Một số kết quả về cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Phạm Ngọc Hưng

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CẬN SAI SỐ CỦA CÁC HÀM
NỬA LIÊN TỤC DƯỚI

Chuyên ngành: Toán Ứng dụng
Mã số: 60 46 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ

Thái Nguyên - 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Trương
Xuân Đức Hà. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô
giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, PGS.TS. Trương Xuân Đức

Hà, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình
nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các
thầy cơ trong khoa Tốn - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính
để tác giả hồn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến
gia đình, BGH trường THPT Thị xã Mường Lay - Điện Biên và các bạn
trong lớp Cao học K4, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học
tập và làm luận văn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Mục lục
Mở đầu
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Hàm nửa liên tục . . . . . . . . . .
1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland . . . .
1.3 Giải tích lồi . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . .
1.3.3 Dưới vi phân của hàm lồi . .
1.4 Một số dưới vi phân hàm không lồi
1.4.1 Dưới vi phân Fréchet . . . .
1.4.2 Dưới vi phân xấp xỉ . . . . .
1.4.3 Dưới vi phân tổng quát . . .

3

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

2 Điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số
2.1 Điều kiện độ dốc mạnh và dưới vi phân hàm lồi
2.1.1 Điều kiện độ dốc mạnh . . . . . . . . .
2.1.2 Điều kiện dưới vi phân của hàm lồi . . .
2.2 Điều kiện dưới vi phân tổng quát . . . . . . . .
2.2.1 Điều kiện dưới vi phân tổng quát . . . .
2.2.2 Điều kiện dưới vi phân Fréchet . . . . .
2.2.3 Điều kiện dưới vi phân xấp xỉ . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

5
5
6
7
7
8
9
10

10
13
14

.
.
.
.
.
.
.

16
16
16
23
29
29
31
36

3 Một số áp dụng
40
3.1 Mối liên hệ giữa cận sai số và tính chính quy metric . . . . 40
3.2 Phân tích độ nhạy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Kết luận

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

52

2

Tài liệu tham khảo

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

53




3

Mở đầu
Bài tốn tìm điều kiện tồn tại cận sai số cho khoảng cách từ một điểm
tới một tập mức của hàm nửa liên tục dưới đã được Hoffman nghiên cứu
lần đầu trong [10]. Bài toán được phát biểu như sau: Cho một hàm nửa
liên tục dưới f : X → R ∪ {+∞} xác định trên không gian metric đủ X ,
chúng ta nói rằng f có một cận sai số toàn cục tại mức α nếu tồn tại số
thực dương τ thỏa mãn

τ d(x, [f (x) ≤ α]) ≤ (f (x) − α)+ , ∀x ∈ X,
trong đó [f ≤ α] := {x ∈ X : f (x) ≤ α}, d(x, [f ≤ α]) là khoảng cách từ
điểm x đến tập [f ≤ α], và t+ = sup(t, 0).
Năm 1952, Hoffman đã đạt được các kết quả cho các hàm lồi đa
diện dạng f (x) = max1≤j≤m (aTj x + bj ), trong đó a1 , · · · , am ∈ Rm và

b1 , · · · , bm ∈ R. Robinson [11] đã xét các hàm lồi không đa diện trong
không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện Slater (inf X f < α) với tập
[f ≤ α] bị chặn và thu được kết quả sau

d(x, [f ≤ α]) ≤

r + ||x0 ||
(f (x) − α),
θ

trong đó θ > 0, f (x0 ) < α − θ, r là bán kính hình cầu gốc 0 chứa tập
[f ≤ α]. Tiếp đó Mangasarian [12], Auslender - Crouzeix [13] và Klatte
- Ly [14] đã thu được một điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số của hệ
tuyến tính với điều kiện tiệm cận. Trong trường hợp không lồi, kết quả
đầu tiên về cận sai số thuộc về Ioffe [15], Ng-Zheng [16] và Wu-Ye [5]. Năm
1998, Penot nhận được kết quả trong trường hợp hàm tựa lồi. Các tính
chất đầu tiên về cận sai số trong trường hợp hàm lồi được chứng minh bởi
Corneia-jourari-Zalinesco [17], một số tính chất khác được thiết lập bởi
Lewis-Pang [18], Lemaire[19],Zalinesco [20]. Sau đó, D.Aze nhận được một

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

số kết quả cho các hàm nửa liên tục dưới trong không gian metric đủ [1],
[2].
Ngày nay, khái niệm cận sai số đóng vai trị quan trọng trong giải tích

biến phân và tốn học nói chung. Nó có mối liên hệ mật thiết với các vấn
đề khác của toán học như: điều kiện tối ưu, tính chính quy metric, cực tiểu
ε - xấp xỉ, phân tích độ nhạy (sensitivity Analysis), điều khiển tối ưu....
Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách tổng quan, có hệ
thống những khái niệm và các kết quả cơ bản, quan trọng về cận sai số
toàn cục đối với các hàm nửa liên tục dưới đã được đưa ra chủ yếu trong
[1],[2], [3]. Sau đó chúng tơi trình bày một số ứng dụng thể hiện mối liên
hệ giữa cận sai số và các vấn đề liên quan từ các bài báo [4],[5].
Luận văn gồm 3 chương
Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về các hàm nửa liên tục dưới,
nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, một số khái niệm dưới vi phân
tổng quát của các hàm không lồi.
Chương 2: Trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số cho
một hàm nửa liên tục dưới và cho bài toán chứa tham số. Các điều kiện
này được thể hiện qua độ dốc mạnh, dưới vi phân của hàm lồi và dưới vi
phân tổng quát.
Chương 3: Trình bày một số ứng dụng của cận sai số, đó là tìm điều
kiện đủ của tính chính quy metric và ứng dụng phân tích độ nhạy của bài
tốn tối ưu tổng quát.
Do thời gian và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn không
thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận
tình của các thầy cơ và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, năm 2012
Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tơi trình bày khái quát những kiến thức về
hàm nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, dưới vi
phân Fréchet, dưới vi phân xấp xỉ. Các kết quả chủ yếu được trích dẫn
trong [6], [7],[8], [9].

