tổng hợp công thức hinh hoc 12

CÁC KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Tên (m mặt)

Tứ diện đều
Hình lập phương
Bát diện đều
Thập nhị (12) mặt đều
Nhị thập (20) mặt đều

Loại
{p;q}
{3;3}
{4;3}
{3;4}
{5;3}
{3;5}

Số
đỉnh
=mp/q
4
8
6
20
12

Số
cạnh
=mp/2
6
12

12
30
30

Hình vng cạnh a

Số mp
đối
xứng
6
9
9
15
15

𝑹𝑹đ =

CÁC LOẠI ĐÁY THƯỜNG GẶP
Tam giác đều cạnh a

Đường cao:

Đáy là hình chữ nhật 𝒂𝒂 × 𝒃𝒃

𝒂𝒂√𝟑𝟑
𝟐𝟐

Bán kính đường
trịn ngoại tiếp:
𝟑𝟑

Diện tích:

Tam giác vng cân cạnh bên bằng
a

𝒂𝒂𝟐𝟐 √𝟑𝟑
𝟒𝟒

Cạnh huyền: 𝒂𝒂√𝟐𝟐
Bán kính đường
trịn ngoại tiếp:

Diện tích:

𝟐𝟐

𝟐𝟐

Tỉ lệ 3 cạnh:
𝟏𝟏: √𝟑𝟑: 𝟐𝟐
Bán kính đường
trịn ngoại tiếp: 𝒂𝒂
Đường cao ứng với
cạnh huyền: 𝒂𝒂√𝟑𝟑/𝟐𝟐

Tam giác vng 𝟔𝟔𝟎𝟎𝒐𝒐

Diện tích:

Tam giác cân có đỉnh

𝒂𝒂𝟐𝟐

𝒂𝒂√𝟐𝟐

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒐𝒐

Hình thang vng đặc biệt

Nửa lục giác đều

𝟐𝟐

𝒂𝒂𝟐𝟐 √𝟑𝟑
𝟒𝟒

𝟐𝟐

Diện tích: ab
Bán kính đường trịn
ngoại tiếp:
𝟏𝟏
�𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐
𝟐𝟐
Hình ghép của hai
tam giác đều.
Hình ghép của hai
tam giác cân 120.
Diện tích bằng ½ tích

hai đường chéo =
𝟐𝟐

𝑩𝑩𝑩𝑩. 𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝑩𝑩𝑨𝑨𝟐𝟐
𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑩𝑩𝑨𝑨𝟐𝟐
=
𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑩𝑩𝑪𝑪𝟐𝟐
𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝟏𝟏
=
+
𝑨𝑨𝑯𝑯𝟐𝟐 𝑨𝑨𝑩𝑩𝟐𝟐 𝑨𝑨𝑪𝑪𝟐𝟐
𝑨𝑨𝑨𝑨. 𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝑨𝑨𝑨𝑨. 𝑩𝑩𝑩𝑩

𝒂𝒂√𝟐𝟐

𝒂𝒂𝟐𝟐 √𝟑𝟑

𝒂𝒂𝟐𝟐 √𝟑𝟑

Đường cao = ½ cạnh
bên.
Cạnh đáy = √𝟑𝟑 cạnh
bên.
𝑹𝑹đ = 𝒂𝒂
Diện tích:

Hình thoi có góc 𝟔𝟔𝟎𝟎𝒐𝒐

Tam giác vng

.

Ghép bởi 1 hình
vng và 1 tam giác
vng cân.
Ghép bởi 2 tam giác
vng cân.

Là 3 tam giác đều
ghép lại.
𝑹𝑹đ = 𝒂𝒂
Diện tích:

𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 𝑩𝑩 =

Tam giác thường

Thầy Lục Trí Tuyên – 0972177717

𝒂𝒂√𝟑𝟑

Thầy Lục Trí Tuyên – 0972177717

𝑹𝑹đ =

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Diện tích: 𝒂𝒂𝟐𝟐

𝒑𝒑 =

𝒂𝒂+𝒃𝒃+𝒄𝒄
𝟐𝟐

: nửa chu vi

, v.v...

𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝒂𝒂𝟐𝟐
𝟐𝟐
−
𝒎𝒎𝒂𝒂 =
𝟐𝟐
𝟒𝟒
𝒂𝒂
𝒃𝒃
𝒄𝒄
=
=
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝑨𝑨 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝑩𝑩 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝑪𝑪
= 𝟐𝟐𝑹𝑹đ
𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝑨𝑨 =

𝒓𝒓: bán kính đường trịng nội tiếp.
𝑹𝑹đ : Bán kính đường trịn ngoại tiếp

𝑨𝑨𝑨𝑨

𝑨𝑨𝑨𝑨

𝟏𝟏

Diện tích: 𝒂𝒂. 𝒉𝒉𝒂𝒂 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐

𝟐𝟐

𝒃𝒃𝒃𝒃 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝑨𝑨 = 𝒑𝒑. 𝒓𝒓 =

𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂

𝟒𝟒𝑹𝑹đ

�𝒑𝒑(𝒑𝒑 − 𝒂𝒂)(𝒑𝒑 − 𝒃𝒃)(𝒑𝒑 − 𝒄𝒄)

CÁC TRƯỜNG HỢP HÌNH CHĨP THƯỜNG GẶP
Cạnh bên vng đáy

Đường cao là cạnh bên đó.
Mặt bên vng với đáy

Hai mặt cùng vuông với đáy

Đường cao là giao tuyến của
hai mặt đó.
Các cạnh bên bằng nhau

(cạnh bên cùng tạo với đáy
góc bằng nhau).

