Một số đề thi t8 (có HDG)

Phòng giáo dục kiến xơng
Trờng THCS Bình Nguyên
Đề kiểm thi học sinh giỏi
năm học 2009 -2010
Môn: toán 8
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (4đ).
Chứng minh rằng số A = n
3
(n
2
- 7)
2
- 36n luôn chia hết cho 7 với mọi n là số tự nhiên
Bài 2: (4đ).
Cho a, , c, x, y, z

0 thoả mãn: x + y + z = 2006; x
2
= a + yz ; y
2
= b + xz ; z
2
= c + xy
Tính giá trị của biểu thức A =
cba
czbyax
++
++
Chứng minh rằng -x
3

+ x
2


4
1
nếu 0

x

1
Bài 3: (4đ) Giải phơng trình
5
7
3
5
1
3
6
164
2222
2
+
+
+
=
+

+
+

xxxx
x
Bài 4: (5đ) Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a. Một điểm M chuyển động trên
cạnh DC (M

D, M

C) chọn điểm N trên cạnh BC sao cho = 45
o
, DB thứ tự cắt AM, AN
tại E và F.
1. Chứng minh = = 90
o
2. Chứng minh S

AEF =
2
1
S

AMN
3. Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC
Bài 5: (3đ). Cho

MNP, độ dài 3 cạnh theo thứ tự là m,n,p và 3 + 2 = 180
o
.
Chứng minh hệ thức: m
2
+ np - p

2
= 0
Đáp án
Bài 1
A= n
3
(n
2
-7)
2
- 36n
= n
3
(n
4
- 14n
2
+ 49) - 36n
= n
7
- 14n
5
+ 49n
3
- 36n
= (n
7
-n
5
) - (13n

5
- 13n
3
) + (36n
3
- 36n)
= n
5
(n
2
-1) - 13n
3
(n
2
- 1) + 36n (n
2
-1)
=( n
2
-1) .(n
5
-13n
3
+ 36n)
= (n
2
- 1) {(n
5
-4n
3

) - (9n
3
-36n)}
=(n
2
- 1) {n
3
(n
2
- 4) -9n (n
2
- 4) }
= (n
2
- 1) (n
2
- 4) (n
3
- 9n)
= (n
2
- 1) (n -2) (n +2) n (n
2
- 9)
= (n -1) (n + 1) (n -2) (n + 2) n (n - 3) (n +3)
Vậy: A= (n -3) (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)
Vì n là số tự nhiên nên số A là tích của 7 số tự nhiên liên tiếp. Rồi chứng minh cho tích của 7
số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 7
Kết luận: A chia hết cho 7
Bài 2

Ta có x
2
= a +yz x
3
= ax + xyz => ax = x
3
- xyz
Tơng tự: by = y
3
- xyz
Cz = z
3
- xyz
Cộng theo từng vế của 3 đẳng thức trên ta đợc:
ax + by +cz = x
3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz
= (x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
) + z

3
- (3x
2
y+3xy
2
+3xyz)
= (x+y)
3
+z
3
- 3xy (x+y+z)
= (x+y+z) {(x+y)
2
- z (x+y) +z
2
}- 3xy (x+y+z)
= (x+y+z) {(x+y)
2
- (x+y) z + z
2
- 3xy}
= (x+y+z) (x
2
+ y
2
+ z
2
- xy - xz - yz)
Cùng từ x
2

= a+yz => x
2
- yz = a
Tơng tự y
2
- xz = b
Z
2
- xy = c
Do đó: ax + by + cz = (x+y+z) {(x
2
-yz) + (y
2
- xz) + ( z
2
-xy) }
= (x+y+z) (a+b+c)
Vì vậy
cba
czbyax
++
++
=
cba
cbazyx
++
++++
))((
= x+y+z (do a+b+c 0)
= 2006 (do x+y+z = 2006) Vậy A= 2006

Do 0 x 1 nên x
2
x => - 4x
2
- 4x và 1-x 0
Từ đó ta có - 4x
2
(1-x) -4x (1-x)
- 4x
2
(1-x) +1 - 4x (1-x) +1
4x
3
- 4x
2
+ 1 4x
2
- 4x +1
= (2x -1)
2
0
=> 4x
3
-4x
2
+1 0 - 4x
3
+ 4x
2
- 1 0 - 4x

3
+ 4x
2
1
4(-x
3
+ x
2
) 1 - x
3
+ x
2

4
1

Vậy : -x
3
+ x
2

4
1
nếu 0 x 1
Bài 3. Gải phơng trình:
5
7
2
5
1

3
6
164
2222
2
+
+
+
=
+

+
+
xxxx
x
ĐKXĐ x R

0
5
7
2
5
1
3
6
22164
2222
2
=
+

+

+

+
++
xxxx
x
3 +
0
5
7
3
5
1
3
6
2
2222
2
=
+

+

+

+

xxxx
x

0)
5
7
1()
3
5
1()
1
3
1(
6
2
2222
2
=
+
+
+
+
+
+
+

xxxx
x

5

75
3
53
1
31
6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

x
x
x
x

x
x
x
x
= 0

5
2
3
2
1
2
6
2
2
2
2
22
2
2
+

+
+

+
+

+
+

x
x
x
x
x
x
x
x
= 0 (x
2
- 2)
)
5
1
3
1
1
1
6
1
(
2222
+
+
+
+
+
+
+

xxxx
= 0 (1)
Lý luận
)
5
1
3
1
1
1
6
1
(
2222
+
+
+
+
+
+
+
xxxx
> 0
Nên (1) x
2
- 2 = 0 x
2
= 2
x =
2

(TMĐK) hoặc x = -
2
(TMĐK) Vậy S = {-
2
;
2
}
Bài 4.
ã
ã
0
AFM = AEN = 90
Nối A với C chỉ ra đợc
à à
à
à
3 1 1 1
A = A ; B = C
=> AFB

AMC (g.g)
=>
)1(
AC
AM
AB
AF
AC
AB
AM

AF
==
Có
ã
ã
0
MAF = CAB = 45
(2)
Từ 1 và 2 => AFM

ABC
=>
ã
ã
0
AFM = ABC = 90
C/M hoàn toàn tơng tự có AEN = 90
0

vì vậy
ã
ã
0
AFM = AEN = 90
S AEF = 1/2 S AMN
Có AFM

AEN =>
AN
AE

AM
AF
=
=> AEF

AMN (c.g.c) =>
)1()(
2
AM
AF
SAMN
SAEF
=
Có FAM = 45
0
, AFM = 90
0

=> AFM Vuông cân đỉnh F nên AM
2
= AF
2
+ FM
2
= 2AF
2

=>
2
)(

AM
AF
=
2
1
Thay vào (1) ta đợc
SAMN
SAEF
=
2
1
hay: S AEF = 1/2 S AMN
C/M chu vi CMN không đổi
Trªn tia ®èi cña tia DC lÊy ®iÓm K sao cho DK = BN
∆ ADK = ∆ ABN => AK = AN vµ BAN = DAK.
do ®ã ∆ AMN = ∆ AKM (c.gc) => MN=KM
V× vËy: Chu vi ∆ CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN
= CD + KD + CN = CD + NB + CN
= CD + CB = 2a kh«ng ®æi
Tøc lµ: Chu vi ∆ CMN kh«ng thay ®æi khi M chuyÓn ®éng trªn c¹nh DC
Bµi 5 C/M: m
2
+ np - p
2
= 0
Do 3M + 2N = 180
0
vµ M + N + P = 180
0
=> P = 2M + N vËy P > N => MN>PM

Trªn MN lÊy ®iÓm Q sao cho MQ = PM = n
Nªn QN = P-n
∆ MNP vµ ∆ PNQ cã N chung vµ
PQN = 180
0
- MQP
= 180
0
-
2
180
0
M
−
( do ∆ MQP c©n)
= 180
0
-
2
23 MNM
−+
(do 3M + 2N = 180
0
)
= 180
0
-
2
)(2 NM
+