1.1

Hàm nửa liên tục

Cho (X, d) là không gian metric và f : X → R ∪ {+∞} là hàm số xác
định trên X .
Kí hiệu
dom(f ) = {x ∈ X : f (x) < ∞} là miền hữu hiệu của f.
Cα (f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} là tập mức dưới của f.
epi(f ) = {x, α) ∈ X × R : f (x) ≤ α} là tập trên đồ thị của f.
Định nghĩa 1.1.1. Cho (X, d) là không gian metric, một hàm f : X →
R ∪ {+∞} gọi là hàm nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu thỏa mãn

f (x0 ) ≤ lim inf f (x),
x→x0

trong đó lim inf f (x) = sup inf{f (x)|x ∈ X, ||x − x0 || ≤ η}.
x→x0

η>0

Định nghĩa 1.1.2. Cho (X, d) là không gian metric, một hàm f : X →
R ∪ {+∞} gọi là hàm nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu thỏa mãn

f (x0 ) ≥ lim sup f (x),
x→x0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

trong đó lim sup f (x) = inf sup{f (x)|x ∈ X, ||x − x0 || ≤ η}.
η>0

x→x0

Ví dụ 1.1.3. 1) Hàm

f (x) =

1
−1

nếu x < 0
nếu x ≥ 0

là hàm nửa liên tục dưới trên R.
2) Cho Ω ⊂ X là tập đóng, khi đó hàm chỉ số của Ω

IΩ (x) =

0
+∞

nếu x ∈ Ω
nếu x = Ω

là nửa liên tục dưới trên Ω.
3) Hàm f : R → R xác định bởi

f (x) =

3x2 − 2
0

nếu x = 2
nếu x = 2

là hàm nửa liên tục dưới tại x = 2(nhưng không liên tục tại điểm này).
Định lý 1.1.4. Cho (X, d) là không gian metric và hàm f : X → R ∪
{+∞}. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) f là hàm nửa liên tục dưới trên X .
(ii) epi(f ) = {x, α) ∈ X × R : f (x) ≤ α} là tập đóng trong X × R.
(iii) Cα (f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} là tập đóng trong X .
Định lý 1.1.5. Một hàm f (x) nửa liên tục dưới trên tập compact X phải
đạt cực tiểu trên tập ấy. Một hàm f (x) nửa liên tục trên trên một tập
compact X phải đạt cực đại trên tập ấy.

1.2

Nguyên lý biến phân Ekeland

Theo Định lý 1.1.5, nếu X là tập compact thì hàm nửa liên tục dưới
f phải đạt cực tiểu trên X . Tuy nhiên nếu X khơng compact thì điều đó
khơng cịn đúng. Chẳng hạn chúng ta xét ví dụ sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7

Ví dụ 1.2.1. Xét hàm số f : X = R × R → R xác định bởi f (x) =
x21 + (x1 x2 − 1)2 , ∀x = (x1 , x2 ) ∈ X . Khi đó, dễ thấy f là hàm liên tục và
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ X , nhưng f không đạt cực tiểu trên X .
Như vậy khi f bị chặn chúng ta có khái niệm cực tiểu xấp xỉ như sau:
với ε > 0 cho trước, một điểm xε ∈ X được gọi là ε - cực tiểu xấp xỉ của
f trên X thỏa mãn

inf f (x) ≤ f (xε ) ≤ inf f (x) + ε.

x∈X

x∈X

Năm 1974 [8], Ekeland đã chứng minh được trong không gian metric
đầy đủ, nếu xε là ε - cực tiểu xấp xỉ của một hàm nửa liên tục dưới thì

chúng ta ln tìm được một ε- cực tiểu xấp xỉ mới x∗ tốt hơn và điểm này
là cực tiểu chính xác của hàm "nhiễu" của f .
Định lý 1.2.2. [8] Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và f : X →
R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và
xε ∈ X thỏa mãn
f (xε ) ≤ inf f + ε.
X

Khi đó, với λ > 0 bất kì, tồn tại x∗ ∈ X sao cho
(i) d(x∗ , x ) < λ.
(ii) f (x∗ ) +

λ

d(x∗ , x ) ≤ f (x ).

(iii) f (x∗ ) < f (x) +

1.3
1.3.1

λ

d(x, x∗ ), ∀x ∈ X\{x∗ }.

