Bài soạn CHUYÊN DỀ DIỂM CỐ ĐỊNH HSG 9

Chuyên đề BDHSG hình học 9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
CHUYÊN ĐỀ 8:CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH
Những kiến thức cơ bản:
Một điểm được coi là cố đinh nếu điểm đó:
- Là giao của hai đường cố định.
- Nằm trên một đường cố định cách một điểm cho trước một khoảng không đổi
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và một điểm A khác O nằm trong đường tròn.
Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (O) tại M và N. Chứng
minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác
O.
Gợi ý:
Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN và
tia đối của tia AO. Ta có
.
. . AP=
AM AN
AP AO AM AN
AO
= ⇒
không
đổi vì A và (O) cố định. Hơn nữa P thuộc tia đối của tia AO cố
định nên P là điểm cố định.
Ví dụ 2 : (NK 2006 - 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB là một dây
cung cố định và E là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường
tròn tâm O bán kính OE tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP. AQ không đổi và
đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định.
Gợi ý:
Vì E là trung điểm của AB nên OE vuông góc với AB, suy ra
AB là tiếp tuyến của (O; OE). Ta chứng minh được
2

2
AB
AP.AQ=AE =
4
không đổi.
Gọi I là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ và
AB. Khi đó ta có:
.
. . AI=
AP AQ
AP AQ AI AB
AB
= ⇒
không đổi. Suy
ra I là điểm cố định.
Ví dụ 3: (HSG Q. Tân Bình 2005 - 2006) Từ điểm A
nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tuyến ABC (B, C thuộc
(O)). Chứng minh rằng khi cát tuyến thay đổi thì tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường thẳng cố
định.
Gợi ý:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh
Chuyên đề BDHSG hình học 9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC và AO. Tương tự như hai
bài trên ta chứng minh được E là điểm cố định. Từ đó suy ra tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác OBC luôn thuộc đường trung trực của OE.
Ví dụ 4: Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d không cắt đường tròn. I là
điểm di động trên d. Đường tròn đường kính OI cắt (O) tại M và N. Chứng minh MN

luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MON cắt tia đối của tia AO tại P. Ta dễ dàng
chứng minh được AO. AP = AM. AN.
Mặt khác vẽ đường kính qua của (O) qua A, cắt đường tròn tại D và E. Ta chứng
minh được
2 2
. . ( ).( )AM AN AD AE OD OA OE OA R OA= = + − = −
.
Khi đó
AP không đổi và thuộc tia đối của tia AO nên P là điểm cố định.
Vậy (MON) luôn qua điểm P cố định.
b) Đường tròn đường kính OI cắt (d) tại H. Khi đó ta có . Suy ra H cố định.
Ta có (O) và đường tròn đường kính IO cắt nhau tại M, N nên ta có OI là đường trung
trực của MN và .
Gọi K là giao điểm của MN và OI. Khi đó tam giác IOM vuông tại M có MK là
đường cao nên:
MN cắt OH tại Q. Ta có
không đổi.
Q thuộc tia OH và OQ không đổi nên Q là điểm cố định. Vậy MN luôn qua điểm Q cố
định.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh
Chuyên đề BDHSG hình học 9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ 5: Cho đường tròn (O) và dây AB cố định. M là điểm tuỳ ý trên cung
AB. K là trung điểm của MB Chứng minh rằng đường thẳng qua K vuông góc với
đường thẳng MA luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn giải
Bài tập

