(Luận văn thạc sĩ file word) Nghiên cứu ổn định của khung phẳng có nút cứng và liên kết nửa cứng

LỜI CẢM ƠN
Luận văn thạc sĩ: “Nghiên cứu ổn định của khung phẳng có nút cứng và
liên kết nửa cứng” đã được tác giả hoàn thành đúng thời hạn quy định và đảm bảo
đầy đủ các yêu cầu trong đề cương được phê duyệt.
Trong quá trình thực hiện, nhờ sự giúp đỡ tận tình của các Giáo sư, Tiến sĩ
Trường Đại Học Thuỷ Lợi, tác giả đã hoàn thành luận văn này.
Tác giả chân thành cảm ơn TS. Vũ Hoàng Hưng, Bộ mơn Kết cấu cơng trình Trường Đại học Thuỷ Lợi Hà Nội đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ để tác giả hoàn
thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Trường Đại học Thuỷ Lợi Hà
Nội, Cơ Sở 2 - Đại học Thủy Lợi, các thầy cơ trong Khoa Cơng trình, Phịng Đào
tạo Đại học và Sau đại học đã tận tụy giảng dạy, truyền đạt kiến thức trong suốt quá
trình học đại học và cao học tại trường.
Tuy đã có những cố gắng song do thời gian có hạn, trình độ bản thân cịn hạn
chế, luận văn này khơng thể tránh khỏi những tồn tại, tác giả mong nhận được
những ý kiến đóng góp và trao đổi chân thành của các thầy cô giáo, các anh chị em
và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả rất mong muốn những vấn đề còn tồn tại sẽ được
tác giả phát triển ở mức độ nghiên cứu sâu hơn góp phần ứng dụng những kiến
thức khoa học vào phục vụ đời sống sản xuất.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày

tháng

năm 2015
Học viên

Lê Đình Cường


LỜI CAM ĐOAN

Tên tơi là: Lê Đình Cường
Sinh ngày 22 tháng 01 năm 1990
Hiện đang công tác tại Ban Giáo viên chuyên môn – Cơ sở 2 – Trường Đại học
Thủy Lợi.
Học viên cao học khóa 21, lớp CH21C21 – Ngành Xây dựng cơng trình thủy –
Trường Đại học Thủy Lợi Hà Nội.

Tôi xin cam đoan: Đề tài luận văn “Nghiên cứu ổn định của khung phẳng
có nút cứng và liên kết nửa cứng” do thầy giáo TS. Vũ Hoàng Hưng hướng dẫn là
cơng trình nghiên cứu của riêng tác giả. Các kết quả nghiên cứu và các kết luận
trong luận văn là trung thực, không sao chép từ bất kỳ một nguồn nào và dưới bất
kỳ hình thức nào. Việc tham khảo các nguồn tài liệu (nếu có) đã được thực hiện
trích dẫn và ghi nguồn tài liệu tham khảo đúng quy định.
Tác giả xin cam đoan tất cả nội dung trong luận văn đúng như nội dung trong
đề cương và yêu cầu của thầy giáo hướng dẫn. Nếu sai tơi hồn tồn chịu trách
nhiệm trước Khoa, Nhà trường và trước pháp luật.
Hà Nội, ngày tháng năm 2015
Học viên

Lê Đình Cường


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU.................................................................................................................. 1
1. Tính cấp thiết của Đề tài................................................................................... 1
2. Mục đích của đề tài........................................................................................... 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu..................................................................... 2
4. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu........................................................ 2
5. Nội dung và cấu trúc của luận văn.................................................................... 2
5.1. Nội dung của luận văn............................................................................... 2

5.2. Cấu trúc của luận văn................................................................................ 2
CHƯƠNG 1.TỔNG QUAN VỀ TÍNH TỐN ỔN ĐỊNH CỦA KHUNG PHẲNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN.....................................................4
1.1. Phương trình ổn định..................................................................................... 4
1.2. Tham số tải trọng tới hạn và chiều dài tính tốn............................................ 5
1.2.1. Tải trọng tới hạn của thanh nén.............................................................. 5
1.2.2. Hệ số chiều dài tính tốn của thanh nén.................................................. 7
1.3. Khái qt về phương pháp phần tử hữu hạn giải theo chuyển vị...................7
1.3.1. Ma trận độ cứng của kết cấu................................................................... 7
1.3.2. Quan hệ giữa phản lực nút và chuyển vị nút........................................... 8
1.3.3. Ma trận độ cứng của phần tử có một đầu liên kết ngàm và một đầu liên
kết khớp................................................................................................12
1.3.3.1. Phần tử k1j...................................................................................... 12
1.3.3.2. Phần tử k2j...................................................................................... 12
1.3.4. Ma trận độ cứng của phần tử có hai đầu liên kết ngàm.........................13
1.3.5. Trường hợp đặc biệt.............................................................................. 14
1.3.5.1. Ma trận độ cứng của phần tử thanh hai đầu liên kết ngàm khi bỏ
qua ảnh hưởng uốn dọc (P = 0)......................................................14
1.3.5.2. Ma trận độ cứng của phần tử thanh đầu trái liên kết ngàm đầu phải
liên kết khớp khi bỏ qua ảnh hưởng uốn dọc (P = 0).....................15