= 180
0
- (M+N)
= MPN vËy PQN = MPN
=> ∆ MNP
∞
∆ PNQ (gg)
=>
PN
MN
NQ
PN
=
=> PN
2
= MN . NQ  PN
2
- MN . NQ = 0
Hay m
2
- p(p-n) = 0
 m
2
+ np - p
2
= 0 (§PCM)
Phòng giáo dục - Đào tạo
huyện Vũ th
Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện
Môn: Toán Lớp 8

năm học 2008 2009
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4 điểm)
1, Cho ba số a, b, c thoả mãn
+ + =


+ + =

2 2 2
a b c 0
a b c 2009
, tính
= + +
4 4 4
A a b c
.
2, Cho ba số x, y, z thoả mãn
x y z 3+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
B xy yz zx= + +
.
Bài 2: (2 điểm)
Cho đa thức
( )
= + +
2
f x x px q
với
p Z,q Z

. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên
k để
( ) ( ) ( )
=f k f 2008 .f 2009
.
Bài 3: (4 điểm)
1, Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn
3xy x 15y 44 0+ + =
.
2, Cho số tự nhiên
( )
=
2009
9
a 2
, b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của
b, d là tổng các chữ số của c. Tính d.
Bài 4: (3 điểm)
Cho phơng trình
2x m x 1
3
x 2 x 2

+ =
+
, tìm m để phơng trình có nghiệm dơng.
Bài 5: (3 điểm)
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy
điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC tại F, CE cắt à tại O. Chứng minh
AEC

đồng dạng
CAF
, tính
ã
EOF
.
Bài 6: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB,
DC lần lợt lấy các điểm E và F sao cho
ã
ã
EAD FAD=
. Chứng minh rằng:
=
2
2
BE BF AB
CE CF AC
.
Bài 7: (2 điểm)
Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy ra hai số bất
kỳ và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng
lại. Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đợc không? Giải thích.
đề chính thức
..........................................Hết..............................................
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .............................................................. Số báo danh: ..........................

Hớng dẫn chấm môn toán 8
Bài Nội dung Điểm

1.
1
Cho ba số a, b, c thoả mãn
+ + =


+ + =

2 2 2
a b c 0
a b c 2009
, tính
= + +
4 4 4
A a b c
.
2,00
Ta có
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
a b c a b c 2 ab bc ca 2 ab bc ca+ + = + + + + = + +
( ) ( )
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
a b c 2009
a b b c c a ab bc ca 2abc a b c
2 4

+ +
+ + = + + + + = =
ữ

( ) ( )
2
2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2009
A a b c a b c 2 a b b c c a
2
= + + = + + + + =
0,50
0,50
1,00
1.
2
Cho ba số x, y, z thoả mãn
x y z 3+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
B xy yz zx= + +
.
2,00

( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )

= + + = + + +

= + + + = + +
+ +

= + + = + + +
ữ ữ

2
2 2
2 2
2
2
B xy z x y xy 3 x y x y
xy 3 x y x y x y xy 3x 3y
y 3 3y 6y 9 y 3 3
x x y 1 3 3
2 4 2 4
Dấu = xảy ra khi
y 1 0
y 3
x 0 x y z 1
2
x y z 0
=




+ = = = =

+ + =



Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1
1,25
0,50
0,25
2
Cho đa thức
( )
= + +
2
f x x px q
với
p Z,q Z
. Chứng minh rằng tồn tại số
nguyên k để
( ) ( ) ( )
=f k f 2008 .f 2009
.
2,00
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2
2 2
2
2
2
f f x x f x x p f x x q
f x 2.x.f x x p.f x p.x q
f x f x 2x p x px q
f x x px q 2x p 1
f x x 1 p x 1 q f x f x 1

+ = + + + +

= + + + + +

= + + + + +


= + + + + +


= + + + + = +

Với x = 2008 chọn
( )
k f 2008 2008= + Â

Suy ra
( ) ( ) ( )
f k f 2008 .f 2009=

1,25
0,50
0,25
3.
1
Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn
3xy x 15y 44 0+ + =
.
2,00