Cải tiến phương pháp đơn hình giải quy hoạch tuyến tính

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ HUỆ

CẢI TIẾN PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH
GIẢI QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Chun ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS.TS. TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên – 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




NGUYỄN THỊ HUỆ

Đề tài: CẢI TIẾN THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH GIẢI QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Soạn thảo văn bản LATEX bởi công cụ MikTeX & TeXmaker
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 10 năm 2011

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Mục lục

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

1.2

1.3

6

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ TÍNH
CHẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Nội dung bài toán . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . .

8

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU

11

1.2.1

Dạng bài tốn đối ngẫu . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2

Định lí đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . .

12

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1

Thuật tốn đơn hình gốc . . . . . . . . . . .

14

1.3.2

Thuật tốn đơn hình đối ngẫu . . . . . . .

17

2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GỐC - ĐỐI NGẪU CẢI
BIÊN
22
2.1

2.2
2.3

BÀI TOÁN VÀ Ý TƯỞNG THUẬT TOÁN . . . . . .

22

2.1.1

Nội dung bài tốn và các kí hiệu . . . . . .

22

2.1.2

Ý tưởng thuật toán

. . . . . . . . . . . . .

23

THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH GỐC - ĐỐI NGẪU CẢI
BIÊN (RPDSA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

PHƯƠNG PHÁP M - LỚN ( BIG M - METHOD) . .

27

Tìm cơ sở đối ngẫu chấp nhận được B và
phân hoạch ( B, N ) ban đầu. . . . . . . . .

27

Tìm điểm gốc chấp nhận được y ban đầu

27

2.3.1
2.3.2

2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên1




2.3.3

Phương pháp M - lớn ( Big - M Method .

28

2.3.4

VÍ DỤ MINH HỌA . . . . . . . . . . . . . .

30

3 HAI PHƯƠNG PHÁP CẢI TIẾN KHÁC
3.1

3.2

3.3

33

BÀI TOÁN VÀ Ý TƯỞNG THUẬT TOÁN . . . . . .

33

3.1.1

Nội dung bài toán và các kí hiệu . . . . . .

33

3.1.2

Ý tưởng thuật toán . . . . . . . . . . . . . .

34

PHƯƠNG PHÁP GÓC NGHIÊNG NHỎ NHẤT . . . .

37

3.2.1

Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2.2

Ví dụ 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

PHƯƠNG PHÁP CÔSIN ĐƠN HÌNH . . . . . . . . .

41

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên2




LỜI NĨI ĐẦU
Quy hoạch tuyến tính là bài tốn tìm cực đại ( hay cực tiểu ) của

một hàm tuyến tính với các biến số thỏa mãn các phương trình hay bất
phương trình tuyến tính. Quy hoạch tuyến tính là một trong những
lớp bài toán tối ưu quan trọng nhất và được ứng dụng rộng rãi nhất
trong thực tiễn.
Thuật toán đơn hình do Dantzig đề xuất từ năm 1947, dựa trên nguyên
tắc xoay vần được dùng rộng rãi và có hiệu quả để giải các bài tốn
quy hoạch tuyến tính. Tuy nhiên, về mặt lý thuyết nó là thuật tốn
thời gian mũ ( thời gian tính phụ thuộc theo cấp độ hàm mũ vào độ
dài dữ liệu của bài toán cần giải ). Vì thế, nhiều nghiên cứu đã được
tiến hành nhằm cải tiến nó cả về lý thuyết lẫn hiệu quả tính tốn thực
tế.
Về lý thuyết, thành tựu nổi bật nhất là đã chứng minh được rằng
bài toán quy hoạch tuyến tính có thể giải được bằng các thuật toán
thời gian đa thức. L. G. Khachian ([8], 1979) là người đầu tiên đã đề
xuất thuật toán ellipsoid giải quy hoạch tuyến tính trong thời gian đa
thức, dựa trên những nghiên cứu trong những năm 60 - 70 của thế kỉ
trước, chủ yếu ở Liên Xô (trước đây), do những tác giả khác, trước
Khachian thực hiện. Tiếp đó, N. K. Karmarkar ([7], 1984) đã đề xuất
thuật toán chiếu giải quy hoạch tuyến tính. Phương pháp này cũng
có độ phức tạp đa thức và có hiệu quả tính tốn cao đặc biệt đối với
những bài tốn tuyến tính cỡ lớn. Cả hai bài toán trên đều thuộc loại
phương pháp điểm trong. Sau đó đã có nhiều mở rộng phương pháp
điểm trong (xem [9]) để giải các bài toán tối ưu phi tuyến, quy hoạch
lồi tồn phương , quy hoạch nón...
Về góc độ thực tiễn, có nhiều nghiên cứu nhằm cải tiến thuật tốn
đơn hình sao cho đạt hiệ quả tính tốn cao hơn nữa. Trong đó, đáng
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên3