𝟑𝟑𝒂𝒂𝟐𝟐 √𝟑𝟑
𝟒𝟒

Đường chéo vng
góc với cạnh bên.
Hình bình hành

Diện tích: 𝒂𝒂𝒂𝒂 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝜶𝜶
Đường chéo ngắn:
√𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜶𝜶
Đường chéo dài
�𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜶𝜶

=

Đường cao là đường cao hạ
từ đỉnh S của tam giác mặt
bên đó.

Chân đường cao trùng với
tâm đường trịn ngoại tiếp
đáy.


GĨC CƠ BẢN VÀ KHOẢNG CÁCH CƠ BẢN
Góc giữa cạnh bên và đáy
Kẻ từ chân đường cao tới giao

điểm của cạnh bên với đáy.
Nối với S

TỈ SỐ THỂ TÍCH
Chóp tam giác

Góc giữa mặt bên và đáy
Kẻ từ chân đường cao tới
giao tuyến của mặt bên với
đáy. Nối với S

Khoảng cách từ chân đường
cao đến mặt xiên.

Khoảng cách từ điểm thuộc
đáy đến mặt thẳng đứng.

KHỐI LĂNG TRỤ
Tách khối chóp ra khỏi lăng trụ

Dịch chuyển đinh song song

𝑽𝑽𝑺𝑺 = 𝑽𝑽′𝑺𝑺

Khối trụ

KHỐI CẦU
𝒂𝒂 =

𝑺𝑺𝑺𝑺

𝑺𝑺𝑨𝑨′

; 𝒃𝒃 =

𝑺𝑺𝑺𝑺

𝑺𝑺𝑩𝑩′

; 𝒄𝒄 =

𝑺𝑺𝑺𝑺

𝑺𝑺𝑪𝑪′

; 𝒅𝒅 =

𝑺𝑺𝑫𝑫′

Có: 𝒂𝒂 + 𝒄𝒄 = 𝒃𝒃 + 𝒅𝒅
𝑽𝑽(𝑺𝑺𝑨𝑨′ 𝑩𝑩′ 𝑪𝑪′ 𝑫𝑫′ ) 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 + 𝒄𝒄 + 𝒅𝒅
=
𝑽𝑽(𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺)
𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒
Dịch đỉnh không song song

𝑽𝑽𝑺𝑺 /𝑽𝑽𝑺𝑺′ = 𝑺𝑺𝑺𝑺/𝑺𝑺′𝑰𝑰

Dịch chuyển đáy: Khi thấy đáy nằm trong một mặt phẳng có thể
mở rộng.

𝑽𝑽𝟏𝟏 𝑺𝑺𝟏𝟏
=
𝑽𝑽𝟐𝟐 𝑺𝑺𝟐𝟐

Mặt phẳng cắt (S) theo đtr (H;r)

𝑺𝑺𝑺𝑺

Thầy Lục Trí Tun – 0972177717

Từ điểm đó kẻ vng góc
với giao tuyến của mặt đó
với đáy.

Thầy Lục Trí Tun – 0972177717

Kẻ vng hai nhát:
- Kẻ HI vng với giao tuyến.
- Kẻ HK vng góc với SI

𝑽𝑽(𝑺𝑺. 𝑨𝑨′ 𝑩𝑩′ 𝑪𝑪′ ) 𝑺𝑺𝑨𝑨′ 𝑺𝑺𝑩𝑩′ 𝑺𝑺𝑪𝑪′
=
⋅
⋅
𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑺𝑺𝑺𝑺
𝑽𝑽(𝑺𝑺. 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨)

- Thiết diện qua trục:
Hình chữ nhật 𝟐𝟐𝟐𝟐 × 𝒉𝒉

- Thiết diện song song
trục là HCN: dây cung × 𝒉𝒉
- Quan hệ: 𝒉𝒉 = 𝒍𝒍
- Diện tích xq: 𝑺𝑺𝒙𝒙𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
- Diện tích tồn phần:
𝑺𝑺𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒓𝒓𝟐𝟐
- Thể tích
𝑽𝑽 = 𝑺𝑺đ . 𝒉𝒉 = 𝝅𝝅𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒉𝒉

Chóp hình bình hành

𝑽𝑽 =

𝟒𝟒
𝝅𝝅𝑹𝑹𝟑𝟑 ; 𝑺𝑺 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝑹𝑹𝟐𝟐
𝟑𝟑

BA CƠNG THỨC BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP
Chóp hoặc lăng trụ có cạnh
bên vng góc với đáy
𝑹𝑹đ : Là bán kính đường trịn
ngoại tiếp đáy.
𝒉𝒉𝟐𝟐
𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝑹𝑹𝟐𝟐đ +
𝟒𝟒

Làm việc với lăng trụ chỉ cần làm việc với hình chóp.

