lý thuyết về thuật toán floyd washall

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THƠNG VẬN TẢI TP. HỒ CHÍ MINH
VIỆN ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG CAO
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
PHÂN TÍCH THIẾT KẾ GIẢI THUẬT
Nhóm 9
Giáo viên hướng dẫn: Trần Anh Tuấn
Sinh viên

MSSV

Nguyễn Việt Long

19H1120052

Trần Đông Dun

19H1120045

Nguyễn Trọng Nhân

19H1120019
Thành phố Hồ Chí Minh


NỘI DUNG
I.

TỔNG QUÁT

 Nếu như Dijkstra giải quyết bài toán tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh cho
trước đến mọi đỉnh khác trong đồ thị, thì Floyd-Warshall sẽ tìm đường đi
ngắn nhất giữa mọi đỉnh sau một lần chạy thuật tốn. Một tính chất nữa là
Floyd-Warshall có thể chạy trên đồ thị có các cạnh có trọng số có thể âm,
tức là không bị giới hạn như Dijkstra. Tuy nhiên, lưu ý là trong đồ thị khơng
được có vịng (cycle) nào có tổng các cạnh là âm, nếu có vịng như vậy ta
khơng thể tìm được đường đi ngắn nhất (mỗi lần đi qua vòng này độ dài
quãng đường lại giảm, nên ta có thể đi vơ hạn lần)
 Thuật toán Floyd-Warshall so sánh tất cả các đường đi có thể giữa từng cặp
đỉnh. Nó là một dạng của quy hoạch động (Dynamic Programming).


II.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

 Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có
nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra từ thế
kỷ 18 bởi nhà tốn học Thụy Sĩ tên là Leonhard Euler. Ơng đã dùng đồ thị
để giải quyết bài toán 7 chiếc cầu Konigsberg nổi tiếng.
 Đồ thị cũng được dùng để giải các bài tốn trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Thí dụ, dùng đồ thị để xác định xem có thực hiện một mạch điện trên một
bảng điện phẳng được không. Chúng ta cũng có thể phân biệt hai hợp chất
hóa học có cùng cơng thức phân tử nhưng có cấu trúc khác nhau nhờ đồ thị.
Chúng ta cũng có thể xác định xem hai máy tính có được nối với nhau bằng
một đường truyền thơng hay khơng nếu dùng mơ hình đồ thị mạng máy tính.
Đồ thị với các trọng số được gán cho các cạnh của nó có thể dùng để giải
các bài tốn như bài tốn tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trong
một mạng giao thông. Chúng ta cũng có thể dùng đồ thị để lập lịch thi và
phân chia kênh cho các đài truyền hình.

Bài tốn tìm đường đi ngắn nhất là vấn đề quan trọng trong lý thuyết đồ thị,
nó đã được nghiên cứu từ lâu và có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa
học nói chung và khoa học máy tính nói riêng. Trong thực tế, bài toán này đã
được ứng dụng để giải quyết rất nhiều bài toán như điều khiển tối ưu, giao
thông vận tải, mạng viễn thông ...
 Nghiên cứu một cách tổng qt, bài tốn này có thể chia làm 2 loại:
+ Tìm đường đi ngắn nhất giữa một cặp đỉnh: Cho đồ thị G(V,E,w) có trọng
số cạnh và hai đỉnh u, v thuộc V tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh u đến đỉnh v
trên đồ thị G. Các giải thuật được phát triển để giải bài toán dạng này tiêu
biểu là các giải thuật: Dijkstra, Bellman-Ford,...


- Tìm đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh: Cho đồ thị G(V,E,w) có
trọng số cạnh, tìm đường đi từ đỉnh u đến đỉnh v, với mọi cặp đỉnh u, v thuộc
V. Các giải thuật đã được phát triển để giải bài toán này là: Floyd-Warshall,
Johnson,...

III. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
 Khi nghiên cứu giải quyết bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa một cặp
đỉnh
của đồ thị, một vấn đề được đặt ra là: Với đồ thị có trọng số G(V,E,w) như
trên, hãy tìm đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh của đồ thị.
 Rõ ràng là ta có thể áp dụng thuật tốn tìm đường đi ngắn nhất xuất phát từ
một đỉnh với n khả năng chọn đỉnh xuất phát. Tuy nhiên, với bài tốn này, ta
có một cách giải quyết gọn hơn nhiều, đó là sử dụng thuật tốn FloydWarshall. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu về thuật tốn Floyd-Warshall.

1. Mơ tả thuật tốn:
 Đầu vào:
Đồ thị có hướng liên thơng G = (V, E), V = {1, 2, ... , n}, có trọng số với mọi
cung (i, j).

