắn nhất. V ấn đề c ơ bản n àv m a n g m ộ t ý n s h ĩ a thực
tiễn rất cao: n g ư ời ta s ẽ k h ỏ n e b a o g i ờ x â y dựng c á c thuật toán c h o m ộ t bài toán k h ỏ n g
g iả i đ ư ợc. V ậ y c ấ n phải c ó m ộ t m ỏ h ìn h tính to án đ ể thiết lập tính k h ơ n e g iả i đư ợc cu a
m ộ t bài toán. N ế u c h ú n g ta m u ố n c h ỉ ra rằn g k h ô n g tổn tại m ộ t thuật toán c h o m ộ t bài
toán r iê n g biệt n à o đ ó thì c h ú n g lại c ầ n phải c ó m ộ t địn h n g h ĩa c h ín h x á c về thuật tốn.
K hi c h ứ n g m in h tính g iải đ ư ợ c, n g ư ờ i ta chỉ cầ n đưa ra m ộ t thủ tục cụ thể m à h iệ u quả
th e o n g h ĩ a trực s i á c là đ ư ợc.
C h ú n g ta h iể u thuật n g ữ th u ậ t to á n và thủ tục h iệu q u à là đ ổ n g n g h ĩa với n hau (/1 2 /).
C á c c ơ sớ lý th u y ết c ủ a sự tính tốn và đ ộ phửc tạp tính toán đã đ ư ợ c n h ié u nhà
T o á n h ọ c nổi t i ê n c n h ư Ciỏdel. C h u rch . T u r in c . K l e c n e và n h iê u n c ư ờ i k h á c

n e h ié n

cứu từ n h ữ n e n ă m 1 9 3 0 . C á c kẽt qua đạt được đã làm thúc đ áv n én T o á n h ọ c thê siớ i
phát triển k h ỏ n s n g ừ n £ và n h ié u kết q u a tu yệt vời trén p h ư ơ n s d iê n lv th u y ết đã đ ư ợc
thừa n h ậ n , đ ặ c biệt là A .T u r in g đã đưa ra m ỏ hình tính toan tỏ n g q u á i đ ư ợc iiọi la m a \
T u r in g . Đ ó là m ộ t m ỏ h ìn h T o á n h ọ c thích hợp
kh a i n iệ m

ham linh được.
/

đê d iẻn ta k hái n iệ m

thuái toán va


V à o năm 1 9 71, S.C ook, nhà T oán h ọc người Canada, là người đầu tiên đưa ra hài
tốn

p = N P ?“ . c ó n gh ĩa là liệu có phải m ọi ngơn ngữ đoán nhận được hời m ột m áy

T u r in g k h ỏ n g -đ ơ n đ ịn h trong thời g ia n đa thức thì c ũ n g đ o á n n hận đ ư ợc bời m ộ t m á y
T u r in g -đ ơ n đ ịn h trong thời g ia n đa thức ?
Đ ê n g h iê n cứu sâu h ơn m ố i q u a n h ệ g iữ a p và N P . c h ú n g ta d ễ d à n g n hận th ấy rãnc
p c N p , c ò n vấn đ ề n g ư ợ c laị “ N P c P

? “ thực sự là k h ó k hãn từ láu nay. M u ố n h iểu

tốt h ơ n , c h ú n g ta c h ọ n ra m ộ t bài to á n “k h ó giải n h ấ t" BT* th u ộ c lớp N P và k iể m tra
xem

B T * c ó th u ộ c p h a y k h ô n g . N ế u B T * th u ộ c p thì khi đ ó c á c bài tốn c ị n lại ít k h ó

h ơn h a y c ù n g lắm Jà k h ó b ằ n g B T * c ũ n g th u ộc p. V ậ y bài toán '"khá n h ấ t" tr o n s N P sẽ
là c h ìa k h o á vạn n ă n g đ ể m ở cửa bài toán “ p = N P ?
S .C o o k gọ i c á c bài toá n “k h ố n h ấ t “ trong N P là c á c bài toán “ N P - đ ầ y đ ủ " , và
c h ín h

ơng

là

ngư ời

đầu

(S A T I S F I A B I L I T Y - viết tắt

tiên

năm

1971

đã

ch ứ n g

là S A T ) là N P - đ ầ y đủ.

m in h

bài

to án

thoả

được

Sau đ ó M .K arp dựa v à o p h ư ơ n g

p háp c ủ a C o o k đã c h ứ n g m in h th é m m ộ t loạt 2 0 bài toán th u ộ c lớp N P - đ ầ y đu. và c h o
đ ê n n ã m 1 9 7 9 , M . G a rey và D . J o h n so n (/2 /) đã tổ n g kết đư ợc 3 0 0 bài toán N P - đ ấ v đu.
T ừ đ ó đ ế n n a y s ố lư ợ n g c á c bài toá n N P - đ ầ y đủ n g à v m ộ t đ ô n g hơn, p h o n e phú và đa
d ạ n g h ơn , g ó p p hần tích cự c c h o v iệ c lựa ch ọ n ch ia k hoá đê m ở cá n h cử a “ p = N P ?
V à o n ă m 1 9 8 9 , ba nhà T o á n h ọ c M ỹ là B lu m , Shub. S m a le / 1 / đã đưa ra m ộ t m ó
h ìn h tính tốn trên sơ' thực và đưa c h ú n g ta đ ến m ộ t tiếp cận m ới về LÝ th u y ết đ ộ phức
tạp tính toản trên p h ạm vi này.
M ộ t trong n h ữ n g m ụ c đ íc h c h ín h củ a tiếp cận m ơ hình B lu m - S h u b - S m a le (v iết tắt
là m ô h ìn h B S S ) là x â y đ ự n g m ộ t lý th u y ết độ phứ c tạp c h u ẩ n ( u n ifo r m ) n h à m giái
q u v ế t c á c bài to án trên n ề n tảng

g iaỉ tích và tỏp ó, đ ồ n g thời ch ỉ ra m ộ t s ố bài toán

" k h ó " n g a y cả khi s ố thực bất k ỳ đ ư ợc x ử lv n hư là m ộ t thực thê c ơ bàn.

