BIẾN đổi z và áp DỤNG CHO hệ THỐNG TUYẾN TÍNH bất BIẾN rời rạc (xử lý số tín HIỆU SLIDE)

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
Chương IV:
BIẾN ĐỔI Z VÀ ÁP DỤNG
CHO HỆ THỐNG TUYẾN
TÍNH BẤT BIẾN RỜI RẠC


Nội dung
Biến đổi trong xử lý tín hiệu
 Biến đổi Z
 Các tính chất của biến đổi Z
 Biến đổi Z ngược
 Biến đổi Z một phía
 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z
 Xét tính ổn định của hệ thống



Biến đổi trong xử lý tín hiệu
Phương pháp phổ biến trong xử lý tín hiệu:
biến đổi tín hiệu từ khơng gian tự nhiên của
nó (miền thời gian) sang khơng gian (miền)
khác.
 Ví dụ: biến đổi tín hiệu từ miền thời gian
sang miền tần số


 x(n)

= sin 2πf0n → m(f) = 1 nếu f = f0, 0 nếu f ≠ f0.

= asin 2πf1n + bsin 2πf2n → m(f) = a nếu f =
f1, b nếu f = f2, 0 còn lại.

 x(n)


Lựa chọn biến đổi
Tín hiệu sau khi được biến đổi sẽ hội tụ
trong một vài vùng của miền biến đổi →
thuận tiện cho việc khảo sát các đặc trưng.
 Phải tồn tại biến đổi ngược → có thể thực
hiện việc chỉnh sửa tín hiệu trong miền biến
đổi và thu lại được tín hiệu đã chỉnh sửa
trong khơng gian tự nhiên (miền thời gian)
của tín hiệu.



Định nghĩa biến đổi Z


Biến đổi Z hai phía:

X ( z) =

+∞

∑ x(n) z

−n

n = −∞

z là một biến phức → biến đổi Z thực hiện
việc biến đổi tín hiệu từ miền thời gian rời
rạc vào một không gian phức (miền Z).
 Biến đổi Z tồn tại nếu chuỗi biến đổi hội tụ.


 Ví

dụ: biến đổi Z của δ(n) và của δ(n−n0)


Định nghĩa biến đổi Z


Biến đổi Z một phía:
+∞

X ( z ) = ∑ x(n) z
1

−n

n =0



Biến đổi Z một phía và hai phía của tín

hiệu nhân quả là như nhau.


Ý nghĩa của biến đổi Z
Với tín hiệu rời rạc, biến đổi Z đơn thuần là
một cách biểu diễn khác của tín hiệu.
 Vai trị của biến đổi Z đối với hệ thống rời
rạc tương đương với vai trò của biến đổi
Laplace đối với hệ thống liên tục.



Miền hội tụ của biến đổi Z


Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Z là tập
hợp tất cả các giá trị của z mà chuỗi biến
đổi Σx(n)z−n hội tụ.
 Ví



dụ

Tiêu chuẩn Cauchy:
1
n

+∞

lim | xn | < 1 → ∑ xn < ∞
n →∞

n =0


Miền hội tụ của biến đổi Z


Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy → tiêu chuẩn
hội tụ của biến đổi Z:

Rx − <| z |< Rx +
Rx − = lim | x ( n ) |

1
n

n →∞

Rx + = 1 lim | x ( − n ) |
n →∞

1
n


Miền hội tụ của biến đổi Z
Miền hội tụ của biến đổi Z là miền nằm
giữa 2 đường tròn bán kính Rx− và Rx+

trong mặt phẳng z.
 Miền hội tụ của biến đổi Z của một số loại
tín hiệu:


 Tín

hiệu có độ dài hữu hạn.
 Tín hiệu nhân quả có độ dài vơ hạn.
 Tín hiệu phản nhân quả có độ dài vô hạn.


Miền hội tụ của biến đổi Z


Miền hội tụ của biến đổi Z một phía: là
miền nằm ngồi đường trịn bán kính Rx−
trong mặt phẳng z.


Các tính chất của biến đổi Z


Tuyến tính:

Z [ax (n) + bx (n)] = aX ( z ) + bX
1



2

Trễ:

Z [ x(n − n )] = z
0



1

− n0

X ( z)

Co giãn trong miền z:

Z [a x(n)] = X (a
n

−1

z)
ROC :| a | Rx − <| z |<| a | Rx +

2

( z)

Các tính chất của biến đổi Z


Lật:

Z [ x(−n)] = X ( z

−1

)

1
1
ROC :
<| z |<
Rx +
Rx −



Đạo hàm trong miền z:

Z

dX ( z )
[nx ( n )] = − z
dz


Các tính chất của biến đổi Z



Biến đổi Z của tích chập:

Z [ x (n) ∗ x (n)] = X ( z ) X
1



2

2

Biến đổi Z của tương quan:

Z [r

−1

x1 x2



1

( n )] = X 1 ( z ) X 2 ( z )

Định lý giá trị đầu:

x (0) = lim X ( z )

z →∞

( z)


Biến đổi Z ngược


Định lý Cauchy

1
j 2π

∫z

C

1
dz = 
0

n −1

( n = 0)
( n ≠ 0)

C là một chu tuyến (đường khép kín) có chiều
dương (ngược chiều quay của kim đồng hồ)
bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng Z.