 Đầu ra:
Ma trận D = [d(i, j)], trong đó d(i, j) là chiều dài đường đi ngắn nhất từ i đến
j với mọi cặp (i, j).
Ma trận P = [p(i,j)] xác định đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh.
 Phương pháp:
+ B1. Bước khởi tạo:
Ký hiệu Do là ma trận xuất phát
Do = [do (i, j)]
Trong đó: do(i, j) = w(i, j) nếu tồn tại cung (i, j) và do(i, j) = + nếu không


tồn tại cung (i, j) (đặc biệt nếu khơng có khuyên tại i thì do(i,i)=+).
Ký hiệu Po là ma trận xuất phát
Po = [po (i, j)]
Trong đó: po(i, j) = j nếu có cung từ i đến j và po(i, j) khơng xác định nếu
khơng có cung từ i đến j.
Gán k:= 0.
+ B2. Kiểm tra kết thúc:
Nếu k = n, kết thúc. D = Dn là ma trận độ dài đường đi ngắn nhất, P=Pn là
ma trận xác định đường đi ngắn nhất.
Ngược lại tăng k lên 1 đơn vị (k: = k + 1) và sang B3.
+ B3. Tính ma trận Dk theo Dk-1 và Pk theo Pk-1:
Với mọi cặp (i, j), i = 1..n, j = 1..n thực hiện:
Nếu dk-1(i, j) > dk-1(i,k) + dk-1(k,j) thì đặt
dk(i, j) = dk-1(i, k) + dk-1(k, j) và pk(i,j) = pk-1(i,k)
ngược lại đặt
dk(i, j) = dk-1(i, j) và pk(i,j) = pk-1(i,j)
Quay lại B2.
Phương pháp xác định đường đi ngắn nhất từ đỉnh i đến đỉnh j:
Đường đi ngắn nhất từ i đến j gồm dãy các đỉnh

i, i1, i2, i3,... , ik, ik+1, ..., im, j
thỏa mãn
i1 = p(i,j), i2 = p(i1,j),..., ik+1 = p(ik,j), ..., p(im,j) = j

2. Thiết kế cấu trúc dữ liệu và giải thuật Floy-Washall:
2.1 Thiết kế cấu trúc:
 File dữ liệu đầu vào: FLOYDWAR.INP có cấu trúc


 File kết quả: FLOYDWAR.INP
D (Ma trận độ dài đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh)
P (Ma trận xác định đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh)
*Ví dụ:

2.2 Giải thuật Floy-Washall:
Giải thuật Floy-Washall xây dựng dãy các ma trận vuông cấp n
Dk (0<=k<=n) và ma trận Pk (0<=k<=n) như sau:


3. Phân tích độ phức tạp của thuật tốn Floy-Washall:
- Thuật toán Floy-Washall so sánh tất cả các đường đi có thể thơng qua đồ thị
giữa mỗi cặp đỉnh. Nó có thể làm điều này với O(|V|3) so sánh trong biểu
đồ, mặc dù có thể có Ώ(|V| ) các cạnh trong biểu đồ và mọi tổ hợp các cạnh
2

đều được kiểm tra. Nó làm như vậy bằng cách cải thiện từng bước một ước
lượng trên đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh, cho đến khi ước lượng là tối
ưu.
- Xem xét một đồ thị G với các đỉnh V đánh số từ 1 đến N . Xem xét thêm
một chức năng shorestPath(i,j,k) trả về con đường ngắn nhất có thể

từ đến chỉ sử dụng các đỉnh từ tập hợp {1,2,……,k} như các điểm trung
gian trên đường đi. Bây giờ, với chức năng này, mục tiêu của chúng ta là tìm
đường đi ngắn nhất từ mỗi i cho mỗi j sử dụng bất kỳ đỉnh nào trong {1,2,
……,N}.
- Đối với mỗi cặp đỉnh này, shorestPath(i,j,k) có thể là một trong hai
(1) một con đường không đi qua (chỉ sử dụng các đỉnh trong tập hợp {1,…,k-1} .)


(2) một con đường đi qua k (từ i đến k và sau đó từ k đến j, cả hai đều chỉ sử
dụng các đỉnh trung gian trong {1,….k-1} )
- Chúng tôi biết rằng con đường tốt nhất từ i đến j chỉ sử dụng các
đỉnh 1 xuyên qua k-1 được định nghĩa bởi shorestPath(i,j,k-1) và rõ ràng là
nếu có một con đường tốt hơn từ i đến k đến j, thì độ dài của đường dẫn này
sẽ là nối của đường đi ngắn nhất từ i đến k (chỉ sử dụng các đỉnh trung gian
trong {1,….,k-1} ) và con đường ngắn nhất từ k đến j (chỉ sử dụng các đỉnh
trung gian trong {1,….,k-1} ).
- Nếu w(i,j) là trọng lượng của cạnh giữa các đỉnh i và j, chúng ta có thể xác
định shorestPath(i,j,k) theo cơng thức đệ quy sau : trường hợp cơ sở là và
trường hợp đệ quy là:

