Chiến dịch Điện Biên Phủ

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>§Ị thi chän häc sinh giái lớp 10</b>
<b>Môn Toán. NM HC 2009-2010 </b>

<i>Thi gian l m b i:180 phút </i> <i></i>

<b>Bài1(6đ).</b>

1) Giải phơng trình: 4 4<i>x x</i> 2 3( <i>x</i> 4 <i>x</i>  2).

2).Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4 _{– 4x}2_{+ 4mx – m}2₌
0

<b>Bài 2(3đ). </b>

Giải hệ phơng trình:

3 3






 2 2

x - y = x - 7y
x + y - xy = 1

<b>Bài 3(2đ). </b>

Cho ba số dơng x, y, z thoả m·n: xy + yz + zx  xyz.
Chøng minh r»ng:

<i>x y</i>2

y + 2x <b>₊</b>

<i>y z</i>2

z + 2y<b>₊</b>

<i>z x</i>2

x + 2z _<b>₉</b>
<b>Bài 4(6đ).</b>

1) Cho tam giỏc ABC, ly ba im A1 , B1 , C1 bất kì trên các cạnh BC, CA,
AB. Đặt S = SABC. Chứng minh rằng ít nhất một trong 3 tam giác AB1C1,
BC1A1 , CA1B1 có diện tích bé hơn hoặc bằng 4

<i>S</i>

.

Với điều kiện nào thì các tam giác này có diện tích bằng nhau và bằng 4
<i>S</i>

.

2) Cho tam giỏc ABC có I là tâm đờng trịn nội tiếp, BC = a, CA = b, AB = c

Chứng minh rằng: a.IA2_{+ b.IB}2 _{+ c.IC}2_{= abc}

<b> Bài 5 (3đ) </b>Cho phng trỡnh : ax2 + bx + c = 0 có hai nghim thuc on [0 ;1].
Tìm giá trị ln nhÊt cđa biĨu thøc : P =

( )(2 )

( )

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>a a</i> <i>b</i> <i>c</i>

-

-- +

________________ Hết _____________

Họ và tên thÝ sinh:... SBD: ...

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Câu 1:</b> <b>_{1) Gi¶i phơng trình:}</b>

9
x (x + 1)(x + 2)(x + 3) =

16<b>₍₁₎</b>

* Đặt t = x(x+3) (1) trở thành t(t+2) =9/16 

9

4
1
4
<i>t</i>
<i>t</i>
é

ê=-ê
ê
ê=
ê
ë
1

* víi t =

9

4_{ta cã x(x+3) =}
-9

4 __x2_{+ 3x +}

9

4 _{= 0}__{x = -}
3
2

1

* víi t =

1

4 _{ta cã x(x+3) =}
1

4__x2_{+ 3x -}

1
4_{= 0}_

é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë

-3 + 10
x =

2
-3 - 10
x =

2

1

* VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm

3
2
3 10
2
3 10
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
é
ê
=-ê
ê
ê - +
ê =
ờ
ờ
ờ ₊
ờ
=-ờ
ở
1

<b>2) Giải hệ phơng trình: </b>

<b> </b>




 2 2

x + y + xy = 4
x y + xy = 3 <b>₍₂₎</b>

(2) _

( x + y) + xy = 4
xy(x+y) = 3
ìïï

íï

ùợ _{đặt S = x+ y; P = xy}

Ta đợc hệ

4
3
<i>S</i> <i>P</i>
<i>SP</i>
ì + =
ïï
íï =

ùợ _{Khi đó S, P là nghiệm của Phơng trình}

t2 _{- 4t + 3 = 0}

1
3
<i>S</i>
<i>P</i>
ỡ =
ùù
ớù =

ùợ _hoặc

3
1
<i>S</i>
<i>P</i>
ỡ =
ùù
ớù =
ùợ
2
*
1
3
<i>S</i>
<i>P</i>
ỡ =
ùù

ớù =

ùợ _{x, y là nghiệm của phơng trình u}2_{u + 3 = 0}
Phơng trình này vô nghiệm

1
*
3
1
<i>S</i>
<i>P</i>
ỡ =
ùù
ớù =

ùợ _{x, y là nghiệm của phơng trình u}2_{3u + 1 = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>


3 5
2
3 5
2
<i>x</i>
<i>y</i>
ìï ₊
ï =
ïïï
íï 
-ïï =

ïïỵ _hoặc

3 5
2
3 5
2
<i>x</i>
<i>y</i>
ỡù 
-ù =
ùùù
ớù ₊
ùù =
ùùợ

Vây hƯ cã 2 nghiƯm

3 5
2
3 5
2
<i>x</i>
<i>y</i>
ìï +
ï =
ïïï
íï 
-ïï =

ùùợ _và

3 5
2
3 5
2
<i>x</i>
<i>y</i>
ỡù
-ù =
ùùù
ớù ₊
ùù =
ùùợ
<b>Câu 2</b>

<b> Tìm giá trị lín nhÊt, nhá nhÊt cđa P = </b>

2 2

2 2

x + 3xy - y

x + xy + y <b></b>

* y = 0 th× P = 1 ₁

* y  0 th× P =

2

2
3 1
1
<i>t</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>t</i>
+

-+ -+ _{víi t = x/y gäi P lµ mét giá trị bất kỳ của nó}

khi ú phng trình sau ẩn t phải có nghiệm

P(t2_{+t +1) = t}2_{+ 3t - 1}_{(1- P)t}2_{+ (3 -P)t – (1+ P ) = 0 cã nghiÖm hay}

2 2

1

Δ (3 ) 4(1 ) 0 (*)
<i>P</i>
<i>P</i> <i>P</i>
é =
ê
ê = - + - ³
ë

(*)  -3P2_{– 6P +13}₀_{- (1+} 3₎_P 3_{- 1}

1

0,5

Vậy giá trị lớn nhất của P = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = - (1+ 3 )
<b>C©u 3</b>

Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đờng thẳng d : x
– 2y – 3 = 0. Tìm điểm M thuộc d sao cho

Q = <i>MA</i>+2<i>MB</i>- 3<i>MC</i>

uuur uuur uuur

đạt giá trị nhỏ

Gọi M(2y+3 ; y)  d Khi đó <i>MA</i>+2<i>MB</i>- 3<i>MC</i>

uuur uuur uuur

= (2y – 5 ; y+21)

2 3

<i>MA</i>+ <i>MB</i>- <i>MC</i>

uuur uuur uuur

=

2 2

(2<i>y</i>- 5) +(<i>y</i>+21)

=

2

5<i>y</i> +22<i>y</i>+466

Q đạt giá trị nhỏ nhất khi y =

11
5

-VËy M(
7
5

-;
11
5

-)
2

<b>C©u4</b> _{Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, có H là trực tâm, gọi R là bán kính}

đường trịn ngoại tiếp.

1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

O
A

C
B

H

A'
D

1

1) Gọi A’ là điểm sao cho AA’ là đờng kính dễ có BHCA’ là hình bình

hành. Do đó AH = 2OD = 2OCcosA = 2RcosA 2

2)

1

cos cos cos (cos cos cos cos cos cos )
2

sin cos sin cos sin cos

2 2 2 2 2 2

<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>A</i>

<i>C</i> <i>A B</i> <i>A</i> <i>B C</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>A</i>

+ + = + + + + +

- -

-= + +

Ta có

cos 1

2
<i>A B</i>

-Ê

vì C nhọn nên

0 0

0 60 2cos 1 cos 2cos

2 2 2 2

<i>C</i> <i>C</i> <i>A B</i>- <i>C</i>

< < ị > ị <

Tơng tự ta cã

cos 2cos

2 2

cos 2cos

2 2

<i>B C</i> <i>A</i>

<i>C</i> <i>A</i> <i>B</i>

-<

-<

VËy cos<i>A</i>+cos<i>B</i>+cos<i>C</i><sin<i>A</i>+sin<i>B</i>+sin<i>C</i>

1

1

1

<b>C©u5</b>

Cho a, b, c là ba số thực dơng. Chứng minh r»ng:

³

a b c

+ + 2

b + c a + c b + a

2

( )

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>b c</i>+ = <i>a b c</i>+ ³ <i>a b c</i>+ +
2

( )

<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>

<i>a c</i>+ = <i>b a c</i>+ ³ <i>a b c</i>+ +

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

2

( )

<i>c</i> <i>c</i> <i>c</i>

<i>b a</i>+ = <i>c b a</i>+ ³ <i>a b c</i>+ + _]

</div>

<!--links-->