Sơ đồ tư duy số nguyên

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>NHÀ KHOA HỌC NGUYỄN VĂN ĐẠO VỚI LÝ THUYẾT DAO</b>

<b>ĐỘNG VÀ CHUYỂN ĐỘNG HỖN ĐỘN </b>

<i>Tác giả: Các cộng sự của VS. Nguyễn Văn Đạo trong nhóm nghiên cứu “Hệ Động lực</i>
<i>Phi tuyến” thuộc Viện Khoa học và Cơng nghệ Việt Nam: </i>
<i>GS.TS Nguyễn Văn Đình, PGS.TS Trần Kim Chi, PGS.TS Nguyễn Dũng </i>

<i><b>Mở đầu.</b> Trong bài này các tác giả chỉ dám sơ lược điểm qua</i>
<i>những mốc chính của con đường nghiên cứu khoa học của Viện sĩ</i>
<i>Nguyễn văn Đạo. Nó thể hiện ở Anh lòng say mê, khát khao nghiên</i>
<i>cứu khoa học; một nhà khoa học đầy tâm huyết, đầy năng lực và</i>
<i>cần mẫn. Anh ln đóng vai trị tiên phong, mở đường cho những</i>
<i>hướng nghiên cứu lớn. Anh đã có nhiều cống hiến cho sự phát triển</i>
<i>khoa học, cho sự nghiệp đào tạo và tổ chức nghiên cứu Khoa học.</i>
<i> Anh ra đi đột ngột vào lúc trí tuệ rất minh mẫn, năng lực thật</i>
<i>sung mãn; vào lúc Anh có nhiều điều kiện thuận lợi nhất để sáng</i>
<i>tạo, để thực hiện những ước mơ lớn của mình về sự nghiệp khoa</i>
<i>học và giáo dục… Anh ra đi để dang dở biết bao ý tưởng, bao dự</i>
<i>định táo bạo, bao hoài bão mong muốn cống hiến cho đời…Anh ra</i>
<i>đi để lại cho chúng tôi niềm tiếc thương vô hạn chẳng gì có thể bù</i>
<i>đắp nổi.</i>

<b>A.</b> <b>Mở đường cho những hướng nghiên cứu trong ngành Cơ học</b>
<b>1. Đến với hướng nghiên cứu “Lý thuyết dao động phi tuyến” </b>

<i><b>Con đường đến với hướng nghiên cứu “Lý thuyết Dao động Phi tuyến ” - Luận</b></i>
<i><b>án Phó tiến sĩ</b></i>

Năm 1960, một đoàn cán bộ cao cấp của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xơ do
Phó chủ tịch - Viện sĩ Cachennhicơp làm trưởng đồn sang thăm Việt Nam. Trong
đồn có một nhà cơ học nổi tiếng - Viện sĩ Kônônhiêncô, chuyên gia hàng đầu về

Lý thuyết dao động phi tuyến. Viện sĩ Kơnơnhiêncơ đã có buổi báo cáo rất đặc sắc
các kết quả nghiên cứu của ơng với sự có mặt của GS Tạ Quang Bửu (lúc đó GS là
Phó chủ nhiệm kiêm Tổng thư ký Uỷ ban Khoa học Nhà nước Việt Nam).

Là một cán bộ trẻ (giảng dậy mơn Cơ học lý thuyết) đang chập chững, mầy
mị trên con đường nghiên cứu khoa học, Anh đã hoàn tồn bị thu hút bởi bài
thuyết trình của Viện sĩ Kơnơnhiêncơ. Anh đã mạnh dạn trình bầy với GS Tạ
Quang Bửu ý định phát triển hướng nghiên cứu “Lý thuyết dao động phi tuyến” ở
Việt Nam. GS Tạ Quang Bửu đã khuyên anh đi theo hướng nghiên cứu của Viện sĩ
Kônônhiêncô.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Anh đã được tiếp nhận ngay vào Khoa Tốn-Cơ của Trường Đại học Tổng hợp
Lơmơnơxơp Mátxcơva và làm việc dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Viện sĩ.

Mùa hè năm 1965, Anh bảo vệ Luận án Phó tiến sĩ với chủ đề “Dao động và
ổn định của các hệ động lực với các bộ giảm chấn”. Luận án đề cập đến những bộ
giảm chấn động lực, trong đó vấn đề cịn được xem xét dưới quan điểm năng
lượng.

<i><b>Luận án Tiến sĩ</b></i>

Sau khi về nước, Anh bắt tay ln vào một Chương trình nghiên cứu quy mơ
dưới đầu đề: <i>Kích động thơng số dao động phi tuyến của các hệ động lực</i>. Việc
thực hiện chương trình này vơ cùng khó khăn do phải sơ tán vào rừng núi trong
thời kỳ chiến tranh ác liệt nhất. Cuối năm 1976, khi được cử đi làm thực tập sinh
cao cấp ở nước ngoài, Anh mang theo một tập hợp các cơng trình nghiên cứu hồn
chỉnh dày trên 500 trang. Cơng trình này đã trở thành Luận án Tiến sĩ khoa học mà
Anh đã bảo vệ rất thành công vào tháng 12/1976 tại Trường đại học Vacsava Ba
Lan sau hơn ba tháng hoàn tất các thủ tục. Nhà báo Hàm Châu đã gọi đây là bản
“<i>Luận án Tiến sĩ Khoa học giữa rừng sâu</i>”.

<i>Trang bìa bản tóm tắt Luận án Phó tiến sĩ với nhan đề: </i>

<b>“КОЛЕБНИЯИ УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧСКИХ </b>
<b>СИСТЕМ С ГАСИТЕЯМИ”</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Một phần luận án tiến sỹ của Anh là phát triển một hướng nghiên cứu của
Viện sỹ Kônônhiêncô về dao động quan liên: <i>Dao động không cộng hưởng theo</i>
<i>một phương gây nên dao động cộng hưởng theo phương khác</i>.

VS Kônônhiêncô xét mô hình đĩa trịn dao động cưỡng bức khơng cộng hưởng
quanh trục của nó, qua các yếu tố qn tính phi tuyến, gây dao động lật quanh
đường kính. Anh Đạo xét mơ hình vật đỡ bởi hệ đàn hồi phi tuyến chịu dao động
cưỡng bức không cộng hưởng theo phương thẳng đứng, gây dao động cộng hưởng
theo phương nằm ngang.

Trên cơ sở nhận xét cơ chế của hiện tượng kích động tham số mà phương này
kích động phương kia nên Luận án được chọn tên là: <i>Kích động thơng số dao</i>
<i>động phi tuyến của các hệ động lực.</i>

Một số kết quả của Anh đã được Giáo sư Ali H. Nayfeh (Mỹ) dùng làm tài
liêu tham khảo trong cơng trình của ông.

<i><b>Công trình Khoa học đầu tiên, các thành tựu khoa học</b></i>

Cơng trình khoa học đầu tiên Anh công bố (trên Tập san Toán-Lý-Hoá,
UBKHNN, Hà Nội, N0_{1, 1961) với nhan đề “}<i>_{Áp dụng nguyên lý cực đại của}</i>

<i>Pôntriaghin vào một vài bài toán Cơ học</i>”.

Tiếp theo là trên 100 bài báo về các kết quả nghiên cứu xoay quanh các vấn đề
của “Dao động phi tuyến của các hệ động lưc” và 13 cuốn sách chuyên khảo, trong
đó có nhiều cuốn Anh là đồng tác giả với Viện sỹ Mitropolski. Một phần nội dung
của các các kết quả này được thể hiện trong các cuốn sách chuyên khảo:

1.Nguyen Van Dao. Nonlinear oscillations of high order systems, NCSR

Vietnam, Hanoi, 1979, 64p.

2.Mitropolskii Yu. A., Nguyen Van Dao. Applied asymptotic methods in

nonlinear oscillations, Hanoi, 1994, 412p.

3.Mitropolskii Yu. A., Nguyen Van Dao. Applied asymptotic methods in

nonlinear oscillations, Kluwer Academic Publishers, 1997, 342p.
<i>Luận án Tiến sĩ, 12/1976</i> Нгуен ван Дао

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

4.Nguyen Van Dao, Nguyen Van Dinh. Interaction between nonlinear oscillating

systems. Vietnam National University Publishing House, Hanoi, 1999, 356p
Sau hơn bốn chục năm nghiên cứu và xây dựng đội ngũ, hướng nghiên cứu
“Lý thuyết Dao động phi tuyến” ở Việt nam đã phát triển, đạt được nhiều thành
tựu và đã được các nhà khoa học Quốc tế nhìn nhận. Viện sỹ Mitrơpơlski đánh giá
rằng: đã hình thành một “<i>Trường phái Hà Nội</i>” trong hướng nghiên cứu này.

<b>2. Đến với hướng Nghiên cứu “ Chuyển động Hỗn độn” (Chaotic Motions)</b>
<i><b>Khai phá hướng nghiên cứu Chaos trong các Hệ động lực phi tuyến </b></i>

Cho tới trước năm 2000, các cơng trình của Anh chủ yếu tập trung vào nghiên

cứu các vấn đề của dao động của các hệ động lực phi tuyến theo hướng truyền
thống.

Bắt đầu từ năm 1999, Anh mở đường đi vào một hướng nghiên cứu rất mới
của các hệ phi tuyến: Chuyển động hỗn độn - Chuyển động Chaos (Chaotic
Motions).

<b>“ Hỗn độn - Chaos” không chỉ là hướng nghiên cứu mới đối với chúng ta mà</b>
là hướng nghiên cứu mới đối với thế giới. Nó chỉ mới được phát hiện và bắt đầu
được nghiên cứu khoảng hơn bốn chục năm gần đây (vào đầu những năm 60 của
thế kỷ XX) nhưng nó đã có những ảnh hưởng và đóng góp rất lớn đến việc nghiên

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

cứu hầu như trong mọi lĩnh vực: khoa học, kỹ thuật, kinh tế, kể cả khoa học xã
hội. Nó thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học và đặc biệt được nghiên cứu
nhiều ở Mỹ, Nhật Bản, hai cái nôi sản sinh ra ngành khoa học này.

Sự khai phá mới bao giờ cũng thật khó khăn, rất ít người cộng tác (vì trong lĩnh
vực Động lực học, ở Việt nam đến thời điểm đó, chưa có nhà khoa học nào đi sâu
tìm hiểu hiện tượng Chaos), hơn thế nữa, bản thân “Chaos” là vấn đề rất khó.
Hai năm đầu, Anh cùng cả nhóm nghiên cứu tập trung vào đọc sách tìm hiểu
vấn đề. Có lần Anh đã mời Giáo sư Nhật Bản sang thuyết trình. Một việc cũng rất
khó khăn là việc tính lại các ví dụ trong sách, bởi vì động chạm đến các nghiệm
Chaos thì chương trình tính tốn rất phức tạp, mất nhiều thời gian (có nhiều
chương trình như xây dựng các sơ đồ phân nhánh, phải chạy máy tính đến hàng
chục ngày).