- Công thức này là trung tâm của thuật tốn Floyd – Warshall. Thuật tốn hoạt
động bằng máy tính đầu tiên shorestPath(i,j,k) cho tất cả (i,j) cặp cho k=1 ,
sau đó k=2, và như thế. Q trình này tiếp tục cho đến khi k=N và chúng tơi
đã tìm ra con đường ngắn nhất cho tất cả (i,j) các cặp sử dụng bất kỳ đỉnh
trung gian nào. Mã giả cho phiên bản cơ bản này như sau:


- Thuật toán trên được thực thi trên biểu đồ bên trái phía dưới:

- Trước đệ quy đầu tiên của vịng lặp ngồi, có nhãn k = 0 ở trên, các đường

dẫn duy nhất đã biết tương ứng với các cạnh đơn trong biểu đồ. Tại k = 1 ,
các đường đi qua đỉnh 1 được tìm thấy: đặc biệt, đường dẫn [2,1,3] được tìm
thấy, thay thế đường đi [2,3] có ít cạnh hơn nhưng dài hơn (về trọng
số ). Tại k = 2 , các đường đi qua các đỉnh {1,2} được tìm thấy. Các hộp màu
đỏ và xanh lam cho biết cách đường dẫn [4,2,1,3] được lắp ráp từ hai đường
dẫn đã biết [4,2] và [2,1,3] đã gặp trong các lần lặp trước, với 2 trong giao
điểm. Đường đi [4,2,3] khơng được xem xét, vì [2,1,3] là đường đi ngắn
nhất gặp từ 2 đến 3. Tại k = 3, các đường đi qua các đỉnh {1,2,3} được tìm
thấy. Cuối cùng, tại k = 4 , tất cả các đường đi ngắn nhất được tìm thấy.


- Ma trận khoảng cách tại mỗi lần lặp của k , với các khoảng cách được cập
nhật được in đậm , sẽ là:

- Độ phức tạp: Để cho n là |V|, số lượng đỉnh. Để tìm tất cả
n2 của shorestPath(i,j,k) (cho tất cả i và j) từ những người
của shorestPath(i,j,k-1) đòi hỏi 2n2 các hoạt động. Kể từ khi chúng ta bắt
đầu với shorestPath(i,j,0)=edgeCost(i.j) và tính tốn trình tự của n ma
trận shorestPath(i,j,1), shorestPath(i,j,2),…, shorestPath(i,j,n), tổng số hoạt
động được sử dụng là n.2n2=2n3. Do đó, độ phức tạp của thuật toán là O(n3).

void floydWarshall(void){

}

N*(N+1)

int i, j, k;

}

N*N*(N+1)

for (k = 0; k < n; k++){

PrintMatran();

N*N*N

for (i = 0; i < n; i++){

}

for (j = 0; j < n; j++){

N*N*N

if (A[i][k] + A[k]
[j] < A[i][j])
A[i][j] = A[i][k]
+ A[k][j];
}

1
N+1

5*N2 + 3*N + 2


= 3*N3 + 7*N2 + 5*N +

4

=> Độ phức tạp của
Gọi T(n) là thời gian thực

thuật toán : O(n3)

hiện chương trình
T(n)= 1 + (N+1) + N*(N+1)
+ N*N*(N+1) +2* N*N*N +
5*N2 + 3*N + 2

void PrintMatran(void){

}

N*N

cout << "Ma tran co
khoang cach ngan
nhat giua cac cap

N

dinh: \n";
for (int i = 0; i < n; i++){
for (int j = 0; j < n; j++)

1

{
if (A[i][j] == INF)
cout << "INF" << "
";
else

N+1
N*(N+1)

+ 4*N*N + N

cout << A[i][j] <<
"

";

N*N

}

N*N

cout << endl;
}

= 1 + (N+1) + N*(N+1)

N*N

= 5*N2 + 3*N + 2

4. Hành vi có chu kì tiêu cực:
 Chu kỳ âm là chu kỳ mà các cạnh của nó tổng bằng một giá trị âm. Khơng
có đường đi ngắn nhất giữa bất kỳ cặp đỉnh nào i, j tạo thành một phần của
chu kỳ tiêu cực, bởi vì độ dài đường dẫn từ i đến j có thể to nhỏ tùy ý
(âm). Đối với đầu ra có ý nghĩa số, thuật tốn Floyd – Warshall giả định rằng
khơng có chu kỳ âm nào. Tuy nhiên, nếu có các chu kỳ âm, thuật tốn Floyd
– Warshall có thể được sử dụng để phát hiện chúng. Theo trực giác thì là thế
này:
Thuật toán Floyd – Warshall sửa đổi lặp đi lặp lại độ dài đường đi giữa tất cả



các cặp đỉnh (i,j), bao gồm cả ở đâu i=j;


Ban đầu, chiều dài của con đường (i,j) là số không;



Một con đường [I,k,…,j] chỉ có thể cải thiện điều này nếu nó có độ dài nhỏ
hơn 0, tức là biểu thị một chu kỳ âm;
Do đó, sau thuật tốn, (i,j) sẽ là số âm nếu tồn tại một đường dẫn có độ dài



âm từ i Quay lại i.



Do đó, để phát hiện các chu kỳ âm bằng cách sử dụng thuật toán Floyd –
Warshall, người ta có thể kiểm tra đường chéo của ma trận đường dẫn và sự
hiện diện của một số âm chỉ ra rằng đồ thị chứa ít nhất một chu kỳ
âm. Trong q trình thực hiện thuật tốn, nếu có một chu kỳ âm, các số lớn


theo cấp số nhân có thể xuất hiện, lớn như

, Ở đâu

là giá

trị tuyệt đối lớn nhất của một cạnh âm trong đồ thị. Để tránh các vấn đề
tràn / tràn dòng, người ta nên kiểm tra các số âm trên đường chéo của ma
trận đường dẫn trong vòng lặp for bên trong của thuật toán. Rõ ràng, trong
một đồ thị vô hướng, một cạnh âm tạo ra một chu trình âm (tức là một bước
đi khép kín) liên quan đến các đỉnh tới của nó. Coi tất cả các cạnh của đồ thị
ví dụ trên là vơ hướng, ví dụ dãy đỉnh 4 - 2 - 4 là một chu trình có tổng trọng
số là −2.

5. Tái tạo đường dẫn:


Thuật toán Floyd – Warshall thường chỉ cung cấp độ dài của các đường đi giữa
tất cả các cặp đỉnh. Với những sửa đổi đơn giản, có thể tạo ra một phương thức
để tạo lại đường đi thực tế giữa hai đỉnh điểm cuối bất kỳ. Trong khi người ta
có thể có xu hướng lưu trữ đường đi thực tế từ mỗi đỉnh đến mỗi đỉnh khác,
điều này là không cần thiết, và trên thực tế, rất tốn kém về bộ nhớ. Thay vào

đó, cây đường đi ngắn nhất có thể được tính tốn cho mỗi nút trong O(|E|) thời
gian sử dụng O(|V|) bộ nhớ để lưu trữ từng cây cho phép chúng tôi tạo lại một
cách hiệu quả một đường đi từ hai đỉnh được kết nối bất kỳ.
Mã Giả

6. Ưu nhược điểm của thuật toán Floy-Washall
 Ưu điểm:
 Cực kì đơn giản


 Dể thực hiện
 Nhược điểm: khơng có

IV.

ỨNG DỤNG

 Thuật tốn Floyd – Warshall có thể được sử dụng để giải quyết các vấn đề
sau, trong số các vấn đề khác:


Đường đi ngắn nhất trong đồ thị có hướng (thuật tốn Floyd).



Đóng cửa bắc cầu của đồ thị có hướng (thuật tốn Warshall). Trong cơng
thức ban đầu của Warshall về thuật tốn, đồ thị khơng có trọng số và được biểu
diễn bằng ma trận kề Boolean . Sau đó, phép toán cộng được thay thế
bằng phép kết hợp logic (AND) và phép tốn tối thiểu bằng phép nối
logic (OR).



Tìm một biểu thức chính quy biểu thị ngơn ngữ thơng thường được chấp
nhận bởi một tự động hữu hạn ( thuật tốn của Kleene , một tổng qt hóa có
liên quan chặt chẽ của thuật toán Floyd-Warshall)



Inversion của thực ma trận ( Gauss-Jordan thuật toán )



Định tuyến tối ưu. Trong ứng dụng này, người ta quan tâm đến việc tìm
đường đi với dòng chảy lớn nhất giữa hai đỉnh. Điều này có nghĩa là, thay vì
lấy cực tiểu như trong mã giả ở trên, thay vì lấy cực đại. Các trọng số cạnh đại
diện cho các ràng buộc cố định đối với luồng. Trọng số đường dẫn đại diện cho
các điểm nghẽn; vì vậy phép tốn cộng ở trên được thay thế bằng phép tốn tối
thiểu.



Tính tốn nhanh các mạng Pathfinder .




Đường dẫn rộng nhất / Đường dẫn băng thông tối đa



Tính tốn dạng chính tắc của ma trận ràng buộc chênh lệch (DBM)



Tính tốn sự giống nhau giữa các đồ thị

V.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

 Wikipedia.org
 123doc.net
 Giáo trình mơn Cấu trúc dữ liệu và giải thuật của thầy Trần Anh Tuấn
 Giaithuatlaptrinh.com


Youtube: /> />