N h i ề u khái

n iệ m và kết quả c ơ bản c u a lý th u yết đ ộ phức tạp tính tốn c ổ đ iể n đ ề u áp d u n s lại
trong m ỏ hìn h BSS:

m á y tính van n ă n g ( u n iv e r s a l m a c h in e s ) , c á c lớp

P R và N P r (tươ ng tư n h ư

p r à A T ) . cá c bài toán N P R-đ ầ y đu. V à o n ả m

1995.

A . H e m m e r l i n e / 4 / lại n g h i é n cứu lý ih u y é l đ ộ phức tạp tính Iơán trẽn m ỏ h ìn h c á u trúc
đại s ố 1 . tro n c đ ó k h ái n iệ m

I - t í n h đ ư ơc đối với cá c hàm xâu trên m ỏ hỉnh cấu trúc

T ư tườnn cu a m ó hình tính tốn n ày bãl n c u ó n từ cá c c ó n g trinh c u a G o o d e /3 /.
P o iza t /1 1/ và đã thu đ ư ợ c n h iê u két qua q uan trone trone lình vực K thuvc! đi) phức

8


tạp tính tốn, góp phần đi sáu ngh iên cứu bài toán “P = N P ?'' theo các m ỏ hình tính
tốn khác nhau, và làm rõ thêm bản chất “ khó ” của từng bài tốn có thể chứng m inh
được trên m ỗi m ột m ó hình tính tốn.

2. M ó hình Blum - Shub - Sm ale

K ý hiệu: -

R* = u R k
keN
M ộ t đ iể m

2.1

v = ( v , . v 2. . ..) € R x thoả m ã n y k= 0 vói k đủ lớn.

Các khái niệĩĩii định nghĩa

Đ ị n h n g h ĩ a 2.1

G iả sử Y c R '

- M ộ t m á v B lu m - S h u b - S m a le M (viết tát BSS-nuíy) trẽn R với tập vào ch ấ p nhận Y
là m ộ t tập hữu hạn c á c câu lệnh I c ó gán nhãn từ 0 .1 .2 ... N
- M ộ t hình trạng c ủ a m á y M là m ộ t bộ bốn (n .i.j.x) G I x N x N x R ' .
trong đ ó n là c â u lệ n h h iệ n tại, i và j là cá c địa chi cứa c á c thanh ghi (copv-roìiistCTs )
v à X l à n ộ i d u n g h i ệ n tại c ủ a t h a n h ghi.
H ìn h trạng ban đầu c ủ a m á y M khi tính toán với d ữ liệu

vàov e

Y

là

(l.L l.le n g th (v ).y ).
N ế u n e N và hìn h trạng h iệ n tại đạt được ]à (N .i,j .x ) thì khi đ ó q trình tính toán
đ ư ợ c kết thúc và d ữ liệ u ra là X.
C á c c â u lện h c ủ a m á v M b a o g ồ m

c á c d ạn g sau đây:

• L ệ n h tính tốn ( c o m p u ta tio n )

- T ính tốn d ữ liệu:
n: x s <— x k o n X] . trong đó
n: X <— a

với a là m ột h à n e th u ộ c R.

N h ư vậy thanh íihi X, sẽ n h ặn g ia trị là

X,

k h á c đ êu k h ơ n g thay đ ịi. L ệ n h tiẽp th eo sẽ

o n Xị

h oặ c a tư ơng

là n +1.

- Đ ị a ch i mới: i <— i+ ] hcxic i = 1: j <— j + l h oặ c j = 1.

9

ứng.

M ọ i thanh ehi


•

L ệnh rẽ nhánh (branch):
n: N ếu x 0 > = 0 thì nhảy đến P(n) h o ặ c nhảy đến n + 1 .

trong đó p (n )e I.
N h ư v ậ y lện h tiếp th e o Ị3(n) là đ ư ợc x á c định khi đ iều k iện thoả m ãn; n ế u k h ô n g
c h u y ể n đ ến lện h tiếp th eo. Tất cả cá c thanh ghi khác đ ều k h ô n g th a y đ ổi.

L ện h sa o c h é p (copy):

•

N: X, < -

. n g h ĩa là n ội d u n g c ủ a thanh đ ọ c (read- re g ister) đ ư ợc sa o c h é p sa n g

thanh gh i (w rite - r e g ister). L ện h tiếp th eo sẽ là n + 1 . M ọ i thanh ghi k h ác đ éu g iữ
nguyên.
Tất c ả c á c giá trị a

xuất h iệ n trong c á c lệnh tính tốn tạo thành m ộ t tập h ợp đư ợc gọ i

]à tập c á c h ằ n g củ a m a ý.
M ỗ i m ộ t m á y M trên Y đ ều tư ơ n s ứng với m ột hàm <I>N1 tính được bời M.
Đ â y là m ộ t h àm bộ phận từ Y và o R r và c h o kết qua là giá trị tính đ ư ợc với d ữ liệu vào
y e Y.

Đ ị n h n g h ĩ a 2 .2

G iả sử A c B c R "

và M ]à m ộ t B S S -m á y trên B.

a) T ập d ữ liệu ra {o u tp u t s e t) củ a M là tập hợp
T ập d ừ n g

O m(B).

(h a ltin g s e t) c ủ a M là tập tất cà cá c dữ liệu v à o y s a o c h o

C>N1(V) là x á c

định.
b)

C ặp

( B . A ) k ý h iệ u là b à i tốìì q u y ế t đ ịnh. Cặp n ày đ ư ợc g ọ i là cỏ t h ể cỊttycí dịìiìì

đ ư ợ c ( d e c id a b l e ) khi và ch ỉ khi tồn tại m ộ t B S S -m á y N với tập v à o ch ấ p n h ặ n B sa o
cho

là h àm đặc trim s c ủ a A v à o B. và trone trườne h ợp n à y người ta n ó i r ã n s m á y

N q u y ế t đ ịn h (B .A ).

C h ú ý: C ộp ( B .A ) là c ó thé q u y é t đinh được khi \'à chi khi A \'à B \ A đéu la c á c táp
d ừ n g trẽn B.

10


Định nghĩa 2.3
a ) Đ ố i với X = ( x , , x 2, . . . ) e R * s a o c h o X = (X],X2. . . . x k, 0 . 0 . . . ) e R *

t h ì k h i đ ó n g ư ờ i ta

ký hiệu:

s i z e ( x ) = k.
c R * và y e Y. Khi đ ó thời gian thực h iện cua

b) G iả sử M là m ộ t B S S - m á y trên Y

m á y M trén y đ ư ợ c x á c đ ịn h bởi b iể u thức:

S ố th a o tác thực h iệ n c ủ a M trên dữ liệu vào V,
T M(y ) :=

i

nếu

0 M(y )

đ ư ợc x á c định

00 .

Đ ị n h n g h ĩ a 2 .4

trường h ợ p c ò n lại

G iả sử A c B c R x

a) M ộ t bài toán q u y ế t đ in h ( B , A ) đ ư ợc g ọ i là th uộc lớp P R
B S S -m á y M với tập v à o c h ấ p nhận B và c á c h ằng

k eN ,

khi và chỉ khi tổn tại m ộ t

c e R / sa o c h o M q u y ế t đ in h

( B ,A ) và V y e B ( T M( y ) < = c . s i z e ( y ) k ).
b)

( B ,A ) được g ọ i là t h u ộ c lớp N P R khi và chỉ khi tổn tại m ộ t

B S S -m á v với tập và o

c h ấ p n hậ n B x R y và c á c h à n g k € N , c e R r sa o cho:
(1)

0 M( y ,z ) G { 0 ,1 }

(2)

O m ( y .z ) = 1 = > y e A

(3)

V y e A 3 z e R x (<Ỉ>M ( y . z ) = l và T M(y ) < = c . s i z e ( v ) k ).

Chú V :

ở đ â v z đ ư ợc x e m n h ư là m ộ t “n g ẫ u n hiên " {guess) đ ể d iễ n tả

m ột cách

k h ô n g h ìn h thức c ủ a thuật toán N P R .

2.2 Thí dụ minh hoạ
T ính q u yết đ in h của tá p s ố n gu yên dư o n g ị / ì / ì
G ia sư

s c

Z ' . C h u n s ta xã}' d ự n e m ột m á\' M s tren R đ ê q u \ ẽt địn h

n ^ h ĩa là c h o d ữ liệ u v à o

II e Z . m á y M s sẽ c h o kết qua ra là l. nếu

n éu n € s.

11

táp

n e s. hoặc

s.
là 0.


M á y M s tương ứng với m ột hàng s e R được xác định bằng biểu diễn nhị phân như
sau đáy:
s = . S |s 2. . . s n. . . . trong đ ó

1, n ếu n e

s

0. n ếu n

Ễ s.

sn = ^

H ì n h l . - T ín h q u x ế t đ in h c ủ a tập sở n g u y ê n dươ ng
Ms

đ ư ợ c x â v d ự n g ứng với

hằne

s , trong đó h ã n g s đ ó n g vai trò như là m ộ t

“O r a c le " c ủ a m á y T uring .
M á y s ẽ c h o c â u trả lời “ Is n e s ?" với đ ộ phức tạp thơi gia n là nlogìì (H ìn h 1).

Giíi SƯ n £ s

Đ i n h n ỉĩ h ĩ a 2 .5

( s e m i - a l ° e b r a i c ) . nêu

và s c R r' . Khi đ ó

s

đ ư ơc £ 0 1 lã

s là tập c á c phán tứ th u ộ c R n thoa m ã n hê p h ư ơ n s trình đa thức

trên R h ay nói c á c h k h á c , nêu s là hợp hữu hạn c á c tập c o n c ó dang:
[y

ể

Iiiíư-CỈLII sị

R” :

f ( y ) = 0 A g , ( y ) > 0 .......g , ( y ) > 0 ; .

tront; đ ó f. g | . g ; .........g , e R [ x !•■•*[■.]•

12


Đ ịn h n g h ĩa 2 .6

G iả sử (B i.A [) và (B t.A i) là các bài tốn quvết định. K hi đó người ta

n ói rằng: (B 2,A 2) là dán được v ề ( B ị.A ,) trong thời gian đa thức, khi và chỉ khi tổn tại
m ột B S S-m áy M trên B-, sao cho:
( B 2) c B, , O

m

(y ) G A | < = >

v ẽ

A2,

và M làm v iệ c trong thời g ia n đa thức.
K ý hiệu:

( B 2. A 2) < r ( B | . A | ) .