kể có thuật tốn đơn hình gốc đối ngẫu của K. Paparrizos et al., ([10],
2003) thuật toán cải tiến cơ sở ban đầu cho thuật tốn đơn hình do
H. V. Junior và M. P. E. Lins đề xuất ([6], 2005) và thuật tốn cơ sin
đơn hình do H. W. Corley et al., đề xuất ([5], 2005) Kết quả tính tốn
trên các bài toán thử nghiệm cho thấy các thuật toán mới hiệu quả
hơn thuật tốn đơn hình cổ điển khoảng 30% và tỏ ra rất có triển vọng.
Luận văn này nhằm tìm hiểu và giới thiệu một số thuật tốn mới
cải tiến thuật tốn đơn hình, thuộc nhóm thứ hai kể trên. Cụ thể luận
văn sẽ trình bày phương pháp đơn hình điểm ngồi (EPSA, RPDSA),
phương pháp góc nghiêng nhỏ nhất (MA) và phương pháp cơsin đơn
hình (CSA). Các thuật tốn này có ý tưởng rõ ràng, dễ thực thi, khối
lượng tính tốn giảm và do đó hiệu quả tính tốn cao hơn. Vì thế,
tìm hiểu và nghiên cứu chủ đề này là cần thiết và hữu ích, giúp hiểu
rõ các mở rộng và ứng dụng của phương pháp đơn hình trong thực tiễn.
Nội dung luận văn được chia làm ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nhắc lại tóm tắt một số kiến thức
cơ bản cần thiết về nài tốn quy hoạch tuyến tính và bài tốn quy
hoạch tuyến tính đối ngẫu cùng các tính chất của chúng, về phương
pháp đơn hình và đơn hình đối ngẫu giải bài tốn quy hoạch tuyến
tính. Nhiều khái niệm, sự kiện trình bày ở chương này được giải thích,
minh họa qua các ví dụ bằng số và hình vẽ cụ thể. Các kiến thức này
sẽ được dùng đến ở các chương sau.
Chương 2: Phương pháp đơn hình đối ngẫu- đối ngẫu cải biên
trình bày thuật tốn đơn hình gốc - đối ngẫu cải biên (RPDSA) mà
thực chất là sự cải biên thuật tốn đơn hình đối ngẫu. Thuật tốn
RPDSA cũng có thể xem như một thuật tốn đơn hình điểm ngồi
( exterior point simple algorithm - EPSA), vì các nghiệm cơ sở k do
thuật tốn tạo ra ln nằm ngồi miền chấp nhận được của bài toán.
Chương 3: Hai phương pháp cải tiến khác trình bày phương pháp

góc nghiêng nhỏ nhất giải quy hoạch tuyến tính chính tắc và phương
pháp cơ sin đơn hình giải quy hoạch tuyến tính chuẩn tắc. Cả hai
phương pháp đều dựa trên nhận xét chung là đỉnh tối ưu của bài toán
gốc hay đối ngẫu thường gần với đỉnh tạo nên bởi các ràng buộc mà
góc giữa véc tơ gradian của chúng với véc tơ hệ số mục tiêu là nhỏ
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên4




nhất. Phương pháp đầu chọn các véctơ ràng buộc đó làm cơ sở xuất
phát, còn phương pháp sau đưa dần các ràng buộc đó vào bài tốn để
giải.
Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên luận văn này mới chỉ
đề cập tới những nội dung cơ bản của các thuật tốn kiểu đơn hình
giải quy hoạch tuyến tính, chưa đi sâu vào kĩ thuật lập trình cụ thể.
Trong kĩ thuật viết luận văn cũng như trong quá trình xử lý văn bản
chắc chắn khơng tránh khỏi những sai xót nhất định. Tơi rất mong
nhận được sự đóng góp của các thầy, cơ và các bạn đồng nghiệp để
luận văn được chính xác và hồn thiện hơn.
Nhân dịp nay, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng
dẫn GS - TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt q trình
làm luận văn.
Tơi xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trường Đại Học Khoa
Học - Đại Học Thái Nguyên, Viện Toán học - Viện Khoa Học và Công
Nghệ Việt Nam, đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong
quá trình tơi học tập và nghiên cứu.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu, các Phòng, các Ban
chức năng của trường Cao Đẳng Công Nghệ và Kinh tế Công Nghiệp
thành phố Thái Nguyên và tập thể bạn bè đồng nghiệp cùng gia đình

đã quan tâm giúp đỡ, động viên để tơi hồn thành tốt luận văn này.
Thái Ngun, tháng 9/2011

