Một phương pháp giải bài toán phương trình tiếp tuyến

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Nguyễn Mạnh Thắng – THCS Khánh Dương – Yên Mô – Ninh Bình MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Trước đây, khi giải các bài toán về phươn trình tiếp tuyến với 1 đường cong, thường sử dụng phương pháp nghiệm kép. Từ khi bộ giáo dục không công nhận phương pháp này vì tính chặt chẽ của nó, thì các bài toán loại này trở nên khó khăn hơn – đặc biệt là với dạng hàm số hữu tỷ bậc hai. Sau đây là một phương pháp khá hiệu quả để giải quyết các bài toán dạng này. I/ Cơ sở lý thuyết: u ; Xét tại điểm biến số có giá trị làm cho đạo hàm y’ = 0. thì ta có: Với hàm số: y = v u u' = (I) sử dụng kết quả này ta có thể giải các bài toán về sự tiếp xúc của đồ thị v v' u hàm số y = và đường thẳng một cách dễ dàng hơn. v II/ Các bài toán minh họa: ( các bài toán sau được xét trong miền xác định của chúng) x2 − x +1 ( C) , biết nó Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x đi qua điểm A(2; -1) Giải: Đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; -1) có hệ số góc k có dạng y = kx – 2k – 1 (d) tiếp xúc với ( C ) khi hệ sau có nghiệm:  x2 − x +1  (1 − k ) x 2 − x + 1 = kx − 2k − 1 = −2 k − 1   x x (II) ⇔  2  (1 − k ) x 2 − 1  x −1 = k  =0  x 2  x2 (1 − k ) x 2 − x + 1 Xét f(x) = x. (1 − k ) x 2 − 1 f’(x) = x2. thì. Vậy theo kết quả (I) ta có:. (1 − k ) x 2 = −kx 2(1 − k ) x − 1 = −2k − 1 ⇔ (II) ⇔   2 (1 − k ) x 2 = 1   (1 − k ) x = 1. Từ đó tìm được hai tiếp tuyến đến đồ thị là y =.  kx = −1  kx = −1  ⇔ ⇔ k = 1 ± 5 2 (1 − k ) x = 1  2. 1± 5 ( x − 2) − 1 2. Bài toán 2: Tìm m để từ gốc tọa độ có thể kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm x 2 + 2mx + 1 số y = (C) x +1. Phương pháp giải toán sơ cấp Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Nguyễn Mạnh Thắng – THCS Khánh Dương – Yên Mô – Ninh Bình Giải: Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ có hệ số góc k là: y = kx. Để (d) và (C) tiếp xúc nhau thì hệ sau có nghiệm:  x 2 + 2mx + 1 = kx  x +1  x 2 + 2 x + 2m − 1  =k ( x + 1) 2 . ⇔.  (1 − k ) x 2 + (2m − k ) x + 1 =0  x +1  (1 − k ) x 2 + 2(1 − k ) x + 2m − k + 1  =0 ( x + 1) 2 . (*). Sử dụng kết quả (I) ta có: 2(1 − k ) x + 2m − k = 0  (*) ⇔  2 (1 − k ) x + 2(1 − k ) x + 2m − k − 1 = 0 (**) Khử x ở hệ trên ta được: k2 -4(m-1)k + 4m2 = 0 Để tồn tại 2 tiếp tuyến phân biệt thì phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt. từ đó tìm 1 được m < 2 Bài toán 3: Tìm quỹ tích các điểm nằm trong mặt phẳng tọa độ mà từ đó có thể kẻ được 2 x2 +1 tiếp tuyến tới đồ thị (C) của hàm số y = mà hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. x Giải: Gọi (x0; y0) là tọa độ các điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài, thì đường thẳng qua (d) (x0; y0) có dạng: y = kx – kx0 + y0. Để (d) tiếp xúc với đồ thị (C) thì hệ sau có nghiệm:  x2 +1  (1 − k ) x 2 + 1 kx kx y = − + = − kx0 + y 0 0 0   x x (1*) ⇔   2 2 k x 1 x − − − ( 1 ) 1   =k =0   x2 x2 Sử dụng kết quả (I) cho (1*) thì: 2(1 − k ) x = − kx0 + y 0 (1*) ⇔  2  (1 − k ) x − 1 = 0 Khử x ở hệ trên ta được: k2x2 -2( x0y0 -2)k +y02 – 4 = 0 Để có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì phương trình trên phải có hai nghiệm phân biệt k1; k2 sao cho k1k2 = -1 Hay: ( x0 y 0 − 2) 2 − x02 ( y 02 − 4) > 0 ( x0 y 0 − 2) 2 − x02 ( y 02 − 4) > 0 2  y0 − 4  ⇔  x02 + y 02 = 4 = −1  2 x0   x0 ≠ 0  x0 ≠ 0  Từ đó suy ra được: Quỹ tích các điểm cần tìm là đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = 2 bỏ đi các điểm (0; 2) và (0; -2).. Phương pháp giải toán sơ cấp Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>