Bài 1: Cho đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một điểm P thay đổi
trên (O) ( P khác A, P khác B). Các đường tăhng PA, PB cắt (O’) theo thứ tự tại C, .
Gọi M là trung điểm của CE
Chứng minh PM luôn đi qua một điểm cố định.
x
M
C
E
B
A
O
O'
P
Bài 2: Cho đường tròn (O) và một điểm S cố định nằm ngoài đường tròn. AB là
đường kính thay đổi. SA, SB cắt (O) tại C và D.
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 3: Cho 3 điểm C, A, B thẳng hàng và được xếp theo thứ tự đó. Một đường tròn
(O) thay đổi luôn đi qua A và B. CP, CQ là các tiếp tuyến của (O) (P, Q là tiếp điểm).
Chứng minh rằng:
a) P, Q luôn thuộc một đường tròn cố định.
b) Trung điểm M của PQ luôn thuộc một đường tròn cố định.
CHUYÊN ĐỀ 2 : TỪ MỘT BÀI TOÁN TRONG SGK ĐẾN CÁC BÀI TOÁN
THI HSG
Trong SGK hình học lớp 9 có bài toán sau đây:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh
Chuyên đề BDHSG hình học 9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài toán 1:

Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ
hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt
(O) tại C và D. Chứng minh MA.MB = MC.MD
Gợi ý: Chứng minh bài toán này không khó bằng cách xét hai trường hợp M nằm
ngoài và nằm trong đường tròn (O). Trong mỗi trường hợp chứng minh tam giác
MAC và tamg giác MCD đồng dạng, từ đó ta suy ra kết quả cần chứng minh.
Qua bài toán này ta có thể chứng minh bài toán sau:
Bài toán 2:
Nếu M không nằm trên đường tròn (O; R), một đường thẳng thay đổi qua M và cắt
(O) tại A và B. Khi đó tích MA. MB không đổi và bằng
Gợi ý: Chứng minh bài toán 2 chỉ cần vẽ đường thẳng qua M và O cắt (O) tại C, D.
Sau đó chứng minh tương tự bài toán 1 ta được kết quả.
Bài toán 2 cho ta một ý tưởng để giải các bài toán về họ đường tròn đi qua một điểm
cố định. Ta cùng xét các bài toán sau:
Bài toán 3 ( Năng Khiếu 2004 - 2005 Chuyên toán) Cho đường tròn (O) và một điểm
A khác O nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi
qua O cắt (O) tại M và N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN
luôn đi qua một điểm cố định khác O.
Gợi ý:
Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN và tia đối của tia AO. Ta
có không đổi vì A và (O) cố định. Hơn nữa P
thuộc tia đối của tia AO cố định nên P là điểm cố định.
Bài toán 4: (NK 2006 - 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB là một dây cung
cố định và E là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn
tâm O bán kính OE tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP. AQ không đổi và đường
tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định.
Gợi ý:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh
Chuyên đề BDHSG hình học 9

-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vì E là trung điểm của AB nên OE vuông góc với AB, suy ra AB là tiếp tuyến của
(O; OE). Ta chứng minh được không đổi.
Gọi I là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ và AB. Khi đó ta có:
không đổi. Suy ra I là điểm cố định.
Bài toán 5: (HSG Q. Tân Bình 2005 - 2006) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ
các tuyến ABC (B, C thuộc (O)). Chứng minh rằng khi cát tuyến thay đổi thì tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Gợi ý:
Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC và AO. Tương tự như hai
bài trên ta chứng minh được E là điểm cố định. Từ đó suy ra tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác OBC luôn thuộc đường trung trực của OE.
Bài tập
Bài 1: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt (O). M là một điểm thay đổi
trên d, từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB đến (O) (A, B là hai tiếp điểm). Chứng
minh AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2: Cho đường tròn (O) và một điểm S cố định nằm ngoài đường tròn. AB là
đường kính thay đổi. SA, SB cắt (O) tại C và D.
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 3: Cho 3 điểm C, A, B thẳng hàng và được xếp theo thứ tự đó. Một đường tròn
(O) thay đổi luôn đi qua A và B. CP, CQ là các tiếp tuyến của (O) (P, Q là tiếp điểm).
Chứng minh rằng:
a) P, Q luôn thuộc một đường tròn cố định.
b) Trung điểm M của PQ luôn thuộc một đường tròn cố định.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phạm Thị Tuyến – THCS TT Yên Ninh