6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên5




Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản cần thiết về quy
hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình ( thuật tốn đơn hình gốc
và thuật tốn đơn hình đối ngẫu ) và đối ngẫu trong quy hoạch tuyến
tính. Nội dung của chương chủ yếu dựa trên các tài liệu tham khảo
[1] - [4]
1.1

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ TÍNH
CHẤT

Quy hoạch tuyến tính là bài tốn tìm cực tiểu ( cực đại ) của một
hàm tuyến tính f (x) trên một tập lồi đa diện D ⊂ Rn . Quy hoạch
tuyến tính là một trong những lớp bài toán tối ưu quan trọng nhất và
được ứng dụng rộng rãi nhất trong thực tiễn. Nó bắt nguồn từ nững
nghiên cứu của nhà bác học Nga nổi tiếng, Viện sĩ L. V. Kantorovich
trong một loạt công trình về kế hoạch hóa sản xuất cơng bố năm 939
và nó thực sự phát triển mạnh mẽ kể từ khi nhà toán học Mỹ G. B.
Dantzig đề xuất thuật tốn đơn hình giải quy hoạch tuyến tính vào
năm 1947.

1.1.1

Nội dung bài tốn

Bài tốn quy hoach tuyến tính thường được viết ở một số dạng sau:
Dạng tổng quát ( abstract form ):

min{f (x) = cT x : x ∈ D}
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên6




trong đó c ∈ Rn , D ⊂ Rn là một tập lồi đa diện, tức là tập nghiệm
của một hệ phương trình và bất phương trình tuyến tính. T kí hiệu
của chuyển vị véctơ ( ma trận ).
Dạng chuẩn ( standard form):

min{f (x) = cT x : Ax ≥ b, x ≥ 0}
trong đó A ∈ Rm×n (ma trận cỡ m x n), b ∈ Rm , c, x ∈ Rn , x ≥ 0
Trong bài toán này, tập D = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, x ≥ 0} là một tập lồi
đa diện.
Ví dụ 1.1

Quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn hai biến:
3x1 + 2x2 → min
với điều kiện
x1 + 2x2 ≥ 5,
3x1 + x2 ≥ 4,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Dạng chính tắc ( canonical form):

min{f (x) = cT x : Ax = b, x ≥ 0}
với các kí hiệu như ở trên.
Ví dụ 1.2

Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc ba biến:
x1 + 3x2 + 2x3 → min
với điều kiện
x1 − x2 + x3 = 5,
2x1 + x2 − x3 = 4,
x1 + x2 + x3 = 3,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên7




Trong các dạng trên, f được gọi là hàm mục tiêu, D gọi là tập ràng
buộc hay miền chấp nhận được, điểm x = (x1 , x2 , ......, xn )T ∈ D gọi
là một phương án hay một lời giải chấp nhận được của bài toán. Một
phương án cực tiểu ( cực đại ) của hàm mục tiêu gọi là phương án tối
ưu hay lời giải tối ưu.
Với mỗi bài tốn quy hoạch tuyến tính chỉ xảy ra 1 trong 3 khả năng
sau:
a) Bài tốn khơng có phương án ( tập ràng buộc D rỗng ).
b) Bài tốn có phương án nhưng khơng có phương án tối ưu.
c) Bài tốn có phương án tối ưu.
1.1.2

Một số tính chất

Định lí sau nêu điều kiện để một quy hoạch tuyến tính có phương
án tối ưu:
Định lí 1.1:

Nếu một quy hoạch tuyến tính có ít nhất một phương án và hàm
mục tiêu bị chặn dưới trong miền ràng buộc (đối với bài tốn min) thì
bài tốn chắc chắn có phương án tối ưu.
Nhận xét 1.1:

Định lí 1.1 chỉ đúng cho bài tốn quy hoạch tuyến tính, định lí khơng
cịn đúng khi hàm mục tiêu hoặc một trong các ràng buộc khơng cịn
tuyến tính. Sau đây là hai ví dụ chứng minh cho nhận xét này.
Ví dụ 1.3

Xét bài tốn
min{f (x1 , x2 ) = x2 : x1 x2 ≥ 1, x1 ≥ 0}
Miền chấp nhận được D = {x ∈ R2 : x1 x2 ≥ 1, x1 ≥ 0} là một tập
lồi khác rỗng, nhưng không la tập lồi đa diện. Tuy hàm mục tiêu
f (x) = x2 là tuyến tính và f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ D ( f bị chặn dưới
trên D), nhưng rõ ràng bài toán khơng có phương án tối ưu, mặc dù
infx∈D f (x) = 0 (xem Hình 1.1).
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên8




Ví dụ 1.4

Xét bài tốn

1
: x ∈ R2 }.
2
1+x
Miền chấp nhận được D ≡ R là một tập lồi đa diện, khác rỗng. Tuy
1
nhiên, hàm mục tiêu f (x) = 1+x
2 là hàm phi tuyến tính và f (x) ≥ 0
với mọi x ∈ D ( f bị chặn dưới trên D), nhưng rõ ràng bài tốn này
cũng khơng có phương án tối ưu, mặc dù infx∈D f (x) = 0 (xem Hình
1.2).
min{f (x) =

Định lí 1.2:

Nếu x0 là một phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính
(dạng bất kì) và nếu x1 , x2 (x1 = x2 ) là 2 phương án thỏa mãn x0 =
λx1 + (1 − λ)x2 , 0 ≤ λ ≤ 1 thì x1 , x2 cũng là các phương án tối ưu.
Định nghĩa 1.1:

Một phương án x ∈ D mà đồng thời là đỉnh của D gọi là một phương
án cực biên hay một lời giải cơ sở nghĩa là x không thể biểu diễn dưới
dạng tổ hợp lồi của bất kì hai phương án khác của D. Nói cách khác,
hễ có x = λx1 + (1 − λ)x2 , 0 ≤ λ ≤ 1 và x1 , x2 ∈ D thì x = x1 = x2
Định lí 1.3:

Để một lời giải chấp nhận được x¯ = {¯
x1 , x¯2 , ....., x¯n } của quy hoạch

tuyến tính chính tắc là lời giải cơ sở thì điều kiện cần và đủ là các
véc tơ cột Aj của ma trận A ứng với các thành phần x¯j > 0 là độc lập
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên9




tuyến tính.
Từ định lí 1.3 ta dễ dàng suy ra các hệ quả sau:
Hệ Quả 1.1:

Số phương án cực biên của bài tốn quy hoạch tuyến tính chính tắc
là hữu hạn.
Hệ Quả 1.2:

Số thành phần dương trong mỗi phương án cực biên của bài tốn
quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc tối đa bằng m (m là số hàng của
ma trận A)
Người ta phân ra 2 loại phương án cực biên: Khơng suy biến nếu
phương án cực biên đó có số thành phần dương bằng m và suy biến
nếu trái lại.
Định lí 1.4:

Nếu bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc có ít nhất một
phương án thì nó cũng có phương án cực biên (miền ràng buộc D có
đỉnh).
Định lí 1.5:

Nếu một quy hoạch tuyến tính ( dạng tùy ý) có phương án tối ưu và
nếu tập ràng buộc D có đỉnh thì phương án cực biên tối ưu

Các định lí trên cho phép tìm phương án cực biên tối ưu của bài
tốn quy hoạch tuyến tính chính tắc trong số các phương án cực biên
của bài toán (số này là hữu hạn).

11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10




1.2
1.2.1

BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU
Dạng bài tốn đối ngẫu

Đối ngẫu là một phương pháp mà ứng với mỗi bài tốn quy hoạch
tuyến tính đã cho (gọi là bài tốn gốc), ta có thể thiết lập một bài
tốn quy hoạch tuyến tính khác ( gọi là bài tốn đối ngẫu) sao cho từ
lời giải của bài toán này ta sẽ thu được thông tin về lời giải của bài
toán kia. Sau đây là hai dạng cặp bài toán đối ngẫu thường gặp
Đối ngẫu của quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn (quy hoạch gốc):

• (P)
min{f (x) = cT x : Ax ≥ b, x ≥ 0}
là quy hoạch tuyến tính ( quy hoạch đối ngẫu )
• (Q)
max{g(y) = bT y : AT y ≤ c, y ≥ 0}
(AT là ma trận chuyển vị của A ) AT y ≤ c còn viết dưới dạng
s = c − AT y ≥ 0

Ví dụ 1.5

Đối ngẫu của bài tốn cho ở ví dụ 1.1 ( dạng chuẩn) là bài tốn
g(y) = 5y1 + 4y2 → max
với điều kiện
y1 + 3y2 ≤ 3,
2y1 + y2 ≤ 2,
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0.
Đối ngẫu của quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc :

min{f (x) = cT x : Ax = b, x ≥ 0} là quy hoạch tuyến tính
max{g(y) = bT y : AT y ≤ c}
( biến đối ngẫu y có dấu tùy ý )

12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11




Ví dụ 1.6

Đối ngẫu của bài tốn ở Ví dụ 1.2 (dạng chính tắc) là bài tốn
g(y) = 5y1 + 4y2 + 3y3 → max
với điều kiện
y1 + 2y2 + y3 ≤ 1,
−y1 + y2 + y3 ≤ 3,
y1 − y2 + y3 ≤ 2.
1.2.2

Định lí đối ngẫu

Các kết quả dưới đây đúng cho mọi cặp bài toán đối ngẫu (P)và
(Q) dạng bất kì.
Định lí 1.6.( Đối ngẫu yếu)

Nếu x là một phương án của bài toán gốc (P) và y là một phương
án của bài toán đối ngẫu (Q) thì
f (x) = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn ≥ g(y) = b1 y1 + b2 y2 + ... + bm ym

Từ định lí đối ngẫu yếu ta suy ra các kết luận trong hệ quả sau:
Hệ quả 1.3

a) Giá trị mục tiêu của một phương án đối ngẫu bất kì là một cận
dưới cho giá trị mục tiêu đối với mọi phương án của bài toán gốc
b) Nếu hàm mục tiêu của bài toán gốc khơng bị chặn dưới trong miền
ràng buộc của nó thì bài tốn đối ngẫu khơng có bất kì một phương án
nào.
c) Nếu hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu khơng bị chặn dưới trong
miền ràng buộc của nó thì bài tốn gốc khơng có bất kì một phương án
nào.
d) Nếu x∗ là một phương án của bài toán gốc, y ∗ là một phương án
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12




của bài toán đối ngẫu và f (x∗) = g(y∗) thì x∗ là phương án tối ưu của
bài tốn gốc và y ∗ là phương án tối ưu của bài tốn đối ngẫu.

Định lí 1.7 (Đối ngẫu mạnh):

Nếu một quy hoạch có phương án tối ưu thì quy hoạch đối ngẫu của
nó cũng có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của chúng là bằng nhau.
Định lí 1.8 (Đối ngẫu cơ bản):

Đối với mỗi cặp quy hoạch đối ngẫu nhau chỉ có thể xảy ra 1 trong
3 khả năng sau đây:
a) Cả 2 quy hoạch đều có phương án.
b) Cả 2 quy hoạch đều có phương án. Khi đó cả 2 quy hoạch đều
có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của các hàm mục tiêu là bằng
nhau.
c) Một quy hoạch có phương án và quy hoạch kia khơng có phương
án. Khi đó quy hoạch có phương án sẽ khơng có phương án tối ưu và
hàm mục tiêu của nó khơng giới nội trong miền ràng buộc.
Quan hệ giữa cặp quy hoạch đối ngẫu còn thể hiện ở sự kiện sau
Định lí 1.9 (Định lí độ lệch bù)

Mỗi cặp phương án x, y của 2 quy hoạch đối ngẫu (P) và (Q) là
những phương án tối ưu khi và chỉ khi chúng nghiệm đúng các hệ
thức:
n
yi ( aij xj − bi ) = 0 với mọi i = 1,2.......,m
j=1
m

xj (cj −

aij yi ) = 0 với mọi j = 1,2......,n
i

1.3

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

Phương pháp đơn hình giải QHTT (do G.B. Zantzig) đề xuất 1947
dựa trên 2 tính chất quan trọng sau đây của bài tốn QHTT:
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13




a) Nếu QHTT chính tắc có phương án tối ưu thì cũng có phương án
cực biên tối ưu, nghĩa là có ít nhất 1 đỉnh của miền ràng buộc là lời
giải của bài toán
b) Mỗi điểm cực biên địa phương của hàm tuyến tính (cũng là hàm
lồi) trên một tập hợp lồi là một điểm cực tiểu tuyệt đối.
1.3.1

Thuật toán đơn hình gốc

Bằng cách thực hiện một số phép biến đổi đơn giản, ta có thể đưa
bài tốn quy hoạch tuyến tính từ dạng này sang dạng khác. Vì thế khi
giải ta chỉ cần chọn một dạng thuận tiện để xét mà khơng làm giảm
tính tổng qt của phương pháp.
Xét quy hoạch tuyến tính chính tắc (m ràng buộc đẳng thức, n biến):
min{cT x : Ax =, x ≥ 0} với A là ma trận cấp m × n (Aj ∈ Rm là cột
j của A), b ∈ Rm , c, x ∈ Rn .
Giả thiết: m ≤ n (m > n bài tốn có thể vơ nghiệm) và rank(A) = m

Bài tốn quy hoạch tuyến tính được gọi là không suy biến nếu tất
cả các phương án cực biên của nó đều khơng suy biến, tức là đều có
m thành phần dương. Bài toán được gọi là suy biến nếu nó có dù chỉ
là một phương án cực biên suy biến ( số thành phần dương nhỏ hơn m).
Xuất phát từ một phương án cực biên (đỉnh ) không suy biến. Chẳng
hạn, x¯ = (¯
x1 , x¯2 , ....., x¯m , 0, ...., 0) với xj > 0 (j = 1,2,......,m)
Đặt
J = {j : x¯j 0}
là tập chỉ số biến cơ sở ( xj , j ∈ J là biến cơ sở)
B = {Aj : j ∈ J}
là cơ sở của A , rank(B) = m và tồn tại nghịch đảo B −1
xB = B −1 b
là véc tơ giá trị các biến cơ sở . ((xB ,0) là phương án của bài toán )
cB = {cj : j ∈ J}

15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14




là véc tơ hệ số các biến cơ sở.
Tính
Zk = B −1 Ak
là véc tơ hệ số khai triển cột Ak theo cơ sở B( k ∈
/ J)
∆k = cB Zk − ck
với mọi k = 1,2,.....,n (∆k là ước lượng của biến xk )
Định lí 1.9( Dấu hiệu tối ưu)

Nếu với phương án cực biên x¯ của bài toán ta có ∆k ≤ 0 với mọi
k∈
/ J thì x¯ là một phương án ( cực biên ) tối ưu của bài tốn.
Định lí 1.10 ( Dấu hiệu bài tốn khơng có phương án tối ưu)

Nếu đối với phương án cực biên x¯ tồn tại chỉ số k ∈
/ J sao cho ước
lượng ∆k > 0 và Zjk ≤ 0 với mọi j ∈ J thì bài tốn đã cho khơng có
pương án tối ưu
Thuật tốn đơn hình gốc gồm các bước sau:
Bước 1.

Lập bảng đơn hình ban đầu ( xem ví dụ 1.7)
Bước 2 ( Dấu hiệu tối ưu).

Nếu ∆k ≤ 0 với mọi k = 1, 2, ....., n thì x∗ = (xB , xN ) với xB =
B −1 b, xN = 0 là phương án tối ưu ( Định lí 1.9): dừng q trình giải.
Trái lại, chuyển sang bước 3.
Bước 3 ( Dấu hiệu bài toán khơng có phương án tối ưu)

Nếu ∆k > 0 và Zrj ≤ 0 với mọi j = 1, 2,...., m thì bài tốn khơng có
phương án tối ưu ( Định kí 1.10): dừng q trình giải. Trái lại chuyển
sang bước 4

16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15

Bước 4 ( Chọn cột quay )

Chọn s = max{j : ∆j

0} Chuyển sang bước 5

Bước 5 (Chọn dòng quay )

Chọn r = min{i : (B −1 b)i /zis , zis
phần tử xoay. Chuyển sang bước 6

0} làm dòng quay và zrs gọi là

Bước 6.

Biến đơi bảng đơn hình( theo quy tắc hình chữ nhật).Trở lại bước 2
Nếu bài tốn quy hoạch tuyến tính có phương án và mọi phương án
cực biên của bài tốn là khơng suy biến thì thuật tốn đơn hình gốc
sẽ cho ra phương án tối ưu hoặc phát hiện bài tốn khơng có phương
án tối ưu ( trị tối ưu vô cực ) sau một số hữu hạn lần thay đổi phương
án cực biên.

Ví dụ 1.7

Xét bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc sau đây:
f (x) = −14x1 − 12x2 → min

17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16

với điều kiện
2x1 + x2 + x3
= 5,
3x1 + 4x2 + x4 = 10,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0.
Q trình giải bài tốn theo thuật tốn đơn hình gốc được ghi ở bảng
sau.

1.3.2

Thuật tốn đơn hình đối ngẫu

Về thực chất đây là phương pháp đơn hình áp dụng vào bài tốn đối
ngẫu nhưng để tìm lời giải của bài tốn gốc và diễn đạt các bước tính
tốn theo ngơn ngữ bài tốn gốc. Phương pháp này do G.E.Lemke đề
xuất 1954.
Phương pháp đơn hình giải quy hoạch tuyến tính bắt đầu từ một
phương án ( nghiệm đúng Ax = b, x 0) mà nó chưa thỏa mãn điều
kiện tối ưu (định lí 1.9). Sau mỗi bước lặp ta sẽ tìm được phương án
mới, tốt hơn phương án cũ (giá trị hàm mục tiêu giảm xuống đối với
bài tốn tìm cực tiểu) và q trình này tiếp tục cho đến khi nhận được
phương án thỏa mãn dấu hiệu tối ưu hoặc tới khi phát hiện bài tốn
khơng có phương án tối ưu ( hàm mục tiêu giảm vơ hạn ).

18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17

Phương pháp đơn hình đối ngẫu lại xuất phát từ một "giả phương
án" (nghiệm đúng Ax = b ) mà nó thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu nhưng
chưa thỏa mãn điều kiện x 0. Bảng đơn hình được biến đổi sao cho
luôn đảm bảo điều kiện tối ưu và quá trình biến đổi bảng được tiếp
diễn cho đến khi nhận được phương án ( x 0 và đồng thời phương án
đó cũng là phương án tối ưu) hoặc đến khi phát hiện bài tốn khơng
có phương án (miền chấp nhận được rỗng).
Phương pháp đơn hình đối ngẫu thường được sử dụng khi ta chưa
biết một phương án cực biên nào của bài tốn gốc nhưng lại dễ dàng
tìm được phương án cực biên của bài toán đối ngẫu. Chẳng hạn, khi
bài tốn cần giải có dạng chuẩn và vecto hệ số mục tiêu không âm
(c 0):
min{f (x) = cT x, Ax ≥ b, x ≥ 0} ( vế phải b có dấu tùy ý )
Bài tốn đối ngẫu tương ứng có dạng
max{g(y) = bT y : AT y ≤ c, y ≥ 0}
Rõ ràng y 0 = 0 là phương án cực biên của bài tốn đối ngẫu, vì
AT y 0 = 0 ≤ c và y 0 = 0 thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến
tính (y 0).
Thuật tốn đơn hình đối ngẫu gồm các bước sau:

Bước 1.

Lập bảng đơn hình đối ngẫu ban đầu ( xem ví dụ 1.8)
Bước 2 ( Dấu hiệu tối ưu).

Nếu B −1 b ≥ 0 thì x∗ = (xB , xN ) với xB = B −1 b, xN = 0 là phương

án tối ưu: dừng quá trình giải. Trái lại, chuyển sang bước 3.
Bước 3 (Chọn dòng quay )

Chọn r = min{i : (B −1 b)i ≺ 0} Chuyển sang bước 4.

19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18




Bước 4 ( Dấu hiệu bài tốn khơng có phương án )

Nếu Zrj ≥ 0 với mọi j = 1, 2,...., n thì bài tốn khơng có phương
án : dừng quá trình giải. Trái lại chuyển sang bước 5
Bước 5 ( Chọn cột quay )

chọn s = min{j : ∆j /zij ≺ 0} làm cột quay và zrs gọi là phần tử
xoay.Chuyển sang bước 6
Bước 6.

Biến đơi bảng đơn hình ( theo quy tắc hình chữ nhật).Trở lại bước
2.
Ví dụ 1.8

Xét bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn sau:
f (x) = 5x1 + 10x2 → min
với điều kiện
2x1 + 3x2 ≥ 14,
x1 + 4x2 ≥ 12

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Dùng 2 biến phụ x3 và x4 để đưa bài tốn về dạng chính tắc rồi đổi
dấu 2 vế các ràng buộc đẳng thức nhận được, ta đưa đến bài toán:
f (x) = 5x1 + 10x2 → min
với điều kiện
−2x1 − 3x2 + x3 = −14,
−x1 − 4x2
+ x4 = −12,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0.
Q trình giải bài tốn theo thuật tốn đơn hình đối ngẫu ghi ở bảng
sau:

20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19




• Như vậy ta thấy, thuật tốn đơn hình gốc luôn giữ cho B −1 b ≥ 0 và
cơ sở B được biến đổi cho đến khi đạt phương án tối ưu ( ∆k ≤ 0với
mọi k = 1, 2,....., n) hoặc đến khi phát hiện bài tốn khơng có phương
án tối ưu ( có ∆k 0 và mọi zjk ≤ 0 ). Cịn thuật tốn đơn hình đối
ngẫu lại luôn giữ cho ∆k ≤ 0 với mọi k = 1, 2,....., n và biến đổi cơ
sở B cho tới khi xB = B −1 b ≥ 0(x∗ = (xB , 0) là phương án tối ưu )
hoặc tới khi phát hiện bài tốn khơng có phương án ( có (B −1 b)i < 0
và mọi zjk ≥ 0).
Có thể tóm tắt phương pháp đơn hình trong bảng sau:

21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20

♣ Tóm lại, chương này đã trình bày về bài tốn quy hoạch tuyến
tính và các tính chất, lý thuyết đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính,
phương pháp đơn hình ( thuật toán gốc và thuật toán đối ngẫu ) giải
quy hoạch tuyến tính. Có thể tìm thấy chứng minh các định lí đã nêu
ở chương này trong các tài liệu tham khảo [ 1 ], [ 3 ]. Những kiến thức
cơ sở đã giới thiệu sẽ cần đến ở các chương sau.

22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21




Chương 2

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH
GỐC - ĐỐI NGẪU CẢI BIÊN
Chương này trình bày thuật tốn đơn hình gốc - đối ngẫu cải biên
(RPDSA) giải quy hoạch tuyến tính. Thuật tốn này có thể xem như
một biến thể của thuật tốn đơn hình đối ngẫu và nó làm việc khá
tốt trong thực tiễn đối với các bài toán cỡ nhỏ và vừa. Nội dung của
chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [3] và [10].
2.1
2.1.1

BÀI TOÁN VÀ Ý TƯỞNG THUẬT TỐN

Nội dung bài tốn và các kí hiệu

Xét bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc
min{f (x) = cT x : Ax = b, x ≥ 0}

(LP )

trong đó A ∈ Rm×n (ma trận cỡ m x n), b ∈ Rm , c, x ∈ Rn và T là kí
hiệu chuyển vị. Giả thiết m ≤ n và ma trận hệ số A có hạng bằng m.
Đối ngẫu của (LP) là bài toán
max{bT y : AT y + s = c, s ≥ 0}

(DP )

trong đó y ∈ Rm , s ∈ Rn .
Ta sử dụng các kí hiệu sau: aij là phần tử ở hàng i và cột j của A; Aˆr
(r chỉ số dưới) là hàng thứ r của A; Aj (j chỉ số trên) là cột thứ j của
A. Nếu I (J) là chỉ số hàng (cột) của A thì AIJ là ma trận con của A
gồm các phần tử ở hàng i ∈ I và cột j ∈ J. Nói riêng, ArJ là các phần
tử của A trên hàng r và cột j ∈ J. Phần tử thứ r của cột chỉ số I, J lí
hiệu lần lượt là I(r), J(r). Thành phần thứ j của véctơ x kí hiệu là xj
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22




Giả sử
J ⊂ {1, 2, ....., n}, J¯ = {1, 2, ...., n}\J
Nếu J gồm m chỉ số và nếu hệ véctơ cột {Aj : j ∈ J} độc lập tuyến

tính thì J được gọi là một cơ sở và B = {Aj : j ∈ J} gọi là ma trận cơ
¯ khi đó (B, N) gọi là một phân hoạch cơ sở
sở.Đặt N = {Aj : j ∈ J},
¯
của A. Với x ∈ Rn , kí hiệu xB = {xj : j ∈ J} và xN = {xj : j ∈ J}.
Nghiệm xB = B −1 b, xN = 0 gọi là một nghiệm cơ sở. Nghiệm cơ sở là
chấp nhận được nếu xB ≥ 0. Đặt cB = {cj : j ∈ J} thì véc tơ hàng
y T = (cB )T B −1 gọi là các nhân đơn hình ( simple multipliers). Khi đó,
y là một nghiệm cơ sở của (DP). Nghiệm cơ sở y là chấp nhận được
của (DP) nếu s = c − AT y ≥ 0. Một cơ sở mà nghiệm (xB , xN ) là chấp
nhận được của (LP) và nghiệm ( y, s) là chấp nhận được của (DP) gọi
là một cơ sở tối ưu.
Với các kí hiệu trên, ràng buộc và hàm mục tiêu của (LP) trở thành:
Ax = b, x ≥ 0 ⇔ BxB + N xN = b, xB ≥ 0, xN ≥ 0
⇔ xB = B −1 (b − N xN ) ≥ 0, xN ≥ 0;
cT x = (cB )T xB + (cN )T xN = (cB )T B −1 (b − N xN ) + (cN )T xN
= (cB )T B −1 b + (cN − (B −1 N )T cB )T xN = (sN )T xN + (cB )T B −1 b
và bài tốn (LP) có thể viết lại theo các biến xN (bỏ qua số hạng
(cB )T B −1 b) như sau:
min{(sN )T xN : xB = B −1 b − B −1 N xN ≥ 0, xN ≥ 0
Trường hợp m = 4, n = 6 ( n - m = 2) miền chấp nhận được (feasible
region) của bài toán ( LP) rút gọn nêu trên được minh họa ở Hình 2.1
(miền có dấu chấm).
2.1.2

Ý tưởng thuật toán

Thuật toán bắt đầu từ một (ma trận) cơ sở B đối ngẫu chấp nhận
được(cách tìm B sẽ nói sau), nghĩa là (y, s) xác định như trên là một
nghiệm cơ sở chấp nhận được của (DP). Gọi J là cột chỉ số các véc tơ

cột của B, J¯ = {1, 2, ...., n}\J. Lần lượt kí hiệu các nghiệm của (LP)
và (DP) tương ứng với phân hoạch cơ sở (B, N) là (xB , xN ) và (y, s)
với xB = B −1 b, xN = 0 và y T = (cB )T B −1 , s = c − AT y. Ta giả thiết
đã biết một nghiệm chấp nhận được v 1 của (LP). Cách tìm v 1 sẽ nói
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23