Giải tích lồi
Tập lồi

Trong mục này chúng ta ln giả thiết (X, || · ||) là khơng gian tuyến
tính định chuẩn, X ∗ là không gian đối ngẫu của X . Với x∗ ∈ X ∗ , x ∈ X

ta kí hiệu < x∗ , x >= x∗ (x).
Định nghĩa 1.3.1. Cho C là một tập con của X . Khi đó, C được gọi là
một tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C thì λx + (1 − λ)y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

Ví dụ 1.3.2. Các tập sau đây đều là các tập lồi:
1) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ X : ||x − a|| < r}.
2) Các nửa không gian đóng

{x ∈ Rn :< a, x >≤ α}; {x ∈ Rn :< a, x >≥ α},
hay các nửa không gian mở

{x ∈ Rn :< a, x >< α}; {x ∈ Rn :< a, x >> α},
trong đó a ∈ Rn , a = 0 và α ∈ R.
Định nghĩa 1.3.3. Tập con M của X gọi là một nón nếu x ∈ M, λ ≥ 0
thì λx ∈ M . Nón M gọi là nón lồi nếu M là tập lồi.
Ví dụ 1.3.4. Các tập sau đây là các nón lồi gốc tại 0:
1) Rn+ = {x = (x1 , x2 , ..., xn ), xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n} (orthan dương).
2) M = {(x, y) ∈ R × R : y ≥ |x|} .
Mệnh đề 1.3.5. Cho C là một tập lồi trong X , x0 ∈ C . Khi đó tập

N (x0 , C) = {t ∈ X ∗ :< t, x − x0 >≤ 0, ∀x ∈ C}
là một nón lồi.
Đặc biệt, nếu x0 ∈ intC thì N (x0 , C) = {0}.

Định nghĩa 1.3.6. Tập N (x0 , C) được xác định trong Mệnh đề 1.3.5 được
gọi là nón pháp tuyến của tập C .

1.3.2

Hàm lồi

Định nghĩa 1.3.7. Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi là hàm lồi nếu với mọi
x1 , x2 ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] ta có

f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).
Hàm f được gọi là hàm lõm trên X nếu −f là hàm lồi.
Định nghĩa 1.3.8. Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi là hàm lồi, chính thường
nếu f là hàm lồi và domf = ∅.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




9

Ví dụ 1.3.9. Các hàm số sau đây là các hàm lồi:
1) Hàm chỉ số của một tập lồi C

IC (x) =

0

nếu x ∈ C

+∞

nếu ngược lại .

2) Hàm chuẩn của một véc tơ ||x||, với mọi x ∈ X .
3) Hàm tựa của tập lồi C:

sC (x) = sup < y, x > .
y∈C

4) Hàm khoảng cách từ một điểm x ∈ X đến tập lồi C:

d(x, C) = inf ||x − y||.
C

Mệnh đề 1.3.10. Cho f : X → R ∪ {+∞}. Khi đó các khẳng định sau
là tương đương
(i) f là hàm lồi trên X .
(ii) Tập trên đồ thị epif = {(x, α) ∈ X × R : f (x) ≤ α} là tập lồi.
m

(iii) f (
k=1

λk xk ) ≤

m

λk f (xk ) với mọi xk ∈ X,

k=1

mọi k, m ∈ Z, m ≥ 2.

m

λk = 1 và λk ≥ 0 với
k=1

Định lý 1.3.11. Giả sử f : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi trên X . Khi đó
với mọi α ∈ R ∪ {+∞} tập mức dưới Cα := {x : f (x) ≤ α} là tập lồi.
Nhận xét 1.3.12. Mệnh đề đảo của Định lý 1.3.11 nói chung khơng đúng.
Chẳng hạn, hàm giá trị thực một biến f (x) = x3 hay f (x) = |x| có tất
cả các tập mức dưới của nó là lồi, nhưng bản thân hàm đó khơng lồi trên
R.

1.3.3

Dưới vi phân của hàm lồi

Định nghĩa 1.3.13. Cho hàm lồi chính thường f : X → R ∪ {+∞}, véc
tơ x∗ ∈ X ∗ gọi là dưới gradient của f tại điểm x0 nếu thỏa mãn

< x∗ , x − x0 >≤ f (x) − f (x0 ) với mọi x ∈ X.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10

Tập tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của
f tại x0 và được kí hiệu là ∂f (x0 ). Hàm f được gọi là khả dưới vi phân
tại x0 nếu ∂f (x0 ) = ∅.
Ví dụ 1.3.14. 1) Hàm afin f : Rn → R, xác định bởi f (x) =< c, x > +α,
với c, x ∈ Rn , α ∈ R có dưới vi phân với mọi x ∈ Rn và ∂f (x) = {c}.
2) Dưới vi phân của hàm chỉ số IC (◦) của tập lồi C tại x0 ∈ C là

∂IC (x0 ) = N (x0 , C).
3) Dưới vi phân của hàm f (x) = ||x|| là

∂f (x) =

{x∗ ∈ X ∗ : ||x∗ || ≤ 1}

khi x = 0

{x∗ ∈ X ∗ :< x∗ , x >= ||x||, ||x∗ || = 1} khi x = 0.

Định lý 1.3.15. Một hàm lồi chính thường f trên X có dưới vi phân khác
rỗng tại mỗi điểm x0 ∈ int(domf ).
Định lý 1.3.16. Cho f : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi. Khi đó ta có các
khẳng định sau:
(i) x∗ ∈ ∂f (x0 ) ⇔ (x∗ , −1) ∈ Nepif (x0 , f (x0 ).
(ii) ∂f (x0 ) là tập lồi đóng.
(iii) ∂f (x0 ) = {(Df (x0 ))∗ } nếu f khả vi tại x0 .
Định lý 1.3.17 (Điều kiện cần và đủ tối ưu). [6] Giả sử C là một tập lồi
trong X và f : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi. Khi đó, điều kiện cần và đủ

để x∗ ∈ C là điểm cực tiểu của f trên C là

0 ∈ ∂f (x∗ ) + NC (x∗ ).