Sau thời gian tìm hiểu, Anh cùng nhóm nghiên cứu đã mạnh dạn đăng ký
hướng nghiên cứu này trong “Chương trình nghiên cứu cơ bản của Nhà nươc” với
đề tài “Hệ Động lực phi tuyến và Chaos”. Đề tài thực hiện từ năm 2001 đến 2005
và đã đạt được những kết quả ban đầu.

Anh đã có 8 cơng trình nghiên cứu về chuyển động Chaos của một số hệ động
lực. Đã xuất bản một quyển sách chuyên khảo với nhan đề “<i>Nhập môn Động lực</i>
<i>học phi tuyến và chuyển động hỗn độn</i>” (Nhà xuất bản ĐHQG,2005).

<i><b>Giới thiệu sơ lược về khái niệm chuyển động hỗn độn - Chuyển động Chaos </b></i>
Lâu nay, định luật II của Newton <i>F</i>=mA được xem như mở đầu và cũng là

kết thúc cho việc nghiên cứu động lực học! Dựa vào đó, người ta có cơ sở để tin
rằng nếu biết trước vị trí, vận tốc ban đầu và các lực tương tác, thì với một máy
tính đủ mạnh, người ta có thể dự đoán được chuyển động của một hệ trong tương
lai lâu dài. Nhưng tiếc rằng, sự xuất hiện của các máy tính nhanh và mạnh này
khơng phải lúc nào cũng đáp ứng được niềm kỳ vọng vào khả năng dự đốn trước
một cách vơ tận trong động lực học. Rất gần đây, người ta đã phát hiện ra rằng,
chuyển động của những hệ động lực rất đơn giản không phải ln ln có thể dự
báo được dài trong tương lai. Những chuyển động không dự báo được dài hạn này
được gán cho tên là <i>chuyển động Chaos</i> (chuyển động hỗn độn) và việc nghiên
cứu chúng đã gây ra cuộc tranh cãi về một số ý tưởng toán học mới sôi động trong
động lực học. Nếu ba trăm năm trước, Newton (1687) đã đưa phép tính vi tích
phân, cơng cụ tốn học hiện đại nhất thời đó, vào các nghiên cứu động lực học, thì
cũng rất phù hợp là ba trăm năm sau, khi các hiện tượng mới được phát hiện trong
các hệ động lực, thì các nhà khoa học cũng phải xử dụng các lý thuyết toán học
hiện đại nhất về topo, hình học để nghiên cứu những vấn đề này.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

1- Trạng thái dừng, hay cân bằng được hình thành do sự hao tán năng
lượng bởi ma sát, trạng thái này được Newton mơ tả bởi hình ảnh “quả táo nằm
trên mặt đất” .

2- Trạng thái dao động, có thể tuần hồn hoặc á tuần hồn, được Newton
mơ tả như là chuyển động đều đặn của Trái đất, Mặt trăng và các hành tinh khác

xung quanh Mặt trời.

Vài chục năm gần đây, các nhà khoa học mới phát hiện ra cịn có một trạng
thái thứ ba của chuyển động, <i>đó là chuyển động Chaos</i>. Những chuyển động này
<b>cũng bị giới nội, bị giam hãm như những chuyển động tuần hồn và á tuần hồn,</b>
nhưng <i><b>khơng hề lặp lại và khơng thể có được một dự đoán dài hạn.</b></i>

Hiện nay chưa có một định nghĩa chính xác cho một nghiệm Chaos, bởi vì nó
khơng thể biểu diễn được qua các hàm tốn học chuẩn. Mặc dù vậy, người ta
thường có nhận định chung rằng: nghiệm Chaos là một nghiệm không tuần hoàn
với một số đặc điểm nhận dạng đặc biệt.

Nghiệm Chaos được xác định như một trạng thái yên định giới nội, miền hút
của nghiệm Chaos trong không gian trạng thái không phải là một đối tượng hình
học đơn giản như một số hữu hạn điểm, một đường cong kín hay một xuyến,... mà
nó có cấu trúc hình học phức tạp, được gọi là tập hút lạ (strange attractor) hay tập
hút Chaos (chaotic attractor), có thứ ngun phân hình (fractal dimension). Phổ
của các tín hiệu Chaos có đặc tính của một dải rộng liên tục, nghĩa là có tính chất
như phổ của một hiện tượng ngẫu nhiên, chứ không chỉ rời rạc như phổ của tập hút
tuần hoàn hay á tuần hoàn.

Tính chất điển hình quan trọng nhất của chuyển động Chaos là nó <i><b>đặc biệt</b></i>
<i><b>nhậy cảm với sự thay đổi của điều kiện ban đầu</b></i><b>, có nghĩa là: </b><i><b>những khác nhau</b></i>
<i><b>rất nhỏ ở đầu vào, bị khuếch đại và tạo nên sự khác nhau rất lớn ở đầu ra</b></i>. Sự
cực kỳ nhậy cảm với điều kiện ban đầu của nghiệm Chaos được người ta gán cho
một cái tên rất đẹp, rất sinh động là <i><b>“Hiệu ứng cánh bướm”</b></i> (Butterfly effect) và
được diễn đạt bởi một câu nói đầy ấn tượng và văn hoa: <i>Một cái vẫy cánh của một</i>
<i>con bươm bướm ở Bắc Kinh, Trung Quốc hơm nay, có thể gây bão tố cho bang</i>
<i>California (Mỹ) vào tháng sau</i>”.

Như vậy, việc tìm nghiệm Chaos dẫn đến một loạt vấn đề: tập hút lạ, phổ phản
ứng, sự phụ thuộc nhậy cảm vào điều kiện ban đầu mà tiêu chuẩn điển hình là có
số mũ Liapunov dương , xây dựng hàm mật độ .... Một trong những vấn đề có ý
nghĩa nhất, đặc biệt trong thực tiễn, là xác định được miền các tham số tương ứng
với nghiệm Chaos.

Sau một thời gian dài nghiên cứu, Giáo sư Yoshisuke Ueda (người đầu tiên phát
hiện ra hiện tượng Chaos trong các dao động của dòng điện vào năm 1961) đã
nhận xét: <i>Người ta gọi Chaos là một hiện tượng mới, nhưng nó ln ln tồn tại</i>
<i>xung quanh ta. Thật ra chẳng có gì mới về nó, chỉ có điều người ta đã khơng chú ý</i>
<i>tới nó. </i>(People call Chaos a new phenomenon, but it has always been around.
There’s nothing new about it , only people did not notice it).

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

họ nghiên cứu các bài tốn thực tế về khí tượng thuỷ văn, về dao động của dịng
điện …và sau đó người ta mới dùng các cơng cụ tốn học để nghiên cứu bản chất
của hiện tượng này một cách sâu sắc.

<b>3. Bước đầu đến với Cơ học Nano</b>

Việc chế tạo ra các vật liệu Nano và phát minh ra công nghệ Nano được xem
là một trong những thành tựu khoa học kỹ thuật đặc sắc về kích thước ở cuối thế
kỷ XX. Trong thế kỷ XXI này, những nghiên cứu về các vật liệu và cơng nghệ
Nano có thể tạo ra một cuộc cách mạng mới trong sản xuất.

Anh Đạo đã tìm hiểu, nắm bắt vấn đề khoa học và cơng nghệ có vai trị cách
mạng này và nhìn nhận nó trên quan điểm Cơ học.

Trong hội nghị Cơ học toàn quốc kỷ niệm 25 năm thành lập Viện Cơ học
(10/4/2004) tại Hà Nội, Anh đã có báo cáo khoa học với nhan đề “Cơ học Nano”.
Trong báo cáo này Anh đã trình bày những thơng tin tổng qt về hướng nghiên

cứu Cơ học Nano, những thành tựu đã đạt được trên thế giới và đề xuất phương
hướng nghiên cứu Cơ học Nano ở nước ta.

Trong Cơ học Nano, vật liệu được xem xét ở kích thước cỡ một phần tỷ của
mét (109<i>m</i>), gần với kích thước của phân tử. Ở kích thước này của vật liệu, sẽ
xuất hiện hiệu ứng lượng tử , vì thế các định luật Newton, các quy luật kết cấu, ma

<i>Báo cáo trong hội thảo KH Mừng Sinh nhật lần thứ 80 VS Frolov K. V.:</i>
<i> “The Study of Chaotic Phenomena in a strong nonlinear Mathieu Oscillator”</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

sát, tương tác … trong cơ học kinh điển khơng cịn chính xác nữa mà phải kể thêm
các hiệu ứng điện từ, lực phân tử,…..

Nhìn trước vai trị quan trọng của Cơ học Nano trong tương lai của khoa học cơ
bản và cơng nghệ, Anh đã có một số kiến nghị :

<b>1.</b> Tổ chức một nhóm nghiên cứu thăm dị, tìm kiếm thêm thông tin về lĩnh
vực này: nội dung khoa học, các tổ chức nghiên cứu tại các nước …
Ngành cơ học thuộc Hội Đồng Khoa Học Tự Nhiên tài trợ cho nhóm
nghiên cứu. Các đề tài lựa chọn cần được định hướng và việc nghiên cứu
cơ học phục vụ cho phát triển công nghệ Nano ở Việt Nam, cho việc phát
triển công nghệ sản xuất các sản phẩm cấu trúc Nano. Đặc biệt lưu tâm
đến lĩnh vực Cơ học vật liệu.

<b>2.Tìm hiểu chương trình đào tạo cán bộ Cơ học Nano ở các nước. Chuyển</b>
một số cán bộ Cơ học trẻ và giỏi ở các trường đại học và Viện nghiên
cứu sang nghiên cứu về Cơ học Nano

<b>3.</b> Tổ chức một số seminar về Cơ học Nano

<b>4.</b> Tham gia các họat động hợp tác quốc tế trong lĩnh vực Cơ học Nano, cử
cán bộ đi trao đổi khoa học ở các nước về vấn đề này.

Trong Hội nghị, Anh cũng đã động viên khuyến khích các cán bộ khoa học trẻ
mạnh dạn đi vào hướng nghiên cứu mới này. Mong rằng chúng ta có thể thực hiện
được các ý nguyện tâm huyết của Anh.

<b>4. Kết luận</b>

Cách đây ít hơm, ngày 21/7/2007, Ngun Thủ tướng Võ Văn Kiệt đã đên
thăm gia đình VS Nguyễn Văn Đạo. Trong lời cảm tưởng Ông viết: “<b>... </b><i><b>Tôi thật</b></i>
<i><b>xúc động bồi hồi và thương tiếc Anh vô cùng - Một nhà trí thức lớn đầy tâm</b></i>
<i><b>huyết, nhiều ý tưởng, luôn sáng tạo và vươn tới cái mới …</b></i>”.

Trong khoa học, Anh thể hiện rất rõ là con người như vậy. Từ những ngày đầu
ở lứa tuổi 20, chập chững đi vào nghiên cứu khoa học và cho đến những năm
tháng cuối Anh luôn miệt mài làm việc, khai phá mở đường và đẫn dắt cả một tập
thể nghiên cứu theo hướng của Anh. Anh cũng đã luôn giúp đỡ, bồi dưỡng, tạo
điều kiện cho các cán bộ khoa học trẻ vươn lên. Một hoạt động khác trong lĩnh này
là Anh rất chịu khó viết sách chuyên khảo. Anh Bắt đầu viết sách từ năm 1969, tới
nay Anh đã viết 13 cuốn sách chuyên khảo.

Ở anh một nét nổi bật là khả năng tổ chức, đoàn kết, hội tụ các nhà khoa học
để phát huy sức mạnh của họ phục vụ đất nước.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>“</b><i><b>Một tiếp cận số của các Chuyển động Hỗn độn trong Chấn tử Duffing – </b></i>
<i><b>Van Der Pol</b></i><b>”</b>

<b>AN NUMERICAL APPROACH OF CHAOTIC MOTIONS IN </b>
<b>A DUFFING-VAN DER POL OSCILLATOR</b>

<i>Nguyen Van Dao, Nguyen Van Dinh, </i>
Vietnam National University, Hanoi

<i>Tran Kim Chi, Nguyen Dung</i>

Vietnamese Academy of Science and Technology

<i><b> </b></i><b>Abstract. </b><i>In the present paper the influence of the excitation</i>
<i>frequency (</i> <i>ν</i> <i>) and the forcing amplitude (e) on the chaotic</i>
<i>behaviour of the system governed by equation </i>

<i> </i><i>x</i>2<i>x k</i> (1 <i>x x</i>2)<i>x</i>3<i>e</i>sin<i>t </i> <i>(1)</i>
<i>will be examined. This equation is a Van der Pol one with a</i>
<i>forcing term esinvt, where </i>  , , , ,<i>e</i>  <i> and </i> <i>_{are constants,}</i>

<i>overdot denotes the derivative with respect to time t .When e=0 ,</i>
0, 0

   <i>_{we have the classical Van der Pol equation which}</i>

<i>represents a self </i>– <i>excited oscillator with the amplitude a</i>* 2 / 
<i>and frequency </i> <i>ω</i> <i>. Our discussion was focused upon variation</i>
<i>of the excitation frequency </i> <i>ν</i> <i> and the forcing amplitude e . The</i>
<i>bifurcation diagrams for acquiring the overview of equation (1)</i>
<i>and the Liapunov exponent method will be used [3,4,5,6,9]. </i>
<i>For a concrete case, the parameter regions in which either</i>

<i>periodic or chaotic motions exist were shown. In two preceding</i>
<i>cases, the first case, when </i> <i>ν</i> <i> is control parameter, it changes</i>
<i>suddenly from periodic motion to chaotic motion, corresponding</i>
<i>to Hopf bifurcation. In the second case, it is the double </i>–<i> period</i>
<i>process and leads to chaotic motion.Chaotic attractors illustrate</i>
<i>the complexity of the motion of the system under consideration.</i>
<b>1. Summary of the case of small parameters</b>

First, we recall briefly some known results of deterministic motions in (1) for
the case of smallness of the coefficients. It is supposed that  _{is close to the}

natural frequency _{, namely :}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

here _{is a detuning parameter and} _{is a small positive one .Applying to (1) the}

asymptotic method [2] and using the amplitude and phase variables (<i>a</i>,) given
by

cos( ),
sin( ),

cos( ) sin( ) 0,

<i>x a</i> <i>t</i>

<i>x</i> <i>a</i> <i>t</i>

<i>a</i> <i>t</i> <i>a</i> <i>t</i>

 
  
     
 
 
   


 
(3)
we have

<i>νa</i>˙=<i>− ε</i>[<i>Δx</i>+<i>k</i>(1<i>− γx</i>

2

) ˙<i>x</i>+<i>βx</i>3+<i>e</i>sin<i>νt</i>]sin(<i>νt</i>+<i>θ</i>)<i>,</i>

<i>νaθ</i>˙=<i>− ε</i>[<i>Δx</i>+<i>k</i>(1<i>− γx</i>2) ˙<i>x</i>+<i>βx</i>3+<i>e</i>sin<i>νt</i>]sin(<i>νt</i>+<i>θ</i>). (4)

Since <i>a</i> and  _{are slowly varying functions of time, the change in their values}

during a time period T =2 / _{is very small. Hence, in the first approximation one}

may replace equations (4) by their time – averages over (t, t+T )assuming <i>a</i> and

_{to be constant :}

<i>νa</i>˙=<i>ε</i>

2[ak<i>ν</i>(1<i>−</i>
1
4<i>γa</i>

2

)<i>−e</i>cos<i>θ</i>]<i>,</i>

<i>νa_θ</i>˙₌<i>ε</i>

2(<i>− Δa −</i>
3
4 <i>βa</i>

3

+<i>e</i>sin<i>θ</i>).

(5)
The steady-state equations are

<i>a</i>₀<i>kν</i>(1<i>−γ</i>

4 <i>a</i>0
2

)=<i>e</i>cos<i>θ</i>₀<i>,</i>

<i>Δa</i>0+

3
4<i>βa</i>0

3

=<i>e</i>sin<i>θ</i>₀.

(6)

By eliminating the phase <i>θ</i>₀ _{from these equations we obtain}

¿=<i>E</i>2<i>,</i>

<i>A</i>¿ (7)
where

<i>A</i>=<i>γ</i>

4<i>a</i>0
2

=<i>a</i>0
2

<i>a</i>❑

2 <i>, E</i>
2

= <i>γ</i>

4<i>k</i>2<i>ω</i>2<i>e</i>

2<i>_{, σ}</i>
=<i>ω</i>

<i>k</i> [
<i>α</i>2<i>₋</i>₁

<i>ε</i> +

3<i>β</i>
4<i>ω</i>2<i>a</i>0

2

]<i>,α</i>=<i>ν</i>

<i>ω,</i> (8)
<i>a</i>❑=2/

√

<i>γ</i> is the amplitude of the purely self-excited van Der Pol oscillator.
Below only the behaviour of forced oscillations with the frequency  _{which is}

close to _{will be considered.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

The amplitude curves with various values of external excitation (E) are given in
the Figure 1 for the case <i>β</i>=0 [1]. For E=0, i.e. for the zero external excitation,

we find the results for the classical Van der Pol oscillator:
1) A=0 with  _{arbitrary ,}

2) =0 , A=1.

Therefore ,the resonance curves degenerate into the line A=0 ( _{-axis) and the}

point  _{=0,A=1 .}

If E is small but different from zero ,we expect A to be nearly 1 or nearly
zero so that one of the response curves would be oval which is approximately the
circle

2 2 2

(<i>A</i>1)  <i>E</i>

with centre at  _{=0 , A=1 . In addition, the other branch runs near the}_-axis

.The oval expands with increasing E. When E increases, the resonance curves first
consist of two branches, up to the critical value E= 2 / 27 for which the two
branches join at _{=0, A=1/3, then with further increase of E the resonance}

curves have only a single branch .

From the Figure 1 one can see that under certain conditions the frequency of

the free oscillation is canceled out and is replaced by a synchronized oscillation,
i.e. by an oscillation whose frequency is that of the external force ,namely:

1) For a given amplitude of the exciting force (E), the synchronization effect is
observed when the exciting frequency  _{is close enough to the natural}

frequency _{of the oscillator . The larger the amplitude of the exciting}

force ,the greater the frequency interval over which the synchronization
occurs.

2) For a given exciting frequency ,the oscillator is synchronized when the

exciting amplitude is large enough . The closer the exciting frequency is to

_{, the lower its threshold amplitude is.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>2. The case of arbitrary parameters </b>

<i><b>2.1 Some concepts connected to bifurcation </b></i>

Bifurcation is a concept used to indicate a qualitative change in the features of
a dynamical system, such as the number and type of solutions, under the variation
of one or more parameters on which the considered system depends. These
parameters are called the control parameters, and parameter values at which
bifurcations occur are called bifurcation values. A bifurcation diagram is a graph
of the state variables versus the parameters [3,6,9].

The bifurcation diagram provides a summary of the essential dynamics and is
therefore an important tool for examining the prechaotic or postchaotic changes in

a dynamical system under parameter variations. The Poincare’ map can be used to
construct the bifurcation diagrams for continuous differential equations. When the
data are sampled using a Poincare’ map, it is very easy to observe period doubling
and Hopf bifurcations. It is useful because one characteristic precursor to chaotic
motion is the appearance of subharmonic periodic vibrations.

We’ll examine two following concrete cases: a) The frequency <i>ν</i> is the
control parameter b) The forcing amplitude <i>e</i> is the control parameter.

<i><b>2.2</b></i> <i><b>The frequency </b></i> <i>ν</i> <i><b> is the control parameter.</b></i>

We go back to the system (1) with <i>ω</i>2=0 .7 , <i>k</i>=1 _,_=0.6, _{= -1,} <i>e</i> _{= 5}

and use the frequency <i>ν</i> as a control parameter. Poincare’ sections for orbits of
this system are constructed by using the excitation frequency <i>ν</i> . For each orbit
of the system the discrete points ( <i>x</i>(nT)<i>,x</i>˙(nT) ) are collected at time intervals

of <i>T</i>=2<i>π</i>/<i>ν</i> (the period of the external excitation force). The bifurcation diagram

shown in Figure 2 was generated by incrementing the control parameter <i>ν</i> in



</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

steps of <i>Δν</i>=¿ 0.0001. The graph consists of the points (<i>x</i>(nT)<i>, ν</i>) , where the

values <i>x</i>(nT) correspond to the attractor realized at each value of <i>ν</i> .

From Figure 2 it is clear that as <i>ν</i> increased through <i>νh≈</i>0 .780895 , there is
an abrupt transition from the point attractor to an aperiodic one, so a Hopf
bifurcation of a periodic solution (the Poincare’ section consists of only one point)

occurs. For <i>ν</i><<i>ν_h</i> , the state of the system is periodic, when the control

parameter exceeds the threshold value <i>νh</i> , the system evolution is attracted to
chaotic attractor, then the system undergoes a subcritical Hopf bifurcation. The
attractors, both before and after the bifurcation, are shown in Figure 3(a, b). Figure
3(a) describes the periodic attractor with its Poincaré section consisting of one
point (*) connected to <i>ν</i> =0.78. With <i>ν</i>=¿ 0.782 a chaotic motion occurs,
Figure3(b) describes its attractor. We’ll consider this case more detail below.
With the values of the frequencies <i>ν</i><<i>ν_h</i> , the Poincaré sections consist of one

point, the motions are periodic with the period equating the one of the external
force. Beyond the periodic region occupying much of the interval 0 .76<i>≤ ν</i><<i>ν_h</i> ,

there exists a wide interval in which for certain ranges of the parameter <i>ν</i> , the
displacement <i>x</i> takes an infinite number of values; these states are aperiodic.

It is also interesting to see that within the aperiodic regions there are narrow
intervals in which the motion abruptly becomes periodic again, for example, the
region around the value <i>ν</i>=0 .8<i>, ν</i>=0 . 8054<i>, ν</i>=0. 8138 ... In this interval, for

every parameter <i>ν</i> , <i>x</i> takes a finite number of values (more than one), so that
the corresponding motions are subharmonic oscillations.

<b> </b>

-8
0
8

-3.5 0 3.5

<i>x</i>

<i>x</i>



-8
0
8

-3.5 0 3.5

<i>x</i>

<i>x</i>



<i>(a)</i>

<i>(b)</i>

0.7717 0.7813 0.7910 0.8007 0.8103 0.8200



<i>x</i>

0 _0.76

-1.89
1.25

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b> </b>

<i><b>A concrete case of Chaotic motion. </b></i>We consider a concrete case for the
parameters  2 0.7, k 1,  0.6,  1, <i>e</i>=¿ _{5 and} <i>ν</i>=0 .782><i>ν_h</i> _{. The}

aperiodic appearance of <i>x</i> (see Fig.4) suggests that the system under
consideration is chaotic.

To verify that motion realized at <i>ν</i>=0 .782 is chaotic, we need to show the

sensitivity to initial conditions on its attractor. We choose two points separated by

<i>d</i>0=10<i>−</i>7 close to the attractor and examine initiated evalutions from them.

Figure 5 illustrates the variation of the separation <i>d </i>with time <i>t. </i>The exponential
growth of separation <i>d</i> for 20<<i>t</i><120 is clearly noticeable. The separation

saturates the size of the attractor for <i>t > </i>120. Therefore, there is a positive
Liapunov exponent associated with the chaotic orbit at <i>ν</i>=0 .782 and its

approximate value is <i>λ ≈</i>¿

¿ 0.0495. Much more insight can be gained from a
Poincaré section (Figure6) consisting of stroboscopic points at instants

2<i>π</i>/❑

¿
¿

<i>t</i>=<i>n</i>¿

0.782), <i>n</i>=¿ 0,1,2 ... of the orbit of the system (9) in the space (<i>x ,x</i>˙) . Figure

6 shows the next 10000 points after the transition decays about the first 1000
periods. The corresponding attractor of the chaotic solution is presented in Figure
3<i>(b)</i>.

-8
0
8

-3.5 0 3.5

-8
0
8

-3.5 0 3.5

<i>Figure 3. (a) Periodic attractor (), </i>
<i> (b) Chaotic attracror ()</i>

-3
0
3

40170 40270 40370 40470

<i>x</i>

<i>x</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<i><b>2.3 The forcing amplitude </b></i> <i>e</i> <i><b> is the control parameter</b></i>

We examine a graph of <i>x</i> versus the forcing amplitude <i>e</i> at <i>ω</i>2

=0 .7 ,

<i>k</i> _{=1 ,}_{=0.6 ,} _{= -1,}_ _{= 0.837 in order to detect bifurcations. The bifurcation}

diagram is shown in Figure 7. In this numerically constructed bifurcation diagram,
the discrete points on the Poincare’ section of the attractor realized at each value <i>e</i>
are displayed.

Obviously, from Figure 7, we can observe the sequence of period-doubling
bifurcations. First, with one of values <i>e</i> in the interval (4.7 , 4.7645125), the
Poincare’ section consists of five points (five dark points in Fig.8), so there exist
the subharmonic motions with the period equaling five times of the period of the
external force (Figure 8). At the value <i>e</i>  4.7645125, the first period-doubling
bifurcation occurs. After the bifurcation, with the values <i>e</i> which is in the right
vicinity of the value <i>e</i>  4.7645125, the subharmonic motions with the period

-2.5
0
2.5

-2 -0.5 1

<i>x</i>

<i>x</i>



<i>Figure 6. Poincare’ section</i>
<i> for .</i>

1.00E-07
1.00E-05
1.00E-03
1.00E-01

0 50 100 150 200

10-

7

10-5
10-3
10-1

<i>t</i>

<i>d</i>

<i>Figure 5. Sensitivity to initial </i>
<i>conditions</i>

<i> for .</i>

4.7208 4.7417 4.7625 4.7833

<i>e</i>

4.8042 4.825

<i>x</i>

-1.82
0
1.54

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

equaling twice the period of the previous motions appear, the Poincare’ sections
consist of ten points (Fig. 9), and so on. The chaotic attractor realized at <i>e</i> =
4.8042 appearing after a sequence of period-doubling bifurcations is shown in
Figure 10, and Figure 11 is corresponding attractor. The largest Liapunov
exponent evaluated is positive ( <i>λ ≈</i>0 . 0553¿ defines sensitivity to initial
conditions on the chaotic attractor.

-2
0
2

-1.9 -0.95 0 0.95

<i>x</i>

<i>x</i>



<i>Figure 9. Ten points in the Poincare’ section for e = 4.7682.</i>

-3
0

3

-2 0 2

<i>x</i>

<i>x</i>



<i>Figure 11. Poincare’ section</i>
<i> for e=4.8042</i>

-7.5
0
7.5

-3 0 3

<i>x</i>

<i>x</i>



<i>Figure 10. Chaotic attractor </i>
<i>for e=4.8042</i>

-7
0
7

-3 0 3

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

The sequence of period-doubling bifurcations is one route to chaos and it is
common

in many dynamical systems. It is particularly interesting because it may be
characterized by a certain universal constant (called the Feigenbaum’s constant)
that do not depend on nature of the concrete systems. This constant is considered
as a specify criterion to determine if a system becomes chaotic by observing the
prechaotic periodic behavior.

If the first bifurcation occurs at parameter value <i>e1, </i>the second at<i> e2</i>, and so on,

then this constant is defined as
lim
<i>k →∞</i>

<i>e_k− e_k−</i>₁
<i>ek</i>+1<i>− ek</i>

=<i>δ</i>=4 . 6692016 . .. .

Table 12 shows a list of the parameters at which period-doublings occur in the
Poincare’ map corresponding to the system (1) for <i>ω</i>2=0 .7 , <i>k</i> =1 ,  =0.6 ,

 _{= -1,}__{= 0.837 and}<i>_e</i>

_{is used as the control parameter.}

Period Parameter <i>e</i> Ratio

5
10
20
40
80
160

<b>.</b>

4.7645125
4.7717130
4.77327499

4.773611
4.77368297

<b>.</b>
<b>.</b>

4.600144
4.656677
4.668751

<b>.</b>
<b>.</b>

<i>Table 12. Feigenbaum</i>’<i>s constant in the Poincare</i>’<i> map</i>

<b>Liapunov exponent. To determine the chaotic motion in the system described by</b>

(1) it is necessary to calculate the largest Lyapunov exponent. If<i> d0</i>is a measure of

the initial distance between the two starting points, at a small but later time the
distance is

 

02

<i>t</i>

<i>d t</i> <i>d</i> 



-7
0
7

-3 0 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

The divergence of chaotic orbits can only be locally exponential, since if the
system is bounded, as most physical experiments are, <i>d(t)</i> cannot go to infinity.
Thus, to define a measure of this divergence of orbits, we must average the
exponential growth at many points along a trajectory. One begins with a reference
trajectory and a point on a nearby trajectory and measures <i>d t d</i>

 

/ 0_{. When}<i>_d(t)</i>
becomes too large (i.e, the growth departs from exponential behavior), one looks
for a new “nearby” trajectory and defines a new <i>d t</i>0

 

_{. One can define the first}
Lyapunov exponent by the expression

 





2
1

0 0 1

1
log
<i>N</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>N</i> <i>k</i>
<i>d t</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>d t</i>



 







the motion is chaotic if the corresponding largest Lyapunov exponent is positive.
For this calculation ([7]), in the case of concrete case of Chaotic motion in (2.2),
we represent the equation (1) in the form :





1 2

2 3

2 0.7 1 (1 0.6 )1 2 1 5sin 0.782

1.

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i> <i>x</i> <i>z</i>

<i>z</i>

    




  ₍₉₎

Let <i>u</i>=(<i>x</i>₁<i>, x</i>₂<i>, z</i>) is a three dimension vector and <i>u</i>❑=<i>u</i>❑(<i>t , u</i>₀) is a reference

trajectory of the system (3), where <i>u</i>₀ _{is the initial condition. The variational}

equation corresponding to this reference trajectory is

˙

<i>η</i>=<i>Aη</i> ,

where <i>η</i>=<i>u − u</i>❑ and the matrix <i>A</i> depends on <i>u</i>❑



*



* * *2 *2

1 2 1 1

0
0 1

3.91cos 0.782
0.7 1.2 3 1 0.6

0 0 0

<i>A</i> <i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>z</i>


  

  
 __    _ _



  _. ₍₁₀₎

If this initial condition is chosen at random, then it is likely to have a component
that lies in the direction of the largest positive eigenvalue of <b>A. It is the change in</b>
length in this direction that the largest Lyapunov exponent measures.

After a given time interval <i>tk</i>1 <i>tk</i>  , take





 









1 ;
0;
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>k</i> <i>k</i>
<i>t</i>
<i>d t</i>

<i>d t</i> <i>t</i>

 






The time evolution of the Lyapunov exponent is presented in Fig.14. The largest
Lyapunov exponent value is a positive number <i>λ ≈</i>¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

starting closely one to another in the phase space will move exponentially away
from each other for small times on the average

<i>d</i>(<i>t</i>)=<i>d</i>02<i>λt</i> ,

where <i>d</i>₀ _{is the initial distance between two adjacent starting points at}

<i>t</i>=<i>t</i>₀ _and <i>d</i> is the distance between two these points at the moment <i>t</i> . In
Fig. 15, we show how the distance <i>d</i> between evolutions initiated from two
points separated by <i>d</i>₀=¿ ₁₀-7_{varies with time. Both of the initial points are}
located close to the attractor. The separation clearly grows exponentially in the
range 10 <i>t</i><¿ 125. The separation saturates at the size of the attractor for <i>t</i>>¿
125.

<b>3. Conclusion</b>

The bifurcation diagrams and Liapunov exponent have been used for detecting
chaotic regimes in the system described by equation (1). Our discussion was
focused upon variation of the excitation frequency <i>ν</i> and the forcing amplitude
e . For a concrete case, the parameter regions in which either periodic or chaotic
motions exist were shown. Chaotic attractors (Fig. 5, 10) illustrate the complexity
of the motion of the system under consideration. The bifurcation diagram shows

0
0.05
0.1
0.15
0.2

0 500 1000 1500 2000 2500

cycle


<i>Fig. 14. Time evolution of the largest Liapunov exponent </i>
<i>(one cycle = 0.837)</i>

1.00E-07
1.00E-05
1.00E-03
1.00E-01
1.00E+01

0 100 200 300

<i>t</i>
<i>d</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

so clearly the motions of system (1) with respect to the observed parameters. In
two preceding cases, the first case, when <i>ν</i> is control parameter, it changes
suddenly from periodic motion to chaotic motion, corresponding to Hopf
bifurcation. In the second case, it is the double – period process and leads to
chaotic motion. Lyapunov exponent value and some other criterions have used to
determine chaotic motion of a solution.

*
* *

Cơng trình khoa học này của Anh là báo cáo mời, sẽ báo cáo vào ngày thứ hai,
11/12/2006 tại Hội nghị Quốc tế “<i>Giải tích phi tuyến và Cơ học ngày nay</i>” từ

ngày 11 đến 14/12/2006 tại thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng Anh đã ra đi mãi mãi
vào chính buổi sáng hơm đó. Sự nghiệp khoa học thực sự đã đi theo Anh đến hơi
thở cuối cùng. Khi chuẩn bị báo cáo này chẳng ai ngờ rằng đây là báo cáo cuối
cùng của Anh.

</div>

<!--links-->