Chú ý:
1) C á c tập c o n nử a-đại s ố c ủ a R ]à h ợ p hữu hạn c ủ a c á c k h o ả n g giới nội. k h ô n g si ới
n ộ i, m ở , đ ó n g , h o ặ c n ử a - m ở (/1 /).
2 ) C á c bài toán q u y ế t đ ịn h (R ,Q ) , (R . Z ), (R ,N ) , và (Q ,Z ) đều k h ô n g th u ộ c ló p P R
(/9 /).
3) Bài tốn (R ,Q ) là k h ô n g q u y ế t định đ ư ợc, c ò n cá c bài toán (R . Z ). ( R . N ) . và (Q .Z )
là q u y ế t đ ịn h được (/9 /).

2.3 Các kết quả co bản
C h ú n g ta k ý hiệu:
F k= { f : f là đa thức n b iến với hệ s ổ thực c ó bậc < = k Ị
F k zero = { f e F k: f c ó n g h i ệ m thực}
F k7 -r.+ = { f s F k: f c ó n g h i ệ m thực với c á c thành phần k h ô n g

âm }

Đ ị n h lý 3 .1 ( B ìu m - S h u b - S m a le / ỉ / )
a)

Đ ố i với m ọ i k > = 4 bài to á n (F k, F k zcro) là N P R -đ ầy đủ.

b)

M ọ i bài toán th u ộ c lớp N P r đ ều c ó thể q u y ế t định được trong thời g ia n h àm m ũ.

C h ú ý-

V ớ i ° ia thiết là P R - N P r thì s iớ i hạn k = 4 là c á n dưới chát nhất cưa đinh

lý 3 . 1 . đ iề u n ày đã đ ư ợc T r ie s c h / 1 5 / c h ứ n g m in h :
V ớ i k = 1 . 2 . 3 bài toá n ( F \ F l „ ril ) là th u ộ c lớp PR.

13


2.4

M ột sô kết quả khác về các vân đề đầy đủ

1) Bài toán (Q S,Q S yeJ -h ệ phương trình đa thức bậc 2 có m ột n ghiệm

là N P R -đầy đu

C/8/>.
2 ) Bài to án ( F k. F k 7cro+) là N P R -đ á y đủ với k > = 4 (/Sỉ).

3. M ị hình tính tốn trên cấu trúc đại sỏ
3.1. Các khái niệm , định nghĩa
Đ ị n h n g h ĩ a 3 .1

G iả sử N + là tập tất cả cá c sỏ n g u y ê n dương.

M ộ t c á u n ú c đ ạ i sổ Y â m ộ t b ộ b ố n :
£ = < S;(c, : 1 e l c ):( R, : i e I R):( F, : i e I F)> ,trong

đó :

- s là m ộ t tập k h á c rỗ n g , được g ọ i là tập n ền củ a X
- (Cj : i e l c ) là m ộ t h ọ ( c ó thể rỗ n g ) c ủ a c á c h ằ n g c ơ bản, tức là c, e S v ơ í m ọ i
-

R, : i e I R) là m ộ t h ọ c á c q uan hệ c ơ bản, tức là Ri C

với m ọ i

1

e lc

s k' với k, là s ố n g ó i th u ộc N +

i eIR

- (F, : i e l p ) là m ộ t h ọ c á c h à m c ơ bản. trong đó m ỗ i m ột h à m

B ộ ba ơ = < I C; (k, : i e I R):( ], : i e l p ) > được g ọ i là k ý nliậii

có số ni

là ], th u ộ c

(sign atu re c ủ a I ) .

M ộ t c ấ u trúc đ ư ợ c g ọ i là h ữ u h ạ n , nếu tất c ả cá c tập chỉ s ố Ic . IR. Ip đ ều là hữu hạn.

T h í dụ:

> là m ộ t cấu trúc trường nhị phân

1)

B = < { 0 ,1 ]•; 0 .1 : = :

2)

R = < R : 0 .1 ; < = : + . - . * . / > là m ộ t cấ u trúc sắp thứ tự củ a trưòfng s ố thực

3)

v=


0

:=;

(ơ

:

re

R ) , + > là

một

khơns

g ia n

vectơ

tu y ê n

tính

( ơ r( x ) = r . x )
T r o n e c á c thí dụ trên, hai thí du đầu c ó câu trúc hữu han. c ị n thí du sau c ù n c có
c â u trúc v ó hạn.

Sir rinh to á n tron e s n s h ĩ a là sư tính tốn c ủ a c á c h àm (b ỏ p hân ) k b iên ự) : —> s.
M ó t liiii tụ c th u ậ t to a n

hữu hạn n g h ía là c h o m ộ t bộ dữ liệu

M á v làm v i ệ c tư ơ n c ứng VỚI m ộ t ch ư ơ n g trình n ào do và c h o kéi q u a la g ia tri cu a h a m
. khi vìi ch i khi ham đ ư ợc x á c đinh.

14


Đ ịn h n g h ĩa 3 .3

-

M ột

I-c h ư ơ n g trình được g ọ i là đơn định (D -program ). nếu nó

kh ơn g chứa lệnh g u ess và tất cả các lện h nhảy chỉ chứa đúng m ột nhãn.
- M ột chư ơng trình là khơng-đơn định loại Ị hay cịn gọi ỉà khỏng-đơn dịììh nhị phái!
( N I -program ), nếu n ó khơn g chứa lệnh gu ess.
- M ộ t c h ư ơ n g trình

là k h ô n g - đ ơ n đ ịn h loại 2 (N 2 -p r o g r a m ). n ếu n ó là m ộ t c h ư ơ n c

trình tuv ý.

Chú ý:
C á c k hái n iệ m D -t ín h đ ư ợc và N ,-tín h đ ư ợc đéu hiểu tương tự như trước đây.