1.4. Kết luận........................................................................................................ 15
CHƯƠNG 2.ỔN ĐỊNH CỦA KHUNG PHẲNG CÓ LIÊN KẾT NỬA CỨNG....16
2.1. Khái quát về liên kết nửa cứng-độ cứng của nút và mơ hình tính tốn........16
2.2. Ma trận độ cứng của phần tử hai đầu có liên kết ngàm đàn hồi trong hệ tọa
độ địa phương..................................................................................................... 17
2.2.1. Ma trận độ cứng của phần tử hai đầu liên kết ngàm đàn hồi.................17
2.2.1.1. Phần tử k2j................................................................................. 19
2.2.1.2. Phần tử k1j................................................................................. 20

2.2.2. Ma trần độ cứng của phần tử thanh hai đầu liên kết khác nhau............22
2.2.2.1. Ma trận độ cứng của phần tử thanh có hai đầu liên kết ngàm........22
2.2.2.2. Ma trận độ cứng của phần tử thanh có liên kết ngàm bên trái và liên
kết khớp bên phải...........................................................................22
2.2.2.3. Ma trận độ cứng của phần tử thanh hai đầu liên kết ngàm có xét đến
độ mềm liên kết và bỏ qua ảnh hưởng uốn dọc..............................23
2.3. Ví dụ bằng số khung phẳng có liên kết nửa cứng....................................24
2.4. Tính tốn kiểm tra bằng phần mềm SAP2000.........................................31
2.4.1. Trình tự xác định tải trọng tới hạn của hệ thanh phẳng bằng phần mềm
SAP2000.........................................................................................................32
2.4.2. Xác định tải trọng tới hạn của hệ thanh phẳng.................................34
2.4.2.1. Xây dựng mơ hình tính tốn......................................................34
2.4.2.2. Khai thác kết quả tính tốn.......................................................36
2.5. Kết luận...................................................................................................38
CHƯƠNG 3.ỔN ĐỊNH CỦA KHUNG PHẲNG CĨ XÉT TỚI ĐỘ CỨNG CỦA
NÚT........................................................................................................................40
3.1. Khái quát về kết cấu có nút cứng và mơ hình tính tốn...............................40
3.2. Ma trận độ cứng của phần tử thanh có xét tới độ cứng của nút trong hệ tọa
độ địa phương..............................................................................................40
3.2.1. Ma trận độ cứng của phần tử dầm hai đầu liên kết ngàm có xét độ cứng của
nút

40


3.2.1.1. Phần tử k2j...................................................................................... 41
3.2.1.2. Phần tử k1j...................................................................................... 42
3.2.2. Ma trận độ cứng của phần tử thanh đầu trái liên kết khớp đầu phải liên kết
ngàm 43
3.2.3. Ma trận độ cứng của phần tử thanh hai đầu liên kết ngàm khơng có nút cứng

44
3.3. Ma trận độ cứng của phần tử thanh khơng kể uốn dọc và có xét tới độ cứng
của nút trong hệ tọa độ địa phương..............................................................44
3.3.1. Phần tử dầm hai đầu liên kết ngàm................................................................. 44
3.3.2. Phần tử dầm đầu trái liên kết khớp đầu phải liên kết ngàm............................45
3.4. Ví dụ bằng số khung phẳng có xét đến độ cứng của nút..............................45
3.5. Tính tốn kiểm tra bằng phần mềm SAP2000.............................................. 49
3.5.1. Khung phẳng một tầng một nhịp, chân liên kết ngàm..................................... 49
3.5.1.1. Xây dựng mơ hình tính tốn..........................................................49
3.5.1.2. Khai thác kết quả tính tốn............................................................52
3.5.2. Khung phẳng một tầng một nhịp chân liên kết khớp...................................... 54
3.6. Kết luận........................................................................................................ 54
CHƯƠNG 4. LẬP TRÌNH VÀ VÍ DỤ MINH HỌA BẰNG SỐ............................55
4.1. Chương trình xác định lực tới hạn và chiều dài tính tốn của khung nhiều tầng
nhiều nhịp có nút cứng và liên kết nửa cứng....................................................... 55
4.1.1. Lập trình trên ngơn ngữ Pascal............................................................. 55
4.1.2. Kiểm tra lại kết quả bằng phần mềm SAP2000.................................... 63
4.1.2.1. Xây dựng mơ hình tính tốn..........................................................63
4.1.2.2. Khai thác kết quả tính tốn............................................................66
4.2. Chương trình tính khung nhà cơng nghiệp một tầng nhiều nhịp cột bậc có nút
cứng và liên kết nửa cứng................................................................................... 69
4.2.1. Lập trình trên ngơn ngữ Pascal............................................................. 69
4.2.2. Kiểm tra lại kết quả bằng phần mềm SAP2000.................................... 74
4.2.2.1. Xây dựng mơ hình tính tốn..........................................................74


4.2.2.2. Khai thác kết quả tính tốn............................................................77
4.3. Chương trình tính khung phẳng có nút cứng và liên kết nửa cứng, đồng thời kết
quả tính tốn lập bảng tra.................................................................................... 79
4.3.1. Tính toán lập bảng tra........................................................................... 79

4.3.2. Kiểm tra với phần mềm SAP2000........................................................ 82
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ................................................................................. 84
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................... 86
PHỤ LỤC................................................................................................................ 87


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Mất ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm.....................................06
Hình 1.2. Quan hệ phản lực nút và chuyển vị nút....................................................09
Hình 1.3. Sơ đồ xác định k1j.................................................................................... 12
Hình 1.4. Sơ đồ xác định k2j.................................................................................... 13
Hình 2.1. Biến dạng phân tố....................................................................................16
Hình 2.2. Mơ hình phần tử dầm có nút cứng và liên kết mềm.................................17
Hình 2.3. Mơ hình phần tử dầm có liên kết mềm....................................................17
Hình 2.4. Quan hệ phản lực nút và chuyển vị nút có xét độ mềm liên kết...............19
Hình 2.5. Sơ đồ xác định k2j.................................................................................... 19
Hình 2.6. Sơ đồ xác định k1j.................................................................................... 20
Hình 2.7. Sơ đồ khung.............................................................................................24
Hình 2.8. Hệ cơ bản.................................................................................................25
Hình 2.9. Biểu đồ momen đơn vị do chuyển vị góc xoay cưỡng bức Z1=1 gây ra...26
Hình 2.10. Biểu đồ momen đơn vị do chuyển vị góc xoay cưỡng bức Z2=1 gây ra 26
Hình 2.11. Biểu đồ momen đơn vị do chuyển vị thẳng cưỡng bức Z3=1 gây ra......26
Hình 2.12. Định nghĩa các trường hợp tải trọng......................................................32
Hình 2.13. Số liệu trường hợp tải trọng - ổn định....................................................32
Hình 2.14. Gán lệnh chia lưới phần tử thanh nén....................................................33
Hình 2.15. Hiển thi kết quả tính tốn.......................................................................33
Hình 3.1. Sơ đồ tính tốn.........................................................................................39
Hình 3.2. Mơ hình phần tử dầm có nút cứng...........................................................40
Hình 3.3. Sơ đồ xác định k2j.................................................................................... 40

Hình 3.4. Sơ đồ xác định k1j.................................................................................... 41
Hình 4.1. Sơ đồ khung phẳng nhiều tầng nhiều nhịp...............................................54
Hình 4.2. Sơ đồ khung nhà cơng nghiệp một tầng nhiều nhịp.................................68
Hình 4.3. Sơ đồ khung phẳng hai tầng một tầng......................................................78


DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1. Hệ số chiều dài tính tốn khi liên kết mềm tại các vị trí khác nhau........29
Bảng 2.2. Hệ số chiều dài tính tốn khi liên kết mềm thay đổi...............................30
Bảng 3.1. Hệ số chiều dài tính tốn của khung có xét độ cứng của nút...................47
Bảng 4.1. Hệ số chiều dài tính tốn của khung nhiều tầng nhiều nhịp....................61
Bảng 4.2. Hệ số chiều dài tính tốn của khung nhà công nghiệp.............................72
Bảng 4.3. Hệ số chiều dài tính tốn.........................................................................80


10

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của Đề tài
Ngày nay, các cơng trình xây dựng dân dụng và cơng nghiệp sử dụng kết cấu
thép ngày càng phát triển và rộng rãi. Hầu hết các kết cấu thép được thiết kế thành
những cấu kiện rời và được chế tạo trong nhà máy. Sau đó các cấu kiện được lắp
ráp lại với nhau bằng liên kết hàn hoặc liên kết bu lông. Khi thiết kế kết cấu cốt
thép thì ngồi việc đảm bảo điều kiện về cường độ và độ cứng thì cịn phải đảm bảo
điều kiện về ổn định (ổn định cục bộ và ổn định tổng thể). Nếu tải trọng ngoài tác
dụng lên khung mà nhỏ hơn tải trọng tới hạn của khung thì kết cấu khơng bị mất
ổn định tổng thể.
Trong thực tế các liên kết này không phải là ngàm hoặc khớp mà làm việc trong
trạng thái nửa cứng, tức là ở mức trung gian giữa ngàm và khớp, phải coi là liên kết

mềm thì mới phản ánh đúng được sự làm việc thực tế của kết cấu đó.
Ngồi ra khi các cấu kiện trong khung có tỷ số giữa chiều dài trên chiều cao tiết
diện nhỏ, nếu coi là phần tử thanh thì kết quả tính tốn cũng không phản ánh đúng
trạng thái chịu lực thực tế của nó, nội dung của luận văn sẽ đề cập tới hai vấn đề
này để nâng cao kết quả tính tốn.
2. Mục đích của đề tài
Lập trình xác định tải trọng của khung phẳng nhiều tầng nhiều nhịp có xét tới độ
cứng của nút và liên kết nửa cứng, trường hợp đặc biệt khi độ mềm liên kết k ≠ 0 ta
có liên kết nửa cứng, khi k = 0 ta có liên kết ngàm, khi k = ∞ ta có liên kết khớp.
Lập bảng tính tốn tải trọng tới hạn và hệ số chiều dài tính tốn của một vài
khung thường gặp trong tính tốn cơng trình xây dựng và thủy lợi như khung hình
thang trong kết cấu van cung càng xiên, khung một tầng một nhịp hay nhiều nhịp có
cột bậc trong khung nhà cơng nghiệp, nhà máy thủy điện hay trạm bơm.


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng của luận văn là khung phẳng có xét đến liên kết nửa cứng và độ cứng
của nút, các thanh chịu nén có xét ảnh hưởng uốn dọc.
Vật liệu làm việc trong miền đàn hồi tuyến tính, liên kết dầm-cột có thể là liên
kết cứng, chân cột có cấu tạo kiểu ngàm hoặc kiểu gối tựa khớp.
4. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết ổn định của kết cấu hệ thanh bằng phương pháp phần tử
hữu hạn giải theo phương pháp chuyển vị đã được nghiên cứu có kể đến độ cứng
của nút và liên kết nửa cứng.
Lập trình tính tốn cho bài tốn cụ thể bằng ngơn ngữ lập trình thích hợp, có thể
lập trình trong phần mềm SAP2000 để kiểm tra kết quả tính tốn.
5. Nội dung và cấu trúc của luận văn
5.1. Nội dung của luận văn
Tổng quan về tính tốn ổn định của khung phẳng bằng phương pháp phần tử hữu
hạn. Luận văn tập trung nghiên cứu tính tốn kết cấu khung phẳng có liên kết nửa

cứng và độ cứng của nút chịu tác dụng của tải trọng thẳng đứng. Từ đó thành lập
ma trận độ cứng của phần tử thanh có xét đến ảnh hưởng của liên kết nửa cứng và
độ cứng của nút. Tiến hành lập trình trên ngơn ngữ Pascal có đủ độ tin cậy, xác
định được lực dọc tới hạn và hệ số chiều dài tính tốn cho phần tửchịu nén. Đồng
thời, chạy trên phần mềm SAP2000 để kiểm tra kết quả.
5.2. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm có 4 chương không kể phần mở đầu và kết luận chung của luận
văn, danh mục các tài liệu tham khảo và phụ lục kèm theo.
Phần mở đầu, Trình bày tính cấp thiết của đề tài, mục đích, đối tượng, phạm vi
nghiên cứu và cấu trúc luận văn.
Chương 1, Tính tốn ổn định của khung phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn
giải theo phương pháp chuyển vị. Thiết lập ma trận độ cứng của phần tử dầm hai


đầu có liên kết bất kỳ có xét ảnh hưởng uốn dọc và các trường hợp đặc biệt. Kết
luận chương 1.
Chương 2, Ổn định của khung phẳng có liên kết nửa cứng. Ma trận độ cứng của
phần tử hai đầu liên kết khác nhau có xét độ mềm của liên kết và các trường hợp
đặc biệt. Ví dụ bằng số khung phẳng có liên kết nửa cứng, lập trình trên ngôn ngữ
Pascal, kiểm tra lại bằng phần mềm SAP2000. Kết luận chương 2.
Chương 3, Ổn định của khung phẳng có xét tới độ cứng của nút. Ma trận độ cứng
của phần tử hai đầu liên kết khác nhau có xét độ cứng của nút và các trường hợp
đặc biệt. Ví dụ bằng số khung phẳng có xét tới độ cứng của nút, lập trình trên ngơn
ngữ Pascal, kiểm tra lại bằng phần mềm SAP2000. Kết luận chương 3.
Chương 4, Lập trình và ví dụ minh họa bằng số. Xác định lực tới hạn và chiều dài
tính tốn của khung nhiều tầng nhiều nhịp, khung nhà công nghiệp một tầng nhiều
nhịp có xét đến độ cứng của nút và độ mềm liên kết. Kết luận chương 4.
Kết luận và kiến nghị của luận văn, Nêu các kết quả chính và các phương hướng
cần nghiên cứu tiếp theo.
Tài liệu tham khảo, Các nguồn tài liệu tham khảo.

Phụ lục, Giới thiệu các ví dụ lập trình trên ngơn ngữ Pascal.


CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ TÍNH TỐN ỔN ĐỊNH CỦA KHUNG PHẲNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1.1. Phương trình ổn định
Có nhiều phương pháp xác định tải trọng tới hạn của khung như phương pháp
lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp sai phân…v.v. Trong đó phương pháp
phần tử hữu hạn giải theo phương pháp chuyển vị là phương pháp cơ bản được sử
dụng phổ biến, do có nhiều thuận lợi trong việc lập trình.
Dựa trên cơ sở biểu thức thế năng tồn phần của phần tử, phương trình cân bằng
cho tồn kết cấu trong bài tốn phân tích ổn định được biểu diễn như sau [1]:
KΔ = F

trong đó:
+ K - ma trận độ cứng của hệ trong bài toán phân tích ổn định (Có kể đến
ảnh hưởng của uốn dọc), được xác định theo biểu thức:
K = K1 + KG
+ K1 - ma trận độ cứng của bài toán tĩnh (Không kể đến ảnh hưởng uốn dọc)
+ KG - ma trận độ cứng hình học (Kể đến ảnh hưởng uốn dọc).
+ F - vectơ tải trọng nút của toàn kết cấu.
+

∆ - vectơ chuyển vị nút.

Khi phân tích ổn định của khung, ngoài các giả thiết sử dụng như khi phân tích
nội lực, ta cịn đưa thêm các giả thiết như sau:
(1) Tải trọng chỉ tác dụng vào các nút khung, các thanh chỉ xuất hiện nội lực là
lực dọc, tức là thanh chỉ chịu kéo nén.

(2) Bỏ qua biến dạng dọc trục thanh.
(3) Khi hệ chuyển từ trạng thái ổn định sang mất ổn định, các thanh nén sẽ
xuất hiện các lực dọc N 1 , N2, N3,…Nn, các lực dọc này có một tỷ lệ với
nhau, điều này đồng nghĩa với việc tỷ số lực nén trong các thanh khi ở trạng
thái ổn định và trạng thái tới hạn ổn định là như nhau:


Nth
=

1

N1

Nth
2

=...=

N2

Nth

(1.1)

n

Nn

Từ giả thiết (1), (2) vectơ tải trọng nút của tồn kết cấu: F=0

Do vậy phương trình ổn định là hệ phương trình thuần nhất KΔ = 0
Để phương trình KΔ = 0 có nghiệm khơng tầm thường (Δ0≠

) thì Det(K) = 0.

Khai triển định thức Det(K) = 0 ta sẽ có phương trình ổn định của khung

1

r1

r12.........r1n

D=

r22......r2n

(1.2)

=0

r21
.......................
rn1
r
r

n2.......... nn

Các phản lực rij của các thanh nén là các hàm siêu việt của 1 tham số u i và

được xác định theo cơng thức:
ui = Li Ni EJi

(1.3)

trong đó: L i, Ji, Ni lần lượt là chiều dài phần tử, momen quán tính của mặt cắt
ngang và lực dọc trong thanh thứ i.
Mỗi phần tử thanh sẽ có một tham số u 1 , u2,…, un riêng biệt nào đó, như vậy thì
định thức Det(K) = 0 sẽ có rất nhiều ẩn số, gây khó khăn cho việc giải định thức
này, nhưng nhờ có giải thiết (3) nên các tham số u 1, u2,…, un có thể biểu thị qua
một tham số chung là u i . Do vậy mà phương trình ổn định chỉ là hàm của một tham
số ui.
1.2. Tham số tải trọng tới hạn và chiều dài tính tốn
1.2.1. Tải trọng tới hạn của thanh nén
Giả sử có một thanh dài và mảnh, đầu dưới bị ngàm, đầu trên chịu một lực nén
đúng tâm P, khi lực P nhỏ hơn một giới hạn nhất định thì thanh thẳng, khi đó thanh
chịu nén thuần túy (xem Hình 1.1a).


- Nếu tác dụng một lực R rất nhỏ vuông góc với trục thanh, thanh bị uốn cong. Bỏ
qua lực R đi thì thanh trở về dạng thẳng ban đầu (xem Hình 1.1b), thanh vẫn chịu
nén thuần túy. Lúc này thanh ở trạng thái cân bằng ổn định [1].
- Tiếp tục tăng P lên đến một giá trị nào đó thì thanh vẫn ở dạng thẳng. Nhưng nếu
tác dụng lực ngang R có trị số nhỏ và khi bỏ lực ngang R đi, thanh bị cong về một
phía mà khơng trở về trạng thái ban đầu được. Trạng thái này được gọi là trạng thái
cân bằng không ổn định của thanh (xem Hình 1.1c). Trạng thái chuyển biến từ dạng
cân bằng ổn định sang dạng cân bằng không ổn định được gọi là trạng thái tới hạn.
Trị số lực P ứng với trạng thái tới hạn được gọi là lực tới hạn ký hiệu P th.
- Nếu tăng P lớn hơn P th thì thanh bị cong rất nhanh, bị phá hoại đột ngột và bị
biến dạng, lúc này thanh ở trạng thái mất ổn định.

Hình 1.1 – Mất ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm
Như vậy khi tính tốn và thiết kế, ta phải xét đến cả sự mất ổn định, tải trọng
tính tốn khơng được vượt quá tải trọng cho phép về mặt ổn định (tải trọng tới hạn).
Xác định được lực tới hạn là ta giải quyết được bài tốn về mặt ổn định.
Phương trình ổn định thu được khi ta khia triển định thức Det(K) = 0.
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình ổn định Det(K)=0 sẽ cho ta giá trị tới
hạn của tham số uith của thanh thứ i nào đó và từ đó ta sẽ tìm ra được các giá trị u kth


và Nkth của thanh nén thứ k bất kỳ dựa vào mối quan hệ giữa các tải trọng (1.1) của
các thanh nén trong khung.
Khi ta có được tham số u ith sẽ tính được tải trọng tới hạn của thanh thứ i và
thanh thứ k bất kỳ là :

(

Nith = uith

(

N kth = u kth

)

2

EJi
2L i

2

EJk
2L k

)

(1.4)
(1.5)

1.2.2. Hệ số chiều dài tính tốn của thanh nén
Ở mục trước ta đã xác định được lực tới hạn N ith dựa vào tham số uith, nếu biểu
diễn lực tới hạn của thanh nén thứ i dưới dạng cơng thức Euler ta có :
2 EJ
EJi
2 EJi
2
i
Ni th = u1th
= π= π2
2
L2

( )

Loi

i

( μLi i )

Vậy hệ số chiều dài tính tốn của thanh nén thứ i và đồng thời của thanh nén
thứ k bất kỳ là:
μ=i
μ=k

π
th
ui

π
th
uk

(1.6)
(1.7)

1.3. Khái quát về phương pháp phần tử hữu hạn giải theo chuyển vị
1.3.1. Ma trận độ cứng của kết cấu
Phương trình ổn định của khung phẳng được thiết lập từ việc ta triển khai ma
trận độ cứng của toàn kết cấu sau khi ta đã đưa thêm vào các điều kiện biên, với các
phần tử của ma trận được biểu thị qua một tham số chung u i, giải phương trình ta
được một nghiệm dương nhỏ nhất, qua đó lần lượt xác định được lực tới hạn của
các thanh nén trong khung phẳng.


Ma trận độ cứng của toàn kết cấu là tổng ma trận độ cứng của các phần tử sau
khi đã được định vị trong ma trận độ cứng của kết cấu [2]:
ne

K=∑K e =
L

e=1

ne
e=1

T

L e Ke

e

trong đó:
+

K eL - ma trận độ cứng của phần tử trong hệ tọa độ chung được định vị

trong ma trận độ cứng của toàn kết cấu nhờ ma trận định vị L e của phần tử đó.
L

e

- ma trận định vị của phần tử được xác định từ mối quan hệ vecto

chuyển vị nút Δe

của phần tử và vecto chuyển vị nút Δ của toàn kết cấu.
Δ=e LΔe

 Ke - ma trận độ cứng của phần tử trong hệ tọa độ chung của toàn kết

cấu, được suy từ ma trận độ cứng phần

Ke trong hệ tọa độ địa phương nhờ phép

tử biến đổi tọa độ T e .
1.3.2. Quan hệ giữa phản lực nút và chuyển vị nút
Giả sử một thanh có mặt cắt đều EJ=const, phần tử thanh có hai nút ở hai đầu
thanh, mỗi nút có hai tham số chuyển vị là ν và θ, do vậy ma trận độ cứng của phần
tử thanh trong hệ tọa độ địa phương là ma trận cấp 4x4 đối xứng qua đường chéo
chính.
K =
e

Các phần tử kij

k
11






dx

k12

k13

k14 

k22

k23

k24 

k33

k34 
k44 





của ma trận độ cứng của phần tử thanh bằng phản lực theo

phương j do chuyển vị đơn vị theo phương i gây ra. Như vậy để xác định các phần
tử kij của ma trận độ cứng của phần tử thanh có các liên kết khác nhau, ta sẽ thiết
lập mối quan hệ giữa phản lực nút và chuyển vị nút hai đầu phần tử thanh dựa trên


các phương trình cân bằng và phương trình vi phân của đường đàn hồi của phần tử
thanh có xét đến uốn dọc do lực dọc N sinh ra. (xem Hình 1.2)
Y

Ma

P

j b

x

Qb
j

P

Mb

b

a



y

X

a

Qa

Hình 1.2 - Quan hệ phản lực nút và chuyển vị nút

Trường hợp tổng quát: Thanh ab có liên kết bất kỳ ở hai đầu chịu lực nén P.
Giả thiết các đầu thanh có chuyển vị cưỡng bức bao gồm:

φ,a φ

b

lần lượt là các

góc xoay tại đầu a và b với quy ước chiều dương quay thuận chiều kim đồng hồ; ∆
là chuyển vị thẳng tương đối giữa các đầu a và b theo phương vng góc với trục
ban đầu của thanh.
Phương trình vi phân của đường đàn hồi [5] 2
= y''+αy
M ( o ) +Q ( o ) x-P  y-y = y''= M ( x )
=
( o )

M ( o ) + Q ( o ) x-Py(o)



EJ

EJ

cho ta nghiệm tổng quát:

(1.8)

EJ
M ( o ) +Q(o)

y ( x ) =Asinα( x +)
Bcosαx(

x

-

)

(1.9)

αE2
J

trong đó: A, B là các hằng số tích phân, xác định theo các điều kiên biên ở đầu
bên trái khi z = 0 và α=

P
EJ

- Đạo hàm (1.9) theo biến z ta có:
y' ( x ) = αAcαosx() B- sαinαx ( -

Q(o)

(1.10)

2

αE J

)
Từ điều kiện biên khi xét đầu bên trái (z = 0), ta có thể viết lại (1.9), (1.10) như sau:




-

y ( 0 ) =B




y'(0) = αA


-



M(o)
αEQ2 Jo

( )

αE2 J

(1.11)


Từ (1.11) ta rút ra
được:

A=

y'(0) Q(o)
+

B=

M(o)

3

2

αE JαEJ

α

Thay các hằng số tích phân A, B vừa tính được vào nghiệm của phương trình
vi phân (1.9) ta có nghiệm của phương trình đàn hồi:
M (o)
y' ( o )
Q(o)
y ( x ) = y (o) +

sinα( x )1-cosα( x

)



αE

α

(1.12)

(

)

- αx-sinαx
αEJ

2

J

Từ phương trình (1.12) ta suy ra được phương trình góc xoay và phương trình
momen uốn trong thanh như sau:
M(o)
y'
= (x
y' ((ox))cosα
)αEJ

(
)

Q(o)

sinαx -

M ( x ) = - EJy'' ( x ) = αEJy' ( o ) sinα( x

)+M

o(

2

(

1-cosαx

αEJ
c)osαx(

(1.13)

)
Q(o)
sinαx
α

(1.14)

+)

Trong phương trình (1.12), các đại lượng y(o), y’(o), M(o), Q(o) được gọi là
các thông số ban đầu.
Nhiệm vụ ở đây là ta đi xác định các phản lực liên
kết

Ma , Qa , Mb , Qb tại các đầu

thanh. Ta xét trường hợp tổng quát thanh ab có liên kết bất kỳ, ở hai đầu thanh chịu
lực nén P.
Giả sử các đầu thanh có các chuyển vị cưỡng bức như
sau:

φ,a φ b lần lượt là góc

xoay tại đầu a và b với quy ước chiều dương là chiều quay thuận chiều kim đồng
hồ; ∆ là chuyển vị thẳng tương đối giữa các đầu ab theo phương vng góc với trục
ban đầu của thanh.
Dưới tác dụng của lực nén P và các chuyển vị φ,a φ, bΔ thanh bị biến dạng (xem
Hình 1.2). Chiều của các phản lực và chuyển vị như trên hình vẽ ta coi như là chiều
dương.
Ta xét phương trình cân bằng momen


∑M

b

=0 ⇒ Ma +Mb +Qa L=0

⇒ Qa = - Ma +Mb
L
Y = 0 ta được Q = Q =

Và
- từ điều kiện cân bằng

∑

a

b

Ma +Mb
L


Với các thông số ban đầu

y ( o ) =0; y' ( o ) =φ;a M o( )=M ,a Q

a

ta thay vào các

o( )=Q

phương trình (1.12), (1.13), (1.14) ta được:
y(x ) =

φa

sinα( x )-

α
y' ( x ) =φcosαx

()-

a

Ma

Ma +Mb
1-cosα( x ) + αx-sinLαx

(

αE2 J 
Ma



( )

αE3 J

 Ma +Mb 

sinαx +



αEJ

 LαEJ 

M
- ) ( x ) = αEJφsinα(x +) M cosαx(

2

(

(1.16)

)

1-cosαx

(1.17)

 Ma +Mb




a

(1.15)

)

a

αL

sinαx





Để xác định được M a, Mb, ta cần xét thêm điều kiện biên ở đầu b của thanh
khi: z=L ta có:

y ( L ) =Δ

y' ( L ) =φb

Thay điều kiện biên này vào (1.15), (1.16) ta có:
φ
Ma
Δ = a sinα( L )1-cosα( L

)

 Ma +Mb 

J

+ αL -sin3 αL



φ φ=cosαL
b

a

( )-

Ma

( )

sinαL +

αEJ

(

 αLEJ 
 Ma +Mb 


(

12 -cosαL

)

)

 LαEJ 

Đây là hệ hai phương trình có hai ẩn số là M a, Mb, giải hệ phương trình này ta
xác định được M a , M b theo các chuyển vị φ,a φ, bΔ như sau:
 φsa i(nαL-αLcosαL +)φ
-α) Δ1-c(osαL
)
Ma = αEJ 
2-2cosαL-αLsinαL


αb L( -sinαL






Δ
φ αLα( L-sinαL +) φ αL s(inαL-αLcosαL -)αLαL
(
b
EJ  a

1-cosαL
Mb =

Đặt i= EJ

L 


2-2cosαL-αLsinαL

, αL = u,

μ=
L

ta có thể viết
lại:

L

1

u (sinu-ucosu )
,
μ=2

u (u-sinu )

2-2cosu-usinu

2-2cosu-usinu

, μ=

3

1

2

u3u

2tan 2 -u

)












(

)

Δ



1

M a =iφ μ μ
a

(1.18
 )

2

L

-

+b
φμ
1

+
2

μ






M b =iφ μ

-μ
+
1b(



Δ
(1.19)

1

a
2

)

+
φ
2

L






Q = -Q = M
a
+
M
b



i φ+φ
)
Δ -) (μ


(
=
μ
+
L μ
L
ab

1
a
3

2
b

L 

1.3.3. Ma trận độ cứng của
phần tử có một đầu
liên kết ngàm và một
đầu liên
kết khớp
1.3.3.1. Phần tử k1j
(xem Hình 1.3) ( φ=a 0,
Δ=1, M =b 0

)

(01.2
)


Hình 1.3-Sơ đồ
xác định k1j
Từ
điều
kiện

Mb =0 ta thay vào phương trình
(1.19) ta được tỉ số:

φ
=

μ+1 μ
Lμ1

2

b

φ
ta có:
= μ+
1 μ
b

Thay các giá trị điều kiện
biên kết hợp điều kiện

2

L
μ
1

Ma =

i ( μ +1 μ
) (μ-μ2
1

2

)

LμL sinu1ucosu
i

Q =-Q =
a

b

i

(

u2sinu

)

=

μ+μ-μ μ2 i
( 3cosu
u
1
2
1 3
=
LμL
sinu-ucosu2

L

1

Từ đây ta có:
i

u3cosu

i
k12 =

k11
=

u2sinu
L (sinu-ucosu )

k14 =0

L2
sin
uuco
su
i
3

uc
osu
k13
=L2
sin

uuco
su

1.3.3.2. Phần
tử k2j
(xem Hình 1.4) ( φ=a 1, Δ = 0, M =b 0

)