THỂ TÍCH KHỐI CHĨP VÀ LĂNG TRỤ
Thể tích khối chóp

𝑽𝑽 = 𝟏𝟏/𝟑𝟑. 𝑺𝑺đ . 𝒉𝒉

Thể tích lăng trụ

𝑽𝑽 = 𝑺𝑺đ . 𝒉𝒉

KHỐI NÓN VÀ KHỐI TRỤ
- Thiết diện qua trục: 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺
�
- Góc ở đỉnh: 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨
- Quan hệ: 𝒍𝒍𝟐𝟐 = 𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐
- Diện tích xq: 𝑺𝑺𝒙𝒙𝒙𝒙 = 𝝅𝝅. 𝒓𝒓. 𝒍𝒍
- Diện tích tồn phần:
𝑺𝑺𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅 + 𝝅𝝅𝒓𝒓𝟐𝟐
- Thể tích
𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝑽𝑽 = 𝑺𝑺đ . 𝒉𝒉 = 𝝅𝝅𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒉𝒉
𝟑𝟑
𝟑𝟑

Khối nón

𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐�𝑶𝑶;(𝑷𝑷)�

Chóp có cạnh bên bằng nhau
(nón)
𝑺𝑺𝑨𝑨𝟐𝟐 𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐đ
𝑹𝑹 =

=
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟐𝟐
Cạnh bên bình chia hai lần
đường cao.

Chóp hoặc lăng trụ có mặt
bên vng với đáy
𝑹𝑹𝒃𝒃 : là bán kính đường trịn
ngoại tiếp mặt bên.
𝑮𝑮𝑮𝑮: Là giao tuyến của mặt
bên và đáy.
𝑮𝑮𝑻𝑻𝟐𝟐
𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝑹𝑹𝟐𝟐đ + 𝑹𝑹𝟐𝟐𝒃𝒃 −
𝟒𝟒


TỌA ĐỘ VECTOR VÀ ĐIỂM TRONG KHƠNG GIAN

Ứng dụng tích có hướng của hai vector

�⃗ = (𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒚𝒚𝟐𝟐 ; 𝒛𝒛𝟐𝟐 )
�⃗ = (𝒙𝒙𝟏𝟏 ; 𝒚𝒚𝟏𝟏 ; 𝒛𝒛𝟏𝟏 ) và 𝒃𝒃
Cho 𝒂𝒂
�⃗ ± �𝒃𝒃⃗ = (𝒙𝒙𝟏𝟏 ± 𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒚𝒚𝟏𝟏 ± 𝒚𝒚𝟐𝟐 ; 𝒛𝒛𝟏𝟏 ±
𝒂𝒂
𝒛𝒛𝟐𝟐 )
�⃗ = (𝒌𝒌𝒙𝒙𝟏𝟏 ; 𝒌𝒌𝒚𝒚𝟏𝟏 ; 𝒌𝒌𝒛𝒛𝟏𝟏 )
𝒌𝒌 𝒂𝒂

𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝒙𝒙𝟐𝟐
�⃗ = �𝒃𝒃⃗ ⇔ �𝒚𝒚𝟏𝟏 = 𝒚𝒚𝟐𝟐
𝒂𝒂
𝒛𝒛𝟏𝟏 = 𝒛𝒛𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝒙𝒙
𝟏𝟏 = 𝒌𝒌𝒙𝒙𝟐𝟐
|𝒂𝒂
�⃗| = �𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒚𝒚𝟏𝟏 + 𝒛𝒛𝟏𝟏
�⃗ ∥ �𝒃𝒃⃗ ⇔ �𝒚𝒚𝟏𝟏 = 𝒌𝒌𝒚𝒚𝟐𝟐
𝒂𝒂
�⃗ = 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟏𝟏 𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝒛𝒛𝟏𝟏 𝒛𝒛𝟐𝟐
�⃗ ⋅ 𝒃𝒃
𝒂𝒂
𝒛𝒛𝟏𝟏 = 𝒌𝒌𝒛𝒛𝟐𝟐
𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒚𝒚𝟏𝟏 𝒛𝒛𝟏𝟏
�⃗
�⃗⋅𝒃𝒃
𝒂𝒂
�⃗, �𝒃𝒃⃗� =
⇔
𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜�𝒂𝒂
=
=
�⃗�
|𝒂𝒂
�⃗|⋅�𝒃𝒃
𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒚𝒚𝟐𝟐 𝒛𝒛𝟐𝟐