Biến đổi Z ngược


Biến đổi ngược của biến đổi Z (chứng
minh được bằng cách sử dụng định lý
Cauchy):

1
x(n ) =
j 2π

∫ X ( z) z

C

n −1

dz


Các phương pháp tính biến đổi Z


Phương pháp tính tích phân theo C (sử
dụng định lý phần dư của Cauchy):
 Nếu

{zpk} là tất cả các trị cực của X(z)zn−1 nằm
bên trong chu tuyến C:

x(n) =

∑ Res[ X ( z ) z
k

 Tính

n −1

|z = z pk ]

phần dư tại trị cực: nếu zpk là cực đơn

Res[ X ( z ) z n −1 |z = z pk ] = ( z − z pk ) X ( z ) z n −1 |z = z pk


Các phương pháp tính biến đổi Z
 Tính

phần dư tại trị cực bội: zpk là một trị cực
bội bậc sk

Res[ X ( z ) z

n −1

d
1
=

( sk − 1)!

|z = z p ]
k

sk −1

( z − z pk ) X ( z ) z
sk

dz

sk −1

n −1
z = z pk


Các phương pháp tính biến đổi Z


Phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa:
 Nếu

X(z) khai triển được thành một chuỗi lũy
thừa của z−1 như sau:

X ( z) =

+∞

∑α

n = −∞

n

z

−n

thì ta có x(n) = αn.
 Cách

khai triển: dùng phép chia đa thức.
 Chú ý: ROC của X(z) quyết định dạng của
chuỗi lũy thừa.


Các phương pháp tính biến đổi Z


Phương pháp khai triển phân thức tối
giản:
 Khơng

giảm tổng qt, giả thiết X(z) có thể
biểu diễn dưới dạng X(z) = N(z)/D(z), ở đó
N(z) và D(z) là 2 đa thức với bậc của N(z) ≤
bậc của D(z).

 Giả sử {zpk} là tất cả các trị cực của X(z).


Các phương pháp tính biến đổi Z
 Nếu

tất cả các trị cực của X(z) đều là cực đơn:
X(z) khai triển được thành tổng của các phân
thức ở dạng tối giản

Ak
X ( z) = ∑
k z − z pk

ở đó

Ak = ( z − z pk ) X ( z ) |z = z pk


Các phương pháp tính biến đổi Z
 Trường

hợp tổng quát (cực bội): đặt sk là bậc
bội của trị cực zpk, X(z) sẽ được khai triển như
sau:
sk

Ak s

s =1

( z − z pk )

X ( z ) = ∑∑
k

ở đó:

d
1
Ak s =
( sk − s )!

sk − s

s

( z − z pk ) X ( z )
sk

dz

sk − s

z = z pk


Các phương pháp tính biến đổi Z
 Biến

Z
Z

đổi Z ngược của các phân thức tối giản:

 z   a u(n )
=
 z − a  − a n u ( − n − 1)

n

-1

n −1

a
u ( n − 1)
1 
-1 
=
 z − a  − a n −1u ( − n )


(| z |>| a |)
(| z |<| a |)
(| z |>| a |)
(| z |<| a |)


Các phương pháp tính biến đổi Z



z
 ( z − a ) m +1  =


 n(n − 1)...( n − m + 1) n −m
a u(n )
(| z |>| a |)

m!
 n(n − 1)...( n − m + 1)
n −m
−
a u( −n − 1) (| z |<| a |)
m!


Z

-1

 Chú

ý: thường dễ dàng tính biến đổi ngược hơn
nếu khai triển X(z)/z thay vì khai triển X(z).


Biến đổi Z một phía


Các tính chất
 Trễ:

với k > 0

Z [ x(n − k )] = z
1

 Tiến:

−k

Z [ x(n + k )] = z

 Định

lý giá trị cuối

X ( z ) + ∑ x( −m) z
1

m −k

m =1

với k > 0

1

k

k

k −1

X ( z ) − ∑ x(m) z
1

−m

m =0

lim x ( n ) = lim( z − 1) X ( z )
1

n →∞

z →1

nếu ROC của (z−1)X1(z) chứa đường tròn đơn
vị.