Bài giảng về thuật toánFloyd warshall

Trường ĐẠI HỌC GIAO
THƠNG VẬN TẢI
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Mơn: Phân tích thiết kế giải thuật-GVHD:
Trần Tuấn Anh

ủ đề: Phân tích độ phức tạp thuật to
Floyd-Warshall


Thành Viên nhóm 9:
Nguyễn Việt Long
Trần Đơng Dung
Nguyễn Trọng Nhân


THUẬT TOÁN FLOYD-WARSHALL


FLOYD-WARSHALL
1. Tìm hiểu về Floyd-Warshall
2. Code mẫu- phân tích cách hoạt động
3. Phân tích độ phức tạp giải thuật


Ý TƯỞNG
Trong những bài toán đường đi ngắn nhất mà

chúng ta cần thông tin về đường đi giữa nhiều
cặp đỉnh, ta có xu hướng là sẽ tính tốn đường
đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh.

Thuật toán Floyd-Warshall là một thuật toán
phù hợp để thực hiện tác vụ này.


KHÁI NIỆM
Thuật tốn Floyd-Warshall cịn được gọi là thuật tốn

Floyd được Robert Floyd tìm ra năm 1962. Thuật tốn
Floyd là một thuật toán giải quyết bài toán đường đi
ngắn nhất trong một đồ thị có hướng có cạnh mang
trọng số dương dựa trên khái niệm các Đỉnh Trung Gian.
Thuật toán Floyd-Warshall giúp xác định tất cả các
Đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh.
Định lý: Thuật toán Floyd-Warshall cho ta Ma trận W* =
Wn là ma trận Khoảng cách nhỏ nhất của đồ thị G.


Ma trận trọng điểm của đồ thị


Cho đồ thị:


Từ đồ thị ta chuyển thành ma trận A

Tạo một ma trận có chiều trong đó n là số đỉnh. i và j là các
đỉnh của đồ thị
Mỗi ô A [i] [j] được lấp đầy bởi khoảng cách từ đỉnh
đến đỉnh. Nếu khơng có đường đi từ đỉnh đến đỉnh, ô được để

Với k = 1

Ta có A0 ở bước trước

Các phần tử trong cột đầu tiên và hàng đầu tiên được giữ nguyên.
k la đỉnh trung gian trong đường đi ngắn nhất từ nguồn đến đích
Với k =1 là đỉnh đầu tiên, ta tính đỉnh nguồn đến đích thơng qua đỉnh k này,
A[i][j] được lấp đầy bởi:

(A[i][k] + A[k][j]) if (A[i][j] > A[i][k] + A[k][j])


Với k = 2

Tương tự, A2 được tạo bằng A1. Các phần tử

trong cột thứ hai và hàng thứ hai được giữ
nguyên.


K =3

K =4


ĐỘ PHỨC TẠP CỦA FLOYD-WARSHALL


 void PrintMatran(void){










1
cout << "Ma tran: \n";
for (int i = 0; i < n; i++){
N+1
for (int j = 0; j < n; j++){N*(N+1) = 1 + (N+1) + N*(N+1)
+ 4*N*N + N
if (A[i][j] == INF)
N*N
2
=
5*N
+ 3*N + 2
N*N
cout << "INF" << "
";
N*N
else
N*N
cout << A[i][j] << "   ";
 
}

cout << endl;



}

}

N
 


 void floydWarshall(void){





int i, j, k;
for (k = 0; k < n; k++){
for (i = 0; i < n; i++){
for (j = 0; j < n; j++){

N*N*N
if (A[i][k] + A[k][j] < A[i][j])
N*N*N
A[i][j] = A[i][k] + A[k][j];




}



}




}



PrintMatran();

}

1
N+1
N*(N+1)
N*N*(N+1)

Gọi T(n) là thời gian
thực hiện chương trìn
T(n)= 1 + (N+1)
+ N*(N+1)
+ N*N*(N+1)
+2* N*N*N
+ 5*N2 + 3*N + 2

= 3*N3 + 7*N2 +
5*N + 4
 Độ phức tạp của
 thuật toán :
 O(n3)

5*N2 + 3*N + 2

(Độ phức tạp không
Gian: 0(n^2) )


Ưu và Nhược điểm FloydWarshall
 Ưu điểm:
 Không cần chạy lại Thuật tốn (có nghĩa là có

tính kế thừa từ đường đi lẫn nhau)
 Có thể chạy được với trọng số âm.
Nhược điểm: Chi phí cao O(n^3) cho mỗi cặp

đỉnh


Ứng dụng
Để tìm đường đi ngắn nhất là đồ thị có hướng
Để tìm cách đóng theo hướng bắc cầu của đồ

thị có hướng
Để tìm Nghịch đảo của ma trận thực
Để kiểm tra xem một biểu đồ vơ hướng có

phải là lưỡng phân hay không


So sánh giữa 2 thuật toán dijkstra và FloydWarshall

Dijsktra
Ưu điểm

Nhược điểm

FloydWarshall

Chi phí thấp hơn
Thuật tốn FloydWarshall

Khơng cần chạy lại 
Thuật tốn (có nghĩa
là có tính kế thừa từ
đường đi lẫn nhau)Có
thể chạy được với
trọng số âm

Khơng chạy được với 
trọng số âm.

Chi phí
cao {\displaystyle
O(n^{3})} cho mỗi

CODE:


Câu hỏi:
1. Thuật tốn Floyd-Warshall có độ phức tạp là

bao nhiêu?
2. Ứng dụng của thuật toán Floyd-Warshall.
3. Ưu và nhược điểm của thuật toán FloyWarshall


THANKS