Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Hằng đẳng thức và ứng dụng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề :. HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG. A. Áp dụng nhựng hằng đẳng thức 1. Bình phương của một tổng: A  B   A 2  2 AB  B 2 = A  B   4 AB 2. 2. 2. Bình phương của một hiệu: A  B   B  A  A 2  2 AB  B 2 = A  B   4 AB 2. 2. 2. 3. Hiệu của hai bình phương: A 2  B 2  A  B A  B  4. Lập phương của tổng: A  B   A 3  3 A 2 B  3 AB 2  B 3  A 3  B 3  3 ABA  B  3. 5. Lập phương của hiệu: A  B   A 3  3 A 2 B  3 AB 2  B 3  A 3  B 3  3 ABA  B  3.   A  B A.   ( A  B). 6. Tổng hai lập phương: A 3  B 3  A  B  A 2  AB  B 2  A  B   3 AB.( A  B ) 7. Hiệu hai lập phương: A 3  B 3. 2.  AB  B 2. 3. 3.  3 AB.( A  B ). * Một số hằng đẳng thức tổng quát. 1. an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1) 2. a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1) 3. a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k) 4. (a + b)n = an + nan-1b + 5. (a -b)n = an - nan-1b +. n(n  1) n-2 2 n(n  1) 2 n-2 a b +…+ a b +nabn-1 + bn 1.2 1.2. n(n  1) n-2 2 n(n  1) 2 n-2 a b - …a b +nabn-1 - bn 1.2 1.2. Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau : 1 A  B  C   A 2  B 2  C 2  2AB  BC  AC  2. 2. A  B  C   A 3  B 3  C 3  3A  B  . B  C  . A  C 3.  4. A.  . X. 3. 2 A 2  B 2  A  B   A  B  2.  B2. 2. 2. . 2.  Y 2  AX  BY   AX  BY  2. 2. Bài tập 2. Tính : a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Giải a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042) A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005 A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B=… B =(232 - 1)(232 + 1) – 264 Lop8.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> B = 264 – 1 – 264 B=-1 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2 Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x + 7 b/ B = x2 + 8x c/ C = - 2x2 + 8x – 15 Giải a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3 Dấu “ =” xảy ra  x – 2 = 0  x = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2. b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 Dấu “ =” xảy ra  x – 4 = 0  x = 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4. c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7 Dấu “ =” xảy ra  x – 2 = 0  x = 2 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2. * Chú ý:  Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần: -. Chứng minh A > m với m là một hằng số.. -. Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.. -. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA ).  Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần: -. Chứng minh A < t với t là một hằng số.. -. Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.. -. Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA ). Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c Giải ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) . a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac. . a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 0. . 2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0. . ( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = 0. . ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = 0. . ( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = 0 hay ( c – a)2 = 0. . a = b hay b = c hay c = a. . a=b=c. * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức Lop8.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Bài tập 5. Chứng minh rằng: a/ 7.52n + 12.6n  19 ( n  N) b/ 11n+2 + 122n+1  133 ( n  N) Giải a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n  19 Vì ( 25n – 6n )  ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n )  19 và 19.6n  19 Vậy 7.52n + 12.6n  19 ( n  N) b/ 11n+2 + 122n+1  133 = 112 . 11n + 12.122n = 12.( 144n – 11n) + 133.11n  133 Vì (144n – 11n)  (144 – 11) nên (144n – 11n)  133 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1). do đó (an – bn)  (a- b). Bài tập 6. Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0 Giải 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0  (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0  ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 = 0  ( x + y + z)2 = 0 ; ( x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0 . x = - 5 ; y = -3; z = 8. * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Bài tập 7: Cho x = 11 ... 15 ; y = 11 ... 19 . Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.   n chữ số 1 n chữ số 1 Ta có : y = 11 ... 19 = 11 ... 15 + 4 = x + 4   n chữ số 1 n chữ số 1 Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2 2 hay xy + 4 = 11  ... 17   là số chính phương. n chữ số 1. B. Ứng dụng hằng đẳng thức Xét bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc Ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc. = (a + b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc = [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c) = (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c). Lop8.net. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> = (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab) = (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) =. 1 (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] 2. Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 =>. 1 (a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = 0 2. a  b  c  0 a  b  c  0 =>  =>  2 2 2 a  b  c (a  b)  (b  c)  (a  c)  0 Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. Dạng 2: Tính giá trị biểu thức. Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình Dạng 4: Chứng minh đẳng thức. DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử. Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có: (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x) Bài 2: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử. Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3 Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = 0 => áp dụng nhận xét ta có: (x2+y2)3+ (z2-x2)3+ -y2-z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 –x2) (-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2) Bài 3 : Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử (x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3. = (x+y)3 + 3 (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3 = x3 + y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z) –x3-y3-z3. = 3(x+y) (xy+ yz +xz +z2) = 3(x+y)(y+z)(z+x) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. (x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3 Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c. Lop8.net. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> =>x+y+z = a+b+c =>(a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC: Bài 1: Cho. Từ. 1 1 1    0 tính P = x y z. xy yz zx   z 2 x2 y 2. 1 1 1 1 1 1 3    0 => 3  3  3  x y z xyz x y z. => P =. 1 xy yz zx xyz xyz xyz 1 1  xyz3  2  2  3  3  3  xyz 3  3  3   3 2 z x y z x y y z  xyz x.  a  b  c  Bài 2: Cho abc  0, a3+b3+c3 = 3abc tính A = 1  1  1    b  c  a . a  b  c  0 Từ a3 + b3 + c3 = 3abc =>  a  b  c  a  b  b  c  a  c   c  a  b . .  1 Nếu a+b+c = 0 thì A =      b  c  c  b c . Nếu a = b = c thì A = (1+1) (1+1) (1+1) = 8 => A có 2 giá trị: -1 và 8.  x  y  z  Bài 3: Cho xyz  0 thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2. Tính P = 1  1  1   y  z  x   Đặt a= xy, b = yz, c =zx.. a  b  c  0 Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc =>  a  b  c Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz P=. =.  x  y  z   x  y  y  z  z  x  x  y z y  z x x  z y 1  1  1      . .   y  x  x   y  z  x  yz zx xy .  xy  yz  zx   1 zx.xy. yz. Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8 Bài 4: Cho a + b + c = 0 tính giá trị biểu thức A = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3 Ta biến đổi b-c = b-a+a-c Ta được A = (a-b)c3 + (b-a)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c). Lop8.net. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Vì a+b+c=0 -> A=0. x3  y 3  z 3 Bài 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B =  xzy vì x+y+z=0 =>. x3+y3+z3. x 3  y 3  z 3 3 xyz = 3xyz => B =   3  xyz  xyz. Bài 6: Cho a3+b3+c3 = 3abc và a+b+c  0 tính giá trị biểu thức. M=. a 2  b2  c2 a  b  c 2. ta có a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 –ab-bc-ca) = 0 =. . . 1 a  b  c a  b 2  b  c 2  c  a 2  0 2. Mà a+b+c  0 => (a+b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = 0 => a=b=c. a 2  a 2  a 2 3a 2 1 => M =  2  9a 3 3a 2 Bài 7: Cho a+b+c=0 (a  0; b  0; c  0) tính giá trị biểu thức A=. a 2 b2 c2   ; cb ca ab. Ta có A =. B=. a2 b2 c2   a 2  b2  c2 b2  c2  a 2 c2  a 2  b2. a 3  b3  c 3 vi a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abc abc. A=. 3abc 3 abc. B=. a2 b2 c2   a 2  b2  c2 b2  c2  a 2 c2  a 2  b2. Từ a+b+c= 0 => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 -> c2-a2-b2= 2ab TT: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2ac Nên B=. -> B =. a2 b2 c2 a 3  b3  c 3    ta có a+b+c=0 => a3+b3+c3 = 3abc a 2bc 2ac 2ab 2abc. 3abc 3  2abc 2. Bài 8: Cho a+b+c= 0 tính giá trị biểu thức: a b  a b b c c  a  c     A=    a b   a  b b  c c  a   c. Đặt B =. ab bc ca   c a b Lop8.net. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Ta có B .. c c bc ca c  b  bc  ac  a 2   1  .    1  ab ab a b  ab  ab . c a  b c  a  b  2c 2 2c 3 .  1 .  1 =1+ ab ab ab abc. Tương Tự . B .. a 2a 3 b 2b3  1 ; B.  1 ; ca abc bc abc. . 2c 3 2a 3 2b3 a 3  b3  c 3 1 1 3 Bậy A = 1  abc abc abc abc. . Vì a+b+c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = 3 +. 2.3abc 9 abc. DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x-3)3 = (2x+ 1)3. (3x-2)3 – (x-2)3 = (2x+1)3 => (3x-2)3 – (x-3)3 – (2x+1)3 = 0 => (3x-2)3 + (-x+3)3 + (-2x-1)3 = 0 => => Nhận xét: Ta có 3x -2 -x +x-2x-1 = 0 => Áp dụng nhận xét ta có (3x-2)3 + (-x+3)3+(-2x-1)3 = 3(3x-2)(-x+3)(-2x-1)=0 =>(x+y)(-x+2)(-y-2) =2 Vì x;y Z ta có: 2=1.1.2=(-2)(-1).1=(-1)(-1).2=(-1)..2(-1).  x  y  1  chỉ xảy ra trường hợp  x  2  2  y.2  1 . x  0   y  1. . Chú ý:x=2;y=-2 =>phương trình vô nghiệm KL: Phương trình có nghiệm x=0; y=-1 Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x3 +y3+z3- 3xyz=1 Ta có x3+y3+z3-3xyz=1 <=>.  (x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1 Ta xét x2+y2+z2-xy-xz=. 1 [(x-y2 +(y-z)2+(z-x)2 ]  0 nên chỉ có thể xảy ra 2.  x  y  z  1(1)  2 2 2  x  y  z  xy  yz  zx  1(2). Lop8.net. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Từ 1 ta có: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = 1 Từ 2,3 => xy + yz + zx = 0. 3 <2-3>. Nên x2 +y2 + z2 = 1 giả sử x2  y2  z2 =>z = 0; y = 0; x =  1. x  1  Nếu  y  0  không t/m z  0  x  1  Nếu  y  0  T/m phương trình z  0  x  0  và TH:  y  1  z  0 . x  0  và  y  0 z  1 . DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?. a  b  c  0 Ta có a3 +b3+c3 = 3abc   a  b  c Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác ABC nên a+b+c  0 nên ta có a=b=c (a,b,c >0) => ABC Là tam giác đều. Bài 2: Cho a+bc+c+d = 0 cmr a3+b3+c3+d3 = 3 (d+c) (ab-cd) Đặt c+d= x ta có a+b+x=0 => a3+b3+x3= 3abx hay a3+b3 +(c+d)3 =3ab(c+d) => a3+b3+c3+d3 = 3ab (c+d)- 3cd(c+b) = 3(c+d)(ab-cd) Bài 3: CMR nếu x+y+z = 0 thì 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2) từ x+y+z = 0 => -x= y+z => (y+z)5= -x5. =>y5+5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5 =>x5 +y5+z5+5yz (y3 + 2yzz+2yz2+z3) = 0 =>x5+y5+z5+5yz(y+z)(y2+yz+z2)= 0 => 2(x3+y5+z5)- 5yzx((y2+z2)+ (y+z)2)= 0 Lop8.net. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> => 2(x3+y5+z5)- 5yzx((x2 +y2+z2)= 0 2(x5+y5+z5)= 5yzx (x2+y2+z2) => đpcm.. C. Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đồng chất Bài tập 1 : Cho a  b  0 , biết a/ 3a 2  3b 2  10ab . Tính P . ab ab. b/ 2a 2  2b 2  5ab . Tính Q . ab ab. 2. 1 a 2  2ab  b 2 3a 2  3b 2  6ab 10ab  6ab 1 ab a. Xét P 2     2   . Mà P  0  P   2 2 2 2 a  2ab  b 3a  3b  6ab 10ab  6ab 4 ab. b. ( Tương tự ) Xét E 2  9  E  3 Bài tập 2: a/ Cho a  b  c  0 và a 2  b 2  c 2  14 . Tính A  a 4  b 4  c 4 b/ Cho x  y  z  0 và x 2  y 2  z 2  a 2 . Tính B  x 4  y 4  z 4 theo a. . a/ Ta có: 14 2  a 2  b 2  c 2.  a 2. Ta có: a  b  c  0  a  b  c . 2. 4. .  b 4  c 4  196  2 a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2. . a2  b2  c2  0  ab  bc  ac    7 2.  ab  bc  ac   49  a 2 b 2  b 2 c 2  a 2 c 2  2abc(a  b  c)  49  a 2 b 2  b 2 c 2  a 2 c 2  49 2. Vậy A  a 4  b 4  c 4  196  2.49  98. . b/ x  y  z   x 2  y  z   x 2  y 2  z 2  2 yz  x 2  y 2  z 2 2. .  .   4y 2.  x 4  y 4  z 4  2x 2 y 2  2 y 2 z 2  2x 2 z 2  2 x 4  y 4  z 4  x 2  y 2  z 2. Bài tập 3: Cho x  0 và x  A  x2 . 1 x2. z2.  a 2. 4. B. a4 2. 1  a . Tính các biểu thức sau theo a x. B  x3 . 1 x3. C  x6 . Dể dàng chứng minh được, khi n>1, ta có: x n 1  Ta tính được A  a 2  2. 2. B  a 3  3a. 1 x. n 1. 1 x6. D  x7 . 1 x7. 1  1  1     x n  n  x     x n 1  n 1  x  x  x  . C  a 6  6a 4  9a 2  2. D  a 7  7 a 15  14a 3  7 a. Bài tập 4: Phân tích các số sau ra thừa số. Lop8.net. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> a/ a 2 b  c  b 2 c  a  c 2 a  b  b/ a 3  4a 2  29a  24 à c/ x 4  6 x 3  7 x 2  6 x  1 d/ x 3  6 x 2  11x  6 . x  3 . x  5 . x  7  15 e/ x  1. f/ x  y   y  z   z  x  3. 3. 3. Gợi ý: a/ Thay b  c  (c  a )  (a  b). . . . .  c  a  b  a  a  b c  a c  b  Sau khi thay, ta được a  b  c 2  a 2  c  a  b 2  a 2  a  b c  a  b/ Đáp số: a  1a  3a  8. . . c/ Đáp số: x 2  3 x  1. 2. d/ Đáp số: x  1x  2 x  3. . . e/ Đáp số: x 2  8 x  10 .x  6  . x  2 f/ Đặt x  y  a. yz b. zxc.  a  b  c  0  a  b  c  a  b   c 3 3.  a 3  b 3  3aba  b   c 3  a 3  b 3  c 3  3ab(a  b)  3abc VT  3x  y y  z z  x . Lop8.net. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>