N g ư ờ i ta c ò n p hân biệt k ỹ hai k hai n iệ m :
I - ch ư ơ n g trình ( 'L -p ro g ra m ) và z -T ự a ch ư ơ n g trình ( 'L - Q u a s i p r o ỵ ơ m ) ớ c h ỗ la
trong 'L-cluỉơiìg trình

ch ỉ c h o p h é p m ộ t s ố hữu hạn c á c h ãn g

củ a cá u trúc là c á c s ố

h ạ n g trực tiêp, trong khi đ ó thì E - T ự a c h ư ơ n g trình lại c h o phép c á c phán tư Uiỳ ý cúa
tập n ể n là c á c s ố h ạ n g trực tiếp.
V à tương ứng c h ú n g ta lại p h á n biệt th êm khái n iệ m tựa Ịìầnạ ( q u a s i c o n s t a n ỉ ).

Đ ịn h n g h ĩa 3.4

M ộ t p hần tử s e S

được c o i là ( £ ) - k iến tliiết ( c o n s t r u c t i b le ). n ếu tòn

tại m ộ t h àm x á c đ ịn h k h ấ p nơi cp„ sa o cho:
cp,(co) = s với m ọ i co € s +. là m ộ t h à m S -tín h được đơn định.

Đ ịn h n g h ĩa 3 .5

M ộ t cấ u trúc s đ ư ợc g ọ i là so n g k iế n th iế t (b ip o ten t ). n ế u tón tại ít

nhất hai p hần tử k iê n thiết r(1 và rI.

C h ú v: - Trẽn cấu trúc s o n s k iê n th iết, n e ười ta c ó thế sử d u n g c á c rãnh phụ e iú p c h o
v i ệ c x ử lý x âu . c h à n g hạn : xâu co = r ,is ]r,;s : . . ,rm s„
(iị e í 0 . 1 Ị ) thay c h o x âu g ố c là
-

co = S|S: . .. s n .

V à h àm c ặ p xáu {p ani/ii! o f string):
p a i r ( S | S : . . . s n ,S] S; . . . s m ) = dt.f r 0S | r 0s 2. . . r (t s n r j S ir oS ^ .- . rd S ^ .

Ò d''iV t a p h o p

I p a i r I (■)..('->-1 :

(■)

€ S ’ ! l a D - q LI v e t đ i n h diro'c.

15


3.2. M ột sô' kết quả cơ bản trén mỏ hình cáu trúc đại só
Định lý 3.1 (/4/)
Trẽn m ỗi cấu trúc I . các m ện h đề sau là đúng :
- N ế u N , p = N 2P
- N ếu p = N ,p
- N ,p = P Q

thì

thì

N , P Q = N 2PQ.

P Q = N ,P Q ( i = 1 . 2 )

k hi và ch ỉ khi

N ,P Q = PQ (1=1.2).

Đ ị n h ly 3 .2 ( s -m -n T h e o r e m / 5 / )
Đ ố i với m ỗ i m ộ t

m , n G N + tổn tại m ộ t hàm

S - tính đư ợc x á c đ ịn h k h ắ p nơi với

( m + 1 ) b iế n CTmn : ({ r0,rl } +)m+1 -*• { r0. r , } + sa o c h o với m ọi
c o , ......... com e {r,„r,}+ và
^

m ọ i 0)m+ !....... c.)m+n E s + :

(0(1 ( [ í ) J I , . . . , COm , M m + | , . . . , ( 0 m+ n ] ) —

ộ

I,

n <(:)(),(!.],

. f im I (

I ..........................................................................® m + n ]

Đ ị n h lý 3 . 3 (R e c u r s io n T h e o r e m / 5 / )
G iả sử n e N +. và

ọ : (S +)n+l —> s +

là m ộ t

h àm S-tính được đơn định.

Khi đ ó lỏn

tại m ộ t x âu CD0 e {r0,r j } + s a o c h o
Vcù,....... com G s + : cp(co,........ com) =

o , , ( , ( [ « , .........í ử j ) .

Đ ị n h lý 3 .4 {F ixed- P o iìit T h e o r e m / 5 / )
G iả sử n e N +, và cp : s + —» s + là m ộ t hàm

I - t í n h được đ ơn đinh.

K hi đ ó tổn

tại m ộ t x â u co0 € {r0, r , } + s a o c h o
V e o ,....... CDm e s + : O ,,0 ([co,........ c o J ) = ®cp l(HI, ( [tO]........ t o J ) .

Đ ị n h IV 3 .5 {Rice 's T h e o r e m /5/)
G iả sir 0

la m ộ t láp h ợp c á c

h à m bộ phận m ộ t biên

I - t í n h đ ư ợc đơn đ ịn h và

k há c rỏn g. Khi đ ó ton tai m ộ t láp chi sỏ
](<$) =Ji|

;(!) :

e Iru.r ] !+ và

<t> I là k h ó n e I - đ o á n n hận đ ơn định.

16


V ào năm 2 0 0 2 , trong thời gian thực tập ba tháng tại Trường Đ H T H G reifsw ald .
c h ú n g tôi đạt đ ư ợc hai k ẻt quả sau đ â y v ề vấn đề tính được trẽn m ỏ h ìn h cấu trúc đại

sị

(/Preprint 2 0 0 2 /).

Đ ị n h lý 3 . 6

T ồn tại m ộ t h àm

X - tính được với 2 biến

tp : ({ r(hr 1}+)2 —> { r0. r , } + sa o c h o

m ọ i co. co' e {r0. r , } + và m ọ i co Ị ........................ojm

với

t

s+:
....... í [ “ l.............................. «m]}

Đ ị n h lý 3 . 7

Hàm

sau đ â y

là

=

(p

([co I........ c o j ) .