Cho 𝑨𝑨(𝒙𝒙𝑨𝑨 ; 𝒚𝒚𝑨𝑨 ; 𝒛𝒛𝑨𝑨 ); 𝑩𝑩(𝒙𝒙𝑩𝑩 ; 𝒚𝒚𝑩𝑩 ; 𝒛𝒛𝑩𝑩 ); 𝑪𝑪(𝒙𝒙𝑪𝑪 ; 𝒚𝒚𝑪𝑪 ; 𝒛𝒛𝑪𝑪 ).
𝑴𝑴(𝒙𝒙𝑴𝑴 ; 𝒚𝒚𝑴𝑴 ; 𝒛𝒛𝑴𝑴 ) là trung điểm của 𝐀𝐀𝑩𝑩.
𝑮𝑮(𝒙𝒙𝑮𝑮 ; 𝒚𝒚𝑮𝑮 ; 𝒛𝒛𝑮𝑮 ) là trọng tâm tam giác 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨.
������⃗
𝑨𝑨𝑨𝑨 = (𝒙𝒙𝑩𝑩 − 𝒙𝒙𝑨𝑨 ; 𝒚𝒚𝑩𝑩 − 𝒚𝒚𝑨𝑨 ; 𝒛𝒛𝑩𝑩 − 𝒛𝒛𝑨𝑨 )
𝒙𝒙𝑨𝑨 + 𝒙𝒙𝑩𝑩 𝒚𝒚𝑨𝑨 + 𝒚𝒚𝑩𝑩 𝒛𝒛𝑨𝑨 + 𝒛𝒛𝑩𝑩
𝑴𝑴 �
;
;
�
𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝒙𝒙𝑨𝑨 + 𝒙𝒙𝑩𝑩 + 𝒙𝒙𝑪𝑪 𝒚𝒚𝑨𝑨 + 𝒚𝒚𝑩𝑩 + 𝒚𝒚𝑪𝑪 𝒛𝒛𝑨𝑨 + 𝒛𝒛𝑩𝑩 + 𝒛𝒛𝑪𝑪
;
;
�
𝑮𝑮 �
𝟑𝟑
𝟑𝟑
𝟑𝟑

TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTOR - ỨNG DỤNG
Định nghĩa
�⃗� = 1 vec tơ có:
�⃗, 𝒃𝒃
�𝒂𝒂

�⃗ .
�⃗ và 𝒃𝒃

+ Hướng vng góc với cả 𝒂𝒂
+ Độ lớn:
�⃗�� = |𝒂𝒂
�⃗�. 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬�𝒂𝒂
�⃗�
�⃗, 𝒃𝒃
�⃗|�𝒃𝒃
�⃗, 𝒃𝒃
��𝒂𝒂
+ Độ lớn bằng độ lớn diện tích
hình bình hành hai cạnh là hai
�⃗ và �𝒃𝒃⃗
vector 𝒂𝒂
Cơng thức tọa độ
𝒚𝒚𝟏𝟏 𝒛𝒛𝟏𝟏 𝒛𝒛𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟏𝟏
�⃗ , �𝒃𝒃⃗� = ��𝒚𝒚 𝒛𝒛 � ; �𝒛𝒛 𝒙𝒙 � ; �𝒙𝒙
�𝒂𝒂
𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝟐𝟐

𝟔𝟔

Khoảng cách từ 𝑴𝑴 đến đường phẳng (AB):
������⃗, �������⃗
��𝑨𝑨𝑨𝑨
𝑨𝑨𝑨𝑨��
𝒅𝒅�𝑴𝑴, (𝑨𝑨𝑨𝑨)� =

������⃗�
�𝑨𝑨𝑨𝑨

Khoảng cách từ 𝑴𝑴 đến mặt phẳng (𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨):
������⃗, �����⃗
�������⃗�
��𝑨𝑨𝑨𝑨
𝑨𝑨𝑨𝑨�. 𝑨𝑨𝑨𝑨
𝒅𝒅�𝑴𝑴, (𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨)� =
�����⃗��
������⃗, 𝑨𝑨𝑨𝑨
��𝑨𝑨𝑨𝑨

Khoảng cách hai đường chéo nhau 𝑨𝑨𝑨𝑨, 𝑪𝑪𝑪𝑪:
�����⃗�
������⃗, 𝑪𝑪𝑪𝑪�. 𝑨𝑨𝑨𝑨
��𝑨𝑨𝑨𝑨
𝒅𝒅(𝑨𝑨𝑨𝑨, 𝑪𝑪𝑪𝑪) =
������⃗, ������⃗
��𝑨𝑨𝑨𝑨
𝑪𝑪𝑪𝑪��

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG
Vector pháp tuyến �𝒏𝒏⃗

�⃗, �𝒃𝒃⃗�
Chọn �𝒏𝒏⃗ ∥ �𝒂𝒂

�⃗) (ký hiệu (𝑷𝑷)~(𝑨𝑨, 𝒏𝒏
�⃗))

Mặt phẳng (P) xác định bởi cặp (𝑨𝑨, 𝒏𝒏
nghĩa là
𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒 𝑨𝑨(𝒙𝒙𝟎𝟎 ; 𝒚𝒚𝟎𝟎 ; 𝒛𝒛𝟎𝟎 )
�
�𝒏𝒏⃗ = (𝒂𝒂; 𝒃𝒃; 𝒄𝒄)
Phương trình:
𝒂𝒂(𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟎𝟎 ) + 𝒃𝒃(𝒚𝒚 − 𝒚𝒚𝟎𝟎 ) + 𝒄𝒄(𝒛𝒛 − 𝒛𝒛𝟎𝟎 ) = 𝟎𝟎
Ngược lại, mặt phẳng có dạng
𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃 + 𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎
Thì có một vector pháp tuyến là �𝒏𝒏⃗ = (𝒂𝒂; 𝒃𝒃; 𝒄𝒄) và thay 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 bởi
hai số bất kỳ rồi giải ra 𝒛𝒛 ta được điểm 𝑨𝑨 ∈ (𝑷𝑷).

Phương trình mặt chắn:
𝑨𝑨(𝒂𝒂; 𝟎𝟎; 𝟎𝟎), 𝑩𝑩(𝟎𝟎; 𝒃𝒃; 𝟎𝟎),
𝑪𝑪(𝟎𝟎; 𝟎𝟎; 𝒄𝒄).
𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛
(𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨): + + = 𝟏𝟏
𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄
Với 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎

�⃗
Vector chỉ phương 𝒖𝒖
𝒚𝒚𝟏𝟏
𝒚𝒚𝟐𝟐 ��

Chọn 1 vector pháp tuyến
�⃗ ∥ 𝒂𝒂
�⃗:
- Nếu biết 𝒏𝒏
Chọn �𝒏𝒏⃗ = �𝒂𝒂⃗

�⃗:
�⃗ ⊥ 𝒂𝒂
�⃗ và 𝒏𝒏
�⃗ ⊥ 𝒃𝒃
- Nếu biết 𝒏𝒏

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

Thầy Lục Trí Tun – 0972177717

CƠNG THỨC TỌA ĐỘ PHÉP TỐN

𝟐𝟐

𝟏𝟏
�����⃗�. 𝑨𝑨𝑨𝑨
������⃗, 𝑨𝑨𝑨𝑨
������⃗�
Thể tích tứ diện 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨: 𝑽𝑽𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 = ��𝑨𝑨𝑨𝑨

Thầy Lục Trí Tuyên – 0972177717

Cho 𝑨𝑨(𝒂𝒂; 𝒃𝒃; 𝒄𝒄). Tọa độ hình chiếu vng góc của 𝑨𝑨 lên:
𝑶𝑶𝑶𝑶: là (𝒂𝒂; 𝟎𝟎; 𝟎𝟎)
𝑶𝑶𝑶𝑶: là (𝟎𝟎; 𝒃𝒃; 𝟎𝟎)
𝑶𝑶𝑶𝑶: là (𝟎𝟎; 𝟎𝟎; 𝒄𝒄)
(𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶): là (𝒂𝒂; 𝒃𝒃; 𝟎𝟎)
(𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶): là (𝒂𝒂; 𝟎𝟎; 𝒄𝒄)
(𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶): là (𝟎𝟎; 𝒃𝒃; 𝒄𝒄)

�⃗) (ký hiệu
Đường thẳng (d) xác định bởi cặp (𝑨𝑨, 𝒖𝒖
�⃗)) nghĩa là:
(𝒅𝒅)~(𝑨𝑨, 𝒖𝒖
𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒 𝑨𝑨(𝒙𝒙𝟎𝟎 ; 𝒚𝒚𝟎𝟎 ; 𝒛𝒛𝟎𝟎 )
�
�𝒖𝒖⃗ = (𝒂𝒂; 𝒃𝒃; 𝒄𝒄)
Phương trình tham số:
𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝟎𝟎 + 𝒂𝒂𝒂𝒂
�𝒚𝒚 = 𝒚𝒚𝟎𝟎 + 𝒃𝒃𝒃𝒃 (𝒕𝒕 ∈ ℝ )
𝒛𝒛 = 𝒛𝒛𝟎𝟎 + 𝒄𝒄𝒄𝒄
Phương trình chính tắc khi 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎:
𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟎𝟎 𝒚𝒚 − 𝒚𝒚𝟎𝟎 𝒛𝒛 − 𝒛𝒛𝟎𝟎
=
=
𝒂𝒂
𝒃𝒃
𝒄𝒄

�⃗�. 𝒄𝒄
�⃗ , �𝒃𝒃⃗, �⃗
�⃗, 𝒃𝒃
�⃗ = 𝟎𝟎
Điều kiện 𝒂𝒂
𝒄𝒄 đồng phẳng: �𝒂𝒂
𝟏𝟏
������⃗
Diện tích tam giác 𝐀𝐀𝑩𝑩𝑩𝑩: 𝑺𝑺𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 = ��𝑨𝑨𝑨𝑨, �����⃗
𝑨𝑨𝑨𝑨��

�⃗ độ
- 3 vector đơn vị: 𝒊𝒊⃗, 𝒋𝒋⃗, 𝒌𝒌
dài 1 và đơi một vng
góc.
- Trục Oz: trục cao.
- Tọa độ vector:
�⃗ = (𝒙𝒙; 𝒚𝒚; 𝒛𝒛) ⇔
𝒂𝒂
�𝒂𝒂⃗ = 𝒙𝒙 𝒊𝒊⃗ + 𝒚𝒚 𝒋𝒋⃗ + 𝒛𝒛 �𝒌𝒌⃗
- Tọa độ của điểm 𝑨𝑨 chính
������⃗.
là tọa độ 𝑶𝑶𝑶𝑶

�⃗)
Cho các đường 𝒅𝒅𝟏𝟏 ~(𝑨𝑨𝟏𝟏 , ����⃗),
𝒖𝒖𝟏𝟏 𝒅𝒅𝟐𝟐 ~(𝑨𝑨𝟐𝟐 , ����⃗),
𝒖𝒖𝟐𝟐 𝒅𝒅~(𝑨𝑨, 𝒖𝒖
Cho các mặt phẳng
(𝑷𝑷)~(𝑩𝑩, 𝒏𝒏
�⃗), (𝑷𝑷𝟏𝟏 )~(𝑩𝑩𝟏𝟏 , 𝒏𝒏
����⃗),
����⃗)
𝟏𝟏 (𝑷𝑷𝟐𝟐 )~(𝑩𝑩𝟐𝟐 , 𝒏𝒏
𝟐𝟐
Vị trí

𝒅𝒅𝟏𝟏 ≡ 𝒅𝒅𝟐𝟐
𝒅𝒅𝟏𝟏 ∥ 𝒅𝒅𝟐𝟐

𝒅𝒅𝟏𝟏 ⊥ 𝒅𝒅𝟐𝟐

(𝑷𝑷𝟏𝟏 ) ≡ (𝑷𝑷𝟐𝟐 )
(𝑷𝑷𝟏𝟏 ) ∥ (𝑷𝑷𝟐𝟐 )

(𝑷𝑷𝟏𝟏 ) ⊥ (𝑷𝑷𝟐𝟐 )
𝒅𝒅 ∥ (𝑷𝑷)

𝒅𝒅 ⊂ (𝑷𝑷)

𝒅𝒅 ⊥ (𝑷𝑷)

Đường hoặc mặt cắt 𝒅𝒅
thỏa mãn (*)

Chọn 1 vector pháp tuyến
�⃗ ∥ �𝒂𝒂⃗:
- Nếu biết 𝒖𝒖
Chọn �𝒖𝒖⃗ = �𝒂𝒂⃗
�⃗ ⊥ �𝒂𝒂⃗ và 𝒖𝒖
�⃗ ⊥ �𝒃𝒃⃗:
- Nếu biết 𝒖𝒖
�⃗, �𝒃𝒃⃗�
Chọn �𝒖𝒖⃗ ∥ �𝒂𝒂

KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
Khoảng cách
𝒅𝒅�𝑴𝑴, (𝑷𝑷)�
|𝒂𝒂 𝒙𝒙𝑴𝑴 + 𝒃𝒃𝒚𝒚𝑴𝑴 + 𝒄𝒄𝒛𝒛𝑴𝑴 + 𝒅𝒅|
=
√𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐

�⃗, �������⃗
𝑨𝑨𝑨𝑨��
��𝒖𝒖
𝒅𝒅(𝑴𝑴, 𝒅𝒅) =
�⃗|
|𝒖𝒖
����������⃗
����⃗,
����⃗].
�[𝒖𝒖
𝟏𝟏 𝒖𝒖
𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐 �
𝒅𝒅(𝒅𝒅𝟏𝟏 , 𝒅𝒅𝟐𝟐 ) =
|[𝒖𝒖
����⃗,
𝒖𝒖𝟐𝟐
𝟏𝟏 ����⃗]|

Điều kiện
����⃗
𝒖𝒖 ∥ ����⃗
𝒖𝒖𝟐𝟐
⇔ � 𝟏𝟏
𝑨𝑨𝟏𝟏 ∈ 𝒅𝒅𝟐𝟐
����⃗ ∥ ����⃗
𝒖𝒖
𝒖𝒖𝟐𝟐
⇔ � 𝟏𝟏
𝑨𝑨𝟏𝟏 ∉ 𝒅𝒅𝟐𝟐
⇔ ����⃗

𝒖𝒖𝟏𝟏 ⊥ ����⃗
𝒖𝒖𝟐𝟐

����⃗
𝒏𝒏 ∥ ����⃗
𝒏𝒏𝟐𝟐
⇔ � 𝟏𝟏
𝑩𝑩𝟏𝟏 ∈ (𝑷𝑷𝟐𝟐 )
����⃗
𝒏𝒏 ∥ ����⃗
𝒏𝒏𝟐𝟐
⇔ � 𝟏𝟏
𝑩𝑩𝟏𝟏 ∉ (𝑷𝑷𝟐𝟐 )
����⃗𝟐𝟐
⇔ �𝒏𝒏⃗ ⊥ 𝒏𝒏

�𝒖𝒖⃗ ⊥ 𝒏𝒏
�⃗
⇔�
𝑨𝑨 ∉ (𝑷𝑷)
�⃗ ⊥ 𝒏𝒏
�⃗
𝒖𝒖
⇔�
𝑨𝑨 ∈ (𝑷𝑷)
⇔ �𝒖𝒖⃗ ∥ �𝒏𝒏⃗

- Tham số điểm cắt 𝑴𝑴(𝒕𝒕).
- Từ (*) giải PT ẩn 𝒕𝒕.
Góc

𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝒅𝒅𝟏𝟏 , 𝒅𝒅𝟐𝟐 ) =

|𝒖𝒖
����⃗.
����⃗|
𝟏𝟏 𝒖𝒖
𝟐𝟐
|𝒖𝒖
|𝒖𝒖
����⃗|.
𝟏𝟏 ����⃗|
𝟐𝟐

|𝒏𝒏
����⃗.
𝒏𝒏𝟐𝟐
𝟏𝟏 ����⃗|
|𝒏𝒏
����⃗|.
����⃗|
𝟏𝟏 |𝒏𝒏
𝟐𝟐
|𝒖𝒖
�⃗. 𝒏𝒏|
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬�𝒅𝒅, (𝑷𝑷)� =
|𝒖𝒖
�⃗|. |𝒏𝒏|

𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜�(𝑷𝑷𝟏𝟏 ), (𝑷𝑷𝟐𝟐 )� =

MẶT CẦU
Mặt cầu (S) tâm 𝑰𝑰(𝒙𝒙𝟎𝟎 ; 𝒚𝒚𝟎𝟎 ; 𝒛𝒛𝟎𝟎 ), bán kính 𝑹𝑹:
(𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟎𝟎 )𝟐𝟐 + (𝒚𝒚 − 𝒚𝒚𝟎𝟎 )𝟐𝟐 + (𝒛𝒛 − 𝒛𝒛𝟎𝟎 )𝟐𝟐 = 𝑹𝑹𝟐𝟐
Ngược lại, mặt cầu (S) có phương trình:
𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝒛𝒛𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎
Với điều kiện 𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 − 𝒅𝒅 > 𝟎𝟎 thì có:
tâm 𝑰𝑰(−𝒂𝒂; −𝒃𝒃; −𝒄𝒄) và bán kính 𝑹𝑹 = √𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 − 𝒅𝒅
Mặt cầu (S) tiếp xúc mp(P) Mặt cầu (S) cắt mp(P)

CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH TÚ DIỆN

𝑽𝑽 =

𝟏𝟏
𝑨𝑨𝑨𝑨. 𝑪𝑪𝑪𝑪. 𝑴𝑴𝑴𝑴. 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝑨𝑨𝑨𝑨, 𝑪𝑪𝑪𝑪)
𝟔𝟔

𝑽𝑽 =

𝟐𝟐 𝑺𝑺𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 . 𝑺𝑺𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 . 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨, 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨)
.
𝟑𝟑
𝑨𝑨𝑨𝑨

Cơng thức tính góc nhị diện
biết 3 góc ở tam diện:
𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝝋𝝋 =

𝑽𝑽 =

𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜸𝜸 − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜶𝜶 . 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜷𝜷
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝜶𝜶 . 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝜷𝜷

𝟏𝟏
. 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂. �𝟏𝟏 − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝟐𝟐 𝜶𝜶 − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝟐𝟐 𝜷𝜷 − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝟐𝟐 𝜸𝜸 + 𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜶𝜶 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜷𝜷 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜸𝜸
𝟔𝟔

𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨′
𝑨𝑨𝑨𝑨′

; 𝒃𝒃 =

𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑩𝑩′
𝑩𝑩𝑩𝑩′

; 𝒄𝒄 =

𝑪𝑪𝟏𝟏 𝑪𝑪′
𝑪𝑪𝑪𝑪′

𝒂𝒂 =

DỊCH CHUYỂN KHOẢNG CÁCH VÀ DÙNG THỂ TÍCH
𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨′
𝑨𝑨𝑨𝑨′

; 𝒃𝒃 =

𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑩𝑩′

𝑩𝑩𝑩𝑩′

; 𝒄𝒄 =

𝑪𝑪𝟏𝟏 𝑪𝑪′
𝑪𝑪𝑪𝑪′

;..

