Bất đẳng thức Bunhiacopxki - GV: Phạm Văn Minh

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bất đẳng thức Bunhiacopxki. GV: Phaïm Vaên Minh. Bất đẳng thức Bunhiacôpski: °Đối vói hai cặp số: (ax+by)2  (a2+ b2)(x2+y2), với mọi số thực a,b,x,y. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x y  a b °Đối với hai bộ ba số: (ax+by+cz)2  (x2+a2+b2 )( x2+ x2+1) (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) với mọi số thực a,b,c,x,y,z Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x y z   a b c ° Đối với hai bộ n số: với các số a1,a2,...an và b1,b2,...bn tuỳ ý, ta có: (a1b1+a2b2+...+anbn)2  (a12+a22+...+an2)( b12+b22+...+bn2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:. a b. 1. 1.  ..... . a b. n. n. BÀI TOÁN: ví dụ 1: cho x,y thoả 3x+4y=10. Chứng minh: 4  x2+y2 . Hướng dẫn: 2 10 = (3x+4y)2  (32+42)(x2+y2)=25(x2+y2) 100 4  x2+y2  25 ví dụ 2 cho x2+y2=1 chứng minh: /x+2y/  5 ví dụ 3: cho a> c >0,b >c >0 ,Chứng minh: (a  c)(b  c) + (a  c)(b  c)  2 ab Hướng dẫn: Ta có: (a  c)(b  c) = a  c b  c. (a  c)(b  c) = a  c b  c nên ta có: ( (a  c)(b  c) + (a  c)(b  c) )2  (a+c+a-c)(b+c+b-c)=4ab.. Bài tập: Bài 1:. Cho a+b+c+d=4. Chứng minh : a2+b2+c2+d2  4. Hướng dẫn: sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho bộ số 1,1,1,1,a,b,c,d ta có: (12+12+12+12)(a2+ b2+ c2+ d2)  (a+b+c+d)2 =16. Bài 2: Cho a2+b2+c2+d2=1 .Chứng minh: (x2+ax+b)2+( x2+cx+d)2  (2x2+1)2 , với mọi số thực x. 2/2/2018. Trang 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bất đẳng thức Bunhiacopxki. GV: Phaïm Vaên Minh. Hướng dẫn: )( x2+1) 2 2 2 2 2 2 ( x +cx+d) ≤(x +c +d )( x + x2+1). Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên (x2+ax+b)2≤(x2+a2+b2 ta có: Bài 3:. x2+. (x2+ax+b)2+( x2+cx+d)2  (2x2 +1)(2x2+ a2+b2+c2+d2) => (đpcm). Chứng minh rằng: 1/ 2(a2+b2)  (a+b)2 2/ 3(a2+b2+c2 )  (a+b+c)2 Hướng dẫn: 2(a 2  b 2 )  (12  11 )(a 2  b 2 )  (a  b) 2 . câu hai tương tự.. Bài 4:. Với mọi số thực a,b,c khác 0.Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c      b2 c2 a2 c a b. Hướng dẫn:. a a b c b c2        b2 c2 a2 b2 c2 a2  2.  Bài 5:. 2. 2. 2. 2.  a 2 b 2 c 2  2  2  2 c a  b.  ab bc ca     .  bc ca ab. a b c a b c      . c a b c a b. Cho a+b+c= 6. Chứng minh rằng: a2+b2+c2  12. Hướng dẫn: 1 1 1 a 2  b 2  c 2  (12  12  12 )(a 2  b 2  c 2 )  (a  b  c) 2  .6 2  12. 3 3 3. Bài 6: Cho a2+b2+c2 =1 .Chứng minh: a+3b+5c  35 Hướng dẫn: a  3b  5c  (12  3 2  5 2 )(a 2  b 2  c 2 )  35. Bài 7: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 abc    , a, b, c 0 bc ac ab 2 Hướng dẫn: 2 2 2 (b  c)(c  a)(a  b) a  b  c  (a  b  c) 2  b  c a  c b  a .  Bài 8:. a2 b2 c2 (a  b  c) 2 abc     bc ac ba bccaab 2. Chứng minh rằng a3 b3 c3 a2  b2  c2    , a, b, c bc ac ab 2. Hướng dẫn:. 2/2/2018. Trang 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bất đẳng thức Bunhiacopxki bdt . GV: Phaïm Vaên Minh a b c a  b  c2    ab  ac bc  ba ca  cb 2 4. 4. 4. 2. 2. Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 4 4 4 (ab  ac)  (bc  ba)  (ca  cb) a  b  c   a 2  b 2  c 2  ab  ac bc  ba ca  cb . . . . 2. . 2. a3 b3 c3 a4 b4 c4 a2  b2  c2 suyra :       b  c a  c a  b ab  ac bc  ba ca  cb (ab  ac)  (bc  ba )  (ca  cb) . (a 2  b 2  c 2 )(ab  bc  ca) a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca) 2. Bài 9: 3 a+b+c =3.Cmr 4a  3  4b  3  4c  3  3 7 4 Hướng dẫn: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:. Cho a,b,c ≥ . . . 2. 4a  3  4b  3  4c  3  (1  1  1)(4a  3  4b  3  4c  3)  34(a  b  c)  9  3(12  9)  63.. Bài 10: Cho a2+b2=1 .Chứng minh: a b  1  b a  1  2  2 Hướng dẫn: Áp dụng BĐT BCS 2 lần:. a. . 2. b  1  b a  1  (a 2  b 2 )(b  1  a  1).  2  1.a  1.b  2  12  12 a 2  b 2  2  2 =>(đpcm).. 2/2/2018. Trang 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>