1.4
1.4.1

Một số dưới vi phân hàm không lồi
Dưới vi phân Fréchet

Trong mục này chúng ta luôn giả thiết (X, || · ||) là không gian Banach,
X là không gian đối ngẫu của X . d∗ là metric liên kết với chuẩn đối ngẫu
của X ∗ , với x∗ ∈ X ∗ , x ∈ X ta kí hiệu < x∗ , x >= x∗ (x). Chúng ta nhắc
lại một số khái niệm trong [7], [9], [16].
∗

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




11

Định nghĩa 1.4.1. [9] Cho X là không gian Banach thực và f : X →
R ∪ {+∞} là hàm số. Với x ∈ domf ta gọi tập hợp sau:

∂F f (x) =

f (u) − f (x)− < x∗ , u − x >
x ∈ X : lim inf

≥0
u→x
||u − x||
∗

∗

(1.1)

là dưới vi phân Fréchet của hàm f tại x. Khi ∂F (x) = ∅ ta nói hàm f khả
dưới vi phân Fréchet tại x.
Ví dụ 1.4.2. 1) Cho hàm số f (x) = max{x, 0}, x ∈ R. Khi đó ∂F f (0) =
[0, 1]. Thật vậy, với x∗ ∈ ∂F f (0) ta có

max{u, 0} − x∗ u
lim inf
≥ 0.
u→0
|u|

(1.2)

Nhận xét rằng

max{u, 0} − x∗ u u − x∗ u
=
= 1 − x∗ .
|u|
u
∗

∗
max{u, 0} − x u −x u
Với u < 0 thì
=
= x∗ .
|u|
−u
∗
∗
Do đó với x < 0 hoặc x > 1 thì (1.2) khơng thỏa mãn. Vậy ∂F f (0) =
[0, 1].
2) Cho hàm f (x) = −|x|, x ∈ R. Khi đó ∂F f (0) = ∅. Thật vậy, Với
∗
x ∈ ∂F f (0) chúng ta có
Với u > 0 thì

−|u| − ux∗
lim inf
≥ 0.
u→0
|u|

(1.3)

Nhận xét rằng

−|u| − ux∗
= −1 − x∗ .
|u|
−|u| − ux∗

Với u < 0 ta có
= −1 + x∗ .
|u|
∗
Do đó khơng tồn tại x để thỏa mãn (1.3). Vậy ∂F f (0) = ∅.
Với u > 0 ta có

Mệnh đề 1.4.3. Dưới vi phân Fréchet là tập đóng và lồi.
Mệnh đề 1.4.4. Nếu f là hàm khả vi Fréchet tại x với đạo hàm Fréchet
là Df (x) thì
∂F f (x) = {(Df (x))∗ },
trong đó (Df (x))∗ là hàm liên hợp của Df (x).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

Mệnh đề 1.4.5. Nếu f là hàm lồi thì dưới vi phân Fréchet của hàm f tại
điểm x0 trùng với dưới vi phân theo nghĩa của giải tích lồi, tức là

∂F f (x0 ) = {x∗ ∈ X ∗ :< x∗ , u − x0 >≤ f (u) − f (x0 ), ∀u ∈ X}.
Định nghĩa 1.4.6. [9] Cho Ω là một tập con khác rỗng của X và x ∈ Ω.
Khi đó tập

NF (x, Ω) =

x∗ ∈ X ∗ : lim sup

Ω
u−
→x

< x∗ , u − x >
≤0
||u − x||

được gọi là nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x.
Ví dụ 1.4.7. Với Ω = {(x, y) ∈ R × R : y ≥ −|x|}. Khi đó

NF (0, Ω) = {(0, 0)}.
Thật vậy, ta có


NF (0, Ω) = (x∗1 , x∗2 ) ∈ R × R :


= {(x∗1 , x∗2 ) ∈ R × R :

lim sup
Ω
(u1 ,u2 )−
→(0,0)

x∗1 u1

+ x∗2 u2
u21 + u22



≤0


x∗1 2 + x∗2 2 ≤ 0} = {(0, 0)}.

Mệnh đề 1.4.8. NF (x, Ω) = ∂F IΩ (x), trong đó IΩ là hàm chỉ số của tập
Ω.
Mệnh đề 1.4.9. Nếu f khả vi Fréchet tại x ∈ Ω và đạt cực tiểu địa
phương tại x thì −(∇f (x))∗ ∈ NF (x, Ω).
Mệnh đề 1.4.10. Cho hàm số f : X → R ∪ {+∞} và tập trên đồ thị
epif = {(x, ν) ∈ X × R : f (x) ≤ ν}. Khi đó ta có các khẳng định sau:
(i) x∗ ∈ ∂F f (x) ⇔ (x∗ , −1) ∈ NF ((x, f (x)), epif ).
(ii) Nếu ν ≥ f (x) và (x∗ , λ) ∈ NF (x, ν), epif ) thì λ ≤ 0.
(iii) Nếu λ = 0 trong (ii) thì ν = f (x) và −x∗ /λ ∈ ∂F f (x).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




13

Nhận xét 1.4.11. Xét hàm số f (x) = −|x|, theo Mệnh đề 1.4.9(i) nếu
x∗ ∈ ∂F f (0) thì (x∗ , −1) ∈ NF ((0, 0), epif ). Nhưng theo Ví dụ 1.4.7 thì
NF ((0, 0), epif ) = {(0, 0)}. Do đó ∂F f (0) = ∅. Điều này phù hợp với Ví
dụ 1.4.2(2).
Trong nhiều trường hợp, chúng ta sử dụng dạng mở rộng của dưới vi
phân Fréchet, đó là ε- dưới vi phân Fréchet và ε- nón pháp tuyến Fréchet:

∂Fε f (x)

=

NFε (x|Ω)

1.4.2

=

f (u) − f (x)− < x∗ , u − x >
x ∈ X : lim inf
≥ −ε .
u→x
||u − x||
∗

∗

< x∗ , u − x >
x ∈ X : lim sup
≤ε .
||u − x||
Ω
u−
→x
∗

∗

Dưới vi phân xấp xỉ

Định nghĩa 1.4.12. [3] Cho X là không gian Banach, f : X → R ∪{+∞}
là hàm số. Khi đó hàm số xác định bởi cơng thức

f (x, u) = lim inf(f (x + tu) − f (x))
t 0
u→h

gọi là dưới đạo hàm Dini theo hướng của f tại x. Tập hợp

∂ε− f (x) = {x∗ ∈ X ∗ :< x∗ , h >≤ d− f (x, h) + ε||h||, ∀h ∈ X}
với x ∈ domf và ∂ε− f (x) = ∅ nếu x ∈
/ domf được gọi là ε - dưới vi phân
Dini của f tại x.
Đặc biệt, khi ε = 0 ta viết ∂ − f (x) gọi là dưới vi phân Dini của f tại x.
Định nghĩa 1.4.13. [3] Cho X là không gian Banach, F (X) là họ các
không gian con hữu hạn chiều của X . Tập hợp:

∂A f (x) =

lim sup ∂ − fx+L (x)f (x) =
lim sup∂ε− fx+L (x)
ε
0
f
L∈F (X) x→
L∈F (X) f
− x0

x→
− x0

được gọi là dưới vi phân xấp xỉ của hàm f tại x. Trong đó
f

lim sup ∂ − fx+L (x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ = w∗ −lim x∗i , x∗i ∈ ∂ − fxi +L (xi ), xi →
− x0 }
f
x→
− x0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14

Ví dụ 1.4.14. Cho hàm số f (x) = −|x|, x ∈ R. Khi đó ∂A f (0) = {−1; 1}.
Định nghĩa 1.4.15. Cho C là tập con đóng của X và x0 ∈ C . Chúng ta
gọi một A - nón pháp tuyến tại x0 được định nghĩa bởi

NA (x0 , C) := R+ ∂A d(x0 , C).
Định lý 1.4.16. [3] Cho f : X → R là hàm số thỏa mãn điều kiện
Lipschitz tại x
¯ với hàm số Lipschitz kf . Khi đó các khẳng định sau là
tương đương
(i) x∗ ∈ ∂A f (¯
x).

(ii) (x∗ , −1) ∈ NA ((¯
x, f (¯
x)), graphf ).
(iii) (x∗ , −1) ∈ (kf + 1)∂A d(graphf, (¯
x, f (¯
x))).
(iv) Với mọi L ∈ F (X) có những dãy x∗i → x∗ , xi → x
¯, εi → 0+ và
ri → 0+ thỏa mãn:

||x∗i || ≤ (kf + 1)(1 + εi ).
f (x)−f (xi )− < x∗i , x−xi > +εi ||x−xi || ≥ 0, ∀x ∈ B(xi , ri )∩(L+xi ).
1.4.3

Dưới vi phân tổng quát

Định nghĩa 1.4.17. Cho X là không gian Banach và f : X → X ∪{+∞}
là hàm nửa liên tục dưới. Ta gọi toán tử dưới vi phân tổng quát ∂ : X ⇒ X ∗
thỏa mãn các điều kiện sau:

(P1 ) Nếu f là hàm lồi thì ta có
∂f (x) = {x∗ ∈ X ∗ | < x∗ , y − x > +f (x) ≤ f (y), ∀y ∈ X}.
(P2 ) 0 ∈ ∂f (x), với x ∈ domf là cực tiểu địa phương của f .
(P3 ) ∂(f + g)(x) ⊂ ∂f (x) + ∂g(x), trong đó g là hàm lồi, liên tục nhận
giá trị thực và ∂ -khả vi tại x.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15

Nhận xét 1.4.18. Áp dụng Nguyên lý biến phân trơn, tính chất (P3 )
tương đương với tính chất sau
(P3 ) Nếu x ∈ domf là cực tiểu địa phương của f + g thì ∀ε > 0 tồn
tại x, y ∈ X, x∗ ∈ ∂f (x), y ∗ ∈ ∂g(y) thỏa mãn:

||x − x|| ≤ ε, ||y − x|| ≤ ε, f (x) ≤ f (x) + ε, ||x∗ + y ∗ ||∗ ≤ ε.
Ví dụ 1.4.19. Các dưới vi phân sau đều thỏa mãn các điều kiện (P1 )−(P3 )
1) Dưới vi phân Clarke - Rockafellar[16] ∂C f (x) tại x ∈ domf của hàm
nửa liên tục dưới f : X → R ∪ {+∞}
↑
∂C f (x) = {x∗ ∈ X ∗ | < x∗ , u >≤ fCR
(x, u), ∀u ∈ X},

trong đó
↑
fCR
= sup inf

inf t−1 (f (z + tv) − f (z))

sup

ε>0 η>0 (z,f (z),t)∈Bη (f (x))×(0,η) v∈Bε (u)

là dưới đạo hàm Clarke - Rockafellar.
Ví dụ: Cho hàm f (x) = −|x|, x ∈ R . Khi đó ∂C f (0) = [−1; 1].
2) Dưới vi phân Dini[16] ∂ − tại x ∈ domf , X là không gian hữu hạn

chiều
∂ − f (x) = {x∗ ∈ X ∗ | < x∗ , u >≤ f (x, u), ∀u ∈ X},
trong đó

f (x, u) = lim inf
t 0
v→u

f (x + tv) − f (x)
.
t

3) Dưới vi phân Fréchet trên không gian Asplund trong Định nghĩa 1.4.1
và dưới vi phân xấp xỉ trong Định nghĩa 1.4.12.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




16

Chương 2
Điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai
số
Trong chương này chúng tơi trình bày các khái niệm cơ bản về cận sai
số của các hàm nửa liên tục dưới. Sau đó chúng tơi trình bày một số điều
kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số . Các công cụ được sử dụng là độ dốc
mạnh, dưới vi phân hàm lồi và dưới vi phân tổng quát. Nội dung chủ yếu
trong chương này được trích dẫn trong [1], [2], [3].

2.1
2.1.1

Điều kiện độ dốc mạnh và dưới vi phân hàm lồi
Điều kiện độ dốc mạnh

Trong phần này chúng ta luôn giả thiết (X, d) là không gian metric và
f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới.
Với U ⊂ X và r ∈ (0, +∞] (tương ứng r ∈ [0, +∞)) chúng ta định
nghĩa Br (U ) (tương ứng B r (U )) là lân cận mở (đóng) của U :

Br (U ) = {x ∈ X : d(x, U ) < r};
B r (U ) = {x ∈ X : d(x, U ) ≤ r},
trong đó d(x, U ) := inf{d(x, y) : y ∈ U }, với quy ước d(x, ∅) = +∞.
Khi U = {x} ta viết Br (x) và B r (x).
Với α ∈ R ta đặt

[f ≤ α] := {x ∈ X : f (x) ≤ α};
[f < α] := {x ∈ X : f (x) < α}.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




17

được gọi là các tập mức đóng, mở của f .
Cho α, β ∈ R, α < β chúng ta đặt [α < f < β] := [f < β]\[f ≤ α]

được gọi là "lát" giữa mức α và β . Nếu β = +∞ ta viết

[f > α] := [α < f < +∞].
Định nghĩa 2.1.1. Cho X là không gian metric, f : X → R ∪ {+∞} là
hàm nửa liên tục dưới, α ∈ R và β ∈ R ∪ {+∞} với α < β . Ta nói rằng
f có một cận sai số tồn cục giữa mức α và β nếu tồn tại một số dương σ
thỏa mãn

f (x) − α ≥ σd(x, [f ≤ α]), với f (x) ∈ (α, β).
Chúng ta thấy rằng nếu bất đẳng thức trong Định nghĩa 2.1.1 thỏa mãn
với số σ > 0 thì nó cũng thỏa mãn với các số σ nhỏ hơn. Do đó trong Định
nghĩa 2.1.1 chúng ta sẽ quan tâm tới supremum của các số σ .
Định nghĩa 2.1.2. Cho X là không gian metric và f : R → R ∪ {+∞}
là hàm nửa liên tục dưới với α ∈ R, β ∈ R ∪ {+∞} với α < β . Ta gọi
σα,β (f ) là supremum của những số σ ∈ [0, +∞) thỏa mãn

f (x) − α ≥ σd(x, [f ≤ α]), với mọi x ∈ [α < f < β].
và do đó

σα β (f ) =

f (x) − α
.
x∈[αinf

(2.1)

với quy ước

σα,β (f ) =

0
+∞

nếu [f ≤ α] = ∅ và [α < f < β] = ∅
nếu [α < f < β] = ∅.

Nếu β = +∞ ta viết σα (f ) := σα,+∞ (f ).
Ta nói rằng f tồn tại một cận sai số toàn cục giữa mức α và β nếu
σα,β (f ) > 0.
Tiếp theo chúng ta trình bày khái niệm độ dốc mạnh theo E. De
Giorgi[21].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18

Định nghĩa 2.1.3. Cho f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới và
x ∈ domf . Chúng ta đặt

 0 nếu x là cực tiểu địa phương của f
f (x) − f (y)
|∇f |(x) :=
nếu ngược lại.
 lim sup
d(x, y)

y→x
Với x ∈
/ domf đặt |∇f |(x) := +∞.
Ta gọi số thực mở rộng không âm |∇f |(x) là độ dốc mạnh của f tại x.
Ví dụ 2.1.4. Cho hàm số f : R → R xác định bởi công thức

f (x) =

x nếu x < 0
x2 nếu x ≥ 0.

Khi đó |∇f |(0) = 1.
Thật vậy, hàm f không đạt cực tiểu tại x = 0. Ta có

|∇f |(0) = lim sup
y→0

−f (y)
.
|y|

(2.2)

Xét các trường hợp sau:
−f (y) −y
=
= 1.
Nếu y < 0 ta có
|y|
−y

−f (y) −y 2
=
= −y < 0.
Nếu y > 0 ta có
|y|
y
Do đó, từ (2.2) ta suy ra |∇f |(0) = 1.
Ví dụ 2.1.5. Cho X là khơng gian định chuẩn, M là một tập lồi trong
X . Với z ∈ M cố định, xét hàm số dz : M → R xác định bởi

dz (x) = ||x − z||, ∀x ∈ M.
Khi đó |∇dz |(x) = 1, ∀x = z.
Thật vậy, theo định nghĩa độ dốc mạnh ta có

|∇dz |(x) = lim sup
y→x

dz (x) − dz (y)
||x − z|| − ||y − z||
= lim sup
≤ 1.
||x − y||
||x − y||
y→x
(2.3)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19

Mặt khác, do M là tập lồi nên ta chọn yn = λn z + (1 − λn )x ∈ M, λn ∈
(0, 1], λn → 0. Ta có

||x − z|| − ||yn − z||
||x − z|| − ||λn z + (1 − λn )x − z||
= lim
= 1.
yn →x
λn →0
||x − yn ||
||x − λn z − (1 − λn )x||
lim

Vậy |∇dz |(x) = 1.
Mệnh đề 2.1.6. Cho f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, U là
tập con của X , α ∈ R, β ∈ R ∪ {+∞}, α < β . Khi đó

inf

U ∩[α
f (x) − γ
.
α≤γ<β x∈U ∩[γ
|∇f | ≥ inf

inf

Đặc biệt

inf
[α
|∇f | ≥ inf σγ,β (f ).
α≤γ<β

Chứng minh. Ta có thể giả sử

inf

U ∩[α
(2.4)

|∇f | < +∞ nên U ∩ [α < f <

β] = ∅ và vế phải của bất đẳng thức là dương nên [f ≤ α] = ∅.
Cho σ > 0 thỏa mãn
f (x) − γ
inf
> σ, với mọi γ ∈ (α, β),
U ∩[α1
với x ∈ U ∩ [α < f < β] và đặt γn := f (x) − với n ∈ N đủ lớn sao cho
n
γn ≥ α. Khi đó tồn tại xn ∈ [f ≤ γn ] thỏa mãn

f (x) − γn ≥ σd(x, xn ).
Do đó ta có

f (x) − γn
→ 0 khi n → ∞.
σ
Vì f (x) − f (xn ) ≥ σd(x, xn ) + γn − f (xn ) > 0 với xn = x nên x không
phải là cực tiểu địa phương của f . Từ đó ta có
0 < d(x, xn ) ≤

f (x) − f (xn ) f (x) − γn
≥
≥ σ.
d(x, xn )
d(x, xn )
Suy ra

|∇f |(x) = lim sup
xn →x

f (x) − f (xn )
≥ σ.
d(x, xn )

Từ định nghĩa của infimum chúng ta suy ra kết luận của mệnh đề.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20

Trong trường hợp X là không gian metric đầy đủ, sử dụng nguyên lý
biến phân Ekeland[8] chúng ta thu được mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1.7. Cho X là không gian metric đầy đủ và f : X → R ∪
{+∞} là hàm nửa liên tục dưới, với x ∈ X, σ > 0, r > 0 thỏa mãn

f (x) < inf f + σr.
B r (x)

Khi đó, tồn tại x ∈ Br (x) thỏa mãn |∇f |(x) < σ và f (x) ≤ f (x).
Chứng minh. Lấy 0 < σ < σ, 0 < r < r sao cho

f (x) ≤ inf f + σ r .
B r (x)

Áp dụng Định lý 1.2.2 với X = B r (x), ε = σ r , λ = r . Khi đó tồn tại
x ∈ B r (x) ⊂ Br (x) thỏa mãn f (x) ≤ f (x) và

f (x) < f (y) + σ d(x, y), ∀y ∈ B r (x)\{x}.
Suy ra

f (x) − f (y)
< σ , ∀y ∈ B r (x)\{¯
x}.
d(x, y)
Do đó

lim sup

y→x

f (x) − f (y)
≤σ.
d(x, y)

Vậy |∇f |(x) = |∇f |B r (x) (x) ≤ σ < σ .
Nhận xét 2.1.8. Nếu [f ≤ α] = ∅ và [α < f < β] = ∅ thì inf [α0, hay nói cách khác nếu 0 < inf [αThật vậy, do [f ≤ α] = ∅ nên inf X f ≥ α (tức là f bị chặn dưới). Với
σ > 0 nhỏ tùy ý và r > 0 ta ln tìm được x ∈ X để f (x) < inf B r (x) f +σr.
Theo Hệ quả 2.1.7 tồn tại x ∈ B r (x) sao cho |∇f |(x) < σ . Do σ dương nhỏ
tùy ý nên inf X |∇f | ≤ 0. Mặt khác theo (2.4) ta có inf [αVậy inf [α
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




21

Mệnh đề 2.1.9. Cho X là không gian metric đầy đủ, f : X → R ∪ {+∞}
là hàm nửa liên tục dưới, U là tập con của X , α ∈ R, σ > 0, ρ > 0. Giả
sử U ∩ [f < α + σρ] = ∅ và

|∇f | ≥ σ.

inf
Bρ (U )∩[α

Khi đó [f ≤ α] = ∅ và

τ d(x, [f ≤ α]) ≤ (f (x) − α)+ , ∀x ∈ U ∩ [f < α + τ ρ].
Chứng minh. Giả sử ngược lại [f ≤ α] = ∅, tức là f (x) > α, ∀x ∈ X . Lấy
x ∈ U ∩ [α < f < α + σρ] ta có

f (x) < α + σρ ≤ inf +σρ.
X

Áp dụng Mệnh đề 2.1.7 ta tìm được x ∈ Bρ (x) ⊂ Bρ (U ) và thỏa mãn

α < f (x) ≤ f (x) < α + σρ và |∇f |(x) < σ.
Suy ra x ∈ Bρ (U ) ∩ [α < f < α + σρ] và |∇f |(x) < σ . Điều mâu thuẫn
giả thiết.
Định lý 2.1.10. Cho X là không gian metric đầy đủ, f : X → R ∪ {+∞}
là hàm nửa liên tục dưới, α ∈ R, β ∈ R ∪ {+∞}với α < β . Khi đó

inf
[α
f (x) − γ
.
α≤γ<β x∈[γ
|∇f | = inf σγ,β (f ) = inf
α≤γ<β

inf

Chứng minh. Từ (2.1) và (2.4) ta chỉ cần chứng minh

σγ,β (f ) ≥

inf

|∇f |, ∀α ≤ γ < β.

[α
Thật vậy, với γ ∈ [α, β) cố định ta có thể giả sử σγ,β (f ) < +∞ nên
[γ < f < β] = ∅ và inf |∇f | > 0 nên [f ≤ α] = ∅.
α
Lấy số thực σ > σγ,β (f ) và x ∈ [γ < f < β] và thỏa mãn

f (x) − γ < σd(x, [f ≤ γ]).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




22

Đặt r := d(x, [f ≤ γ]) > 0 (do [f ≤ γ] đóng và x ∈
/ [f ≤ γ]) và
g := (f − γ)+ ≥ 0, trong đó g(x) := max{f (x) − γ, 0}. Khi đó

g(x) = max{f (x) − γ, 0} = f (x) − γ < σd(x, [f ≤ γ]) = σr ≤ inf +σr.

B r (x)

Theo Mệnh đề 2.1.7 tồn tại x ∈ Br (x) thỏa mãn g(x) ≤ g(x) và
|∇g|(x) < σ . Theo định nghĩa của r và do d(x, x) < r = d(x, [f ≤ γ]) suy
ra f (x) > γ và

f (x) = g(x) + γ ≤ g(x) + γ = f (x) < β.
Do đó x ∈ [γ < f < β]. Theo định nghĩa của độ dốc mạnh ta có

|∇f |(x) = |∇g|(x) < σ.
Suy ra

inf |∇f | < σ.
[γ
Theo định nghĩa của số σγ,β (f ) ta có
Vậy

|∇f | ≤

inf
[α
inf |∇f | ≤ σγ,β (f ).

[γ
inf |∇f | ≤ σγ,β (f ).

[γ

Nhận xét 2.1.11. a) Định lý 2.1.10 cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn
tại của cận sai số toàn cục của hàm nửa liên tục f giữa mức γ và β với
α ≤ γ < β là

0<σ<

inf
[α
|∇f | < +∞ ⇒ [f ≤ α] = ∅ và σγ,β (f ) ≥ σ, ∀γ ∈ [α, β).

b) Năm 2002 hai nhà toán học Zili Wu và Jane J.Ye [5] đã thiết lập
được một điều kiện đủ khác cho sự tồn tại cận sai số toàn cục đối với các
hàm nửa liên tục dưới: Cho f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới
trên không gian metric X, với 0 < ε ≤ +∞, σ > 0, giả sử [f ≤ σ] = ∅ và
với mỗi x ∈ [0 < f < ε] tồn tại y ∈ X sao cho f (y) ≥ 0 và

f (x) − f (y) ≥ σd(x, y) > 0.
Khi đó, [f ≤ 0] = ∅ và σ0,ε (f ) ≥ σ .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




23

2.1.2

Điều kiện dưới vi phân của hàm lồi

Trong phần này chúng ta luôn giả sử rằng X là không gian Banach với
chuẩn || · ||, X ∗ là không gian tôpô đối ngẫu của X , d∗ là metric liên kết
với chuẩn đối ngẫu, với x ∈ X, x∗ ∈ X ∗ kí hiệu < x∗ , x >= x∗ (x).
Mệnh đề 2.1.12. Cho X là không gian Banach, f : X → R ∪ {+∞} là
hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới, với x ∈ X không phải cực tiểu
của f . Khi đó

|∇f |(x) =

f (x) − f (z)
−f (x, z − x)
= sup
= d∗ (0, ∂f (x)).
||x − z||
||x − z||
f (z)f (z)sup

Chứng minh. Nếu x ∈
/ domf ta có ngay điều phải chứng minh vì khi đó
cả hai vế cùng bằng +∞.
Gỉa sử x ∈ domf và x không phải cực tiểu của f . Với mọi z ∈ X thỏa
mãn f (z) < f (x), với mọi λ ∈ (0, 1] ta có

f (x + λ(z − x)) = f ((1 − λ)x + λz) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (z)
⇔ λ(f (x) − f (z)) ≤ f (x) − f (x + λ(z − x)).
Do đó

f (x) − f (z) f (x) − f (x + λ(z − x)
≤
.
||x − z||
λ||x − z||

Với x∗ ∈ ∂f (x) ta có

f (x + λ(z − x)) − f (x) ≥< x∗ , λ(z − x) > .
Do đó

f (x) − f (x + λ(z − x)) − < x∗ , λ(z − x) > λ||x∗ ||∗ ||z − x||
≤
≤
= ||x∗ ||∗ .
λ||x − z||
λ||x − z||
λ||x − z||
Suy ra

|∇f |(x) ≤

f (x) − f (z)
−f (x, x − z)
≤ sup
≤ d∗ (0, ∂f (x)).
||x − z||
||x − z||
f (z)

f (z)sup

Mặt khác, do x không phải là cực tiểu của hàm f nên tồn tại σ sao cho
0 < σ < d∗ (0, ∂f (x)). Suy ra x cũng không là cực tiểu của hàm lồi z →
f (z) + σ||x − z||. Do đó tồn tại z ∈ X thỏa mãn f (z) + σ||x − z|| < f (x).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên