Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp chặt cân bằng

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ PHƯƠNG GIANG

GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH
KHƠNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ PHƯƠNG GIANG

GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH
KHƠNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THANH SƠN

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục

Lời cam đoan

iii

Tóm tắt nội dung

iv

Lời cảm ơn

v

Danh sách ký hiệu

vi

Danh sách hình vẽ

1

Mở đầu

2

1

0.1

Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

0.2

Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

0.3

Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.4

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.5

Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Sơ lược về hệ điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Quan hệ đầu vào - đầu ra của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Tính đạt được và tính quan sát được . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1

Tính đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2

Tính quan sát được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Một số chuẩn của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4


ii

2

Giá trị kỳ dị Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.2

Chuẩn trong không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Phương pháp chặt cân bằng

14

2.1

Phương pháp chặt cân bằng đối với hệ tối thiểu . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.1

Ý tưởng của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.2

Cơ sở toán học xây dựng phương pháp . . . . . . . . . . . . .

18

Phương pháp chặt cân bằng đối với hệ không tối thiểu . . . . . . . . .

20

2.2.1

Xây dựng hệ giảm bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.2

Định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Thuật toán chặt cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3.1

Thuật toán chặt cân bằng đối với hệ tối thiểu . . . . . . . . . .

23

2.3.2

Thuật tốn chặt cân bằng đối với hệ khơng tối thiểu . . . . . .

24

2.2

2.3

3

1.4.1

Ví dụ số

26

3.1

Hệ hình thức FOM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2

Hệ Eady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Kết luận

30

Tài liệu tham khảo

31


iii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cám ơn và các thơng tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Thái Nguyên, ngày 17 tháng 04 năm 2015
Học viên

Lê Thị Phương Giang


iv

TÓM TẮT NỘI DUNG

Rất nhiều hiện tượng, thiết bị được mơ hình hóa bằng tốn học dưới dạng một hệ
điều khiển. Do địi hỏi của tính chính xác, cỡ của vectơ trạng thái, được gọi là bậc của
mơ hình, thường là từ 104 trở lên. Việc này gây khó khăn cho mơ phỏng vì máy tính
phải làm việc với hệ cỡ lớn hay hệ bậc cao. Do đó yêu cầu đặt ra là phải thay thế hệ
cỡ lớn bằng một hệ cỡ nhỏ hơn theo nghĩa nào đó.
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu phương pháp Chặt cân bằng, một
phương pháp hữu hiệu để giảm bậc của hệ điều khiển. Chúng tơi phân tích kỹ càng ý
tưởng của phương pháp xuất phát từ ý nghĩa vật lý, cũng như việc trình bày nó dưới
ngơn ngữ tốn học. Thêm vào đó, để thuận tiện cho việc lập trình, thuật tốn của
phương pháp cũng được đưa ra. Cuối cùng, để lấy minh họa cho phương pháp, chúng
tơi lấy ví dụ với những dữ liệu thực tế.

v

Lời cảm ơn
Trước tiên tôi xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thanh Sơn - Giảng
viên khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, người thầy đã
hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tơi trong suốt q trình hồn thành luận văn này.
Tôi cũng xin được gửi lời cám ơn chân thành đến các thầy, cô đã và đang tham gia
giảng dạy tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun. Các thầy cơ đã nhiệt
tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khóa học tại trường.
Đồng thời, tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn tới tất cả bạn bè, đồng nghiệp và người
thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và viết luận văn.
Mặc dù đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tìm hiểu, song bản luận văn khơng
thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy, tơi rất mong muốn nhận được những
góp ý để luận văn này được hoàn thiện hơn.

Thái Nguyên, 2015

Lê Thị Phương Giang
Học viên
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên


vi

Danh sách ký hiệu
Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng
dưới đây:
R+

tập các số thực dương

R−

tập các số thực âm

Rn×r

tập các ma trận thực cỡ n × r

AT

ma trận chuyển của ma trận A

x˙

đạo hàm của x theo biến t

Re(s)

là phần thực của số phức s

Λ(A)

tập hợp các giá trị kì dị của ma trận A

Im

ảnh của một ma trận/ánh xạ tuyến tính

Ker

nhân của một ma trận/ánh xạ tuyến tính

rank(R)

hạng của ma trận

σi (A)

giá trị kỳ dị thứ i của ma trận A, trong đó σ1 (A) ≥ σ2 (A) ≥
· · · ≥ σn (A).

trace

tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận


1

Danh sách hình vẽ
3.1

Sai số tuyệt đối của mơ hình FOM: ngưỡng sai số 10−3 (a) và ngưỡng
sai số 10−5 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Sai số tương đối của mơ hình FOM: ngưỡng sai số 10−3 (a) và ngưỡng
sai số 10−5 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

27

Sai số tuyệt đối của mơ hình Eady: ngưỡng sai số 10−3 (a) và ngưỡng
sai số 10−5 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

27

28

Sai số tương đối của mơ hình Eady: ngưỡng sai số 10−3 (a) và ngưỡng
sai số 10−5 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28


2

Mở đầu
0.1

Lý do chọn đề tài

Ngày nay, mô phỏng số là khâu rất quan trọng giúp các nhà sản xuất tạo ra sản
phẩm. Bước này giúp các nhà thiết kế tạo ra mẫu sản phẩm thỏa mãn các yêu cầu của
nhà sản suất. Ngồi ra, việc mơ phỏng thay thế cho các thí nghiệm thực tế thường đắt
tiền và kéo dài sẽ giúp hạ giá thành và tiết kiệm thời gian.

Trong bước đầu tiên của một mô phỏng, người ta phải tìm một mơ hình tốn học
mơ tả hoạt động của thiết bị, hoặc một thành phần đơn lẻ của nó. Việc hình thành
một mơ hình được dựa trên các quy luật trong vật lý, hóa học... Q trình này được
kết thúc bởi một tập hợp các phương trình vi phân đạo hàm riêng. Để có dữ liêu mơ
phỏng, người ta phải giải các phương trình đó trên máy tính. Để làm được điều này,
các phương trình vi phân đạo hàm riêng phải được rời rạc trong không gian bằng
phương pháp số, chẳng hạn như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) hoặc phương
pháp sai phân hữu hạn (FDM). Trong nhiều trường hợp, ta thu được hệ điều khiển
tuyến tính không phụ thời gian như sau:
E x(t)
˙
= Ax(t) + Bx(t),

(1)

y(t) = Cx(t) + Du(t),

trong đó E, A ∈ RN ×N , B ∈ RN ×m , C ∈ Rl×N là các ma trận thực hoặc phức; x(t)
là vectơ cỡ N mô tả trạng thái của hệ phụ thuộc vào thời gian t; u(t) là hàm đầu vào
hoặc là hàm điều khiển, ảnh hưởng tới các hoạt động của hệ thống; y(t) là thơng tin
đầu ra có được từ trạng thái x(t) và đầu vào u(t) mà người dùng quan tâm đến.
Hệ thống (1) là mơ hình tốn học cho tương ứng đầu vào - đầu ra. Nhập một đầu


3
vào u(t) và quan sát các thông tin của đầu ra y(t). Hành động này được lặp đi lặp lại
nhiều lần trong q trình thiết kế, mơ phỏng.
Do địi hỏi của tính chính xác trong q trình mơ phỏng, miền không gian được
chia rất nhỏ. Điều này dẫn đến một hệ quả là cỡ của vectơ trạng thái hay còn gọi là
bậc của mơ hình, rất lớn, thơng thường là trên 104 . Như vậy, cứ mỗi lần thay đổi đầu

vào, người ta phải giải một phương trình vi phân cỡ lớn để có vectơ trạng thái và tính
đầu ra. Máy tính thơng thường khơng thể thực hiện điều đó trong thời gian thực, nghĩa
là tốc độ tính tốn tương ứng đầu vào - đầu ra rất chậm. Từ đó người ta muốn xấp xỉ
hệ động lực bậc N ban đầu bởi một hệ động lực bậc n, với n

N . Xấp xỉ được hiểu

theo nghĩa: với mọi đầu vào giống nhau, đầu ra của hai hệ động lực xấp xỉ bằng nhau.
Đương nhiên với bậc n nhỏ hơn nhiều lần, thời gian mô phỏng sẽ được rút ngắn rất
nhiều. Công việc này gọi là giảm bậc của hệ động lực.
Việc giảm bậc hệ của động lực rất quan trọng cả về mặt lý thuyết và ứng dụng thực
tế. Có rất nhiều cơng trình đã viết về vấn đề này và nhiều phương pháp đã được tìm
ra. Nổi bật hơn cả là ba phương pháp: phân tích trực giao chính (Proper Orthogonal
Decomposition), Chặt cân bằng (Balanced Truncation) và phương pháp không gian
con Krylov (Krylov Subspace Methods). Trong ba phương pháp giảm bậc ở trên thì
phương pháp Chặt cân bằng là phương pháp hữu hiệu hơn cả. Nó được thể hiện ở hai
khía cạnh. Thứ nhất, nó cho chúng ta một chặn trên sai số tiên nghiệm (a priori error
bound). Thứ hai, nó bảo tồn tính ổn định của hệ ban đầu nếu hệ ban đầu ổn định. Do
vậy chúng tôi quyết định chọn đề tài "Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính khơng
phụ thuộc thời gian bằng phương pháp Chặt cân bằng" để nghiên cứu.

0.2

Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu về phương pháp giảm bậc của hệ
điều khiển tuyến tính khơng phụ thuộc thời gian. Phương pháp được đề cập ở đây là
phương pháp Chặt cân bằng.

4

0.3

Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung làm rõ một số vấn đề sau đây: Trình bày ý tưởng của phương
pháp chặt cân bằng, các khái niệm và tính chất liên quan đến phương pháp, nội dung
phương pháp và cuối cùng là áp dụng phương pháp này cho một số ví dụ thực tế.

0.4

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giảm bậc của mô hình Chặt cân bằng.
• Phạm vi nghiên cứu: Hệ điều khiển tuyến tính khơng phụ thuộc thời gian.

0.5

Phương pháp nghiên cứu

• Đọc và tìm hiểu một số tài liệu liên quan như sách, bài báo tạp chí, luận án tiến

sĩ, luận văn thạc sĩ.
• Sử dụng nhiều kiến thức của đại số tuyến tính ứng dụng.
• Kiểm chứng các kết quả lý thuyết bằng ví dụ số lập trình trên MATLAB và các

dữ liệu đã được công nhận rộng rãi trong cộng đồng những nhà nghiên cứu về lý
thuyết giảm bậc.

5

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Sơ lược về hệ điều khiển

Trong luận văn này, chúng tôi xét hệ điều khiển tuyến tính, liên tục theo thời gian
và ơ-tơ-nơm
x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t),

(1.1)

y(t) = Cx(t) + Du(t).

Ý nghĩa của các đại lượng như sau:
• t ∈ (0, +∞): biến thời gian,
• u(t) ∈ Rm : đầu vào hay hàm điều khiển,
• y(t) ∈ Rl : đầu ra,
• x(t): vectơ trạng thái,
• A ∈ RN ìN : ma trn ng lc,
ã B RN ×m : ma trận đầu vào,
• C ∈ Rl×N : ma trn u ra,
ã D Rlìm : ma trn ghép cặp đầu vào - đầu ra.

Ở đây A, B, C, D là các ma trận hằng, nghĩa là chúng không phụ thuộc vào thời gian
t.


6
Khi u(t) và y(t) là các hàm vô hướng, hay m = l = 1, thì hệ điều khiển được gọi là
một đầu vào - một đầu ra và ký hiệu là SISO (single - input - single - output), trường
hợp ngược lại nếu m, l > 1 thì hệ được gọi là nhiều đầu vào - nhiều đầu ra và ký hiệu
là MIMO (multiple - input - multiple - output).
Khi xét hệ điều khiển tổng quát người ta còn đưa vào một số khái niệm: tính chất
khoảng, tính nhất qn, tính nhân quả, tính đối chu trình, tính ổn định, tính đạt được
và tính quan sát được, các khái niệm này có thể tìm thấy trong [3]
Hệ (1.1) được gọi là dạng của hệ động lực trong miền thời gian.

