chuyem de SO SANH PHAN SO - L6

Chuyên đề : So sánh BD HSG Toán 6 (2010 - 2011)
A. Phần I. so sánh hai luỹ thừa
I. Một số t/c cần l u ý:
1. Để so sánh hai luỹ thừa , ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu m > n
thì a
m
> b
n
(a > 1)
- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì luỹ thừa nào có cơ số hơn sẽ lớn hơn. . Nếu m > n
thì a
m
> b
n
(a > 1)
2. Ngoài 2 cách trên ta còn sử dụng t/c bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân.
II. Bài tập
1. So sánh :
a. 16
19
và 8
25
b. 27
11
và 81
8
c. 625
5
và 125
7

d. 5
36
và 11
24
e. 3
2n
và 2
3n
(n
*
N
) f. 31
11
và 17
14
k. 3
500
và 7
300

Giải
a. 16
19
= (2
4
)
19
= 2
76
8

25
= (2
3
)
25
= 2
75
Vì 2
76
> 2
75


16
19
> 8
25
b.
11 3 11 33
33 32 11 8
8 4 8 32
27 = (3 ) = 3
3 >3 27 81
81 (3 ) = 3
vi


>

=

c.
5 4 5 20
21 20 5 7
7 3 7 21
625 = (5 ) = 5
5 >5 625 125
125 (5 ) = 5
vi


>

=


d.
36 3 12 12
12 12 36 24
24 2 12 12
5 = (5 ) = 125
125 >121 5 11
11 = (11 ) = 121
vi


>

e. 3
2

= 9; 2
3
= 8 . Vì 9 > 8

. 3
2

> 2
3


(3
2
)
n
> ( 2
3
)
n
hay 3
2n
> 2
3n
(n
*
N

)
f. 31
11
< 17
14
; k. 3
500
< 7
300

2. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ?
a) 5
23
và 6.5
22
b) 2
16
và 7.2
13
c) 21
15
và 27
5
.49
8
d) 8
5
và 3.4
7
Giải

a) 5
23
= 5.5
22
< 6.5
22
b) 2
16
= 2
3
.2
13
= 8. 2
13
> 7.2
13
c) 21
15
= (3.7)
15
= 3
15
.7
15
; 27
5
.49
8
=(3
3

)
5
.(7
2
)
8
=3
15
.7
16

3
15
.7
16
> 3
15
.7
15


27
5
.49
8
> 21
15

d) 8
5

= 2
15
= 2.2
14
; 3.4
7
= 3.2
14
3.2
14
> 2.2
14


) 3.4
7
> 8
5

3. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ?
a) 199
20
và 2003
15
b) 3
39
và 11
21
1
Chuyªn ®Ị : So s¸nh BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011)–

Gi¶i
a) 199
20
< 200
20
= (8.25)
20
= (2
3
.5
2
)
20
= 2
60
.5
40
2003
15
> 2000
15
= (16.125)
15
= (2
4
.5
3
)
15
= 2

60
.5
45
V× 2
60
.5
40
> 2
60
.5
45
nªn 2003
15
> 199
20
b) 3
39
< 3
40
= (3
4
)
10
= 81
10
11
21
> 11
20
(11

2
)
10
= 121
10
V× 121
10
> 81
10
nªn 11
21
> 3
39
4. So s¸nh hai hiƯu, hiƯu nµo lín h¬n :
45 44
72 72−
vµ
44 43
72 72−
HD
45 44 44 44
45 44 44 43
44 43 43 43
72 72 72 (72 1) 72 .71
72 72 72 72
72 72 72 (72 1) 72 .71

− = − =

⇒ − > −


− = − =


5. Cho
2 3 9
1 2 2 2 ... 2S = + + + + +
.H·y so s¸nh S víi 5.2
8
Gi¶i
2 3 9
1 2 2 2 ... 2S = + + + + +
2 3 9 10
2 2 2 2 ... 2 2S = + + + + +
2S – S = 2
10
– 1 hay S = 2
10
– 1 < 2
10
= 2
2
.2
8
= 4. 2
8
< 5.2
8
6. So s¸nh c¸c sè sau, sè nµo lín h¬n ?
a) 99

20
vµ 9999
10
b) 3
21
vµ 2
31
c) 202
303
vµ 303
202
d) 3
500
vµ 7
300
e) 11
1979
vµ 37
1320
f) 10
10
vµ 48.50
5
k) 1990
10
+ 1990
9
vµ 1991
10
Gi¶i

A. PhÇn I. so s¸nh hai ph©n sè
Để so sánh 2 phân số, tùy theo một số trường hợp cụ thể của đặc điểm các phân
số, ta có thể sử dụng nhiều cách tính nhanh và hợp lí. Tính chất bắc cầu của thứ
tự thường được sử dụng (
&
a c c m a m
thì
b d d n b n
> > >
),
trong đó phát hiện ra một số trung gian để làm cầu nối là rất quan trọng.
PHẦN I : CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH .
I/CÁCH 1: Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử: tử nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn
Ví dụ : So sánh
11 17
&
12 18
−
−
?
Ta viết :
11 33 17 17 34
&
12 36 18 18 36
− − − −
= = =
−
;
33 34 11 17
36 36 12 18

Vì
− − −
> ⇒ >
−
Chú ý :Phải viết phân số dưới mẫu dương .
II/CÁCH 2: Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu có cùng dấu “+” hay cùng dấu “-“:
mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn .
2
Chuyªn ®Ị : So s¸nh BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011)–
Ví dụ 1 :
2 2
5 4;
5 4
vì> − < −
− −

3 3
7 5
7 5
vì> >
Ví dụ 2: So sánh
2 5
&
5 7
?
Ta có :
2 10 5 10
&
5 25 7 24
= =

;
10 10 2 5
25 24 5 7
Vì < ⇒ <
Ví dụ 3: So sánh
3 6
&
4 7
− −
?
Ta có :
3 3 6 6 6
&
4 4 8 7 7
− −
= = =
− − −
;
6 6 3 6
8 7 4 7
Vì
− −
> ⇒ >
− −
Chú ý : Khi quy đồng tử các phân số thì phải viết các tử dương .
III/CÁCH 3: (Tích chéo với các mẫu b và d đều là dương )
+Nếu a.d > b.c thì
a c
b d
>

+ Nếu a.d < b.c thì
a c
b d
<
;
+ Nếu a.d = b.c thì
a c
b d
=
Ví dụ 1:
5 7
5.8 7.6
6 8
vì< <
Ví dụ 2:
4 4
4.8 4.5
5 8
vì
− −
< − < −
Ví dụ 3: So sánh
3 4
& ?
4 5− −
Ta viết
3 3 4 4
&
4 4 5 5

− −
= =
− −
;
Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên
3 4
4 5
>
− −
Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương
vì chẳng hạn
3 4
4 5
−
<
−
do 3.5 < -4.(-4) là sai
IV/CÁCH 4 : Dùng số hoặc phân số làm trung gian .
1/ Dùng số 1 làm trung gian:
a) Nếu
1&1
a c a c
b d b d
> > ⇒ >
b) Nếu
1; 1
a c
M N
b d
− = − =

mà M > N thì
a c
b d
>
• M,N là phần thừa so với 1 của 2 phân số đã cho .
• Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
c) Nếu
1; 1
a c
M N
b d
+ = + =
mà M > N thì
a c
b d
<
• M,N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vò của 2 phân số đó.
• Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
 Bài tập áp dụng :
Bài tập 1: So sánh
19 2005
& ?
18 2004

Ta có :
19 1 2005 1
1& 1
18 18 2004 2004
− = − =
;

1 1 19 2005
18 2004 18 2004
Vì > ⇒ >
Bài tập 2: So sánh
72 98
& ?
73 99
3
Chuyªn ®Ị : So s¸nh BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011)–
Ta có :
72 1 98 1
1& 1
73 73 99 99
+ = + =
;
1 1 72 98
73 99 73 99
Vì > ⇒ <
Bài tập 3 : So sánh
7 19
& ?
9 17
Ta có
7 19 7 19
1
9 17 9 17
< < ⇒ <
2/ Dùng 1 phân số làm trung gian:(Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất , có
mẫu là mẫu của phân số thứ hai)
Ví dụ : Để so sánh

18 15
&
31 37
ta xét phân số trung gian
18
37
.
Vì
18 18 18 15 18 15
&
31 37 37 37 31 37
> > ⇒ >
*Nhận xét : Trong hai phân số , phân số nào vừa có tử lớn hơn , vừa có mẫu nhỏ
hơn thì phân số đó lớn hơn (điều kiện các tử và mẫu đều dương ).
*Tính bắc cầu :
&
a c c m a m
thì
b d d n b n
> > >
 Bài tập áp dụng :
Bài tập 1: So sánh
72 58
& ?
73 99
-Xét phân số trung gian là
72
99
, ta thấy
72 72 72 58 72 58

&
73 99 99 99 73 99
> > ⇒ >
-Hoặc xét số trung gian là
58
73
, ta thấy
72 58 58 58 72 58
&
73 73 73 99 73 99
> > ⇒ >
Bài tập 2: So sánh
*
1
& ;( )
3 2
n n
n N
n n
+
∈
+ +
Dùng phân số trung gian là
2
n
n +
Ta có :
*
1 1
& ;( )

3 2 2 2 3 2
n n n n n n
n N
n n n n n n
+ +
< < ⇒ < ∈
+ + + + + +
Bài tập 3: (Tự giải) So sánh các phân số sau:
a)
12 13
& ?
49 47
e)
456 123
& ?
461 128
b)
64 73
& ?
85 81
f)
2003.2004 1 2004.2005 1
& ?
2003.2004 2004.2005
− −
c)
19 17
& ?
31 35
g)

149 449
& ?
157 457
d)
67 73
& ?
77 83
h)
1999.2000 2000.2001
& ?
1999.2000 1 2000.2001 1+ +
(Hướng dẫn : Từ câu a
→
c :Xét phân số trung gian.
Từ câu d
→
h :Xét phần bù đến đơn vò )
1)Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian.
Ví dụ : So sánh
12 19
& ?
47 77
Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là
1
4
.
Ta có :
12 12 1 19 19 1 12 19
&
47 48 4 77 76 4 47 77

> = < = ⇒ >
 Bài tập áp dụng :
Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh :
4
Chuyªn ®Ị : So s¸nh BD HSG To¸n 6 (2010 - 2011)–
11 16 58 36 12 19 18 26
) & ; ) & ; ) & ; ) &
32 49 89 53 37 54 53 78
13 34 25 74 58 36
) & ; ) & ; ) & .
79 204 103 295 63 55
a b c d
e f h
V/ CÁCH 5: Dùng tính chất sau với m
≠
0 :
* 1
a a a m
b b b m
+
< ⇒ <
+

* 1 .
a a a m
b b b m
+
= ⇒ =
+
* 1

a a a m
b b b m
+
> ⇒ >
+

* .
a c a c
b d b d
+
= =
+
Bài tập 1: So sánh
11 10
12 11
10 1 10 1
& ?
10 1 10 1
A B
− +
= =
− +
Ta có :
11
12
10 1
1
10 1
A
−

= <
−
(vì tử < mẫu)
⇒
11 11 11 10
12 12 12 11
10 1 (10 1) 11 10 10 10 1
10 1 (10 1) 11 10 10 10 1
A B
− − + + +
= < = = =
− − + + +
Vậy A < B .
Bài tập 2: So sánh
2004 2005 2004 2005
& ?
2005 2006 2005 2006
M N
+
= + =
+
Ta có :
2004 2004
2005 2005 2006
2005 2005
2006 2005 2006

>



+


>

+

Cộng theo vế ta có kết quả M > N.
Bài tập 3: So sánh
37 3737
&
39 3939
?
Giải:
37 3700 3700 37 3737
39 3900 3900 39 3939
+
= = =
+
(áp dụng
.
a c a c
b d b d
+
= =
+
)
Bài tập 4: So sánh
15 16
16 17

10 1 10 1
& ?
10 1 10 1
A B
+ +
= =
+ +
Ta có
16
16 16
10 10 9
10 1
10 1 10 1
A
+
= = +
+ +

17
17 17
10 10 9
10 1
10 1 10 1
B
+
= = +
+ +
Vì
16 17
9 9

10 10
10 1 10 1
A B> ⇒ >
+ +
. Vậy A > B .
Bài tập 5: So sánh
7 8
7 8
10 5 10 6
& ?
10 5 10 7
A B
+ +
= =
− −
7 8
13 13
1 ; 1
10 8 10 7
A B= + = +
− −
. Vì
7 8
13 13
10 8 10 7
A B> ⇒ >
− −
Bài tập 6: So sánh
1992 1993
1991 1992

10 1 10 1
&
10 1 10 1
A B
+ +
= =
+ +
Bài tập 7: So sánh
8 8
8 8
10 2 10
& ?
10 1 10 3
A B
+
= =
− −
Giải:
8 8
3 3
1 & 1
10 1 10 3
A B= =
− −
mà
8 8
3 3
10 1 10 3
A B< ⇒ <
− −

VI/ CÁCH 6: Đổi phân số lớn hơn đơn vò ra hỗn số để so sánh :
+Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn.
5