Toán học - Chuyên đề 7: Parabol

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ 7 PARABOL. Các bài toán về parabol thường qui về việc xác định các yếu tố của parabol (tiêu điểm, đường chuẩn), lập phương trình của parabol và các vấn đề về tiếp tuyến của parabol. Do đó ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau đây : Parabol (P) =. {. M∈ (Oxy) / MF = d M ( Δ ). }. F là tiêu điểm và ( Δ ) là đường chuẩn. Caùc daïng phöông trình chính taéc : y. y. (Δ). (Δ) F. O. −P 2. F( P , 0) 2. O. x. x. P. 2. (P) (P) (P) : y2 = 2px. (Δ). :x= −. (P) : y2 = –2px. p 2. (Δ). :x=. p 2. ⎛p ⎞ F ⎜ ,0⎟ ⎝2 ⎠. ⎛ p ⎞ F ⎜ − ,0⎟ ⎝ 2 ⎠. M ∈ (P) ⇒ xM ≥ 0. M ∈ (P) ⇒ xM ≤ 0. vaø r = MF = xM +. p 2. vaø r = MF = –xM +. p 2. (d) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P) ⇔ pB2 = 2AC. (d) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P) ⇔ pB2 = –2AC. Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm. Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm. 1 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> M0(x0, y0) coù phöông trình. M0(x0, y0) coù phöông trình. y0y = p(x0 + x). y0y = –p(x0 + x) y. y. P. (Δ). O (P). P. 2. F. (P). (Δ). (P) : x2 = 2py. (Δ). :y= −. x. −P F 2. x. O. 2. (P) : x2 = –2py. p 2. (Δ). :y=. p 2. ⎛ p⎞ F ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠. p⎞ ⎛ F ⎜ 0, − ⎟ 2⎠ ⎝. M ∈ (P) ⇒ yM ≥ 0. M ∈ (P) ⇒ yM ≤ 0. vaø r = MF = yM +. p 2. vaø r = MF = –yM +. p 2. (d) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P) ⇔ pA2 = 2BC. (d) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P) ⇔ pA2 = –2BC. Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm. Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm. M0(x0, y0) coù phöông trình. M0(x0, y0) coù phöông trình. x0x = p(y0 + y). x0x = –p(y0 + y). Ví duï1 : Cho parabol (P) : y2 – 8x = 0 1) Xác định tiêu điểm F và đường chuẩn (Δ) của (P) 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm M(2; –4). 2 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết nó song song với đường thẳng (D) : 2x – y + 5 = 0. Suy ra tọa độ tiếp điểm. 4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết nó xuất phát từ điểm I(–3, 0), suy ra tọa độ tiếp điểm. Giaûi 1) Tiêu điểm và đường chuẩn (P) : y2 – 8x = 0 ⇔ y2 = 8x có dạng y2 = 2px với p = 4. ⇒ Tiêu điểm F(2, 0) và đường chuẩn (Δ) : x = –2. 2) Phương trình tiếp tuyến với (P) tại M(2; –4) Tiếp tuyến với (P) : y2 = 8x tại tiếp điểm M(2, –4) có phương trình cho bởi công thức phân đôi tọa độ : –4(y) = 4(2 + x). ⇔. x+y+2=0. 3) Phương trình tiếp tuyến với (P) và song song với (D) Đường thẳng (d) // (D) với (D) : 2x – y + 5 = 0. ⇒. (d) : 2x – y + C = 0. (d) tiếp xúc với (P) : y2 = 8x. ⇔. 4 = 2 . 2C = 4C. ⇔ C=1. Vậy tiếp tuyến với (P) phải tìm có phương trình 2x – y + 1 = 0 Tiếp tuyến (d) với (P) : y2 = 8x tại tiếp điểm M0(x0, y0) còn có phương trình y0y = 4(x0 + x) ⇔. 4x – y0y + 4x0 = 0. mà (d) : 2x – y + 1 = 0, do đó : 4x0 y 4 = 0 = 1 2 1. 1 ⎧ ⎪x0 = ⇒⎨ 2 ⎪⎩ y 0 = 2. ⎛1 ⎞ hay M0 ⎜ , 2 ⎟ ⎝2 ⎠. 4) Phương trình tiếp tuyến với (P) xuất phát từ I(–3, 0). Tiếp tuyến với (P) và cùng phương với 0y là x = 0. Vậy pt tiếp tuyến ( d′ ) qua I(–3, 0) coù daïng: ( d′ ) : y – 0 = k(x + 3). ⇔. kx – y + 3k = 0. 3 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ( d′ ) tiếp xúc với (P) : y2 = 8x. ⇔ 4 = 2k(3k) = 6k2 ⇔ k = ±. 2 6 = ± 3 6. Vậy từ điểm I(–3, 0) có 2 tiếp tuyến với parabol (P) là: 6 x–y+ 3. ⇔. 6 =0. 6 x–y+ 3. hay. 6 =0. 6 x–y– 3. –. hay. 6=0. 6 x +3 y +3 6 = 0. Tiếp tuyến ( d′ ) với (P) tại tiếp điểm M0(x0, y0) có phương trình 4x – y0y + 4x0 = 0 Do đó với ( d′ ) :. 6 x–y+ 3. 4x0 y 4 = 0 = 1 6 6 3. 6 =0 ⇒. ⎧ x0 = 3 ⎪ 12 ⎨ ⎪y0 = 6 = 2 6 ⎩. ⇒. Với ( d′ ) :. 6 x + 3y + 3 6 = 0. ⇒. 4x0 4 −y0 = = 3 6 3 6. ⎧x0 = 3 ⎪ ⇒ ⎨ 12 y = − = −2 6 0 ⎪ 6 ⎩ Vaäy 2 tieáp ñieåm phaûi tìm laø (3; 2 6 ) vaø (3; –2 6 ). Ví du2( ĐỀ DỰ TRỮKHỐI A –2003) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho parabol (P) có phương trình y2 = x và điểm I (0; 2). Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc (P) sao cho. IM = 4 IN .. Giaûi Goïi M(m2; m) ∈ (P),. N(n2; n) ∈ (P). ⎯→. IM = (m2; m – 2) ⎯→. IN = (n2; n – 2) ⎯→. ⇒ 4 IN = (4n2; 4n – 8). 4 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2 2 ⎯→ ⎯→ ⎪⎧m = 4n Vì IM = 4 IN ⇔ ⎨ ⎪⎩m − 2 = 4n − 8 ⎧⎪m = 4n − 6 ⎡n1 = 1 ⇒ m1 = −2 ⇔ ⎨ 2 ⇒⎢ ⎪⎩n − 4n + 3 = 0 ⎣n 2 = 3 ⇒ m2 = 6 ⇒ M1(4; −2), N1(1; 1), M2(36; 6), N2(9; 3). Ví du 3 ( ĐỀ DỰ TRỮKHỐI A –2003) :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho x2 y2 elip (E): + = 1 . M(−2; 3); N(5; n). Viết phương trình các đường thẳng d1, d2 qua M và tiếp xúc 4 1. với (E). Tìm n để trong số các tiếp tuyến của (E) đi qua N có một tiếp tuyến song song với d1 hoặc d2.. Giaûi 1) Viết phương trình các đường thẳng qua M tiếp xúc với E. x = ± 2 là 2 tiếp tuyến thẳng đứng của (E) Vaäy d1 : x = −2 laø 1 tieáp tuyeán cuûa. (E) qua M.. Phương trình tiếp tuyến d qua M(−2; 3) khác dường thẳng x = −2 coù daïng : y – 3 = k(x + 2). ⇔ kx – y + 3 + 2k d tiếp xúc với (E) ⇔ 4k2 + 1 = (3 + 2k)2 ⇔ 4k2 + 1 = 9 + 4k2 + 12k −8 2 =− ⇔k= 12 3. y M. −2. 3. O. x. d2 : 2x + 3y – 5 = 0 2). dễ thấy tiếp tuyến d của (E) qua N(5; n) không song song với : x = −2. Do đó d song song với d2 : 2x + 3y – 5 = 0 và qua N(5; n) có hệ số góc : 2 2 k = − . Vaäy d : y = − ( x − 5 ) + n hay 3 3 2 10 d: − x−y+ + n = 0 ⇔ −2x – 3y + 10 + 3n = 0 3 3 d tiếp xúc với E ⇔ 4(−2)2 + 1.(−3)2 = (10 + 3n)2 5 ⇔ 3n2 + 20n + 25 = 0⇔ n = – 5 hay n= − 3 5 n = − : loại vì khi đó d trùng với d1. 3 Vaäy N(5; −5). ***. 5 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>