𝑴𝑴𝑴𝑴 ∥ (𝜶𝜶 ) ⇒ 𝒅𝒅𝑴𝑴 = 𝒅𝒅𝑵𝑵

𝑽𝑽𝑨𝑨′𝑩𝑩′𝑪𝑪′.𝑨𝑨𝟏𝟏𝑩𝑩𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟏𝟏 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 + 𝒄𝒄
=
𝑽𝑽𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨.𝑨𝑨′𝑩𝑩′𝑪𝑪′
𝟑𝟑

𝑽𝑽𝑨𝑨′𝑩𝑩′𝑪𝑪′𝑫𝑫′.𝑨𝑨𝟏𝟏𝑩𝑩𝟏𝟏𝑪𝑪𝟏𝟏𝑫𝑫𝟏𝟏 𝒂𝒂 + 𝒄𝒄
=
𝑽𝑽𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨.𝑨𝑨′𝑩𝑩′𝑪𝑪′𝑫𝑫′
𝟐𝟐
𝒃𝒃 + 𝒅𝒅
=
𝟐𝟐

PHƯƠNG PHÁP TRẢI PHẲNG TÌM QNG ĐƯỜNG MIN
Hình chóp 𝒏𝒏 giác đều có các
góc ở đỉnh của mặt bên là
𝝅𝝅
𝜶𝜶 < .
𝒏𝒏

Gọi 𝑲𝑲 là trung điểm 𝑺𝑺𝑺𝑺. Tìm
quãng đường ngắn nhất đi
từ 𝑨𝑨 đến 𝑲𝑲 mà phải đi qua 4
mặt bên của hình chóp.
Giải
Trải phẳng 4 mặt bên của hình chóp. Chú ý 𝑨𝑨′ là bản sao
của 𝑨𝑨.
Qng đường ngắn nhất là 𝑨𝑨𝑨𝑨 trong 𝚫𝚫𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺.
Tính 𝑨𝑨𝑨𝑨 sử dụng định lý hàm số cos trong tam giác 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 với
� = 𝒏𝒏𝒏𝒏, hai cạnh bên là 𝒍𝒍 và 𝒍𝒍 , với 𝒍𝒍 là cạnh bên hình
𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨
𝟐𝟐
chóp.

Thầy Lục Trí Tun – 0972177717

MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO

𝒂𝒂 =

Thầy Lục Trí Tuyên – 0972177717

- ĐK: 𝒅𝒅�𝑰𝑰, (𝑷𝑷)� < 𝑹𝑹.
- ĐK: 𝒅𝒅�𝑰𝑰, (𝑷𝑷)� = 𝑹𝑹
- Thiết diện là đường trịn
tâm 𝑯𝑯 là hình chiếu của 𝑰𝑰 lên
- Tiếp điểm là hình chiếu
của 𝑰𝑰 lên (P).
(P) và bán kính 𝒓𝒓 = √𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝒅𝒅𝟐𝟐
Chú ý:

- Tương tự đối với vị trí của mặt cầu và đường thẳng. Chỉ
khác trường hợp đường cắt mặt cầu sẽ là một dây cung.
- Vị trí tương đối của hai mặt cầu tương tự vị trí tương đối
của hai đường trịn ở THCS. Chỉ khác khi cắt nhau thì thiết
diện là đường trịn.

TỈ SỐ THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
Đặt
Đặt

𝑴𝑴𝑴𝑴 ∩ (𝜶𝜶 ) = 𝑰𝑰 ⇒

𝒅𝒅�𝑨𝑨, (𝑷𝑷)� =

𝒅𝒅𝑴𝑴 𝑰𝑰𝑰𝑰
=
𝒅𝒅𝑵𝑵 𝑰𝑰𝑰𝑰

𝟑𝟑𝑽𝑽𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨
𝑺𝑺𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴

TÍNH GĨC NÂNG CAO
Dùng khoảng cách từ điểm M bất kỳ

𝒅𝒅�𝑴𝑴, (𝜶𝜶)�
𝑴𝑴𝑴𝑴
Diện tích hình chiếu

𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬�𝒂𝒂, (𝜶𝜶)� =

𝒅𝒅�𝑴𝑴, (𝜶𝜶)�
𝒅𝒅(𝑴𝑴, 𝚫𝚫)
Dich chuyển song song

𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬�(𝜶𝜶), (𝜷𝜷)� =

Khi dịch chuyển đường
hay mặt song song thì góc
khơng đổi.
NGUN TẮC TỌA ĐỘ HĨA HÌNH KHƠNG GIAN
Chọn 𝑶𝑶𝑶𝑶 và 𝑶𝑶𝑶𝑶 là hai
đường vng góc ở đáy:
- Sẵn có với tam giác
vng, hình chữ nhật,
vng, thoi.
- Kẻ trung tuyến với tam
giác đều.
- Như thế mới dễ xác định
tọa độ các điểm ở đáy.
Khơng cần kẻ 𝑶𝑶𝑶𝑶 vì cao độ chính là chiều cao 𝒉𝒉 của hình
- Tọa độ S suy ra từ tọa độ H