Giải tích hàm tập 1 cơ sở lý thuyết

PHAN ĐỨC CHÍNH

' ,v

'^S Ã

R

Ẵ
^•*

ỈIẨ

/

T Ậ P

I

*

ụ.

cơ sở LÝ THUYlì
f í
ỈỊ ■
-

L
s
ICv' ỉ:.:

■rí'4
\

•>4

NHÀ
JẠI

HỌC

VÀ

XUẤT

TRUNG

BẢN

HỌe

CHUYẼN

NGHiậP

f

y

Bièn l ậ p :

NGUYỄN TRỌNG

BẢ


ỉấ')ỉ

NíH

đ ầ u

Giầĩ t i c h h à i i i là
ỉĩìột n g à n h l o á n họCĩ d ư ợ c b ắ t đ ầ n x ẵ i j
d ự n ạ c ácì ì cỉáy !ì(íin, sãii r n ư ơ ỉ n a m , n h i v n q h i ệ n n a y h ầ a
lìlìir iỉã ã ư ợ c x e m ỉả ỉ ì ì ơi ỉ ỉ qùỉ i h t o á n h o c cS d i e i ì t il r a là
v'ể C(ĩc p h i t ơ i ĩ Ị Ị h ư ớ n g
chíỉih ỉỉữỉng
cỏa nó, T r o ỉiq k h o ã n g
iỉìỏ i g iơ ỉi

â iỊ,


h ê t úrc p h o n g
iìứỉU \ỉm TC

plìú,

ỉ i hữi t Ị Ị

v ả tồ iiịi q u á t

của

lũ ĩj d ư ợ c

phiiưng p h á p
{Ịiái t íc h

h ù fìì

m òt nối dung

v à Ịcết q n ẫ r ấ t

da x â ỉìì

ỉàl ( / c á c n q à ì ì h inaiì ỈỈỌC ró Ịiẽiì giiaii v à cỏ

nhừuỊ cịng cụ ỊỊiải

Ỉìỉiậ p vào

dụng đền

ỉich DÙ kiìồỉig giaii vectơ>

Sự x á m n ì i ậ p ấỊỊ lììộl ỉtiặl d à m ơ r a ỉ ì h ữ n q vhớĩi t r ờ i
n(fhỉên c ú lì r ộ ì ì ị ị l ở n CỈIO c á c i ì í Ị ầnh ỉ o ủ n h ọ c ì ỉ ỏi t r é i i , m ặ t
kỉỉảc :ìõ il'f ỉ-íỉ cho ỉìỊỊniìh ỊỊíái tívh lìàỉỉì pỉiải dủc kẽt

nỉiữìg kvt q cùa :iíiừĩìg iìfỊàiih lốỉì học ì-ịriìỊỊ rè dì.
ỉro ỉì Ị :h ìn i(Ị

m ụr

nà i)

iỉo

iiẻ x i i ĩ ì r r a

nh rvìU Ị

m ẫa

tốn

học

ịịĩy

cẰ a

tỒiụỊ q u ù t l'à t ỉ ' ừ u ị ư ọ i i g .
Ti / ' đ ị ,

(}iá i

licỉt

h ã iiì

dà

ỉrở

iỉìà n h

nơi

gặp

nbịìli :ìỊfành ỉốn học ụ) liinỊỊcỉ và ừiiỊỊ (/íỉ/ỉí/T ỉo a ịị írù n
ỉU iy- k h n

mà

liiu

p h a i írivit

V ạcỉi

(ỊÌủi t í c h h à n i .

va

ran h

lìy a n h ìììĩ' c ủ a
(Ịiỡ i

(ỊIÌỊỊ

tốn

d ịn ỉì

học

nội

ỉìg à y

dnnq

của

M ộ t Ỉoiỉl ỈỊỊ thuỊỊếÌ t o á n ỈÌỌC d a (///(/í’ Ịiíc

daii(> hình Ỉĩìàỉìh do aự kêỉ ỉiơỊ)- hùi hịa Cììa ỊỊÌíii ticỉi hảni
Viì c ủ u n h ĩ r i i q
ỉK ỊÙ iỉh
ỉn a n h ọ c h iệ ii d d titỊ d ư ( / c
“ m ệ ĩìỉi
d í u i t , )) là h i ệ u d ( ú .

Cì(>:ì s ả c h

iiãiỊ ỊỊỎÍÌÌ h a i ỉ â p . T ậ p

ỉ

írììĩỉì

bà\Ị

lihững

k\i'ỉì ỉìiừc chịiì bị và nìiniiỊỊ kiến /hửc cơ bíín nhút Cỉìa
Ịỉió i ticỉi h à m .
g lủ i iich c ố đ ử n

Ị)r
và

b('it

(ỉiìii

đọc

ỉììn r ỉK Ị' ki't

ciio n
quã

cơ

sáeh,

caiì.

Ịỉh ã ì

hiìỉi

cùa

ỉý

bưẨ

tỉn iỊjct

tìCh pỉìân ỉ ^o b c gơ , T ậ p l ỉ (iàiỉỉi cho ĩihữĩìQ v ắ n â ê chuỵcỉ i
*>

o


khảo

'

L ỳ

thỉiiỊeỉ p h o

càc

to á n

tở

ỉự

ỈỈCỈỈ h ợ p

t r o n q kh ị ỉìỊỊ

g i a n H i i i b e , k h á i ĩ ù ệ m ư'e k h ô n g g i o n v e c i ơ t ô p ỏ v à h ù m
SIIỊJ r ộ n g ^ d ộ ã o Rađỏrì Ị Ị , đ ạ i s ố h ệ B a n à c ^ k h ả i ĩtiệỉìì v ề lỷ
t h u y ế t b i ề n di c Ị ĩ , k h á i n i ệ n i vẽ. ỉ ỳ iIìỉiịỊẽỉ n ữ a n h ó m v ớ i
m ộ t t h a m s ố . D ĩ Ỉt ỉì icn ỉì ìỏi iỉi d è c h ỉ đ i t ợ c t r ì n h b à ụ
đâị ] t r ê n n h ữ n g n é i c ơ b à n n h ấ í C h ủ n q tơi k l ì ơ n g cỏ t h a m ưọng ắ'ê c ậ p t r o n g viiốỉi s á c h
n à y t ắ t cit n h ữ n g p h ư ơ ỉ ì Ị Ị h ư ớ n g c ỏ l ỉ ì ĩ x ẽ p n à o Ị o a i
p h ư ơ n g hỉvờỉUỊ
c h i n h ĩhốĩìỊỊ » c ủ a g i ù ỉ l í c h h ù m , vỉ v(iỊỊ
đ ã k h ò n q đ c c ụ p ả ể n Ỉ ì ỉ ì ữ n g v í i n đ è n ỉ i i i : /// thỉỉỊ^ẽt pỉìt)
các

to ó ii

tỉvaĩi p h â n

vù p h ả ìì iìch

ih eo

hùm

rìên q j

ỈÍỊ ỉ ì i u y c l

c á c t o á n i ừ k h ô n q t ự Uêìi h ợ p t r o n g khổiìtỊ qiaii ỉ ỉ i n h e , ĩỳ
t h i i ỵ e t c á c t ậ p h ọ p Vôi t r o n q k h ỏ n Ị Ị qi ơ ỉ ì B a n i ù í C ĩ ỉ ỷ
t h u ỵ ẽ t c á c khôniỊ q i a n c ỏ ỉìíra t h ử iiĨỊ*.. Đ ố ỉ vừi ỉìỉnvỉííỊ vlin
đ ề đ ẵ đ ư ợ c l ự a c h ọ n cho Ciứìiì s á c h ị chúiìỊi Ịơi fịn ruiìỊị
đ ỏ lả nhưrng v ồ n (Ịầ cỏ á p (ỉựng n h i c n nhííl cho iiỉìừnỊỊ
n g ù n ỉì

khác

nhau

rủa

ỉoếh ì

â ỏ hij v ọ n g r ỉ u ì g c n o n s ã c h
$ử

dạng

ỈÌ Ọ C

ìỷ

ỉ h i ỉ t j ỉ ‘ ỉ ỉu )

ứ iìỊỊ

(ỉụ n (j,

d<*

cỏ t h e i ì m (ỈIVỢC lìĩột ã ổ i ỈỈTỢỈÌỊỊ

Ỉ ’Ộ Ỉ Ì ( Ị í ' ỡ i .

