Điều kiện tối ứu cho bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-----------------*****----------------

PHẠM VĂN NGỌC

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN
QUY HOẠCH TOÁN HỌC
VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2013


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
------------------*****----------------

PHẠM VĂN NGỌC

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN
QUY HOẠCH TOÁN HỌC
VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU

Thái Nguyên – 2013


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-----------------*****----------------

PHẠM VĂN NGỌC

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN
QUY HOẠCH TOÁN HỌC
VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG
Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2013


Cơng trình được hồn thành tại
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU
Phản biện 1: ………………………………………………………...
……………………………………………………….. ………………….
Phản biện 2:………………………………………………..
…………………………………………………………………………………
Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUN

Ngày tháng năm 2013

Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện Đại học Thái Nguyên


Mục lục
Mở đầu

3

1 Điều kiện tối ưu cấp 1 cho bài tốn với ràng buộc cân
bằng
5
1.1 Điều kiện chính quy và điểm dừng . . . . . . . . . . . . .
5
1.2 Điều kiện tối ưu Fritz John . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2 Điều kiện chính quy Guignard cho bài tốn với ràng buộc
cân bằng
14
2.1 Điều kiện chính quy thơng thường . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Điều kiện chính quy Guignard . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Điều kiện đủ cho điều kiện chính quy Guignard . . . . .

14
17
22

Kết luận

32

Tài liệu tham khảo

33

1

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Đỗ
Văn Lưu. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người
hướng dẫn khoa học của mình, PGS.TS. Đỗ Văn Lưu, người đã đưa ra
đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác
giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cơ trong khoa
Tốn - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã tạo
mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả
hồn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình,
BGH trường PTDT nội trú cấp II – III Bắc Quang và các bạn trong lớp
Cao học, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm
luận văn.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Người thực hiện

Phạm Văn Ngọc

2

2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Mở đầu
Lý thuyết các điều kiện tối ưu phát triển mạnh mẽ và thu được nhiều
kết quả phong phú. Với bài tốn tối ưu có ràng buộc cân bằng (MPEC),
việc dẫn các điều kiện tối ưu Karush - Kuhn - Tucker (KKT) đang được
nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và đưa vào các điều kiện chính quy
thích hợp cho MPEC. Hầu hết các điều kiện chính quy thơng thường
cho quy hoạch phi tuyến lại không sử dụng được MPEC.
Điều kiện chính quy độc lập tuyến tính MPEC - LICQ, điều kiện
chính quy Mangasarian - Fromovitz MPEC - MFCQ và điều kiện chính
quy Mangasarian - Fromovitz chặt MPEC - SMFCQ được đưa vào bởi
Flegel - Kanzow [3] tỏ ra thích hợp để dẫn đến điều kiện tối ưu KKT cho
cực tiểu địa phương của MPEC bằng cách tiếp cận Fritz John. Flegel
- Kanzow [4] đã chỉ ra điều kiện chính quy Abadie chỉ thỏa mãn cho
MPEC với các điều kiện rất chặt và đã đưa vào điều kiện chính quy
Guignard (GCQ) cho MPEC. Flegel - Kanzow [4] chỉ ra rằng với điều
kiện chính quy Guignard, tính dừng mạnh là điều kiện cần tối ưu. Đây
là vấn đề đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế,
tơi chọn đề tài: "Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch toán học với
ràng buộc cân bằng". Đề tài này có tính thời sự, đang được các tác giả
trong và ngồi nước quan tâm nghiên cứu.
Luận văn trình bày các kết quả mới đây của Flegel - Kanzow trong

[3], [4] về điều kiện chính quy, điểm dừng và điều kiện tối ưu cho bài
toán với ràng buộc cân bằng.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
tài liệu tham khảo.
3

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1. Điều kiện tối ưu cấp 1 cho bài tốn với ràng buộc cân
bằng
Trình bày điều kiện chính quy độc lập tuyến tính MPEC - LICQ, điều
kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz MPEC - MFCQ, điều kiện chính
quy Mangasarian - Fromovitz chặt MPEC - SMFCQ cho bài toán tối ưu
với ràng buộc cân bằng (MPEC), và trình bày điều kiện cần Karush Kuhn - Tucker cho bài toán MPEC cùng với các điều kiện đủ để tồn tại
các điểm M- dừng và dương mạnh. Các kết quả trình bày trong chương
này là của Flegel - Kanzow ([3], 2003).
Chương 2. Điều kiện chính quy Guignard cho bài tốn với ràng buộc
cân bằng
Trình bày điều kiện chính quy Guignard (GCQ) cho bài toán tối ưu
với ràng buộc cân bằng (MPEC) và một số điều kiện đủ cho điều kiện
GCQ. Chương này các điều kiện cần tối ưu khi điều kiện GCQ đúng.
Kết quả chỉ ra rằng với điều kiện GCQ, một điểm z ∗ là B- dừng thì tồn
tại nhân tử Lagrange λ∗ sao cho (z ∗ , λ∗ ) là dừng mạnh, và do đó (z ∗ , λ∗ )
là một điểm KKT. Các kết quả trình bày trong chương này là của Flegel
- Kanzow ([4], 2005).

4

4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1

Điều kiện tối ưu cấp 1 cho bài toán
với ràng buộc cân bằng
Chương 1 trình bày các kết quả của Flegel - Kanzow ([3], 2003) về
điều kiện chính quy độc lập tuyến tính MPEC - LICQ, điều kiện chính
quy Mangasarian - Fromovitz MPEC - MFCQ, điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz chặt MPEC - SMFCQ cho bài toán tối ưu với ràng
buộc cân bằng (MPEC) và điều kiện cần Karush - Kuhn - Tucker cho
bài toán MPEC cùng với các điều kiện để tồn tại các điểm M- dừng và
dừng manh.
1.1

Điều kiện chính quy và điểm dừng

Xét bài toán với ràng buộc cân bằng như sau:
minf (z),
g(z) ≤ 0, h(z) = 0

(1.1)

G(z) ≥ 0, H(z) ≥ 0, G(z)T H(z) = 0,
trong đó f : Rn → R, g : Rn → Rm , h : Rn → Rp , G : Rp → Rl và
H : Rn → Rl là các hàm khả vi, liên tục. Do có ràng buộc bù nên bài
tốn loại này đơi khi được gọi là quy hoạch toán học với ràng buộc bù.

Tuy nhiên, thông dụng hơn, người ta thường gọi (1.1) là bài tốn với
ràng buộc cân bằng.
Vì thế ta kí hiệu bài tốn (1.1) là MPEC (viết tắt của Mathematical
5

5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Programs with equilibrium constraints). Bây giờ ta nhắc lại một vài điều
kiện chính quy và điều kiện tối ưu cấp 1 cho MPEC (1.1). Cho một vectơ
z ∗ của bài toán MPEC(1.1), ta định nghĩa các tập chỉ số sau:
α := α(z ∗ ) := {i | Gi (z ∗ ) = 0, Hi (z ∗ ) > 0},

(1.2)

β := β(z ∗ ) := {i | Gi (z ∗ ) = 0, Hi (z ∗ ) = 0},

(1.3)

γ := γ(z ∗ ) := {i | Gi (z ∗ ) > 0, Hi (z ∗ ) = 0.}

(1.4)

Tập β được hiểu là tập suy biến. Nếu tập β rỗng thì vectơ z ∗ được gọi
là bù chặt. Ta tách β thành các phân hoạch như sau:
P(β) := {(β1 , β2 ) | β1 ∪ β2 = β, β1 ∩ β2 = ∅}.

(1.5)

Để định nghĩa các điều kiện chính quy thay đổi ta đưa vào bài toán
sau, phụ thuộc vào z ∗ và được gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến chặt
(tightened nonlinear program) T N LP := T N LP (z ∗ ) :
minf (z),
g(z) ≤ 0, h(z) = 0,
Gα∪β (z) = 0, Gγ (z) ≥ 0,

(1.6)

Hα (z) ≥ 0, Hγ∪β (z) = 0.
Bài toán phi tuyến ở trên được gọi là chặt vì miền chấp nhận được là tập
con của miền chấp nhận được của bài toán MPEC(1.1). Từ đây suy ra
rằng nếu z ∗ là cực tiểu địa phương của bài tốn MPEC(1.1) thì z ∗ cũng
là cực tiểu địa phương của bài toán phi tuyến chặt TNLP(z ∗ ) tương ứng.
Bài toán TNLP(1.6) được sử dụng để định nghĩa điều kiện chính quy
độc lập tuyến tính, các điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz
và Mangasarian - Fromovitz chặt (viết tắt là LICQ, MFCQ và SMFCQ)
thích hợp cho MPEC.
Định nghĩa 1.1.1
Bài toán MPEC(1.1) được gọi là thỏa mãn MPEC-LICQ (MPEC-MFCQ,
MPEC-SMFCQ) tại vectơ chấp nhận được z ∗ nếu T N LP (z ∗ ) thỏa mãn
LICQ (MFCQ, SMFCQ ) tương ứng tại z ∗ .
6

6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Như vậy điều kiện chính quy MPEC-LICQ như sau: các vectơ gradient
gi (z ∗ ), ∀i ∈ Ig := {i | gi (z ∗ ) = 0},
hi (z ∗ ), ∀i = 1, ..., p,

(1.7)

Gi (z ∗ ), ∀i ∈ α ∪ β,
Hi (z ∗ ), ∀ ∈ γ ∪ β
độc lập tuyến tính.

Tương tự, điều kiện chính quy MPEC-MFCQ như sau: các vectơ gradient
hi (z ∗ ), ∀i = 1, ..., p,
Gi (z ∗ ), ∀i ∈ α ∪ β,

(1.8)

Hi (z ∗ ), ∀i ∈ γ ∪ β
độc lập tuyến tính, và tồn tại vectơ d ∈ Rn sao cho
hi (z ∗ )T d = 0, ∀i = 1, ..., p,
Gi (z ∗ )T d = 0, ∀i ∈ α ∪ β,

(1.9)

Hi (z ∗ )T d = 0, ∀i ∈ γ ∪ β,
gi (z ∗ )T d < 0, ∀i ∈ Ig .

Chú ý rằng với điều kiện chính quy MPEC-MFCQ, một điểm cực tiểu địa
phương z ∗ của bài toán MPEC(1.1) kéo theo tồn tại nhân tử Lagrange λ∗
sao cho (z ∗ , λ∗ ) thỏa mãn điều kiện KKT cho bài tốn (1.6). Vì vậy, nếu
chúng ta giả sử rằng điều kiện chính quy MPEC-MFCQ đúng với cực

tiểu địa phương z ∗ của bài toán MPEC(1.1), ta có thể sử dụng nhân tử
λ∗ để định nghĩa điều kiện chính quy MPEC-SMFCQ, tức là với (x∗ , λ∗ ),
các điều kiện sau đúng: các vectơ gradient:
hi (z ∗ ), ∀i = 1, ..., p,
Gi (z ∗ ), ∀i ∈ α ∪ β,

(1.10)

Hi (z ∗ ), ∀i ∈ γ ∪ β,
gi (z ∗ ), ∀i ∈ Jg := {i ∈ Ig | (λgi )∗ > 0}.

7

7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




độc lập tuyến tính, và tồn tại vectơ d ∈ Rn sao cho
hi (z ∗ )T d = 0, ∀i = 1, ..., p,
Gi (z ∗ )T d = 0, ∀i ∈ α ∪ β,
Hi (z ∗ )T d = 0, ∀i ∈ γ ∪ β,

(1.11)

gi (z ∗ )T d = 0, ∀i ∈ Jg ,
gi (z ∗ )T d < 0, ∀i ∈ Kg := {i ∈ Ig | (λgi )∗ = 0}.
Chú ý rằng điều kiện chính quy MPEC-MFCQ kéo theo điều kiện chính
quy MPEC-MFCQ.
Điểm chấp nhận được z của bài toán MPEC(1.1) được gọi là dừng yếu

(weakly stationary)[9] nếu tồn tại nhân tử Lagrange λ = (λg , λh , λG , λH )
sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:
p

m

0=

λgi

f (z) +

λhi

gi (z) +

i=1

hi (z)

i=1

l

[λG
i

−

Gi (z) + λH

i

Hi (z)],

i=1

(1.12)

|α|
G
|β|
G
λG
α ∈ R , λβ ∈ R , λγ = 0,
|γ|
H
|β|
H
λH
α ∈ R , λβ ∈ R , λα = 0,

g(z) ≤ 0, λg ≥ 0, (λg )T g(z) = 0,
trong đó |α| kí hiệu bản số của tập α.
Trong trường hợp riêng, điểm dừng yếu z tương ứng với nhân tử Lagrange
λ = (λg , λh , λG , λH ) được gọi là:
H
• C− dừng [9], nếu với mỗi i ∈ β mà λG
i λi ≥ 0.
H
G H

• M − dừng [7] nếu với mỗi i ∈ β hoặc λG
i λi > 0 hoặc λi λi = 0.
H
• Dừng mạnh [9] hoặc dừng gốc - đối ngẫu [8] nếu với mỗi i ∈ β, λG
i , λi ≥

0.

8

8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1.2

Điều kiện tối ưu Fritz John

Trước khi trình bày các kết quả chính, ta cần định nghĩa bài tốn quy
hoạch phi tuyến khác từ MPEC(1.1).
Cho một phân hoạch (β1 , β2 ) ∈ P(β). N LP ∗ (β1 , β2 ) kí hiệu bài tốn
quy hoạch phi tuyến sau:
minf (z),
g(z) ≤ 0, h(z) = 0,

(1.13)

Gα∪β1 (z) = 0, Hα∪β1 ≥ 0,
Gγ∪β2 ≥ 0, Hγ∪β2 = 0.

Chú ý rằng bài toán N LP ∗ (β1 , β2 ) phụ thuộc vào vectơ z ∗ .

Hơn nữa, chú ý rằng một điểm cực tiểu địa phương z ∗ của MPEC(1.1)
là cực tiểu địa phương của N LP ∗ (β1 , β2 ) bởi vì z ∗ là điểm chấp nhận
được của bài tốn (1.13) và miền chấp nhận được của nó là tập con của
miền chấp nhận được của MPEC(1.1).
Sau đây chúng ta viết lại điều kiện KKT tại điểm chấp nhận được z với
nhân tử Lagrange λ của N LP ∗ (β1 , β2 ):
p

m

0=

λgi

f (z) +

λhi

gi (z) +

i=1

hi (z)

i=1

l

[λG
i

−

Gi (z) + λH
i

Hi (z)],

i=1

h(z) = 0, g(z) ≤ 0, λg ≥ 0, (λg )T g(z) = 0,
G
T
Gα∪β1 (z) = 0, Gγ∪β2 ≥ 0, λG
γ∪β2 ≥ 0, (λγ∪β2 ) Gγ∪β2 (z) = 0,
H
T
Hγ∪β2 (z) = 0, Hγ∪β1 (z) ≥ 0, λH
α∪β1 ≥ 0, (λα∪β1 ) Hα∪β2 (z) = 0.
(1.14)

Điều kiện cần Karush - Kunh - Tucker cho bài tốn MPEC (1.1) có thể
phátbiểu như sau:
Định lí 1.2.1
Giả sử z ∗ ∈ Rn là cực tiểu địa phương của bài toán MPEC(1.1), và điều
9

9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

kiện MPEC-MFCQ thỏa mãn tại z ∗ . Khi đó, tồn tại nhân tử Lagrange
λ∗ sao cho (z ∗ , λ∗ ) thỏa mãn các điều kiện dừng sau:
p

m

0=

(λgi )∗

∗

f (z ) +

∗

(λhi )∗

gi (z ) +

i=1
l

i=1
∗
[(λG

i )

−

hi (z ∗ )

∗
Gi (z ∗ )(λH
i )

Hi (z ∗ )],

i=1
∗
|α|
(λG
α) ∈ R ,
∗
|γ|
(λH
γ ) ∈R ,

∗
(λG
γ ) = 0,
∗
H ∗
(λG
i ) ≥ 0 ∨ (λi ) ≥ 0, ∀i ∈ β,

∗
(λH
α ) = 0,

g(z ∗ ) ≤ 0, (λg )∗ ≥ 0, g(z ∗ )T (λg )∗ = 0.
(1.15)
Nói riêng (z ∗ , λ∗ ) là điểm dừng yếu.
Chứng minh.
Ta xét bài toán quy hoạch phi tuyến N LP ∗ (β1 , β2 ). Nhắc lại rằng vectơ
z ∗ là cực tiểu địa phương của N LP ∗ (β1 , β2 ).
Như kết quả đã biết [2] tồn tại một vectơ khác khơng
(r, µ) = (r, µg , µh , µG , µH ) ∈ Rl+m+p+2l ,
sao cho (r, z ∗ , µ) là một điểm Fritz John của N LP ∗ (β1 , β2 ), tức là các
điều kiện sau thỏa mãn:
p

m

0=r

µgi

∗

f (z ) +
i=1
l

µhi

gi (z ) +

hi (z ∗ )

i=1

[µG
i

−

∗

Gi (z ∗ ) + µH
i

Hi (z ∗ )],

i=1

r ≥ 0,
h(z ∗ ) = 0, g(z ∗ ) ≤ 0, µg ≥ 0, (µg )T g(z ∗ ) = 0,
G
T
∗
Gα∪β1 (z ∗ ) = 0, Gγ∪β2 (z ∗ ) ≥ 0, µG
γ∪β2 ≥ 0, (µγ∪β2 ) Gγ∪β2 (z ) = 0,
H
T
∗

Hγ∪β2 (z ∗ ) = 0, Gα∪β1 (z ∗ ) ≥ 0, µH
α∪β1 ≥ 0, (µα∪β1 ) Hα∪β1 (z ) = 0,
(1.16)

10

10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Từ (1.16) và định nghĩa của các tập α, γ (trong (1.2) và (1.4)) ta suy ra
g
H
µG
γ = 0 và µα = 0. Hơn nữa, ta cũng biết rằng µi = 0, ∀i ∈ Ig , trong đó

Ig được định nghĩa trong (1.7).
Ta chỉ ra rằng r > 0. Để làm điều này, ta giả sử rằng r = 0 và từ (1.16),
ta có
p

µgi

0=

∗

i=1

i∈Ig

µG
Gi (z ∗ )−
i

µhi hi (z ∗ )−

gi (z )+

µH
i

Hi (z ∗ ).

i∈γ∪β

i∈α∪β

(1.17)
Sử dụng điều kiện chính quy MPEC-MFCQ và Định lí luân phiên Motzkin
([6, Định lí 2.4.2]) từ (1.17) ta suy ra µ = 0 . Điều này mâu thuẫn với
˜ thỏa mãn
(r, µ) = 0 mà ta đã chỉ ra. Vì vậy, tồn tại nhân tử Lagrange λ
các điều kiện sau:
p

m

˜g

λ
i

∗

0=

f (z ) +

˜h
λ
i

∗

gi (z ) +

i=1

hi (z ∗ )

i=1

l

˜G
[λ
i

−

˜H
Gi (z ∗ ) + λ
i

Hi (z ∗ )],

i=1
∗

˜ g ≥ 0, (λ
˜ g )T g(z ∗ ) = 0,
h(z ) = 0, g(z ∗ ) ≤ 0, λ
G
G
˜ G )T Gβ (z ∗ ) = 0,
Gα∪β1 (z ∗ ) = 0, Gγ∪β2 (z ∗ ) ≥ 0, λ˜β2 ≥ 0, λ˜γ = 0, (λ
β2
2
˜ H ≥ 0, λ
˜ H = 0, (λ
˜ H )T Hβ (z ∗ ) = 0.
Hγ∪β (z ∗ ) = 0, Hα∪β (z ∗ ) ≥ 0, λ
2

1

β1

α

β1

1

(1.18)
Nói riêng, chúng ta có thể kết luận rằng:
˜ G ≥ 0, λ
˜ H ≥ 0.
λ
β2
β1
˜ ta suy ra kết quả cần chứng minh.
Đặt λ∗ := λ,
Chú ý rằng chứng minh của Định lí 1.2.1 đúng với phân hoạch bất kì
(β1 , β2 ) của tập chỉ số β. Vì vậy ta có thể chọn một phân hoạch và nhận
∗
được các nhân tử Lagrange tương ứng (λG )∗ và (λH )∗ sao cho (λG
i ) ≥ 0,
∗
với mọi i ∈ β1 và (λH
i ) ≥ 0, với mọi i ∈ β2 .

Chính vì thế ta gọi điểm dừng yếu z ∗ của MPEC (1.1) là A- dừng nếu
∗
H ∗
tồn tại nhân tử Lagrange λ∗ sao cho (λG
i ) ≥ 0 hoặc (λi ) ≥ 0, với mọi
11

11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




i ∈ β, tức là z ∗ là A− dừng nếu và chỉ nếu (1.15) đúng với nhân tử λ∗
nào đó. Chữ cái A có thể hiểu là viết tắt của chữ "Abadie".
Theo nhận xét trên một phân hoạch (β1 , β2 ) có thể được chọn trước.
Hệ quả sau đậy được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2.1
Hệ quả 1.2.1
Cho z ∈ Rn là cực tiểu địa phương của bài tốn MPEC (1.1). Nếu
điều kiện chính quy MPEC-MFCQ đúng tại z ∗ thì với mọi phân hoạch
(β1 , β2 ) ∈ P đều tồn tại nhân tử Lagrange λ∗ sao cho (z ∗ , λ∗ ) là A−
dừng.
Ví dụ sau chỉ ra rằng các điều kiện tối ưu nói chung khơng thỏa mãn
với tập các nhân tử Lagrange giống nhau:
Ví dụ 1.2.1
min f (z) := z1 + z2 − z3
g(z) =

−4z1 + z3
−4z2 + z3

≤ 0,

G(z) := z1 ≥ 0,
H(z) := z2 ≥ 0,
G(z)T H(z) = z1 z2 = 0.
Điểm 0 là nghiệm duy nhất của bài toán này, và nó thỏa mãn điều kiện
∗

chính quy MPEC-MFCQ. Các nhân tử Lagrange tương ứng λG := (λG
1)
∗
và λH := (λH
1 ) phụ thuộc vào hạn chế sau:

λH ∈ [−3; 1], λG = −λH − 2.
Các nhân tử Lagrange thỏa mãn điều kiện A− dừng (1.15) là
{(λG , λH ) | λH ∈ [−3; −2] ∪ [0; 1], λG = −λH − 2}.
còn điều kiện C− dừng thỏa mãn nhân tử:
{(λG , λH ) | λH ∈ [−2; 0], λG = −λH − 2}.
12

12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Hai định lí sau đây được chứng minh tương tự như Định lí 1.2.1.
Định lí 1.2.2
[3] Cho z ∗ ∈ Rn là cực tiểu địa phương của bài toán MPEC(1.1). Nếu
điều kiện chính quy MPEC-LICQ đúng tại z ∗ , thì tồn tại duy nhất một
nhân tử Lagrange λ∗ sao cho (z ∗ , λ∗ ) là dừng mạnh.
Định lí 1.2.3
[3] Cho z ∗ ∈ Rn là cực tiểu địa phương của bài tốn MPEC(1.1). Nếu
điều kiện chính quy MPEC-SMFCQ đúng tại z ∗ , thì tồn tại duy nhất
một nhân tử Lagrange λ∗ sao cho (z ∗ , λ∗ ) là dừng mạnh.

13

13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 2

Điều kiện chính quy Guignard cho
bài tốn với ràng buộc cân bằng
Chương 2 trình bày các kết quả của Flegel - Kanzow ([4], 2005) về
điều kiện chính quy Guignard (GCQ) cho bài toán quy hoạch toán học
với ràng buộc cân bằng (MPEC), các điều kiện đủ cho điều kiện GCQ,
các điều kiện cần tối ưu khi giả thiết điều kiện GCQ đúng. Kết quả chỉ
ra rằng với điều kiện GCQ, nếu một điểm z ∗ là B- dừng thì tồn tại nhân
tử Lagrange λ∗ sao cho (z ∗ , λ∗ ) là dừng mạnh, và do đó (z ∗ , λ∗ ), là một
điểm KKT.
2.1

Điều kiện chính quy thơng thường

Xét bài toán với ràng buộc cân bằng như sau:
minf (z),
g(z) ≤ 0, h(z) = 0

(2.1)

G(z) ≥ 0, H(z) ≥ 0, G(z)T H(z) = 0,
trong đó f : Rn → R, g : Rn → Rm , h : Rn → Rp , G : Rp → Rl và
H : Rn → Rl là các hàm khả vi liên tục.
Cho vectơ x ∈ Rn và một tập con δ ⊆ {1, ..., n}.

Kí hiệu xδ là vectơ thuộc R|δ| gồm các thành phần xi của x với i ∈ δ.
Bất đẳng thức x ≥ 0 được hiểu theo các tọa độ ≥ 0. Với điểm chấp nhận

14

14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




được z ∗ của bài tốn MPEC(2.1) ta kí hiệu
α := α(z ∗ ) := {i | Gi (z ∗ ) = 0, Hi (z ∗ ) > 0},

(2.2)

β := β(z ∗ ) := {i | Gi (z ∗ ) = 0, Hi (z ∗ ) = 0},

(2.3)

γ := γ(z ∗ ) := {i | Gi (z ∗ ) > 0, Hi (z ∗ ) = 0.}

(2.4)

Tập β được gọi là tập suy biến.
Kí hiệu P(β) là tập tất cả các phân hoạch của β, trong đó cặp (β1 , β2 )
là một phân hoạch của β nếu β1 ∪ β2 = β và β1 ∩ β2 = ∅.
Một tập C được gọi là một nón nếu λx ∈ C với mọi x ∈ C và x ≥ 0.
Các ràng buộc của bài tốn (2.1) là khơng afin . Bài tốn MPEC (2.1)
khơng lồi và điều kiện Slater khơng sử dụng được. Hơn nữa điều kiện
chính quy Slater CQ khơng đúng cho bất kỳ điểm chấp nhận được nào

của (2.1).
Bây giờ chúng ta xét điều kiện chính quy ACQ. Nhắc lại rằng điều kiện
ACQ đúng tại điểm chấp nhận được z ∗ nếu:
T (z ∗ ) = T lin (z ∗ ),

(2.5)

trong đó T (z ∗ ) là nón tiếp tuyến và T lin (z ∗ ) là nón tuyến tính hóa của
MPEC (2.1) tại điểm z ∗ . Nhắc lại: nếu Z là miền chấp nhận được của
MPEC (2.1), nón tiếp tuyến T (z ∗ ) được định nghĩa như sau:
∗

T (z ) :=

n

k

d ∈ R ∃z ⊂ Z.∃tk

zk − z∗
→d
0 : z → z và
tk
k

∗

(2.6)

Nón tiếp tuyến tuyến tính hóa T lin (z ∗ ) của (2.1) là:


n
∗ T


d
∈
R
|
g
(z
)
d
≤
0
i








∗


∀i

∈
I
:=
{i|g
(z
)
=
0},


g
i








∗
T


h
(z
)
d
=
0,

∀i
=
1,
...,
p,


i




lin ∗
∗ T
T (z ) =
(2.7)
Gi (z ) d = 0,
∀i ∈ α,







Hi (z ∗ )T d = 0,
∀i ∈ γ,











∗
T


G
(z
)
d
≥
0,
∀i
∈
β,


i









∗ T
Hi (z ) d ≥ 0,
∀i ∈ β
15

15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chú ý rằng bao hàm thức T (z ∗ ) ⊆ T lin (z ∗ ) luôn đúng và T (z ∗ ) là đóng
nhưng khơng nhất thiết lồi, T lin (z ∗ ) là đa diện, và do đó đóng và lồi.
Chúng ta đưa vào một bài tốn được dẫn từ bài toán MPEC (2.1) cho
điểm chấp nhận được tùy ý z ∗ : cho phân hoạch (β1 , β2 ) ∈ P(β), cho
NLP∗(β1 , β2 ) bài toán quy hoạch phi tuyến sau:
min f (z)

,

g(z) ≤ 0 ,

h(z) = 0,

Gα∪β1 (z) = 0 ,

Hα∪β1 (z) ≥ 0,

Gγ∪β2 (z) ≥ 0 ,

Hγ∪β2 (z) = 0.

(2.8)

Chú ý rằng bài toán NLP ∗ (β1 , β2 ) phụ thuộc vào vectơ z ∗ .
Dưới đây chúng ta đưa vào giả thiết sau .
(A1) Với mọi phân hoạch (β1 , β2 ) ∈ P(β), điều kiện chính quy Abadie
đúng cho bài tốn N LP ∗ (β1 , β2 ) tại z ∗ , tức là
TN LP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) = TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ),
trong đó TN LP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) là nón tiếp tuyến của bài toán N LP ∗ (β1 , β2 )
và TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) là nón tuyến tính hóa tương ứng.

TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) =


































n

d∈R |

∗ T

gi (z ) d ≤ 0

∀i ∈ Ig := {i|gi (z ∗ ) = 0},
gi (z ∗ )T d = 0,
Gi (z ∗ )T d = 0,
Hi (z ∗ )T d = 0,
Gi (z ∗ )T d ≥ 0,
Hi (z ∗ )T d ≥ 0,













∀i = 1, ..., p,



∀i ∈ α ∪ β1 ,



∀i ∈ γ ∪ β2 ,





∀i ∈ β2 ,






∀i ∈ β1
(2.9)

Ta chứng minh đặc trưng sau đây của ACQ cho MPEC (2.1)

16

16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Mệnh đề 2.1.1
Cho z ∗ là một điểm chấp nhận được của MPEC (2.1) và giả sử rằng
(A1) cố định. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:
(a)
(b)

Điều kiện chính quy Abadie đúng tại z ∗ ;
Tồn tại một phân hoạch (βˆ1 , βˆ2 ) ∈ P(β) sao cho
T (z ∗ ) = TN LP ∗ (βˆ1 , βˆ2 )(z ∗ );

(c)

Tồn tại một phân hoạch (βˆ1 , βˆ2 ) ∈ P(β) sao cho
TN LP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) ⊆ TN LP ∗ (βˆ1 , βˆ2 )(z ∗ ) ∀(β1 , β2 ) ∈ P(β).

Chứng minh.
(a) ⇒ (b). Do ACQ đúng, T (z ∗ ) = T lin (z ∗ ). Do đó, T (z ∗ ) là đa diện.
Áp dụng mệnh đề 3 [8] ta suy ra điều phải chứng minh.
(b) ⇒ (a). Vì (A1) đúng, ta có T (z ∗ ) = TNlinLP ∗(βˆ ,βˆ ) (z ∗ ). Do đó, T (z ∗ )
1

∗

2

là đa diện. Ngược lại, T (z ) được sinh bởi các ràng buộc tuyến tính, và
do đó, bằng tuyến tính hóa của nó T lin (z ∗ ), tức là (a) đúng.
(b) ⇔ (c) Ta có ([8], bổ đề 3.1)
TN LP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ).

T (z ∗ ) =

(2.10)

(β1 ,β2 )∈P(β)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Về mặt hình học, Mệnh đề trên có thể giải thích như sau: Trong khi
T (z ∗ ) bằng hợp hữu hạn các nón đa diện, ACQ đúng nếu và chỉ nếu nó
có ít nhất một nón tiếp tuyến lớn trong hợp (2.10) chứa tất cả các nón
tiếp tuyến khác.
2.2

Điều kiện chính quy Guignard

Hầu hết các điều kiện chính quy bị vi phạm tại mọi điểm chấp nhận
được của MPEC (2.1). Mặc dù ACQ có thể thỏa mãn, Mệnh đề 2.1.1
17

17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




chỉ ra rằng điều này chỉ đúng trong trường hợp rất hạn chế. Do đó, ta
sẽ xét các điều kiện chính quy yếu hơn ACQ. Một trong các điều kiện
chính quy đó là GCQ.
Định nghĩa 2.2.1
Điều kiện chính quy Guignard đúng tại điểm chấp nhận được (z ∗ ) của
(2.1) nếu đẳng thức sau đúng
T G (z ∗ ) := conv(T (z ∗ )) = T lin (z ∗ ).

(2.11)

Như đã biết, bao hàm T (z ∗ ) ⊆ T lin (z ∗ ) đúng. Điều tương tự cũng
đúng cho T G (z ∗ ), được nêu trong Bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.2.1
Bao hàm thức sau đúng:
T G (z ∗ ) ⊆ T lin (z ∗ ).

(2.12)

Chứng minh.
Vì T (z ∗ ) ⊆ T lin (z ∗ ) đúng và T lin (z ∗ ) lồi đóng, từ (2.12) ta suy ra điều
cần chứng minh.

Bây giờ chúng ta trình bày một tính chất của nón T G (z ∗ ). Xét một
nón lồi C tùy ý. Khi đó, tập C ∩ −C được gọi là khơng gian tuyến tính
của C. Khơng gian tuyến tính của C cũng có thể được biểu diễn như
{y|C + y = C}(xem [10]).
Bổ đề 2.2.2
[10] Cho C1 , ..., Cm là các nón lồi khác rỗng trong Rn . Khi đó
(i)
C1 + ... + Cm = conv(C1 ∪ ... ∪ Cm ).
(ii) Cho C1 , ..., Cm thỏa mãn điều kiện sau: nếu di ∈ Ci ,

(2.13)
i = 1, .., m và

d1 + ... + dm = 0, thì di gọi là khơng gian tuyến tính của Ci . Khi đó,
C1 + ... + Cm = C1 + ... + Cm .

(2.14)

Ta sử dụng bổ đề trên để chứng minh kết quả sau.
18

18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Bổ đề 2.2.3
Cho z ∗ là điểm chấp nhận được của (2.1), và điều kiện (A1) đúng. Khi
đó, conv(T (z ∗ )) là đóng, tức là ta có
T G (z ∗ ) = conv(T (z ∗ )) = conv(T (z ∗ ))

Chứng minh.
Bởi vì theo giả thiết (A1), ACQ đúng với mọi NLP ∗ (β1 , β2 ) và T (z ∗ )
có thể viết dưới dạng (2.10) cho nên
TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ).

T (z ∗ ) =

(2.15)

(β1 ,β2 )∈P(β)

Tiếp theo, ta muốn áp dụng Bổ đề 2.2.2 (ii) cho TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ). Nhắc
lại rằng TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) là đa diện, và do đó, nó là nón lồi đóng. Bây giờ,
cho d(β1 ,β2 ) ∈ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) với mỗi (β1 , β2 ) ∈ P(β) mà
d(β1 ,β2 ) = 0.

(2.16)

(β1 ,β2 )∈P(β)

Ta chỉ ra rằng d(β1 ,β2 ) là khơng gian tuyến tính của TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) với
∀(β1 , β2 ) ∈ P(β).
Nhân (2.16) với

Gi (z ∗ )T ta được
Gi (z ∗ )T d(β1 ,β2 ) = 0,

∀i = 1, ..., l.

(2.17)

(β1 ,β2 )∈P(β)

Vì d(β1 ,β2 ) ∈ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ), (2.17) đúng.Nói riêng,
0,

∀i ∈ α ∪ β. Do đó, (2.17) kéo theo

Gi (z ∗ )T d(β1 ,β2 ) ≥

Gi (z ∗ )T d(β1 ,β2 ) = 0,

∀i ∈ α ∪ β

và (β1 , β2 ) ∈ P(β).
Với phân hoạch bất kỳ (β1 , β2 ) ∈ P(β), ta có
TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) + d(β1 ,β2 ) = TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ),
tức là, d(β1 ,β2 ) thuộc khơng gian tuyến tính của TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ). Với bao
hàm ngược lại, cho d bất kỳ sao cho d + d(β1 ,β2 ) ∈ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ).
19

19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Khi đó,
Gi (z ∗ )T d =

Gi (z ∗ )T d +

Gi (z ∗ )T d(β1 ,β2 ) =

Gi (z ∗ )T (d + d(β1 ,β2 ) ),

=0

(2.18)
thỏa mãn các điều kiện trong (2.9) của TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) với ∀i ∈ α ∪ β.
Đẳng thức tương tự có thể chỉ ra đúng cho gIg (z ∗ )d, h (z ∗ )d, và Hγ∪β (z ∗ )d.
Điều này chứng tỏ rằng d ∈ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ). Ngược lại, ta chọn bất kỳ
d ∈ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ). Vì d(β1 ,β2 ) ∈ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) và TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) lồi,
theo tính chất của nón lồi thì
d + d(β1 ,β2 ) ∈ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ).
Điều đó chứng tỏ rằng
TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) + d(β1 ,β2 ) = TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ).
Do đó, d(β1 ,β2 ) thuộc khơng gian tuyến tính của TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) và ta có
thể áp dụng Bổ đề 2.2.2 (ii). Chú ý rằng ta có TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) lồi.
Xét:
conv(T (z ∗ ))

(2.15)

=

TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ )

conv
(β1 ,β2 )∈P(β)

(2.13)

TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ )

=

(β1 ,β2 )∈P(β)
(2.14)

TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ )

=

(β1 ,β2 )∈P(β)

TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ )

=
(β1 ,β2 )∈P(β)
(2.13)

=

TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ )

conv
(β1 ,β2 )∈P(β)

(2.15)

=

conv(T (z ∗ )).

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.
Ta đưa ra một phát biểu tương đương của GCQ, vì điều này tiện cho
20

20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




chứng minh các kết quả sau. Nhắc lại: Cho nón C bất kỳ, nón đối ngẫu
C ∗ được định nghĩa như sau:
C ∗ := {v ∈ Rn |v T d ≥ 0 ∀d ∈ C}.
Chú ý rằng nếu vectơ z ∗ có tính chất của B-dừng cho MPEC(2.1), tức
là
f (z ∗ )T d ≥ 0,
tương đương với

∀d ∈ T (z ∗ ),

f (z ∗ ) thuộc nón đối ngẫu của T (z ∗ ), tức là
f (z ∗ ) ∈ T (z ∗ )∗ .

Bổ đề 2.2.4
Cho C và C˜ là nón bất kỳ khơng trống. Khi đó,
C ∗ là một nón lồi đóng;
(ii) C ⊆ C˜ suy ra C˜∗ ⊆ C ∗ ;

(i)

(iii) C ⊆ C ∗∗ ;
(iv) Nếu C là lồi, khi đó C ∗∗ = C;
(v) C ∗∗ = conv C.
Chúng ta sẽ sử dụng nón đối ngẫu để suy ra một dạng tương đương
của GCQ trong Hệ quả 2.2.1.
Bổ đề 2.2.5
Ta có đẳng thức sau:
T (z ∗ )∗ = T G (z ∗ )∗ .
Chứng minh.
Theo bổ đề 2.2.4 (v), T G (z ∗ )∗ = conv T (z ∗ ) = T (z ∗ )∗∗ . Hơn nữa,
(i),(iv)

(i)

T G (z ∗ )∗ = T (z ∗ )∗∗∗ = T (z ∗ )∗ = T (z ∗ )∗ .

Hệ quả 2.2.1
Giả sử z ∗ là điểm chấp nhận được của bài tốn MPEC (2.1). Khi đó,
21

21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên