Đề thi HSG 9(2010-2011) Hà nội

UBND Huyện Đông
Anh
Phòng GD-ĐT
-------------------
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Năm học 2010-2011
Thời gian: 150 phút(không kể thời gian phát
đề)
Bài 1: ( 2 điểm)
Cho 6 điểm trong đó bất kỳ 3 điểm nào cũng nối đợc với nhau tạo thành một
tam giác có các cạnh đợc tô bởi một trong hai mầu xanh hoặc đỏ. Chứng minh
rằng bao giờ cũng tồn tại một tam giác có 3 cạnh cùng mầu.
Bài 2: ( 6 điểm)
b) Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. Tính giá trị của biểu thức M= a
4
+ b
4
+c
4
Bài 3: (3 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và số đo diện tích
bằng số đo chu vi.
Bài 4: (3 điểm) Trong một buổi họp mặt giữa hai lớp 9A và 9B, có tất cả 50
học sinh tham gia. Các bạn lớp 9B tính số ngời quen ở lớp 9A và thấy rằng bạn

thứ nhất quen 11 bạn, bạn thứ hai quen 12 bạn, bạn thứ ba quen 13 bạn và cứ
nh vậy đến bạn cuối cùng quen tất cả các bạn của lớp 9A tham gia họp mặt.
Tính số học sinh mỗi lớp tham gia họp mặt.
Bài 5:(4 điểm)
Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đờng chéo. Lấy điểm G thuộc
cạnh BC, điểm H thuộc cạnh CD sao cho
ã
GOH
= 45
0
. Gọi M là trung điểm của
AB. Chứng minh rằng:
a) Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB
b) MG song song với AH

Bài 6: (2 điểm) Cho một đa giác lồi . Chứng minh rằng tồn tại một hình bình
hành có diện tích không quá hai lần diện tích đa giác sao cho các đỉnh của đa
giác nằm trong hoặc trên biên của hình bình hành