C h ú n g lòi xiii chàỉi t h à n h c ả m o n c ả c bạ n d ọ c d ã g o p
nỉìiêiì ỷ k i ể n qui b ả n cho cuốỉì s ả c h q u a l'ủiì x i ỉ ấ ỉ bẵỉi íhử
nh<ỉt> C ỉ i ù n g l ỏ i đ a .S|J (ỉụiiỊỊ cái' ỷ
d ị k h i CÌIIỈI bị
c h o lần t ả i bần / ỉ à ỵ . Đ ặ c hiệty i hủìĩtỊ tịi d ã ã ư a vào cnìln
s á c h m ộ t s ố kììù ỉ ừn hùi t ậ p , t h e o đ r n g h ị cãa n hi ề u ỉĩiin
đ ọ c . C ó t h e x e n ì ỉ ì ì ộf ỉiố ỉ ì h ữ n t Ị h à i t ậ p úiỊ là n h ữ ỉ i g IMÍII LÌ?
ỉiồ s u n g cho n ộ i d ì i n g d u Ỉrỉỉih bátj ỉroỉìỌ sácỉi — lỉiộỊ cách
b h s u n g t ì ẽ l k i ệ m (lề eiỉ íhĩ s á c h k h ỏ i i Ị ] q a á dàiỊ ~ v'ì V ỈỊỊ
p h é p g i ả i c á c bùi í ậ p a ỵ c h ế c \ầ k h ô ĩ t g d ơ n gịúit.

'ỉ ÁC

í ;ỉẳ

CllUƠNG I

MỞ ĐẦU

'^'iuio-ng n à y cỏ n iụ c d íc h xác đ ịn li m ộ l số th u ật
Iig-Ĩ- và kS’ h iệ u , cũ n g n h ư n h ắ c lạ i m ộ i số sự k iệ n
c ủ i lý Ih iiyết lậị) họ’Ị) vù đ ạ i số trừ u tiiự n g , se đưọ-c
sử dụng ờ cá c ch ivo iig san.

PỉiẦN A
T Ậ P H Ợ P , Ọ [ AN HỆ, Á N H XẠ

TẬP liợ p

1.

T ậ p h ạ p . 0' (iày c l iú u g la c h ấ p n h ạ n Ị ý l Ì ! u y ế t
tậỊ h ọ ’[) [heo (Ịiian di.'‘in c< n g â y t h o )i, d o ớ ỏ ll iừ a
n h ậ n kiiỏn« dịiih nohĨM c;ic k h á i n i ọ m l ậ p họ'p v à
Ị)l iì n t ử .

Nếii vật Ihi' a la iriơí phiìn tủ' c ủ a lậ p h ọ p ,1, Ihi
l a n ó i J í í n g (I I h u ộ r A (Jjo;)c .1 c / ì ứ n (i) v ả k ý h i ệ u
a
A. T r o n g Ii ikViiịí iioị) tj-ái l ạ i , la S(~ n ó i r ằ n g a
kh jn a

Ẳ.

T ậ p h ợ p rỗiuj, k h ò n g c ỏ Ị)h;ìn tử n ù o , d u ọ t k;ý
hiẹii b(ri ệ. D c ch?^ rõ ựip h ọ p .4 g ồ m n l i ữ n g iíliaLii
t ử nàO; ta sẽ d ù n g n h ữ n í í j)]iii' 0 '!i(í
k ý Itiệii vuii
đây r
— N ê u lên daiìli s á c h l ấ t c ả các |)lì.'iii l ử ci ia lâip
h ọ p A- Chẳiig liạn, neii g ọ i N là lÔ!i h ọ Ị ) 1 ă t c ả r::ic
sổ n g u y ê n d u c r u g Ís6 ỉ ự n h i ỏ n ) , Ihì (a k ý h i ệ u
N =

ị 1, 2.

í!

— Nịu léii l í n h cliíít diic t n r n g cúc I)!i;ìn lir Ciita

tập h ọ ’p A. Ch ẳ n g h ạ n . IÙ'U A
<'■«■ pliầui
tir X (của m ộ l lậ|) họ-Ị) X ) c ó iínli chấ í c?, tlri ta k ỷ
hiệu

"
I =: ị x ^ X : X c<> Uiili chẩl. c?

T ậ p hợỊ) B

đirợc

gọi là

n iột lập

.

àợ p

con i lioặc

m ộ t hộ p h ậ n ) c ủ a l ậ p họ'|) -4, vù đ i r ọ c ký h i ệ u ì;u ;
B c z -1 (iioặc Ả r j /<) ;
m ọ i !>l’Sn l ử Cíia /> đ i 15
làp lu ìn

lủ'

. 1. K h i

đỏ

nư iiịi

[a c ị n

nói r a n g ;

B đ ư ợ c c h ừ a Ir o n g A , h o ặ e .1 c h ử a ỉì.
H iê n nliièn rítng V(VÌ IIỈỌÌ lậ|) hựp A ịa (ỉềií c ớ :
ệ (Z A, A c .1.

N ế u B 1. .4 vú đồn<> lhó-j
:: H, li)! eác ỉ ạ p họ-p
A v u l> (luọ'c gọi Sí'i IriìỊi v ứ i lùuiTỊ, i . o ặ r b ằ n g
IIẨKÍII, vá nmrị'i ia k v hit'ii A
/>. -Ni'U /) c ; Ả \ à
đ n ô ihi /)
ã'=A, i!ii n g i r ờ i la íiói riViig l> ỉ á 1ÌK)Ỉ.
i ậ p ỉ i ợ p Cídìỉ ỉ í ự c .sự (liíK.U' : n ụ l bộ p h ậ n ểlìirc x ự )
cỉía A, k h i đ ó ii^ìrừi la có)! Hir íiụiiiỉ; ký iiivi*-

c
M ộl

.1

íỹp

I1 Ọ'P

iiìá

piiai;

íiV ỉà

nhih i«

i:jỊ)

h ọ ’|),

Í.Ạ|) Ì 1 (>'Ị), h o ặ c ỈIÍ h ệ
l ậ p họ'p. N ó i cácVt kliú(\ « i ậ p ho-p
« lìọ », « Ỉỉệ )»
Ịà n h ũ n g Ihiiạt iìgữ (ỉ dn g n ^ h ĩ a .

[Ịiii-ịịì>'>' đ i r ơ c ' ,'»ọi l à ni(')í, !|Ọ

6


Be

nỏu

lèn

danh

sá ch các

ÍÙỊ)

họp

của m ộ i họ

i ậ j ì liọ'Ị) c Ẩ , ta l i ẵ v g ọ i m õ i t ạ p họ' Ị) c ú a

là Aa, k v

h i ệ u a đ i r ợ c g ọ i l à c l i ĩ í ĩ ổ d ù n i ; đ ễ đ á n l i dĩUT t ụj ) h ọ ’j)
a y . hai

l ạ p h ọ ’p k h á c n l i a u

d:'íi! l)í'Vi h a i

chỉ

của

sỗ k h ác uhau. N c u

líií cíi c ú c c h ì s ó đ ã dìin^' đ c đ á n h
cria ho

du'Ọ'c â i u ì h

họ
A

đíỉn

là táp

họp

c ú c tâị) họ'p

t ì ì ( a r.ó t h ễ v i ố ỉ ;

i 1 . GC

Ì’

ỉiav
ct4

C nnịị c ổ

=

ịíla

A*

Ỹiì è SU’ d ụ n g i V h i r í n ì g Ị)hÚỊ) u i i y

h(/ị) A l ù y ý.^

( i ấ u l í í l c ả c á c p h a n ti'r c ú a m ộ t líiỊ)

2 . C á c íĩ p h é p t o á n )) v è í ậ p h ợ p .
A a

:

ĩ

^

^

Hợp
hi

a

của

m ột

Aj

’

úề đunh

Giảíh ử

cA “

là m ộ t ỈIỌ t ậ p I h t ị ) .

IA

các lập

7 „ 1

họ-p

Aa

/ì

(iioặc : h ợ p

củd. h ọ cA )

l ậ ] ) họ-Ịì, k v l i i ẹ i ) là
LI A „ ,

hoặc

A
đ irợ c xác đ ịn h

L,
K

o

. ^

c

4

n l u r s a u : a 'íE u

k!ii v à c h ỉ

khi

aệ A
a

thuộc
Nếu ^

m ộl
íìirọx'

t ậ | ) h ọ ' p . 4« n ù o đ ỏ c ủ a h ọ c 4 .

ít n h ấ l m ộ l
=

ị . u : /ì =

1 , 2 , . . . , 7 ỉ ị , l ứ c lìi c 4 c h ỉ g ồ m

s o h ữ u hạii t ậ p iiựỊ), t i ù
ký hiệu

là

ij

Av, h o ặ c
k ^- I
C h ẳ u ịí’ liạn

^

ta

họ' j ) c i ì a h ọ c=4 tiiirị-nrt

có

u

ViVi

mọị

^2

u

l ụỊ )

-

f j ^a-

họ*|)

A;

rtịj'0 =

^\ỉ lA ^ A.
(ÌKIO c ì t a c á c t á p Ẩ i ự p A a ( I i o ; h ‘ : (ji(ư) <'ủ(i h ọ o 4 ) ỉ à

n i ( ) l t ạ p ! i ọ ’Ị), k ý h i ệ u

là

n
a

n

-ì«>

Aa
7
í


đ ư ợ c xác định n h ư sa u;

f) xia k h i v à c h ĩ kchi
A

ơ i h ư ộ c u í t c ả c á c í ậ p h ợ p A a c ủ a h ọ c4>

N ế u c4
\Ả},: k = 1, 2 , . . . , /íị, íhì g i a o cua Ihọ
c4 Ihườiig điiọ’C ký hiệu là
n
^ Aỵ
k~l

lỉoặc

A ị r \ A 2 A ... n A n -

Chẳ n g hạn ỉa cỏ vớ i mọi ỉập h ọ p A : A r \ ổ
Aa

.4

“

=

ệ,

/1 .

V ở i m ộ ì tập họ’j) B lừỵ ý, la c ỏ cúc
saii đàv

B r .

(

n
a^ A

-

n
a(~A

(

u

-

u

A^)

ct ^ A

hộ

Ihiức

ự ỉ^ A a ).

( B r ^ A j.

cx € A

N ế u í'úc ỉả]ì h ợ p A và /> c ỏ g iao r ỗ n g , tìVc ]ù n(ếu
A r \ B — 0, íhì các ỉập Ì1Ọ’Ị) ẩ y gọi là k h ô n g c ố p h i ă n
t ử chiing nJiau, h o ặ c !à r()i nhau.
H i ệ u củd ỉi)Ị) h ợ p -i v ở i i ậ p J ỉ ợ p fì, ký liiệii là
A \ i ì , là íAp liỌỊì ^ồm lăí cả cúc pl)ầii [ử th i i ộ c A
nhirng kliịn^^ Ihuộr y>\ Vì ViỊỴ . 1 \ ^ 4 = ệ , v à nể ii
A r \ B ==■ 'h lỉù A'' ỉi
-i. T a có cúc h ệ ilìửc sa\i đỉVy,
^ọl ỉà cảc qiũ ỈÌH' ỉ ) ờ ~ M o q ă n q :

n \ị

r'Ị Aa)
a

/ V

lj -ia) —

{ B' \ A^),

u
a

•*“

íì

.

iB \A c).

(^ia Ih ử A ỉã m ộ i ỉàị) ỈÍỌ'Ị> e) í*ủa n í ỏ l íạtì ìiỌj) X.Khi đ ó hi ện x \ . - i đ ư ọ ' c g ọ i ỉà Ị)hần ]iùcn;ì ..ì I r o n g 'X.
H i è n nhiêii r ằ n g k h i d ó . Y \ ( X \ . - 1 ) —■Â.
s


Tlieo quan đ i e m ng â y iIio% m ậ i ỉ i đe s a u đây là
h ì c u nliiịn.
T i ê n đ ồ c h ợ a ( X e c m o l ô ) . Giả ỊỊiả' c4 ỉủ m ộ t h ọ
q ỏ m iihữỉìiỊ l ậ p h ợ p khôỉiiỊ rỗỉUỊ vá /Y>i ỉỉhaii ỉ ừ n q đ ơ i
mộL K h i đ ỏ iịii tại m ộ t t ậ p h ợ p T sao cho v ớ i
iập
l ì ợ p A ^ c4, giao T A .1 Ịjom đủỉìịj m ộ t p h ầ n íử.
XgưíVi ta I h ư ò n g g ọ i pliăn úi' clu}* nhííL của T r\ A
(vl ^ o4) ỉà p h ă n t ủ đ u ’Ọ'c c h ọ n ra t ử lậ]) h ợ p A,
lliành t h ử lập họ’]) r chỉ ra mộL phU'0’ng pliáp c h ọ n
ra lử m ỗ i t ậ p h ợ p A ^ c4 m ộ í p h ầ n tử . N ó i nách
klủic, íièn đ ề chọn k h ẳ n g định rằng vỏvi m ọ i liọ
g ò m n l i ữ n g tập họ’p k h ò n g r ỗ n g và rị'i Iihi l ừ n g
đỏ i m ộ t , đ è u í õ n lại m ọ l phưcrng pháp cỉiọn ra tiV
m ồ i l ậ p h ọ ’Ị>
^ cẨ m ộ l phần tiV. Ch ú ng l a c h ẫ p
nhận tiên đ ồ ấy.

3. T l c h c ử a n h ữ n g t ậ p h ợ ọ . Xein m ộ t liọ
h ợ p c4 — ị A a i ơi ^ A .

tập

T í c h Đề-cúc, ^ọi v ắ n tắl lù ÍỈCỈI, của cúí’ l ậ p h ợ p
Aa ( a ^

a)

m ọ í t ụ p họ'Ị>, k v h i í ; n lù

n

ct^A

đirọc xúc đ ị n h Iihir s a u : r á c p h à n t ử c ủ a Í i õ l à l ấ í
í a các lìọ p h ầ n ỉử ,r
ịxa'. X'a $ ^1«, ct (g aỊ. Khi
đ ó Xa điV(V(‘ gọ i là lliànỉi p h â n , h a y ỉoa (/ọ, í h ử a
c ù a .r.
Tícli c ủ a m ọ l s6 ỉìữu Iiạii cúí* [Ạị) h ọ p Aị, (k — 1,
2,
n) nnròr)<^ ơ ư ọ c ký liiện lù
11

A í , h o ạ c v í i X A 2 X ■■■ X Ay,,

k= l
9


m ỗ i plìần t ử X c ủ a íích ííy ỉả lìiộí hộ (Xj, X 2 .
v ó i Xỵ ^ Aỵ ( k ■ 1. 2,

/ĩ). Nói c á c h k h á c
lì

j Q . l k = ị(:ri. .T., ..., T,.): :Vk € -ík, Ẳ' = 1, ‘-Ì. .... «!
k= l
iM-U A
.11i — . l ,
Nè'ii

...

X ... X A (.1 cỏ
là A^,
NỐII

. 1 '-ị^ / i ,

D ĩ n ìiirn

.4

X

.4^ llli íicll A <

,l„ =

.ị

>■;

]nặ[ ĩiỉ ằ n ) Uuro'n^’ d i r ự c k v h ì v m
'
'

ÌU Ì

c ầ n ỉin i

0

2.

™

V r ỉ u ì ị ĩ .4 X

ẨJ

/>

X

ỈỈÀỈ TẬP
1.1.

(tho

một i!ri V 1ộ ị) họ-Ịí

1* ^^2» •••'f 1n....
o o

u

/*

/li,

.4i

.1

]lzz=1 ị™JÌ

a) ílỉiừn^ lìiinìi rằng

cz .1*.
— .ử.

b) Ịíãv liìii đ i c u kiộn ír.ìn và (Ịủ tỉS

1.2* / / / í ’/y í/íV/ xỉ/7/// ('.ủ:i li:ii hiỊ) h ọ p yl v à ỉì Ìiì í ụ p họ-Ịí
á

Ilien

nlìỉỏiì

A /!

liìộu

(A \lì)

dối

vửtíị^

\ J (Iỉ \
(•.(>

Íiíih

a

).
hoiiỉỉ,

íử c

ỉiíi

AA// ri: Ịỉ^\A
vỏ'i m o i l:)]'ỉ ii ọịỉ Ả.
họ‘[) \\'.ị\
l ứ c Ja
‘ A ỈSJ!>

Hoi

A'.' —

ỉiu'u ilỏi
ihửc

XÚ!U‘ r ó

.ù'\

c ỏ (ỈỎJÌ'4 VDÌ (lì.ã h)p hoj] Aĩ /í, c lì.'ỉy kiìỏu<*v

íO

líiìii

ki.‘l


l . a . Oi;'i Ihir A c : X i c c z X, B c
ỉ n í ìlì c á c lìệ t h ứ c sau đ â v :
0

ÍA X n ) r \ (C X

■>) i.i X f í ) vy

/))

y . vá ỉ) d

Y. Ciiửĩig

( A A C ) X ( / >' AD ) ,

X y;) c : Ì A \ J C ) X ( n \ j Ị ) ) ,

•) (.V X V ) \ ( A X ì:ỉ) - [íA'\.\) X r| V

{x

X

( Y \ B )

Kh í n á o tìiì các íậỊ) h ọ p Í , I V ( . ’) X ( B \ J ỉ)) v à (A X Jì)'\J
\ J ' C X ỉ ) ) t i ủ n g Víri iì li i i i i ?

ỈÍ2 . Q U A N Ỉ ! Ệ T R O N C . M ( )'r T Ậ P l í Ợ P
1. Q u a n h ệ . (Vi ả t h ử X

l ù mỘL l ậ p h í r p .