I - tính được đối với m ọ i D -tựa ch ư ơ n g trình n và

m ọ i co Ị.........CDm e s + :
co’ .

nếu 0 \ (Xkln, ([co,....... 0 )m]) tổn tại

và b àng 0)'
g ( p a i r ( c o d e ( n ) ,[ c ừ |....... C ừ j) = dcl

ị
k h ô n g x á c định, nếu
«.<*!,, ri) ( [ « , .......ís)m]) k h ơ n g tơn tại.

T r o n g thời g ia n thực h iệ n
m ô h ìn h n à y và ihu th è m

được

tiếp đ é tài 2 0 0 4 , c h ú n g tỏi đã tiếp tục n e h ié n CƯÚth eo
m ộ t vài kết quả m a n g tính tổ n g quát của luát lo g ic

và

luật D e M o r g a n .

Đ ị n h lý 3 . 8 ( H e m m e r l i n g / 5 /)
L ớ p c á c tập ra (o u tp u t s e ts)

c ủ a n g ô n n e ữ trên cấu trúc đại s ố

là đ ó n s đ ó i với

c á c p h é p h ợ p ( u ) và g i a o ( n ) .

M ộ t c á c h tự n h ié n . c h ú n s tôi c ũ n g dễ d à n g su y ra rãng nó c ũ n g thoa m ã n luãt phân
p h ố i h a i b ê n đ ỏ i với ha i p h é p l o a n n à y là:

u r-, ( \ T
u

( V

\Y ) = (

Ư

~W )= (

V ) u ( r o \Y ì (ã)
u O1V )( I' „ \ v ) (h)

C h i m e m in h hai tinh chát n ày dựa và o cách c h ứ n g m in h cu a đinh ]Ý 7.1
H e m m e r l i n c ( / 5 / ) và lý thuyêt tập hợp c ổ điển.

17

cu a


T ừ đ ấy, chú n g tôi đi đẻn kêt quả tổng quát sau đáy theo luật lo g ic và
luật D e M organ.

Định lý 3.9
G iả s ử ( A >.) > e L và (B > ) >. e V, là hai họ cá c tập ra củ a n g ó n n g ữ trên câu
trúc đại số. K hi đ ó c h ú n g ta có:
M . € L A i j n ( u Aí MB f i ) =

u i. v| l í W1( A i. n B p ).

Chứng minh:
C h ứ n g m in h b ằ n g p h ư ơ n g pháp q u y nạp T oán h ọ c th eo s ố phán từ cu a hai họ
(A>.) Ã e L và (B>. ) >. e M- C h ú n g ta k ý hiệu lực lượng củ a tập hợp D là I D i .
1) B ư ớ c k h ở i đ ấ u :

I LỈ = 1. và I Nil = 2 .

C h ú ng ta có:

A ln (B lu B 2 )=

(AI n B I

) u ( A I n B 2)

đ iề u n ày đ ú n g th e o tính chất phản p hối hai bẽn (a).

2) B ư ớ c giá th iế t c/ny nạ p :
G iả sử c ổ n g thức đ ú n g với m ọ i I l I .! mI < = k < - n:
(^ i.íL A > ) r'')

3)

) X(J LxM ( A)_ Cì

/. t MB p.) =

).

B ư ớ c c h ứ n g m in h q u y nạp:

C h ú n g ta sẽ c h ứ n g m in h rầns. c ỏ n s thức c ũ n g đ úng với ! LỈ = n + l .l MI = n + l :
( u t f |_Aj ) n ( u ,

ễ

MB [ ! ) =

í L\M^

,r>i B u )

C h ú n g ta x ét 5 trường h ợp sau đày:
•

T rư ờn g h ợp 1: i Ll = 1 . và I MỈ = n + l
A | 0

('
1 , n*l

ì ~

^

u € l . . n+l

(A ] o

Bp ) .

T hật v ậ y . c h ú n g ta c ó
A , n ( U M , n+i B |U) = A | ~ ' ( ( ' - L. , ] n
= ( A , ~ B,- > ~ < A , ~
=

vì rà n c

( U j |r: I „ B ị- 1 ) =

, r!. :

B ,.

) '^

ị )=

B„*1> =

A

I B . . B ..
(A

R .. i .

(A r'B u ).

\ à ( A]

B

( t h e o g i a t h i ê t q u i n ạ p >.

1S

_ u

(AỊ

But

' A

p . ..


•

Trưòng hợp 2:

I Ml = 1 , và I Ll = n + l

( U M6 I-n+1 B n ) n

A, = u

Me , n+1 (B |i n A | ) .

Chưng m in h tương tự như trường hợp 1 bằng cách đổi vai trò của A ch o B.

•

T rư ờn g h ợp 3 : I Ll = h < = n. và ỉ Ml = n + 1.
( u i . E i . . h A ; . ) n ( u N i l n+lB | i ) =

1aM { A ,r - B U)

u

Thật vậy, chúng ta c ó :
(

e I..h A >.) = A j .

(th e o giả thiết q u y nạp)

và c h ú n g ta áp d ụ n g p h ư ơ n g pháp c h ứ n e m in h tương tư như trường hơp 1 b ã n e c á c h đổi

vai trị A ị cho A j*.
•

T rường hợp 4 :

Ãe L^

I m | = t < = n. và I l I = r ì+ 1.

^

ự. ịi )Ị-_ [_\ M (A fiH B |i)

ự t I I B |_l) —

T hật v ậ y , c h ú n g ta c ó
( u ^ u B ụ )

=

Bj .

