Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học: 2015-2016 môn: Toán 6 trường THCS Võ Thị Sáu

<span class='text_page_counter'>(1)</span>đề chính thức. đề thi thử đại học - NĂM 2009 Môn Toán. (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề). I: PHÇN CHUNG CHO TÊT C¶ THÝ SINH . 2x  1 C©u I Cho hµm sè y  có đồ thị (C). x 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . 2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B . Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.. C©u II. 3sin 2x - 2sin x 2 sin 2 x. cos x 4 2 2  x  4x  y  6 y  9  0 2. Giải hệ phương trình :  2 . 2  x y  x  2 y  22  0 . 1. Giải phương trình:. . C©u III. 1.TÝnh tÝch ph©n sau:. 2. sin x 3  e . sin x. cos x. dx. 2. 0. 2. Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn : x +3y+5z  3 .Chứng minh rằng:. 3 xy 625 z 4  4 + 15 yz x 4  4 + 5 zx 81 y 4  4  45 5 xyz.. C©u IV. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bên hợp với đáy góc  . Tìm  để thể tích của hình chóp đạt giá trị lớn nhất.. II, PHÇN RI£NG. (ThÝ sinh chØ lµm mét trong 2 phÇn ; phÇn 1 hoÆc phÇn 2 ) Phần 1( Dành cho thí sinh theo chương trình chuẩn ) 1 2. Câu Va 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I( ; 0) . Đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình x-2y+2= 0 , AB =2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết A có hoành độ âm . 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) có phương trình .. (d1 ); .C©u VIa. x 1 y 1 z - 2   ; 2 3 1. (d 2 ) :. x - 4 y 1 z  3   6 9 3. Lập phương trình mặt phẳng chứa (d 1 ) và (d 2 ) . Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt : 10 x 2 8 x  4  m(2 x  1). x 2  1 .. Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo chương trình nâng cao ) . Câu Vb 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng (  ) và ( ' ) có phương trình . x  3  t x  -2  2 t'   '   : y  -1  2t ;  :  y  2 t' z  4  z  2  4t'   Viết phương trình đường vuông góc chung của (  ) và ( ' ) Câu VIb Giải và biện luận phương trình : mx  1 ( m 2 x 2  2mx  2)  x 3  3x 2  4 x  2. ******** HÕt ********. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Trường THPT TrÇn Nh©n T«ng. Kỳ thi thử đại học- cao đẳng n¨m 2009 (lÇn II). Hướng dẫn chấm môn toán C©u I.1. Néi dung Kh¶o s¸t hµm sè y=. §iÓm. 2x  1 x 1. 1,00. 1. Tập xác định: R\{1} 2. Sù biÕn thiªn:. 2( x  1)  (2 x  1) 3  2 ( x  1) ( x  1) 2. + ChiÒu biÕn thiªn: y ' . 0,25. Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞; 1) vµ (1;+∞) . Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị . TiÖm cËn:. lim y  lim x 1. x 1. lim y  lim x 1. x 1. 2x  1   x 1. 2x  1   x 1. 0,25. Do đó đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng. 2x  1 2 x  x  1. lim y  lim x . VËy ®­êng th¼ng y= 2 lµ tiÖm cËn ngang * B¶ng biÕn thiªn: x. 1. -∞. y' y. +∞. -. -. 2. 0,5. +∞ 2. -∞ 3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số.. I.2. Với M bất kì  (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. Tìm M để chu vi tam 1,00. giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.. . Gäi M  x0 ;2 . . 3   (C) x0  1 . * TiÕp tuyÕn t¹i M cã d¹ng: y . 3 3 ( x  x0 )  2  2 x0  1 ( x0  1). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A Lop12.net. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> C©u. Néi dung. §iÓm.  6  1;2   x0  1  . B(2x0-1; 2). ; I(1; 2). 1 6 1  2 x0  1  2.3  6 (®vdt) * Ta cã: SIAB= . IA. IB=  2 x0  1 2. 0,25. * IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB (HS tù chøng minh)..  x0  1  3 6  2 x0  1   x0  1  x0  1  3. * VËy cã hai ®iÓm M tháa m·n ®iÒu kiÖn. 0,5. M1( 1  3;2  3 ) M2( 1  3;2  3 ) Khi đó chu vi AIB = 4 3  2 6 II.1. Giải phương trình:. 3 sin 2 x  2 sin x 2 sin 2 x. cos x. * Phương trình. 3 sin 2 x  2 sin x 2 sin 2 x. cos x. . sin x  0 cos x  0. 1,00. §iÒu kiÖn: sin2x  0 => . * Từ phương trình => 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx. 0,5.  (2sin2x – 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0  2sin2x(1- cosx)+ 2sinx(cosx -1)= 0 *.  2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0. cos x  1  sin x  0 (lo¹i)    sin 2 x  sin x  0  sin x(2 cos x  1)  0 *. 0,5.  2cosx -1 =0 (do sinx  0). 1    cos  x    k 2 (kZ) 2 3 3 Giải hệ phương trình:  cos x . II.2. 1,00.  x 4  4 x 2  y 2  6 y  9  0  2  x y  x 2  2 y  22  0 * Hệ phương trình tương đương với. ( x 2  2) 2  ( y  3) 2  4 ( x 2  2) 2  ( y  3) 2  4  2  ( x  2) y  x 2  22  0 ( x 2  2  4)( y  3  3)  x 2  2  20  0 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> C©u. Néi dung. §iÓm.  x2  2  u u 2  v 2  4 Dat  * Thay vào hệ phương trình ta có:  y 3  v u.v  4(u  v)  8. 0,25. u  2 u  0 hoÆc   v  0 v  2  x  2  x  2  x  2 thế vào cách đặt ta được các nghiệm của hệ là :  ; ; ;  y  3  y  3  y  5. 0,25.  x   2 ;   y  5. 0,5.  /2. III.1. TÝnh tÝch ph©n. sin x 3  e .sin x. cos xdx 2. 1,00. 0. §Æt. sin2x= t => dt= 2sinx. cosxdx. §æi cËn: x=0 => t=0;. 1  t  u du  dt    1 t §Æt  1 t  2 e dt  dv v  2 e III.2. 1. 1 t x=  t  1 Khi đó I=  e (1  t )dt 20 2 . 0,5. 1 Dïng tÝch ph©n tõng phÇn ta cã I= e . 2. 0,5. Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn : x +3y+5z  3 . Chứng minh rằng: 3 xy. 1,00. 625 z 4  4. + 5 zx. 81 y 4  4  15 yz x 4  4  45 5 xyz. Bất đẳng thức 4 4 4  x 2  2 + 9 y 2  2 + 25 z 2   x 25 z 2 9y. 45. 2 36 2 2 2 VT  ( x  3 y  5 z ) 2  (  .  ) 2  9(.3 x.3 y.5 z )  3 x 3 y 5z ( x.3 y.5 z ) 2. Lop12.net. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> C©u. Néi dung §Æt t =. 3. §iÓm. ( x.3 y.5 z ) 2 3. ta cã. 3.  x  3 y  5z  ( x.3 y.5 z )     1 do đó t  1 3  . §iÒu kiÖn .. 0 < t  1. XÐt hµm sè f(t)= 9t +. DÊu b»ng x¶y ra khi: t=1 hay x=1; y=. IV. 36 t. =45. 0,5. 1 1 ; z= . 3 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a,mặt bên hợp với đáy góc. 1,00.  . Tính  để thể tích V của hình chóp đạt giá trị lớn nhất. * TÝnh V= * Ta cã. 4 3 tan  . a . 3 (2  tan 2  ) 3. 0,5. tan 2  1 1 1 tan 2   . .  2 2 2 2 3 2  tan  2  tan  2  tan  27 (2  tan  ).  V max . 4a 3 3 27. khi đó tan 2  =1   = 45 o. 1  2 . Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0  ; AB có phương trình: x- 2y+2= 0; Va.1. 0,5. 1,00. AB= 2AD. Tìm tọa độ A; B; C; D biết A có hoành độ âm 5 2 Ta cã tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®­êng trßn (C) cã t©m I vµ b¸n kÝnh R= IA.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB ,khi đó IH=. 0, 5. 2. 1 25  2 đường tròn (C) có phương trình là:  x    y   A(-2; 0); 2 4 . 0, 5.  B(2; 2). Do C đối xứng với A qua I qua đó C(3; 0) Do D đối xứng với B qua I qua đó D(-1;-2) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đường thẳng (d1) và (d2)có phương trình: Va.2.  x  1  2t  d1:  y  1  3t z  2  t . x  4 y 1 z  3   ; d2: 6 9 3. 1,00. Hãy lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và (d2) + Ta cã: (d1) // (d2) ( HS ph¶i chøng minh ®­îc). Lop12.net. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> C©u. Néi dung. §iÓm. Gọi mặt phẳng cần tìm là (P).Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoÆc n»m trªn mÆt ph¼ng (P) lµ: ph¸p tuyÕn lµ:. .  u1 (2;3;1). vµ M 1M 2 (3;2;1).VËy (P) cã vÐc t¬. .  n  u1 , M 1M 2  (1;1;5). 0,25 0, 5. Mặt phẳng (P) qua M1(1; -1; 2) Vậy phương trình (P) là:  x+ y- 5z +10 =0 VIa. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:. 1,00. m( 2x+1). x 2  1 =10x 2 8 x  4 NhËn xÐt : 10x 2 8 x  4 = 2(2x+1)2 +2(x2 +1) 2x  1. Phương trình tương đương với : 2 ( §Æt. 2x  1 x 1 2. x2 1. ) 2  m(. x2 1. )20..  t §iÒu kiÖn : -2< t  5 . Rót m ta cã: m=. . LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè trªn  2, 5 tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ: 4  m  Vb.1. 2x  1. . 12 5. 2t 2  2 t. 0,25. 0,75. , ta có kết quả của m để phương hoÆc -5 < m  4. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ Oxy cho h×nh vu«ng ABCD biÕt c¸c ®iÓm M(2;1) ; N(4; -2) ; P(2; 0); Q(1; 2) lần lượt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD. Hãy lập phương tr×nh c¸c c¹nh cña h×nh vu«ng trªn.. 1,00. . + Gi¶ sö ®­êng th¼ng AB qua M vµ cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn lµ n ( a; b). . (a2 + b2  0) => véc tơ pháp tuyến của BC là: n1 ( b; a ) .Phương trình AB có d¹ng: a(x-2) +b(y-1)= 0. 0,5.  ax + by -2a-b =0 BC cã d¹ng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0  - bx + ay +4b + 2a =0 Do ABCD lµ h×nh vu«ng nªn d(P; AB) = d(Q; BC) Hay. b a2  b2. . 3b  4a. b  2a  b  a a2  b2. Trường hợp 1: b= -2a; Phương trình các cạnh cần tìm là: AB: x- 2y = 0 ;. CD : x- 2y-2 =0. BC: 2x +y – 6= 0; AD: 2x + y -4 =0 Trường hợp 2: b= -a . Khi đó. Vb 2. AB: -x + y+ 1 =0. BC: -x –y + 2= 0. AD: -x –y +3 =0. CD: -x + y+ 2 =0. x  3  t  Cho ():  y  1  2t z  4 .  x  2  2u  ; (’)  y  2u  z  2  4u . Viết phương trình đường vuông góc chung của () và (’) Lop12.net. 0,25 0,25. 1,0 0.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> C©u. Néi dung. + Gäi ®­êng vu«ng gãc chung cña () vµ (’) lµ d.  .  1  Khi đó u d  u , u '  (4;2;1) 2. §iÓm. 0,25. + Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa () vµ (d) th× () qua N(3; -1; 4) vµ cã vÐc t¬ ph¸p. .   . tuyÕn: n1  u , u d  (2;1;10) Vậy phương trình của () là: 2x- y + 10z - 47 =0. 0,25. + Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa (’) vµ (d) th× () qua M(-2; 0; 2) vµ cã vÐct¬ ph¸p. . . . . tuyÕn: n2  u ' , u d  (6;18;12). 0,25. Vậy phương trình của () là: x + 3y- 2z + 6 =0 Do đó đường vuông góc chung của  và ’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: 2x – y + 10z – 47 = 0 vµ x + 3y – 2z + 6 =0 VI.b. +Lập phương trình tham số của (d).(HS tự làm). 0,25. Gi¶i vµ biÖn luËn: mx  1 (m 2 x 2  2mx  2)  x 3  3x 2  4 x  2. 1,0 0. ( mx  1 ) 3  mx  1  ( x  1) 3  ( x  1). * Phương trình tương đương với:. Xét hàm số: f(t)= t 3  t , hàm số này đồng biến trên R.. 0,5. f ( mx  1 )  f ( x  1)  mx  1  x  1 * Giải và biện luận phương trình trên ta có kết quả cần tìm. +  1  m  1 phương trình có nghiệm x=. 2 m 1. +m=-1 phương trình nghiệm x  1 Các trường hợp còn lại phương trình vô nghiệm. Chý ý học sinh làm cách khác kết quẩ đúng vẫn được điểm tối đa. Lop12.net. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>