Gián án BOI DUONG HS GIOI

Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A / Lêi nãi ®Çu
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư lµ néi dung kiÕn thøc quan träng, lý thó, song ®ã l¹i lµ mét trong nh÷ng
d¹ng to¸n khã ®èi víi häc sinh bËc THCS.
Néi dung nµy ®ỵc giíi thiƯu kh¸ ®Çy ®đ trong ch¬ng tr×nh §¹i Sè 8 vµ cã thĨ coi lµ néi dung nßng cèt
cđa ch¬ng tr×nh. Bëi nã ®ỵc vËn dơng rÊt nhiỊu ë c¸c phÇn sau nh: Rót gän ph©n thøc, quy ®ång mÉu thøc
cđa c¸c ph©n thøc, biÕn ®ỉi c¸c biĨu thøc h÷u tØ, biÕn ®ỉi c¸c biĨu thøc v« tØ, gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ...
Thùc tÕ gi¶ng d¹y cho thÊy, mỈc dï c¸c ph¬ng ph¸p ®ỵc gi¬Ý thiƯu trong SGK rÊt rõ rµng, cơ thĨ. Song
viƯc c¸c em vËn dơng cßn nhiỊu lóng tóng. §Ỉc biƯt ®èi víi häc sinh kh¸ giái th× néi dung kiÕn thøc cha
®¸p øng ®ỵc nhu cÇu häc to¸n cđa c¸c em.
VËy D¹y - Häc néi dung ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư nh thÕ nµo ®Ĩ ®¹t kÕt qu¶ tèt nhÊt? Phï hỵp
cho häc sinh ®¹i trµ? §ång thêi ®¸p øng ®ỵc nhu cÇu häc tËp cđa häc sinh kh¸ giái. §Ĩ ®¹t kÕt qu¶ ®ã,
ngoµi ph¬ng ph¸p trun thơ ngêi thÇy ph¶i n¾m b¾t ®ỵc kiÕn thøc mét c¸ch nhn nhun. §ã chÝnh lµ lý
do t«i ®a ra ®Ị tµi nµy.
Cơ thĨ trong ®Ị tµi nµy, víi mçi ph¬ng ph¸p c¬ b¶n hay ®Ỉc biƯt. Tôi đều lµm râ:
• Ph¬ng ph¸p giải.
• Bµi tËp tù lun
Víi néi dung vµ tr×nh bµy trong ®Ị tµi nµy, hy väng ®Ị tµi nµy kh«ng chØ lµ tµi liƯu híng dÉn ®èi víi häc
sinh mµ cßn lµ tµi liƯu tham kh¶o bỉ Ých cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y cđa gi¸o viªn c¸c trêng THCS.
Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 1
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
B. Néi dung
PhÇn 1: C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
C¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n
I/ Ph ¬ng ph¸p ®Ỉt nh©n tư chung
Ph ¬ng ph¸p .
• T×m nh©n tư chung lµ nh÷ng ®¬n thøc, ®a thøc cã mặt trong tÊt cả c¸c h¹ng tư.
• Ph©n tÝch mçi h¹ng tư thµnh tÝch nh©n tư chung vµ mét nh©n tư.
• ViÕt nh©n tư chung ra ngoµi dÊu ngc, viÕt c¸c nh©n tư cßn l¹i cđa mçi h¹ng tư vµo trong dÊu
ngc.
VÝ dơ: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư

a) –3xy + x
2
y
2
– 5x
2
y
b) 2x(y – z) + 5y(z – y)
c) 10x
2
(x + y) – 5(2x + 2y)y
2
Bµi làm
a) 3xy + x
2
y
2
– 5x
2
y = xy(- 3 + xy – 5x)
b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y)
c) 10x
2
(x + y) – 5(2x + 2y)y
2
= 10x
2
(x + y) – 10y
2
(x + y) = 10(x + y)(x

2
– y
2
)
= 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y)
2
(x – y)
Bµi tËp tù lun
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
a) 12xy
2
– 12xy + 3x
b) 15x – 30 y + 20z
c)
7
5
x(y – 2007) – 3y(2007 - y)
d) x(y + 1) + 3(y
2
+ 2y + 1)
Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau
a) 23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3
b) 2x
3
(x – y) + 2x
3
(y – x ) + 2x
3
(z – x) (Víi x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)
II) Ph ¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc

Ph ¬ng ph¸p
Sư dơng c¸c h»ng ®¼ng thøc ®Ĩ biÕn ®ỉi ®a thøc thµnh tÝch c¸c nh©n tư hc l thõa cđa mét ®a
thøc ®¬n gi¶n.
Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc :
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
A – B = (A + B)(A – B)
(A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
(A - B)
3
= A

3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
– AB + B
2
)
A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
(A + B + C)
2
= A
2
+ B

2
+ C
2
+ 2AB + 2BC + 2CA
A
n
– B
n
= (A – B)(A
1
−
n
+ A
2
−
n
B + … + AB
2
−
n
+ B
1
−
n
)
A
k2
– B
k2
= (A +B)(A

12
−
k
- A
22
−
k
B + … - B
12
−
k
)
A
12
+
K
+ B
12
+
K
= (A + B)(A
k2
– A
12
−
k
B + A
22
−
k

B
2
- … +B
k2
)
Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 2
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
(A + B)
n
= A
n
+ n A
1
−
n
B -
2.1
)1(
−
nn
A
2
−
n
B
2
+ … +
2.1
)1(
−

nn
A
2
B
2
−
n
+ nAB
1
−
n
+ B
n
(A - B)
n
= A
n
- n A
1
−
n
B +
2.1
)1(
−
nn
A
2
−
n

B
2
- … +(-1)
n
B
n
VÝ dơ Ph©n tÝch ®a thøc tµnh nh©n tư
a) x
2
+ 6xy
2
+ 9y
4
b) a
4
– b
4

c) (x – 3)
2
- (2 – 3x)
2
d) x
3
– 3x
2
+ 3x - 1
Bµi Lµm
a) x
2

+ 6xy
2
+ 9y
4
= x
2
+ 2x3y
2
+ (3y)
2
= (x + 3y
2
)
2
b) a
4
– b
4
= (a
2
)
2
– (b
2
)
2
= (a
2
+ b
2

) (a
2
– b
2
) = (a
2
+ b
2
) (a + b) (a – b)
c) (x – 3)
2
- (2 – 3x)
2
= [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- 5 + 4x)
d) x
3
– 3x
2
+ 3x - 1 = (x – 1)
3
2.2/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
a) a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc
b) (a + b + c)
3

– a
3
– b
3
– c
3
Bµi Lµm
a) a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = (a + b)
3
– 3ab(a + b) + c
3
– 3abc
= ( a + b + c)[(a + b)
2
– (a + b)c + c
2
] – 3abc( a + b +c)
= (a + b + c)( a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – bc – ca)

b) (a + b + c)
3
– a
3
– b
3
– c
3
= (a + b)
3
+ c
3
+ 3c(a + b)(a + b + c) – a
3
– b
3
–c
3

= 3(a + b)(ab + bc + ac + c
2
) = 3(a + b)(b + c) (c + a)
Bµi tËp tù lun
Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
a) (x – 15)
2
– 16
b) 25 – (3 – x)
2

c) (7x – 4)
2
– ( 2x + 1)
2
d) 9(x + 1)
2
– 1
e) 9(x + 5)
2
– (x – 7)
2
f) 49(y- 4)
2
– 9(y + 2)
2
Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
a) 8x
3
+ 27y
3
b) (x + 1)
3
+ (x – 2)
3
c) 1 – y
3
+ 6xy
2
– 12x
2

y + 8x
3
d) 2004
2
- 16
III/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư, b»ng ph ¬ng ph¸p nhãm nhiỊu h¹ng tư.
Ph ¬ng ph¸p
• Sư dơng tÝnh chÊt giao ho¸n, kÕt hỵp ®Ĩ nhãm c¸c h¹ng tư thÝch hỵp vµo tõng nhãm.
• Áp dơng ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc kh¸c ®Ĩ gi¶i to¸n.
2. VÝ dơ
2.1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 3
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
2
– 3xy + x – 3y
b) 7x
2
– 7xy – 4x + 4y
c) x
2
+ 6x – y
2
+ 9
d) x
2
+ y
2
– z
2

– 9t
2
– 2xy + 6zt
Bµi Lµm
a) x
2
– 3xy + x – 3y = (x
2
– 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1)
b) 7x
2
– 7xy – 4x + 4y = (7x
2
– 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4)
c)x
2
+ 6x – y
2
+ 9 = (x
2
+ 6x + 9) – y
2
= (x + 3)
2
- y
2
= (x + 3 + y)(x + 3 – y)
d)x
2
+ y

2
– z
2
– 9t
2
– 2xy + 6zt = (x
2
– 2xy + y
2
) – (z
2
– 6zt + 9t
2
)
= (x – y)
2
– (z – 3t)
2
= (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t
2.2/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
a) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2

z + yz
2
+ 2xyz
b) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 3xyz
Bµi Lµm
a) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz

= (x
2
z + y
2
z + 2xyz) + x
2
y + xy
2
+ xz
2
+ yz
2

= z(x + y)
2
+ xy(x + y) + z
2
(x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z
2
)
= (x + y) [(xz + xy) + (yz + z
2
)]
= (x + y) [x(z + y) + z(z + y)]
= (x + y)(y + z)(x + z)
b) x
2
y + xy
2
+ x

2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 3xyz
= (x
2
y + x
2
z + xyz) + ( xy
2
+ y
2
z + xyz) + (x
2
z + yz
2
+ xyz)
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)
3. Bµi TËp
Bµi 5: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
a) x
4
+ 3x
2
– 9x – 27

b) x
4
+ 3x
3
– 9x – 9
c) x
3
– 3x
2
+ 3x – 1 – 8y
3
BµI 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
a) x(y
2
– z
2
) + y(z
2
– y
2
) + z(x
2
– y
2
)
b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z )
c) x(y + z )
2
+ y(z + x)
2

+ z(x + y)
2
– 4xyz
d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y)
IV/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng c¸ch phèi hỵp nhiỊu ph ¬ng ph¸p
1. Ph ¬ng ph¸p
VËn dơng linh ho¹t c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®· biÕt vµ thêng tiÕn hµnh theo tr×nh tù sau :
- §Ỉt nh©n tư chung
- Dïng h»ng ®¼ng thøc
- Nhãm nhiỊu h¹ng tư
2. Ví dơ : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
a) 5x
3
- 45x
b) 3x
3
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6axy
2
– 3a
2
xy + 3xy
Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 4
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Bµi lµm
a) 5x
3

– 45x = 5x(x
2
– 9) = 5x(x +3) (x – 3)
b) 3x
2
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6axy
2
– 3a
2
xy + 3xy
= 3xy(x
2
– 2y – y
2
– 2ay – a
2
+ 1)
= 3xy [( x
2
– 2x + 1) – (y
2
+ 2ay + a
2
)]
= 3xy [(x – 1)
2

– (y + a)
2
]
= 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)]
= 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1)
3. Bµi tËp
Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
a) 2a
2
b + 4ab
2
– a
2
c + ac
2
– 4b
2
c + 2bc
2
– 4abc
b) 8x
3
(x + z) – y
3
(z + 2x) – z
3
(2x - y)
c) [(x
2
+ y

2
)(a
2
+ b
2
) + 4abxy]
2
– 4[xy(a
2
+ b
2
) + ab(x
2
+ y
2
)]
2
Bµi 8. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
- z
3
H íng dÉn
(x + y + z )
3
– x
3

– y
3
- z
3
=[(x + y + z)
3
– x
3
] – (y
3
+ z
3
)
= (x + y + z – x) [(x+ y + z)
2
+ (x + y + z)x + x
2
] – (y + z)(y
2
– yz + z
2
)
= (y+z)[ x
2
+ y
2
+ z
2
+2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x
2

+ x
2
– y
2
+ yz – z
2
]
= (y + z)(3x
2
+ 3xy + 3xz + 3yz)
= 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)]
= 3( x + y)(y + z)(x + z)
V/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng c¸ch t¸ch mét h¹ng tư thµnh hai hay nhiỊu h¹ng tư
1. P h ¬ng ph¸p
Ta ph©n tÝch mét h¹ng tư thµnh tỉng cđa nhiỊu h¹ng tư thÝch hỵp, ®Ĩ xt hiƯn nh÷ng nhãm sè h¹ng mµ ta
cã thĨ ph©n tÝch thµnh nh©n tư b»ng ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc, ®Ỉt nh©n tư chung
2. VÝ dơ: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh thµnh nh©n tư x
2
– 6x + 8
Bµi lµm
Cách 1: x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4)
Cách 2: x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 6x + 9) – 1 = (x – 3)

2
– 1 = (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4)
Cách 3: x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4)
Cách 4: x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2)
Cách 5: x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2)
2
– 2(x – 2)= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4)
3. Bµi tËp
Bµi 9 : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
a) x
2
+ 7x +10
b) x
2
– 6x + 5
c) 3x
2
– 7x – 6

d) 10x
2
– 29x + 10
Bµi 10: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
a) x
3
+ 4x
2
– 29x + 24
b) x
3
+ 6x
2
+ 11x + 6
c) x
2
– 7xy + 10y
Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 5
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
d) 4x
2
– 3x – 1
VI/ Ph ¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tư .
Ph ¬ng ph¸p
Ta thªm hay bít cïng mét h¹ng tư vµo ®a thøc ®· cho ®Ĩ lµm xt hiƯn n nhãm sè h¹ng mµ ta cã thĨ
ph©n tÝch ®ỵc thµnh nh©n tư chung b»ng c¸c ph¬ng ph¸p: §Ỉt nh©n tư chung, dïng h»ng ®¼ng thøc, ...
VÝ dơ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
x
4
+ 64 = x

4
+ 64 + 16x
2
– 16x
2
= (x
2
+ 8)
2
– (4x)
2
= (x
2
+ 4x + 8)(x
2
– 4x + 8)
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
a) x
4
+ 4y
4

b) x
5
+ x + 1
Bµi lµm
a) x
4
+ 4y
4

= x
4
+ 4y
4
+ 4x
2
y
2
– 4x
2
y
2
= (x + 2y)
2
– (2xy)
2
= (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)
b) x
5
+ x + 1 = (x
5
+ x
4
+ x
3
) – (x
4
+ x
3
+ x

2
) + (x
2
+ x + 1)
= x
3
(x
2
+ x + 1) – x
2
(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x +1)
= (x
2
+ x + 1)(x
3
– x
2
+1)
Bµi tËp
Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
a) x
5
+ x
4
+ 1
b) x

8
+ x
7
+ 1
c) x
8
+ x + 1
d) x
8
+ 4
Bµi 12: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
a) x
3
+ 5x
2
+ 3x – 9
b) x
3
+ 9x
2
+ 11x – 21
c) x
3
– 7x + 6
Bµi 13: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
a) x
3
- 5x
2
+ 8x – 4

b) x
3
– 3x + 2
c) x
3
– 5x
2
+ 3x + 9
d) x
3
+ 8x
2
+ 17x + 10
e) x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4
Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
a) x
3
– 2x – 4
b) 2x
3
– 12x
2
+ 7x – 2
c) x
3
+ x

2
+ 4
d) x
3
+ 3x
2
+ 3x + 2
e) x
3
+ 9x
2
+ 26x + 24
f) 2x
3
– 3x
2
+ 3x + 1
g) 3x
3
– 14x
2
+ 4x + 3
* Một số phương pháp khác
VII/ Ph ¬ng ph¸p ®Ỉt biªn sè (®Ỉt biªn phơ)
Ph ¬ng ph¸p
Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 6