VIịl lủị) ]iọ'Ịì c o n (Jỉ của lícỉi X X X c ỏ n đnọx' gọi
ỉ a m ộ i (Ịiian h è (l i o ặ c rõ licrn : qiKiỉì h ệ h a i ỉigôi) x á c
đ ị n l t IroiUỊ t ậ p I k / p X. Khi đỏ^lliay clío c á c h viế l
(ếí. h) ^
ngu’ị’í ta Ih ư ờ n g kv h i ẹ u : a(^h.
Một q u a n h ệ
Irj0 nịị t ạ p ÌÌỌ’P X c ỏ th ê c ó ( h o ặ c

k l ỏ n g cỏ) I i h ừ n g l í n h cìiííí q n a i i li ọniỊ san (ĩảv :
i ) tínỉi p h ả n x ạ : lìốu (íCứa v ó i niọl ơ ^ X,
!)) í í i ì h đ ổ i x ứ i ĩ í Ị : n è n <('CÂh t h ỉ h ^ ữ d ,

c) lính pli ủii (lối x ử ỉ K ị : nếu (ỉCÂIỉ và hC^d íhì (í ”
d ) tíỉilì Ị n i y è i ì ửĩì(Ị ( c ò n g ọ i Jà í i n h l’ắ c à ì u ) : .ỈIỐU

a ữ l ì và hCAc, Ihi (iQ(\
2. Q ĩta n h ệ lưo*n^ dưcrng.

^

a)
Đ ị n h n g h ỉ a : Q u a n hệ
(roHií l ạ p họỊ) X Ịịi}\
l i u ì ì ộ l quOit lìệ ỉit’(i'n(Ị (tianìtị n í u nó cỏ c á c linh
c h a i : p h a ĩ i xạ, đ ò i x ử n i ị , v à ti-uvÌMi ửiiỊí. Kỉìi d ó
lliay c h o c á c h viốt aC/lh, n ò ư ò ’i ỉa ll ii rư n ^ kv hi(;u;
/.f
h ị m o i V Ầ ) . h o ặ c v ắ n lắt lìím : (ỉ
ỉ), Ir o n g
I r . r ừ n ^ họ’p khỊDg th c xay ra lỉlìàiíì líHi vó i iUỘi
q i . a u h ệ t i r o n g đ u ’0 ’n g k h á c .
'

11


N hư vậy :
• •/

1) a

(I v ỏ ‘i m ọ i a ^ X ,

2 ) nếíi (I — h t h i h
3) n ế u (t

(í,

b v à b c thì a

c.

b) P h â n ló*p t h e o m ộ t q u a n h ệ l ư ơ n g đ ư ơ n í g ^
G i ả I h ử ‘J l ỉà m ộ t q u a n h ẹ U rơ n g đưoMig t r o n g í í ậ p
h ọ p X. v ỏ ’i p h ằ n l ử a ^ X , tập h ọ p

a" :==: ịh ^

X :b

(I ( m o d í ? )

đ ư ọ ’c g ọ i ]à lửị) t i r c n g đ ư ơ n g c h ứ a (ì.
Đ ị n h l ỹ 2 . 1 . V ờ i h a i p h ầ n iỉv a, b ÍÙỊỊ ỷ củ(i X , /'/ỉỉ
— hoặc a r\
a -

h — ự),

Jì oặc u — đ i ê u
ỉ).

íừíỊi x ủ y

CHỨNG m ỉ N ĩ ĩ : ( l i ả s ử ơ a
mộl

Ị)haii ỉủ' c ^

r ^

h, n ê n r

II ^ a, tììì ỈI

iai níhì II ẽ

ra

b

khi

và clìĩ k:hi

ợỉ, t ứ c lù

tồn

a r\ ĩ ] Yi c ^ n ê n c -- - (ĩ, v ù

t.ại
vi

- I), l ử đ ỏ SIÌV ra (í L- Ị), Bo'i v ậ v níếii
a, (lo đó ỉỉ

b] [hì ỉỉ

. ỉ), iửc !à u ^ ì) ; rigu'0 ’c

/í, d o đ ó u

a, i ử c là II e s 7 a ;

ỉhàììii t h ử (I - - />. □(*)
i ừ d í n i i iý n:íy, ía suỵ í ỉt rẳiỉi>' i o à n b ộ t ậ p jb(/p X
t ĩ u ọ c p i i â a ĩ'a í h à n h l ỉ h u r a g i ớ p tìvoiiix duo'ti<í 1 'íị’i
n h a u tìrn^' <ỈOi ÌIIỌÍ. 'ỉ ậị) lì(/p lấí. ì: các ỈĨJÌ l u ’0 ’ỉ:ig
â ư ư u ị ị ấy đ i r ọ ‘c ịỊọi là Ị()p l i ự p ỉ ì u a n ì g vủa X ỉlheo
qiưỉn hẹ hrơĩìỊỊ (íir(/ĩì(ị (Á*, v à (ỉirợc k ý hÌỊ'ư !ả XịíÂ.
* ^

trong

CU*‘Ỉ1 S ị ì c h

Viiiy,

phoỊ> cliửnỉ.^'niiiỉh kC'ì Ihúr.
21

kv' h i ệ u

■

ílũnj^

cí ề vỉỉiỉ

r ẳ ẪUg


3. Q u a n hệ thír t ự .
a) Đ ị n h n g h ĩ a q u a n h ệ i h ứ l ự . M ội q u a n hẹ
tr o n g tậ]) ỈIOỊ) X đirỌ’c gọ i là m ộ t qnĩỉ n h ệ Uiú ỉ ự
{ha)' r o liưii : ifiian lìệ I h ứ íự bộ p h ậ n ) n ế u n ó c ỏ
cúc t í n h c h ấ t : ])h ả n xạ, ])hẳn đ ố i xứiiLỊ VÌI I ru y ề n
ứ n g . Khi đ ó t h a v c h o c á c h v i ế l a ^ b y n<^'irị'i ta tbưịuiíỊ
.ký h í ê u : a x;. l), h o u c b > a, và n ó i r ầ n ư : (I đ i ỉrưírc
b, h o ạ c h đì Sítiỉ a.
V

•

^

•

í '

'

o

N h ư vậy :
/) (í ^

a ixri m ọ i a ^

?) n ẽ u a ^

l) ư à ỉ)

■ì) ỉìếii a ^

ỉ) ư à b

X,
a. t h i a ^

lì,

c thi a <;

Nếu (Ị
b v à (í
thi n g ư ờ i ỉa k\^ liiẹii : a < / ; ,

h o ặ c h > a, v à n ó i r ằ n g : a i h ự c s ự d i trưó'(: b, h o ặ c
b ỉ h ự c s ự (ti sau (í.
Đe ý r ằ n g vỏ'i h a i ])hăn lủ’ ơ, b t ủ y ý c ủ a X, Ihì
k h ơ n g Ỉ ) hí ỉ l t h i ế í ta ] ) h ả i c ỏ h o ặ c (I ^

l), h o ặ c / > < a .

N ế u h o ặ c a <; /), h o ặ c />'< ơ, t h ì c ác p h à n l ử ơ, I)
g ọ i Jà so sáiìíi ( ĩ ư ọ x nới nhdiỉ. N ế u .1 cz A' v à n ế u
h a i ])hằn l ử ỉ ù y ý c ủ a .1 là so s á n h đ i r ọ ’c vỏ'i n h a u ,
t h i -I gi}ỉ l à m ộ i ỉ ậ p h ợ p COII s â p t ỉ i ổ ỉ i g c ủ a X.

b) Các c ạ n c ủ a m ộ t l ậ p h ợ p . G i ă I h ử X là m ộ í
lậị) họ'p v ó i m ộ t ( Ị i i a i ^ h ẹ t h ừ t ự (n ỏ i v ắ n tỉlt: .V là
m ộỉ tập h ợ p

i'ó

I h ử Ịự

(h a y U ìứ 'ỉiv hộp h ậ n ),

vn

Ả z_ ^ i A =Ị^ (f).
Mộí Ị)liăn tủ' X ^ X đirọ'c g ọ i là IITỘI c ậ n (rên
c ủ a A , n ế u (I ^ .T vỏ'í n iọ i (I ^ .1; k h i đ ỏ .1 đuỌ’c
gọi la /;ị d i ậ ỉ i ỉrên. Ní*u .r là m ộ t c ậ n I r è n của. .4 v ả
n ế u X ^ .H, th ì X đirọ’c g ọ i ]à p h a n i ử l ớ n nliấí c ủ a
A, v ù đ ir ợ c k v h iệ n là ;

X =

m a x /1 , h o ặ c .r — m a x a : a ^

A .

13


C ó i h c c h ử n g m iiì li d ễ dảno' rẳỉiíị pỉỉììn ÌỈT lá /i ỉìỉíiidỉ
c ủ a -l, n ề u n ỏ ÍĨĨI lại, là diii] iihấL
'1'ii'o nỊí t ự f
cận d ư ớ i c ủ a
/1 ỏ u ợ c g ọ i ]ù
c ủ a A v ù ÌTCII

m ộ i Ị)hầJi t ử f/ ^ X đ i r ợ c g ọ i lù n ii ộ t
.1, n c u lỊ < ; (t v ó i mọi:Jí
^ ;
k h i (đó
bị c h ặ n (iirới. Nốu /y ià m ộ t c ạ n duTĨ'i
Ịỉ ^ .1, t h ì LỊ đirí/c g ọ i !à p J ì ầ n t ử n t h ở

ỉ ì h ă t c ủ a . 4, VÍI đ ư ọ■ ’C k ỷ
V

Ịj

h i *ệ u ]íi

l i o ặ c Ị/ = l ì i i u Ị a : (I ^

m in.í,

Aị.

P l ù ì n ỉ ử n h ỏ lìh ẫỉ của .1, neii ỉìỏ rỏiì ỉại, ỉù du ỉỊ n h i ă L
Gọi
là lậị) h ọ ’p ía( c ả c ác c ậ n ỉ r è n c ủ a A, N í ế u
vP - h
liVc là J1CU .1 J)Ị c h ặ n trôn, vù n ế u
cớ
[ììiầii l ử n h ỏ n l i a t X*, (hì :i-* đ i r ọ ’c g ọ i )à c ậ n i r ’êỉi
n h ỏ Ỉihãỉ, lioíu- cậỉi t r ẽ n đứỉìiỊ c ủ a .1, v à cỉrc ?kv
íiiệiì lù :
;r* r- sup*U h o ặ c X*

suị)Ị/í ' <í ^

Dĩ n h if ' n n í n ío n tụi X
m a x .l, tliì;r
ng\v()v lạỉ n ó i c l ì u n ^ k h ị ỉ i g dúiỉiị.

‘iị*

SỈIỊÌẨ. ĐìÙhí

Tirírn^ tự, ^ọi A ' !ù ỉậ]) hợỊì tái Cỉì c á c cậi) du-'í>}.
fỉia A . N e n A ’

é,

íửc

IW.U A ' c. o Ị)ỉiăii uV \ ớ n

l à n ố n .1 bị c h ặ n
nỉìấ!

Itìi

d i r ỏ ’i , ' v à

dirợo g ọ i

lã

cậỉỉ (ỉirni Ịỏ-n lìììul h o ạ c cân dĩr('n (líuiỉỊ c ủ d .1, n’ả
d t ì o r k v iiỉrii lỉi
/

hoỉịc .1'^

i n i ị í / : (I

Níúi Ỉ0!1 lỉi\ 'X
i n ỉ n . l , !hi X
ỉụi núi c h u n g kliỏn,Lì'íỉuiỉií.
íf 1 ,Bị đ è XMĩiiír. ( ì i ả Sir
iự ,

M ị t

Ị) iỉa n

U r

x 'o

€

-ij.

ị\\ĩ A.

ìỉLíiríỌt;

j à JíH)( (à]> ỉio’[> c ó íl nir

d ỉ i ọ t ’

iị(ìì

là

n ì ộ i

p h ă ỉ ì

/íỉ

í-'ỉ/c (ỉiỉL (*ila X, iìVìi X ^ X vù X
:X'o, Ihi .r ~ aioN h ir v ậ v I)ếif
ìk inộr Ịì h ă n ì ử c ự c (ìi}i ‘. 'u a A' 'và
n c u r là rnộl Ịìỉìan u‘í' iủy Ỷ c i i a X , thi

14


— hKì r k Ị ỉ ỏ n ^ í s o s á í i h đ u ( ) ‘c \ ớ i

X ,

~ hom: r so s á n h đ i r ọ c vó i Xo, kỉii đ ỏ r <
i ậ | > họ-Ị) X c ỏ t h c c ó h o ặ c k h ỏ i i g c ó p h ầ n

Xo^
t ử cực

dạ i. N í i ỉ co, ỉ hì X c ỏ t h ? c ỏ i n ộ t h o ặ c ỉihiỈMi p h ỉỉn tủ
rỉ re đ ạ i .
B ồ đ è Xoocno*. ( t Ù ì x ừ X ỉà rnộl ỉ ậ p h ọ ' Ị ) có ỉ h ừ lự
Ne a m ọ i ỉ ậ p h ự p con SỜỊ) Ỉhảỉuị cừ<( X đ e n có cậỉ
ỉrừii, ỉhì X có if ỉìhat mộỊ p h i ì n ỉ ủ c ực đ ại .

Ni>nời ta c h ứ n g m i n h rìVníỊ biì ớ'ê X o o c n ơ l ư ơ n g
ítiroii^í V(Vi ti ê n đ ề c h ọ n . J r o n ^ các m í ; n h đ ( ‘ tirơn<
íli!' 0 ‘iig v ớ i liíMi d c c h ọ n , có lẽ 1)0 đ ề X o o c i i o ’ Jà inêỉi]'
(í(‘ iiay đu'Ọ'c SÌV d ụ n g nhííl ; đ ề c l i ứ n g Iiiinli sir IỊỉ:
\i}\ c ú a IIIỘL đ ố i íirọ'ng loáii h ọ c n à o d(), nỉiĩou khi

n.nircri ta d i r a v ề Ị)lì('Ị) c h ứ n ị í m i n h s ự LỊI) íại của
niịl p h a n t ừ c ự c đ ạ i c ủ a i n ọ l [ậ]) họ'|) X c ỏ t b ứ Ur
(lo (lơ CỈIỈ Cítỉì k i c m Iigiiívni r a n g X t h ỏ a ìnĩin đien
kií;n c ủ a ỉ)ồ (!(' Xo ()c no \

lỉAi 'l Ập
2 A , Một (ỊU:U1 ỉiệ Cộ Iroiig tập ỈIỌỊ) .V g ọ i ìà Iiiộl (Ịỉì((ỉ
hi'; lièỉỉ t h ừ Lự n ế u ii(') có cúc tín!) c h a t Ị>hHn \ ạ v à lỉ’iiyt'Ị

ừng. 'riiíiy cho d\vh viíH a^^h, ỉ:i hny ky hiệu a ^ . h . \lìi
vậy
i) a

j (t v ó i inọi (I ^

ii) nrti a

ỵ.

h \ h ỉ) r-’^ c í h i a ^

a) C l i ử u ị í i ni i i h l ầ n n q u a n iu'
ỉ) khi

(t
niộl

(juaii

hệ

và (‘. hỉ

klìi;

X /

t r o ĩ i g X x:ic tỉỊnỉi l*ỏỉ
Ị) và <ĩòng íỉuVi /)»—'’ (í, lí

a

tirơỉig iìưíĩUịĩ.

b) r.híriì ^ iDÌnli ri^i
líuro'iig

c.

\íic

q u a n Í1 ('
địnli

ÍI

^

x:'tc tỉ Ịnh (Ị“()ĩifí t ậ p hợỊ

l)ỏi

h

ni'U a

b

ỉi


t h ứ tự.
2 . 2 . Một h ọ ổ nhũníT l ạ p h ợ p c o n của ni ộl tập h ọ - p X
Ih ỏ a m ã n d i ề u k i ệ n s a u :
€ ổ (A d X) khi v à c h ĩ k l h i
l ồ n t ạ i inột l ậ p h ọ ’Ị) c o n h ữ u lìạn B của A Síio cl i o B ^ Co.
H ãy chửng
■cực đ ại .

niinh

I'ằng

ỉòn

l ại

Iroiig ể

một p h ầ n

l ử

2 . 3 . Một h ọ
n h ừ n g Iặ]> họ-]> c o n cỉui n i ộ l lậỊ) h ọ ' p
X g ọ i là có t í n h clìẫt (ot) n r u
( a ) : A’ k h ô n g thễ
h ừ u h ạ n iiìnrng l ậ p

h i ễ i i d i r n (ỉiiỏi ( lạng họ'[) c ủ a n i ộ í siO
l i ọ p I h u ộ c ../![.

H ã y c h ử n g tỏ 1'ằiiíí Iiểu h ọ cật
í ạ i m ộ l h ọ c ự c đ ạ i cyị ' n h ữ n i ỉ lẠp hạ-Ị) c o n ciui X , s a o
c h o c ^ ỵ c h ửa y ị t \ i i OỶ” cũ no- c 6 liíth c h ẵ l (ct).
CỉuVno- m ỉ n i i r a n g m ọ i h ọ r ự c íỉại
t í nh c h ấ t sau :

n ỉ n r v ặ ỵ c ị n C'.ó

n

(P? : \ou -ti ez x ( i = ], 2 ,.-m It) và n

$ c/1^ íliì phati

ì— i

có ít. nhẫt ínột A i ^

c/ỹ.

!ì ;ỉ . Ả N i ĩ XẠ

1.

Ả n h x ạ . (i iả Ihủ' A và r lũ hai íụp h ọ ị t khỏri;!;

rỗiig-

M ọ l l ậ p họ Ịì c o n f ^ é c u a í ích X X y đ ư ợ c g ọ i
l à m ộ i đ'ò i l ì ị h à ì i i iiốíi IIỎ í ỉ ì o a m a n í l i o n k i ệ n : n ố n
?/) € f , { r \ if ) (S / VH .r — :r’, thi y
í f (víU
d o ủ ò (:r, ị ị ) - ị : v \ (/)),
N h i r Tí)y ỉ n ộ ỉ p h d n i ử r ủ d i n á ỉ ( ì ị i h ị h à m f đ ư ự > c

x á c đ ị n l ì ho à n io ã n bởi ỉọa đ ộ ỉ h ừ n h ấ t của p h à n t ử
ẩ ỵ ( n h ư n g k h ồ n g đirírc xác d ị n h bỏ‘i t ọ a đ ộ í h ử h a i ) .


Ti lẽ dó„ u g ư ừ ì í a . c ị n nói rằng' tọa đ ộ ỉ h ứ h a i ci;a
n ộ t Ị)han t ư ih i ỉ ộ c f ãiVíỵc Xcic dịnĩi ])ởì íọ a đỏ llì ử
rhíít, và n ế u (;r, Ij) ^ / , Lhì n g ư ừ i hỉ ihinVng k ỷ
Ịiẹll : y = " '
1 ’ậD họ’p :
Ị) = Ị x ^ X : l ồ n ỉại y
Y s ao c‘Jio (.r, y) ( S /
firọ’c gọi là /nie// aríc íí//ỉ7ỉ c ủ a / , Í.-ỎIÌ l ặ p ÌỊỌ-Ĩ)

/ỉ
ù n ỵ c ^ ọ ì iã ỉn i e n ịjiá ỉrị của f . Đ ồ íhị h à m f c òn
éiTỢC gọi là ĩmỴ. Ii ủ m x á c dịíili ỉ rèn ì ) d X ú củ
iĩá ị rị ỉ ỉ m ộ c 1 . h o ặ c Jà i n ộ ỉ ủtìỉi :rạ của D vào
i!'í)T.iJ[ iriìg Ỷỏ’i c á c h i.ỉọi ỉ:àv Ỉ.<1ỊU*ỜÌ iii sir dụnc! ký
í i ệ u /': /J
ỵ, '
' ỉ h à n h lỉìĩi’ lì^í.yỉyị la (*ỎJÌ s ử dụni^ điiìh i ỉ ^ h ĩ a sau
cuy cỏíì ả n h
íhin: chííí Ỉir 0 ’niĩ điiO-ng ú r ị d i n h
1 uhĩa írỏn :
Mơ. áĩ:h x ạ
f :D

y

{:ì(ỉ ĩ) na o ỉ là m ỏ i qui ỉãr (Viìịị ììiịĩ phầ ỉ: ịỉv 'X 1- J)
v y i niỏỉ Ị}h(ìn iìí 7 ■— ỵ .
PÌK.II ù r y iỉ ' o n g địỉih lUỊÌìTa iiủv c h i n h ỉà pỉìaỉì
íu’ IJ
f ( x ) dĩì Ìịúì ở t r ỏ n , v à đỉỊ-ọc g ọ i lỉ't ảiỉli CIUI
ã /'(}/ áỉìỉi ,rợ ị ’, iíoặc là giá Irị củ'i ánỉi x ạ f (h:r>‘
c: lìùni ỷ) !ọl ờièíu
Mịnlì L’ỉỉí> í'úc'i ÍÍ'ỌỈ
,
ĩ^íịườ. ta ký íìĩ‘ n :
r
/ : :r ; -> ỉị h o ặ c .>■
ỉ/,
và [}Oi ràỉhị Ị' rỉìiíiỊeỉi X Ỉlỉàíìh //.

'tv,i í i ạ i , c ix o k ỉ l á l l l i ề l l ì Cf đ ị

liH ììiiìVì >■-. <1 l ỉ ỉ u ì ! V.,

<■( ỉinh xụ » lỊíi ửồJííỉ^.fồdiEĩíỉ.h-'iHiY:.avliièíỉ.KfkÌii i s í r - d n n g
2 GTF

17


đị n lì n ẹ l i ĩ a t h ứ hai ciia ảnlí xụ Ị : D ~ ^ Y , th ì ii;:ĩLW''ị
ỉ a llìirừní^ ÍỊỌÌ Mập iỉọ-Ịì
ị(.r, í / ) : .T € n , ỊỊ = f (x)ị c : X X y
l à ã'ò Ih ị ả i a á n h x ạ f .

2.
ẢnlirvA n g h ịc l) ả n h . N c n Cíin la s ẽ th n lu/Ị) ỉiiỊP
họ 'p X, ]1 ỎÍÌ trỏ' vo s au ía chi' xrí c ác áiih x ạ
/ : X

¥

điíili Ỉ-J’ên to à n h ộ X.

đu'ỌV

G iả ỉ h ử A d

A', .4 - h ệ ; tỉ)p i^Ọ’Ị)

f {_\) ^

ịij ^

Y : ỵ := f (X). X

^ .1,

đirọv !>ọi
cảrt/ặ/í yz(r/) J ì)ỏi á n h x ạ f . N ìiir vạ;ỵ
ìììii’!] giá !ri cu a f iã ảiih ríiíi Iìiiỉ'‘n xác đ ị n l ì ^ c u u / .
N f ‘U A
i' Ihi
Ui íịHÍ irõ c / {.?) “ í .

(;(') Iht- í'lìiVĩìo‘''n)iiiìì (ỉ? dàng'
D Ị ĩĩk lý 3 /1 .

'7'ỉfí'
/ : A

)'

/à ĩìĩộỉ áíìlì x a ( Nu íợ/> h(rp X PŨO ì(tỊ> l ìi / p 1 ,
L Nciĩ Á -

B e

ỉ l n f iẢ) ( Z ' f ựỉ).

2. Kcìi -.1, r / c A) V/ ỈÌIỘỊ h ọ n h ữ n g ỉ ậ p h ỉ r p c o n
c ủ a X . i//ị

/ Ì
\
ỉ)ê

V CÌUIỊ' d ổ n í ;

: i -'a \
A
'
ỉìiức

\ a 6: ' V
n o i (‘Ìirtìi^ĩ 'ktỉỏii.a íĩiỉiìg.

18

n
''-€A

/

a ê: A

/ i-U/.


L iè n q u a n đ cí i kỉiái Iiiệ m ảnli c ủ a n i ộ í phíĩn tir

Ví của m ộ t tậị) liíTỊ), ]igirò’i la Ị)lirin ]oa i cúc à n h
Xỉ. 'Mia tạỊ) liỌ’Ị> X v à o iụp ỈJỌ'Ị) y nhir sa u .
An lì x ạ
f : X ~> Y
đrí c g'ọi !à:
• a Đ ơ n á n h , nf'a haỉ p h a n t ử k i i ả r . i ì h a n cu a X
C1
(!)(ri f ) kliủc ỉỉhau, t ứ c ]ù Iieiỉ Xị. Xo íc X và
.r-

;i-2, t h i f { x i ) rf-. f ự ^ ) ;

b T r à n áỉìíi ( h o ặ c : a n h x ụ của X l è i i V) iìốiì ả n h
.VI I X b ỏ ’i f \ii lồii 1)0 y , íiVc lả n o a f (X) — Y ; k h i
đv lìiọì j>lìan Ur /,/
Y ỗvii liVảíìh lìí'Vị / ' c u a (ít
ì'-ìỉii) m ộ t [>ỉian ỉ ử x ^ X ;
'J S o n y ú n ỉ i , n e u

] 1Ỏ đồni>' ỉ l x r i

l à clíni ;:ỉỉh v ả lã

ír.iỉ. ;mh. Ti' 0 iig' InríViìo' họ‘j) n à v , m ọ i Ịììiíiỉi ÚV ỉ/ ^ r
(1>U là ảnlỉ (l)ỏ’i f ) của IIIỘI và c h ỉ ĩu ộ t pỉian t ử
X ~ X. Vì vạy ngiríVi la nơi rẳn^í SOĨÌÌỊ ủỉìh f tldét
‘ạ > m ộ ỉ iỉi'(ĩỉì(Ị ửiKj ỉỉìộỉ đ ơ i m ộ Ị c ủ a í o ù n ' ỉ)ỏ lậỊỉ ỈỈỢỊ)

Ẩ -:/ỉ Ịồíi l ộ Ị ập h ợ p ỵ , hoặc iirơĩUị ừì ìììộỉ đíỉi
Iìì)i tỊÌìVd tỉỉt (.'ả cải: pỉìiìirhì' riìa X ỈM/Ì /ứ/ cả rác.

Ị>!-r!ỉ ỉ ữ c ù a ) \

í it-i! n h ít‘ii ĩ'a!)'->:
Ỉìì{>ỉ á n h x ạ c ủ d X ỉ ) àn F (ỉ'êa l á l ì i ọ ị Ỉ r à ỉ ỉ

áỉih

('ú:i X ièn [ ( X ) ; .
' inọị ( l í r ỉ i ả n h của X páiị y (tên là ĩììọi ' ■ ■ " . ' 7 (ỉỉilì
Cĩ'í I X ỉ(‘!ì j' ! X).
V.VÌ ỈUỘỊ iuilì x ạ lù y V / ' : Ằ'
y V;'>
: jnịí
íạ.) họ-Ị) /> ,; y , [ụ]) iiựỊì ị ‘ĩí c ả c;'u; pỉỉaii iỉi - .r
X
s a ) clìo j ( , i )
/;
i^(ìi };'( ji(Ịịỉị( h a n h ciiíi ỉ()p
h{ ] ỉ ỉ h ỏ i a n h x ạ Ị \ vá đ u Ọ (‘ kv líiệ iỊ là / -^ (/?).
N ỉỉL' vẠy
%í

19


R õ r à n g ('/>) = 4>, n l i ư n g có Lbẽ x ả y r a r a i i ị g
B
ệ {B d Y ) và ( « ) = ệ ■
này xảy
r a ]chũ

v à c h ỉ k h i B r\ f (X) =- ệ.
Nếsi í ậ p lì ọ p B c : y CÌIĨ g ồ m (M niộ t p h ầ n lủ Ịj\
t ứ c l à /> -= ịìiị ỈỊÙ ih a y c ho k ý h iv u / - 1 ( ịí/ ị) , n g ! r ị ' á
ta k ý h i ệ u Yổn í ai /’" ’ (;/)•
Cớ Ibề c h ử n í í m iỉ i h (iê d à ' ' 3
Đ ị n h l ỷ 3 . 2 . Giẫ ỉìiử
/ : X

y

lù m ộ t auJì x ạ c:!(í lập lì(j]) X p'ìf) lập h ợ p 1 .
1. N ẽ u !ỉ

c r

Y, i h i / " ’ i B ) c z f - ^ (O -

2. N ê u ỉỉa (:t € à ) lủ m ộ l h ọ n h ữ i i g ỉ ậ p h ọ p co,n
( ỉưi y , lỉìì
[ " ' 'M
/í„ )Li r U B a ) .
( .J

/

3.

^ h i

Ba)

/>.. c ư i h n i

/1

(/ỉ \

lập ìiụn

C) =

j

M
i-'ri

^ Ụ^a)'
l ÙỊ )

ý

/ -1 (/Ỉ)\

CWI r ,

(C).

ĐCv: b iị ĩ
(B)

■
’ \/

{í)ởl

(Y) -

V).

h. Với : ỉ '(}í .‘ú,

Ịỉ

ỉỉ '‘.'Z y , ữi (Ì'ỨIÍ cỏ
‘

5. V ứì

ỉìk/ ì

ì

ỉọp tỉợp

-

-

R.
A , /0

V(J

[i '(A)] ::: A.
B c ỳ răiio- các tìani; ìh\['c
■ị
nói

20

kli ù n^ đúUị.;.

/ '

m

-

B

H đ


ì, T h u h ẹp

cửa m ột ánh xạ, ấn h

xạ

líc h , ánli

xạ

'ỉgiỉ*ực.

a) T l m h ẹ p c ù a m ộ t á n l ỉ x ạ . .Gia Èhử
f:X~^ Y
a lu ộ t ánh- x ạ củĩỉ t ậ p họ'p X vào tậị)
ìdv z ]a rnội t ậ p họ'p c on c ủ a X. Ả ì ĩ h xạ

V, và g i ả

fk :Z ~ .Y
;ar ủ ịn h

j)ỏ’i

fị y ị z) — f (z)

(:: ^ Z;

'ưọ'í- g ọ i ]í\ Li h ẹ p ,’ể/ ỉ z c ả a ả n h . T ạ / , c òi ì á n h x ạ

^ ã i n r c g ọ ị ]à m ộ t s a y r ộ n g ỉê n X côxỉ / Ị^;,.
Rổ

rảiig:

— Iiéa f lá d i r n (íuh: ỉlìì [\y^ Cỉuĩiị lù d ơ n ả n h ;

— v ở i m ọ i ỉ ậ p h ( / p c o n B của r , /a đ e n có

b) Ả n h
'

x ạ t í c h . Criẳ t h ủ ’ X , r . z

ìừ ha

i ậ p h ọ ’p ,

í a C‘ỏ c ã c á i i ỉ ì x;i

Khi dí'íCỎ f[tỗ íỉỊíỉì líỊp duxTC á n h xạ
,lf

: A-

z

Ỉ ^ ỉ c ị m ị íhứ('

(í//') (-1)

í/ [/' (■»■)]

(-J- e A’).

,.Í1ỈI xạ (j[ đ u ’Ọ’c gọ i íù ỉí v h t ủ a cár ùĩìh x ụ / v à g,
loụr ìà á n h x ạ h ơ p cù(ỉ f ồ (ị.

(' thtí í.‘h ử n i í m ì n h d e (ỉàniỊ

'

Ỷ 3 . 3 . Cho ha i áiỉh x ạ
f : A'

y,

r/ ; y

z.
21


a) N ế u i u ủ u lă d ơ n á n h ( t ư ư n s ứ n g : i r à n á í i h í ,
Stìiig (iíiỉi) Ihì lích ;■//' c ũ Hịi ỉá đo'ii á n h (lưtràn á n h . Soiiiị áỉiẨi).
b) V’’ới m ọ i lậ p JìỢp CDII A cz

i u đ ẽ i i (■''»

(9i)l^) = 9 ư m c) V('ri Iiìoi i ậ p h ơ p CÌ

c

B à y giíV g i ả t h ử X . Y ,

'Á ,

ífi đ e i i cỏ

3

y

l à bi r r i tạ.]) i ỉ í v p v á tía

có các an!i x ạ
/ : \

Y,


h: z ^

V.

Khi đỏ
thê íììùnỉi ìù p Uíỉ’o’t' lỉcỉì { j j , r o i Sỉi\ị tlíỏ
l ậ p tícli /ỉ(f//), !)o.'U' (*rỉr!g C(') ì-hề I h à n h ] ậ p đin)vc
tích / ì - 7, ĩ ' ( f \ sì đ í ) u V p Ỉỉí. ‘ỉ í { Ỉ I ( J ) Ị . C í ' ỉ l i é n . i ĩ í y ’ L c
d à n ơ r'ằ.\Ịj,
\ ơ

/

/

ụ ^ .í ù■ í -

V -* ..-/

N ‘n r ừ i [a nói r ẳ n ^ Uch ci:a cíic ‘lìỉh
xạ có H ỉ :l : k ẽ l
h ợ p ( x e i n ỉ h è i n (liiiíỉ ng hĩ;ì c u a í-íiỉỉi k-^H họ'p ỏ' §
ỉsihị-tíỉìỉi t : h a n i ỉ i y , kỉìi v iế t i í c h ciia íUu: á n h x ạ , í.u
cỏ th ê 1)0 ũ i CÌÌC ílìíi! iiL;oạ(' ('v‘iìỉ ro |MÌU’0’JỈ^ p ỉ i á p
tliùnh ỈẠỉ) lí di ) . Cliẫiỉií iìạn đoị vói iivìi c ủ a !iU ủ n h
x a Ị \ r/, h ờ trèii , ii\ chi c--'in vií ‘i lìijf.
e ) Ấ n h x ạ n g t r í v c . (iiiì íỉiíV

f :X

7

là m ọ ỉ soìiỊị úỉiỉt Ci];\ ỉ ậ p ] i ọ | ) A ỉèii í ã | ì
V. v ỏ ‘ i
m ỗ i ])han lủ' lĩ
Y T)ghị(‘Ỉ5ả n h f '^(ĩ j) ià ư i ỏ t l ặ n
lỢỊ) c h í ^OỈIỈ m ộ l Ị)h!in u’r X
X..
đ ó ỉù Ị>iỉiin U r
X
. \ S i i o c!i() f ị x )
ỉ/. V i v ậ v f a í.'ú Ì ì ì í l h : u i h
ỉ ậ p í-iirọx: íinỉì xạ :

■-1

22


xác đ ì n h bời c ỏ n g I h ử c : vỏ’i luọi ịj ^ Ỵ
= X Iiểii f{x')\ = ij.
đ i r o c g ọ i l à á n k x ạ t ì Ị Ị ư ợ c c i i a / ’, R õ r ã n c

Aiih x ạ /

lả m ộ t s ó n g ả n h của y lẽn .V, v à á n h x ạ ỉhjượi
(/ ^^)
rủa
lọi lá f .
Ví dụ. A n h x ạ đổ niỉ n h ă ỉ
z'x ; -V ^

X

(X

é)

iiìíi lậỊj h ọ 'p .x lèn c h í n h u ỏ , f ả c dịnli ])cri CỊP.O' thức
í^(x) ~ ;r c u a ĩ u ọ i X ^ -Y, ỉà ĩ u ộ t . s o n g ' á n h , Vỉ
■^x) ^ ixCỏ í hề c h ử n g m i n h dỗ d à n g
Đ ị n h ĨỶ 3 . 4 .
1)
(ỉiá t h ử f : X - > Y ỉầ m ộ l soniỊ á n h củ,í X Lèn i '
T h ề Ihi:
■')r ‘ /' =

íx.

/T ‘ -

ú-.

i)) Vói liìoi lậ p h ợ p B V1 \ , (ình b ờ i f ~ ' cùa l ì CŨIK.
ià /ìtjhịcJ> d/i h h(}i f r ủ a ỉ' (lỉo đ ó k h ô n g x ả y r a nỉiầii^( B) l à

.àiì k h i ỉiiện /

^ luiv iù níịliich ânl

hở\ / ) •

-•
í/ù

I '■

^

i"- iỉ -■ y -

^ Ii).

iihrríì'ị S0 !):j á n h

(y /r ‘ = /--'r * -

T i’0 n ^ lru'ò'ii<>' liỌ'j)
f : X -^Y
l ì ủ l a n i ộ l d o T i á n ỉ i c ủ a A' v á o r , í h i f c ó t h ê COI lĩ

rl s o n o áiili c ủ a A' lề n /'(.V): đ ỏ i kiii iiguVvi la cỉli
j híũ x r t ánli x ạ ri gm r c f ~ \ klii đ(> á n h xạ
ch^
đ iiợ c Xiic đ ịn h trên tập ÌỈỌ’P f { X ) c~ Y.
0‘
éCt


4. Dav

S-ĨIỴ r ộ n ^

v à <ỉa'í.^ t ' ỉ ỉ ị ĩ ì g

lhưị'íTg.

MỘL l í i p ]ìí;/ị> A c ó í i ĩ ứ l ự ( h ộ Ị i i ì ậ i i ) đ u m *
mộì lậ p h ơ p

íịọi

ỉi à

nnỜẰXiỊ v ẽ h ê ỉ ì p h á i , ]ìay i ị ọì vắTi ỉ ắ l h à

y^ỉró7ỉf/ (lln'í) ịhiìíií ỉ:p'ữ e:'hỉ Bmn-]>aki : /ỏ'/) h ợ p a ó
!ọc vè hơỉỉ pỉìẫí), iiỂri v ó i Vxìọì c ặ p ])]iưP/[ư a, 3 ^ .Av,
( ĩ c u Ỉ òi ỉ lạ i m ộ l p ì u u i [tr Ỵ G / \ Síio í‘h o a
T
ĩi ^

T'

N lìir v ậ v

m ộ\. c ậ n

Ỵ là

Lrên

(,‘ủ a

lậị;

h ọ ”])

a. ậị C! A. B ằ n g qui n ạ p [heo n [a. ìhỉỈỴ rằn,'-; khvi
đ ỏ v ỏ ’i n ] >l ì an ĩ i r [ÍỈY V ccj, y . ọ, . . . , a n Ễ
t ồ D t ạ i i n ộ ỉ Ị ì h à ì i l ủ' Y €r

sao cho

-A, ị i ỉ ị n

ịỉiỏia

íXj ■'< Ỵ Ý'i m ọ n

i =--- 1, 2,.... //. ísỏi cixch kluic- ;íĩọì l ạ p h ợ p c o n h ữ ĩ í i
h ạ n cỗ(ỉ ẨnvớnỊị A ịf(hí cỏ (í! n h â l ) m ộ ỉ cậĩỉ ìrcn,
G iẳ !ỉ)ử X 1:\ m ộ i ựiị) ÌK/Ị) íù y V. Mọl. d(lỊj SIÌỊỊ r ộ j u g

lrr>n-! X ị>‘'íí A ỉà họ các c h ỉ số. ìh Hỉộí ÚTỉli xạ
fp : A - > ' X

.'■‘ủ a hiTo-ni.' A v à o
đ ư ợ c k ỷ h i ệ u tà

-V, A n h

;r^. v ì v ậ y

đjì'0’c kv iriựii ]íi (:ì‘ )
9
■ -^^■A
. .

TroFỉ:;

í r i r ị ‘n i !

^

íp

.

fỉu rỏ 'n g

d a y s n y rộiiỊLí (f- ì h ư ì n v ị i

.

họ'jj A ™

(lậỊ)

ífỌ'p

n h i ê n v ớ i [!hV ì ỉ v M i ỏ n g t h i r ừ n 4 )^ t h i d à y
íXb)
van

i\u'(u:
n ệ: ÌS
'

ỉí\ l ì í ộ t

íhtỉrm g.

ỉự

rộng

hny

' ’
. iỉoạc

l ã ế.r„).

B í ' V I';í 4 [)'cnìLí

\ịìỉị-Ị'i\ỉĩ) ( X a )
vộy

^ì

í í i ộ í ịỉ'ỉV ISÚV

. . ‘*Ĩ

-7.

[)hãfỉ

ítav

-■

; A

thirỊ'i3í'{) vỏ’i lŨỊì

24

suy

(ỉtỉ ìi\ (ỉãu., v ã í ' ị n ủ i r ọ r k ỷ lúội ? l à

vSn

Vỉ

(7f7ụ í h ủ ỉ ư Ị

ci i c S()

ó^rV

(S;:v

i-ỄKM: l

vọ U ịx

f 5i - ■?•■' p ‘Ííav

ÍỈV.>

iiỉịn^


BÀ ĩ T'ẬP

3.1.

Cho

c á c i r ì ị ) ỈÌỌỊ-) v ã

ánlì xạ s a u d à y :

A - > B -•> r; - > D,
í'
g
h
(-hứng minlì rằn;:í n ẽ u Ị Ị o f vũ hoỊ ị i;i
c; f:ãc á n h xạ /’, g , h
là s o n g úrih.

s o n g áiĩii, thi tẩ^

:j.2. -Cho các t ặ p h ọ p và ả n h X-.Ị sau d à v :

.4B —> c ■-> .4.
('hửD^‘ m i n h vhĩiíỊ íron;^ c á c á n h xạ ỉ i o q o j \ (ỊOfoỉi, f o h o g r
n:ii c ố h;ũ ánh xọ là Irètn ánỉì và ánỉì xạ t h ử bí‘ l à đ ơ n
à A ì , h o ặ c n e u c ơ hai ánỉi xạ ỉù (lo'ĩì :'inii v;-i Ítn:í \ ạ í h ứ
b ỉ ầ t rn n anli, Ihì t;ít cả c á c ỏ n h x - ỵ f : f/, h (teu ỉ à s o n g
áil).

3-;>, íiiíi tìúí íậỊì họ'Ị)

đỉìí}

vửi cỊìian hệ thử lự -Cí

d ỉ r t ứ c ỉả raọi t ập họ-p c o n A l-íhỏDK r o n ^ c ủ a X (ỉcu có
'j:n t r ê ĩ i (ỈÚIIỊ; v à c ạ n (lưcVi đ ú n g ( cúc c ậ n n à y n o i c ỉ u i n g
íl. ư)c A' x ầ kjiịii£í nỉnil í h i c t p])ải i h n ộ c A). \ e m mội.
ni; xạ
f : A' - > A'
ỉlíKì m a n di<'-u k i ệ n : !Ì("'U

'C

X

íliì

ỊỊ

^

f(.r)

/ ( / / ’•

m i n h rang :

VJ

Á ĩ i i i Xi i

]à l(x ^ ) =

f

c ó íí nÌiỉlL m ộ i

đirỉH

hìít

(ỉộng

Í;ÌỊ)

X

(tức

.To).

c á c ( l i c n ! !>ă l ( í ộ n f Ị
Cỉ ii trên ( i ún^ v à Cỉin (ỉu‘(Vi cĩúiiíí c ủ a IIỎ.
!i)

Xo

])Ọ -p

3 .4 . ( ' , b o ĩ

tá.1

C:;t

l à l i i ộ t I i ọ c l ủ St t . V ó i

nỉịi

OI

c ủ :ĩ

f

i.‘ l n i ' a

í *6

các
hai

I ịìỊ) h ọ p A'a V:'ỉ Vtt. v ù ỉìỉơt ŨTih xạ
/

a

•

a

K ỉ i i < ì ó l:i CO Ihí' ]: ì | ) l i l ì ỉ ỡ

^

n
c t

-

^

^

a

\:i

- ã

Vô

n
V "

25