(theo c iá thiôt quy nạp),

và c h ú n g ta áp d ụ n g p h ư ơ n g pháp c h ứ n g m in h tương tự như trườns h ọ p 2 b a n s c á c h đổi
vai trị

•

B, c h o

Bjt .

T rư ờng h ợp 5 : I MỈ = n + 1 . và I l I

(u

=n+l

e M B M ) = V >. VL1 e LvM { A >. n B m).

, L A>.) n ( u

Thật v ậ v , c h ú n e ta b iên đ ỏ i vẽ phai như sau:
u ; K|1f LxM ( A/. ^
u (A

n+I n

^ =

^ ' U1 €

,:M IW1 B u n

( B ,w I C\ ( u L - IK1 A ;. ||

-

( A n+|
I A n. 1

in+l.n+li^ A / ^ B M) 'vj ( B n+Ị I . ( 'sj ,
B n+1) = ( ( w1, , L. n^| A , ) r-, Cw:
( w' M. N) .

19

; B u II

( A n_;

L n+IA/ ) )

v _

B n. ;) . ( )

B u

I)


C húng ta đặt:
^ _ ( u >■e L-n+1 A> ) và Y =

( u A i M^ +1B ụ ) . Khi đó từ (*) c h ú n g ta có:

( X n Y ) u ( B n+1 n X ) u ( A n+I n Y ) u ( A n+1 n B n+, ) =
( Y n ( X

u

A n+| )) u

(B n+i n

( B n+| n ( u A e L A>. )J = (

( X

;. h A j

u

u

A n+1 )) =

n ( Y

u

( Y n ( u > . L A> )) O'

B n+1 ) = u , ^ , UM ( A , r-. B u ).
(đ p c m )

Đ ị n h lý 3 . 1 0
G iả s ứ

( A j ; e L và (B X ) A ẹ M là hai h ọ c á c tập ra cù a n g ó n n g ữ trẽn cáu

trúc đại số. K hi đ ó c h ú n g ta có:

(^

P h ư ơ n g p háp

t L A , ) u ( n , ị MB Ị.I) = o

; vuLxM ( A, yj B u ) .

c h ứ n g m in h định lý này lư ơn g lự như ch ứ n a m in h định lý 3 .9

bằng c á c h đ ổi vai trò u

cho

n .

(đ p c m )

N h ậ n xét:
T h e o đ ịn h l ý 7 . 1 ( H e m m e r l i n g / 5 / ) . lớp c á c tập đoán n hận (re c o g n iza b le sets) cu a
n g ô n n g ữ t r ê n c ấ u t r ú c đ ạ i s ố c ũ n s c ó t í n h c h ấ t đ ó n g đố i với ha i p h é p t o á n h ọ p ( O I và
g i a o ( n ) . d o đ ó c á c tính chất p hã n p h ố i hai b ên (a ) & (b ) c ũ n e đ ểu thoả m ãn . V ì vậy
tính chất tổ n g quát c ủ a lớp n s ô n n s ữ n à v đều áp d ụ n g được c h o hai định lý 3 .9 và
đ ịn h lý 3 .1 0 . H ơ n nữa. lớp c á c tậ p đ o á n n h ậ n (c ũ n g n hư lớp các tá p ra) két h ợp với
hai p h ép toán h ơp ( u ) và g i a o ( n ) nói trẽn lập thành m ộ t dàn phán phối

{distrib u tiv e la u ic c I.

20

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] B lu m ,L .; Shub, M.; S m a le , s .. O n a the o rx o f co m p u la tio n a n d c o m p ie x itx o v e r IỈIƯ real

n u m b e i s . N P - c o m p l e te n e s s , r e c u r s iv e f u n c t i o n s a n d u n iv e r s a l m a c h in e s . B ull. A m e r . M ath.
Soc. 21 ( 1 9 8 9 ) , 1 -4 6
[2] G a rey , M . R.; J o h n s o n , D. s .. C o m p u ter s and intractability, W .H . F r e e m a n a n d ciHiipiinx,

N e w York , /9 7 9
[3] G o o d e , J, B., A c c e s s i b le te le p h o n e d i r e c t o r i e s , J. Svm b . L o g ic 59 ( 1 9 9 4 ) . 9 1 - 1 0 5
[4] H e m m e r lin g , A ., C o m p u i a b i h l x a n d c o m p le x ity o v e r str u c tu re s o f fin ite type.
E .- M .- A m d t - U n i v e r s it y G r e if s w a ld , Preprint 2 ( 1 9 9 5 )
[5] H e m m e r l i n g , A ., C o m p u ta b i l it y o f S trin g fim c iic m s o v e r a lg e b r a ic s tr u c tu re s .
M ath.

L o g ic Q u arterly 4 4 ( 1 9 9 8 ) . 1 - 4 4

[6] H e m m e r l i n g , A ., O n p v e rs u s N P f o r p a r a m e te r - fr e e p r o g r a m s o v e r a lg e b r a ic

s tr u c t u r e s , M ath. L o g i c Q u arterly 4 7 ( 2 0 0 1 ) , 6 7 - 9 2
[7] K oiran . p., /4 w e a k v e rs io n o f the B ln m -S h u b -S m a lc m o d e l, F O S C '93 ( 1 9 4 3 I, 4 8 6 - 4 9 5
and N e u r o C O L T T R S eries N C - T R - 9 4 - 5 ( 1 9 9 4 )
[8] M e e r , K-. C o m p u ta t i o n o v e r z a n d R: a c o m p a r is o n . Journal o f C o m p le x it y 6 ( 1 9 9 0 ) .
2 56-263
[9] M e e r , K., K o m p le x ità ts b e r r ơ c tu n ẹ e n f u r reelle M a c h in e n m o d e lle . Ph D . D isser ta tio n .
V e r la g Shaker. A a c h c n . 1 9 9 3
[1 0 ] M i c h a u x , c . , p ^ N P o v e r the n o n stan d ard real im p lie s p T N P over R.
T h e o r e tic a l C o m p u te r S c i e n c e 133 ( 1 9 9 4 ) , 9 5 - 1 0 4
[ 11] P o iza t, EL L e s petit c a i l l o u x . A le a s . L y o n . 1995
[1 2 ] S a lo m a a . A .. C o m p u ta tio n and A u to m a t a . C a m b r id g e U n iv e r s ity P r e s s 1 9 8 5
(b ản d ịc h tiế n g V iệ t : " N h á p m ó n tin h ọ c ỉ Ý t h u y ế t t i n h to á n và c á c O t ó m a t