1.2

Quan hệ đầu vào - đầu ra của hệ động lực

Giả sử phương trình (1.1) có điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , nghiệm của nó x(t)
được viết như sau
t
A(t−t0 )

ϕ(t; t0 , x0 , u(·)) := x(t) = e

eA(t−τ ) Bu(τ )dτ, t ∈ R.

x0 +
t0

Trong nhiều ứng dụng, ta chỉ quan tâm đến đầu ra của hệ điều khiển khi cho đầu vào,
nói cách khác, hệ điều khiển được xem như một ánh xạ giữa hai không gian hàm, cho
tương ứng một hàm đầu vào là một hàm đầu ra. Giả sử T = R+ , t0 = 0, x0 = 0, khi đó
đầu ra của (1.1) tương ứng với đầu vào u(.) là
t

CeA(t−τ ) Bu(τ )dτ.

y(t) = Du(t) +
0

Nhắc lại hàm delta Dirac là một hàm suy rộng thỏa mãn

 +∞ nếu x = 0,
δ(x) =
0
nếu x = 0,
và
+∞

δ(x)dx = 1.
−∞

Đầu ra y(t) có thể được viết lại như sau
t

t

CeA(t−τ ) Bu(τ )dτ

Dδ(t − τ )u(τ )dτ +

y(t) =
0

0


7
t

t

CeA(t−τ ) Bu(τ )dτ

Dδ(τ − t)u(τ )dτ +

=
0

0
t

t

CeA(t−τ ) Bu)u(τ )dτ

(Dδ(t − τ ) +

=

0

0

(1.2)

= (G ∗ u)(t),

trong đó ∗ là ký hiệu tích chập và G(t) = Dδ(t) + CeAt B. Theo đó G(t) chính là phản
ứng của hệ điều khiển với xung δ . Ta định nghĩa
L : Lq (R+ , Rm ) −→ Lq (R+ , Rl ), 1 ≤ q ≤ ∞
t

CeA(t−τ ) Bu(τ )dτ,

u −→ y(t) = Du(t) +
0

trong đó Lq (R+ , Rm ) := {f : R+ −→ Rn , (

1

||f (t)||qq dt) q < ∞}. L được gọi là ánh
R+

xạ đầu vào - đầu ra của hệ điều khiển trong miền thời gian.
Định nghĩa 1.1. Cho f (t) ∈ L1 (R+ , Rl ), biến đổi Laplace của f (t) là
+∞

f (t)e−st dt, s ∈ C.

fˆ(s) = (L, f ) :=

(1.3)

0

Nếu f (t)e−αt ∈ L1 (R+ , Rn ) thì tích phân hội tụ trong miền Re(s) ≥ α. Áp dụng
biến đổi Laplace cho (1.2) ta có
ˆ u(s).
yˆ(s) = G(s)ˆ

(1.4)

ˆ
Như vậy, trong miền tần số, G(s)
cho phép xác định đầu ra của hệ điều khiển trực tiếp

thông qua phép nhân thông thường với đầu vào mà không quan tâm đến trạng thái của
ˆ
hệ điều khiển. G(s)
được gọi là hàm truyền của hệ điều khiển.

Có một cách khác, tự nhiên để xác định hàm truyền của hệ (1.1) là sử dụng trực
tiếp biến đổi Laplace lên cả hai phương trình của hệ
sˆ
x(s) = Aˆ
x(s) + B uˆ(s),
yˆ(s) = C xˆ(s) + Dˆ
u(s),

8
do đó
yˆ(s) = (D + C(sI − A)−1 B)ˆ
u(s) =: H(s)ˆ
u(s).

(1.5)

ˆ
So sánh (1.4) và (1.5), ta có G(s)
≡ H(s) = D + C(sI − A)−1 B.

1.3

Tính đạt được và tính quan sát được

1.3.1

Tính đạt được

Định nghĩa 1.2.

• Xét hệ (1.1), trạng thái x ∈ X gọi là đạt được từ 0 nếu tồn tại

một điều khiển u(t) có năng lượng hữu hạn, thời gian t hữu hạn sao cho
x = ϕ(t; t0 , 0, u(.)).
• Khơng gian đạt được là tập hợp các trạng thái đạt được, kí hiệu là X r .
• Hệ điều khiển được gọi là đạt được nếu X r = X .

• Ma trận có vô số cột
R(A, B) := [B

AB

A2 B

...]

được gọi là ma trận đạt được của hệ điều khiển (1.1).
Chú ý 1.1. Đối với trường hợp đang xét, khái niệm đạt được, không gian đạt được
trùng với khái niệm điều khiển được vốn rất thông dụng trong lý thuyết điều khiển.
Ma trận đạt được có mối quan hệ chặt chẽ với các Gramian đạt được, nó được
định nghĩa như sau
Định nghĩa 1.3. Gramian hữu hạn đạt được tại t ∈ R của hệ điều khiển (1.1) là ma
trận
t

T

eAτ BB T eA τ dτ.

P(t) :=
0

Định lí 1.1.

• P(t) = P T (t) và nửa xác định dương.

9
• ∀t ∈ R+ , ImP(t) = ImR(A, B).

Định lí 1.2.

• X r = ImR(A, B).

• AX r ⊂ X r .
• Hệ điều khiển là đạt được nếu rank(R(A, B)) = N.
• X r là bất biến dưới phép biến đổi tọa độ.

Theo Định lý (1.1) và (1.2) ta có ∀x ∈ X r , ∀t ∈ R+ , ∃ξ ∈ Rn sao cho
(1.6)

x = P(t)ξ.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình trạng thái
t

eA(t−τ ) Bu(τ )dτ

x=
0
t

T

eAτ BB T eA τ ξdτ.

=

0

Từ (1.7) chọn
T

u = B T eA

(t−τ )

ξ,

sau đó lấy tích phân
t

T

eA(t−τ ) BB T eA

x=

(t−τ )

ξdτ,

0

đổi biến bằng cách đặt
s = t − τ,

ta có

t

T

eAs BB T eA s ξds

x=
0

= P(t)ξ.

Điều vừa chứng minh chỉ ra rằng muốn đạt được x tại t ta cần biến điều khiển
T

u = B T eA

(t−τ )

ξ.

(1.7)


10
Người ta đã chỉ ra, xem [1], u có năng lượng nhỏ nhất trong các điều khiển đưa trạng
thái 0 đến x, tức là
||u||2 ≤ ||u||2 , ∀u(t) ∈ L2 (R+ , Rm ),

thỏa mãn
x = ϕ(t; 0, 0, u(.)).

Nếu hệ đạt được, rank(P(T )) = N thì P(t)) khả nghịch và
t

||u(t)||22

u(r)T u(r)dr

=
0

t

T

eA(t−r) BB T eA

=ξ

(t−r)

drξ

0

= ξP(t)ξ
= ξP(t)P −1 (t)P(t)ξ
= xT (t)P −1 (t)x(t).

1.3.2

Tính quan sát được

Định nghĩa 1.4.

• Trạng thái x ∈ X của hệ điều khiển được gọi là không quan sát

được nếu y(t) = Cϕ(t; 0, x, 0) = 0, ∀t ≥ 0.
• X uo ⊂ X là tập các trạng thái không quan sát được. Khi đó hệ được gọi là quan

sát được nếu X uo = {0}.
• Ma trận vơ hạn cột
O(A, C) = [C T

AT C T

(AT )2 C T

được gọi là ma trận quan sát được của hệ điều khiển.
• Gramian quan sát được tại t ∈ R+ là
t

T

eA τ C T CeAτ dτ.

Q(t) =
0

...]T

11
Định nghĩa 1.5.

• ∀t ∈ R+ , X uo = KerO(A, C) = KerQ(t)

• X uo là bất biến với A.
• Hệ điều khiển là quan sát được khi và chỉ khi rank(O(A, C)) = N.
• Tính quan sát được là bất biến đối với phép đổi cơ sở.

Tương tự như phần năng lượng của điều khiển, ta tính được năng lượng trong
L2 (R+ , Rl ) của hàm đầu ra y(t) = Cx(t) tạo ra bởi x tại thời điểm t là
||y||2 = xT Q(t)x.

Nhận xét 1.1. Theo định nghĩa, P và Q là không giảm trong R+ . Nếu hệ điều khiển
là đạt được thì P(t) khả nghịch và P −1 (t) là khơng tăng. Vì vậy
||u(t)||22 = xT (t)P −1 (t)x(t)

là khơng tăng. Từ đó, năng lượng đạt được nhỏ nhất của điều khiển từ 0 đến x là tại
thời điểm t khi t −→ ∞. Tương tự như vậy, năng lương quan sát lớn nhất sinh ra do x
là khi t −→ ∞ (khi thời gian lớn).
Định nghĩa 1.6. Nếu hệ ổn định ta gọi Gramian đạt được là
∞

T

eAτ BB T eA τ dτ.

P :=

(1.8)

0

Gramian quan sát được là
∞

T

eA τ C T CeAτ dτ.

Q :=

(1.9)

0

Định lí 1.3. Gramian đạt được P và Gramian quan sát được Q của hệ điều khiển là
nghiệm của phương trình Lyapunov
AP + PAT + BB T = 0,

(1.10)

AT Q + QA + C T C = 0.

(1.11)


12

Nhận xét 1.2. P, Q là các ma trận đối xứng, nửa xác định dương. Nếu hệ điều khiển
là đạt được và quan sát được thì P, Q tương ứng là các ma trận xác định dương. Trong
thực tế tính tốn, ta hay giải phương trình Lyapunov bằng phương pháp lặp và thu được
nghiệm của nó dưới dạng phân tích hạng thấp nếu nghiệm là nửa xác định dương và
phân tích Cholesky nếu là xác định dương có dạng
P = LT L,
Q = RT R.

Trong trường hợp phân tích hạng thấp, R và L là các ma trận với số hàng ít hơn nhiều
lần so với số cột.
Nhận xét 1.3. Từ tính xác định dương của P, Q năng lượng nhỏ nhất để đạt được x từ
0 là
xT P −1 x,

năng lượng lớn nhất để quan sát x là
xT Qx.

Nếu dùng phép biến đổi tọa độ x = φ˜
x thì các Gramian sẽ thay đổi. Ta có thể chỉ ra,
trong tọa độ mới, Gramian đạt được là
P˜ = φ−1 P φ−T ,

(1.12)

˜ = φT Qφ.
Q

(1.13)

và Gramian quan sát được là

1.4
1.4.1

Một số chuẩn của hệ động lực
Giá trị kỳ dị Hankel

Định nghĩa 1.7. Toán tử Hankel là toán tử đầu vào đầu ra được hạn chế
H : L2 (R− , Rm ) −→ L2 (R+ , Rl )


13
0

CeA(t−τ ) Bu(τ )dτ.

u− −→ y(t) =
−∞

Định nghĩa 1.8. Giá trị kỳ dị của H, kí hiệu σ(H) gọi là giá trị kỳ dị Hankel của hệ
điều khiển.
Người ta chỉ ra giá trị kỳ dị Hankel của hệ đạt được và quan sát được là căn bậc
hai của giá trị riêng khác khơng của tích hai Gramian đạt được và quan sát được. Cụ
thể là
σi (Σ) =

1.4.2

(1.14)

λi (PQ), i = 1, ..., m

Chuẩn trong không gian Hardy

Trước tiên ta định nghĩa chuẩn Schatten của ma trận M ∈ Cm×n , m ≥ n như sau


1

( m σ p (M )) p , 1 ≤ p < ∞,
i=1 i
||M ||S,p :=
(1.15)


σ1 (M ), p = ∞
khi p = 2 chuẩn ||.||S,2 còn được gọi là chuẩn Probenius hay chuẩn Hilbert- Schmidt.
Định nghĩa 1.9. Cho F : C+ −→ Cl×m là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng C+ ,
chuẩn Hardy của F được định nghĩa và kí hiệu là


1

(supa>0 +∞ ||F (α + iβ)||p dy) p , 1 ≤ p < +∞
S,p
−∞

(1.16)

||F ||Hp :=



supz∈C+ ||F (z)||S,p , p = +∞
Trong trường hợp p = 2 và p = ∞
+∞
a>0

1

trace(F ∗ (α − iβ)F (α + iβ))dβ) 2 ,

||F ||H2 = (sup
−∞

||F ||H∞ = sup σmax (F (z)).
z∈C+

Nhận xét 1.4. Áp dụng Định lý Modul cực đại ta có
+∞

1

trace(F ∗ (−iβ)F (iβ))dβ) 2 ,

||F ||H2 = (
−∞

||F ||H∞ = sup σmax (F (iβ)).
β∈R

14

Chương 2

Phương pháp chặt cân bằng
2.1
2.1.1

Phương pháp chặt cân bằng đối với hệ tối thiểu
Ý tưởng của phương pháp

Từ phân tích chương trước, ta đã biết, đối với một hệ ổn định, đạt được thì năng
lượng nhỏ nhất để đạt được x¯ là x¯T P −1 x¯. Do P đối xứng, xác định dương nên nó có
phân tích giá trị riêng
P = V ∆V T ,

trong đó V là ma trận trực giao, các cột Vi là những vectơ riêng của P và
∆ = diag(d1 , ..., dN ), d1 ≥ ... ≥ dN > 0,

là ma trận chéo trong đó các phần tử chéo là giá trị riêng của P. Khi đó
P −1 = V ∆−1 V T ,
−1
trong đó ∆−1 = diag(d−1
¯ ∈ X(= RN ), giả sử x¯ được biểu thị tuyến
1 , ..., dN ). Với mọi x

tính qua các vectơ cột là
N

x¯ =

αi Vi ,
i=1

năng lượng cần thiết để đạt được x¯ là
N
T

x¯ P

−1

N
T

αi V i ) P

x¯ = (
i=1

−1

(

αj Vj )
j=1

15
N

N
−1

T

αi Vi ) V ∆

=(

T

αj V j )

V (
j=1

i=1
N

N
−1

T

αi Vi ) V ∆

=(

αj V T Vj )

(
j=1

i=1

N

N
−1

T

αi Vi ) V ∆

=(

αj )

(
j=1

i=1
N

N

αj d−1

j )

T

=(

αi V i ) V (
i=1

j=1
N

N

αj d−1
j Vj )

αi ViT )(

=(

j=1

i=1
N

(2.1)

αi2 d−1
i .

=
i=1

Biểu thức này đã chỉ ra những trạng thái mà có thành phần chính nằm trong không gian
con sinh bởi những vectơ riêng tương ứng với những giá trị riêng lớn có năng lượng
đạt được nhỏ hơn, tức dễ đạt được. Ngược lại, những trạng thái mà có thành phần
chính nằm trong khơng gian con sinh bởi những vectơ riêng tương ứng với những giá
trị riêng nhỏ năng lượng đạt được lớn hơn, tức là khó đạt được.
Tương tự như vậy, ta có năng lượng quan sát được tại x¯ là x¯T Q¯
x. Khi đó
Q = V ∆V T ,

trong đó V là ma trận trực giao, các cột Vi là những vectơ riêng của Q và
∆ = diag(d1 , ..., dN ), d1 ≥ ... ≥ dN > 0,

là ma trận chéo trong đó các phần tử chéo là giá trị riêng của Q. Năng lượng cần thiết
để quan sát được tại x¯ là
N
T

N
T

x¯ Q¯
x=(

αi Vi ) Q(
i=1

αj Vj )
j=1
N

N
T

=(

T

αi Vi ) V ∆V (
i=1

αj Vj )
j=1


16
N

N

αj V T V j )

T

αi Vi ) V ∆(

=(

j=1

i=1

N

N
T

αj )

αi Vi ) V ∆(

=(

j=1

i=1

N

N
T

α j dj )

αi Vi ) V (

=(

j=1

i=1
N

N

αi ViT )(

=(
i=1

αj dj Vj )
j=1

N

αi2 di .

=

(2.2)

i=1

Nếu giá trị riêng di của Q lớn thì tạo ra năng lượng lớn để quan sát tại x¯, gọi là dễ dàng
quan sát được. Ngược lại, nếu giá trị riêng di nhỏ thì tạo ra ít năng lượng để quan sát
tại x¯, gọi là khó quan sát được. Theo đó, từ biểu thức (2.2) đối với hệ quan sát được
và ổn định, những trạng thái mà có thành phần chính nằm trong không gian con sinh

bởi vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng lớn (nhỏ) của Q sẽ sinh ra năng lượng lớn
(nhỏ) để quan sát. Chính vì thế nên chúng dễ (khó) quan sát.
Những phân tích trên cung cấp một cách hiệu quả để định lượng mức độ đạt được
và mức độ quan sát được. Không gian con gồm các trạng thái dễ dàng đạt được và dễ
dàng quan sát được đóng vai trị quan trọng trong các hoạt động của hệ, những khơng
gian con khác khơng có nhiều vai trị và ít quan trọng hơn. Chúng là ứng cử viên tốt
để được cắt bỏ để làm cho bậc của hệ nhỏ hơn mà không ảnh hưởng đáng kể đến hoạt
động của hệ.
Tuy nhiên, vấn đề là mức độ đạt được, và mức độ quan sát được của không gian
con là hai khái niệm độc lập. Theo đó, hồn tồn có thể xảy ra tình huống, một khơng
gian con khó để đạt được (thích hợp để cắt bỏ) nhưng lại dễ quan sát được (thích hợp
để được giữ lại) và ngược lại. Ta có thể thấy nó qua ví dụ sau đây, xét hệ (1.1) với các


17
ma trận được cho bởi

A=

−2 −3
1





,

b=

1


,

c=

0 1

.

−1

1

Hệ có hai Gramians là

P=

2.5

−1.5

−1.5

1


,


Q=

0.5

1

1

2.5


.

Giá trị riêng và vectơ riêng của P , làm tròn đến bốn chữ số thập phân, là




V =

−0.5257 −0.8507
−0.8507

,

D=

0.5257

0.0729

0

0

3.4271

.

Vectơ riêng thứ nhất của P, V (:, 1), tương ứng với giá trị riêng nhỏ và do đó khó tiếp
cận. Ngược lại, vectơ riêng thứ hai V (:, 2) là dễ dàng đạt được. Bây giờ, chúng tơi tính
tốn năng lượng quan sát các vectơ sinh ra
V (:, 1)T QV (:, 1) = 2.8416 và V (:, 2)T QV (:, 2) = 0, 1584.

Nó chỉ ra rằng V (:, 1) dễ dàng quan sát trong khi V (:, 2) rất khó để quan sát.
Để đối phó với điều này, người ta phải tìm một cơ sở, nếu nó tồn tại, cho không
gian trạng thái mà cân bằng giữa mức độ đạt được và mức độ quan sát được. Chính
xác hơn là
P = Q = Λ = diag(σ1 , ..., σN ).

Định nghĩa 2.1. Một hệ đạt được, quan sát được và ổn định được gọi là cân bằng nếu
P = Q, và được gọi là cân bằng trục chính P = Q = Λ = diag(σ1 , ..., σN ).

Những phép biến đổi tọa độ mà đưa một hệ đạt được, quan sát được và ổn định về
dạng cân bằng trục chính được gọi là phép biến đổi cân bằng.
Bổ đề 2.1. Giả sử P, Q là Gramians đạt được và Gramians quan sát được của không
gian con đạt được và quan sát được. Khi đó, chuyển đổi cân bằng là
φ = U KΛ

−1
2

,

1

φ−1 = Λ 2 K T U −1

(2.3)