cu a

hai tác c ia N s u v ẻ n X u â n M y và P h ạm Trà Â n . N X B K H & K T H à n ộ i- 1 9 9 2 )
[ 13] T r ie s c h . E .. .4 n o te e n J t h e o r e m o f B ì u m - S h ii b - S m a k . Journal o f C o m p le x ir y 6
(1990).

1 6 6-169

[1 4 ] Tran T h o C hau, ỉ n ĩ r d n c ĩ i c n 1(1 thi' T t ’(>r\ of c (im p u ta tio n a n d c ompỉe.xiĩy o v e r ilw
R e a l N u m b e r s a n d o t h e r A l ỉ ỉ c b r ư i c S l r u ơ i u T s . Preprint Re i h e M clthem atik.
Nr. 2 0 - 2 0 0 2 .

E m s t - M o r u z - A m d t - U n i v e r s i t a L Cireiiswald

2002.


Phiếu đăng ký kết quả nghiên cứu
Tén đề tài: Một sơ đ ặ c trưng tính tốn và độ p h ứ c tap tính tốn trén m áy
Blum-Shub-Smale và trên cấu trúc đại số
M ã số:

QT - 04 - 01

Cơ quan chủ trì đề tài:

Đ ị a chỉ:

K h o a T o á n -C ơ -T in h ọc.

T rư ờn g Đ ại h ọ c K h o a h ọ c T ự nhién Đ H Q G H ànội
3 3 4 - N g u y ẻ n Trãi, T h a n h X u â n . H à nội.
T el. 8 5 8 1 135

C ơ q u a n q u ả n l ý đ ể t à i : T rư ờn g Đ ạ i h ọ c K h o a h ọ c Tự n hiên Đ ị a chỉ:

Đ H Q G H à nội
3 3 4 ' N g u y ễ n Trãi. T h an h X u â n . H à nội.
T el. 8 5 8 4 5 2 9

T ổ n g k in h p hí thực chi:
T ro n g đó: - T ừ n g â n sá ch N h à nước:
- K inh phí c ủ a T rường:
- V a y tín dụng:
- V ố n tự có:
- Thu hồi:

2 0 0 0 0 X lOOOđ
0 X lOOOđ
2 0 0 0 0 X ]0 0 0 đ
0 X lOOOđ
0 X lOOOđ
0 X lOOOđ

T ê n c á c c á n b ộ p h ố i h ợ p n g h iê n cứu:
C h ủ trì: P G S .T S .T rá n T h ọ Cháu

N h ữ n g người th a m gia:
G S .T S .Đ ặ n g H u y R uận

P G S .T S . V ũ N g ọ c L oãn
P G S .T S . Đ ỗ T rung Tuấn
S ố đ ă n g k ý đề tài

N e ày

s ỏ c h ứ n g n hân đ ăng ký
K ết q u a n c h iê n cứu

B ao mát
a. Phó bién rộng rãi
b. Phổ b iến hạn ch ê
c. B ao mát


Ki6n nghị ve (|U1 mo va đoi tượng áp dung nghién

CỨU'

C ac ket q u a đạt được c ó thê áp d ụn g n hằm tao lập th ém n h ữ n g táp dữ
liẹu ra {output sets), tập đ o á n nhận (recognizable sets) hãng c á c h lãp đi

lặp lại m ộ t s ố lán th e o ý m u ố n , rói dừng lại tại thời đ iế m thích h ọp đê
x e m d á n g đ iệu c ủ a n g ô n n g ữ được sinh ra theo luật l o g ic và luật
D e M organ

m à c h ú n g ta áp d ụ n g ch o m ỏ hình trừu tư ợ n s nói trên và

đ ỏ n g thời áp d ụ n g c á c luật đ ó c h o

q trìng x ứ ]ý th òn g tin trone hệ

th ố n g.

Chủ n h iệ m đề tài

T hủ trườn 2

Chủ tịch H ội

Thư trưứns c ơ quan

c ơ q u a n ch ủ

đ ổ n g đánh giá

quan lý de tài

trì đổ tài

ch ín h thức

H ọ và T ên
~ ĩ r£Vv\ r t i o

// *
Jc ay :n jllÕ4*

fia t

l í lí. D u n

ì

H ọ c vị

ĩí<í

P ^ .T Í .

v>

\\ ■

S

K ý tên
Đ ó n g dấjí

c
V

Y

\ ^

í
\

--

J..."

^

li*
ụ

J& UG N- e-o
V

T rn L

4

ỉ
\i

'

J

- —' ' «'1

r-ỳ

»„ : ~s/dÀM<:'

23

1.

Ui /

J dc/


Emst-Moritz-Amdt-Universitat Greifswald

Preprint-Reihe Mathematik

Introduction to the Theory of Computation
and Complexity over the Real Numbers and
other Algebraic Structures
Tran Tho Chau

Nr. 20/2002