Ôn thi Đại học & Cao đẳng môn Toán - Chương VIII: Phương trình lượng giác không mẫu mực

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHÖÔNG VIII PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TOÅNG HAI SOÁ KHOÂNG AÂM AÙ p duï n g Baø i 156. Ta coù :. ⎧A ≥ 0 ∧ B ≥ 0 thì A = B = 0 ⎩A + B = 0. Neá u ⎨. Giaû i phöông trình: 4 cos2 x + 3tg 2 x − 4 3 cos x + 2 3tgx + 4 = 0 (*). (. (*) ⇔ 2 cos x − 3. ) +( 2. 3tgx + 1. ). 2. =0. ⎧ 3 ⎪cos x = ⎪ 2 ⇔⎨ ⎪tgx = − 1 ⎪⎩ 3 π ⎧ ⎪⎪ x = ± 6 + k2π, k ∈ ⇔⎨ ⎪tgx = − 1 ⎪⎩ 3 ⇔x=−. Baø i 157. π + k2π, k ∈ 6. Giaû i phöông trình: 8 cos 4x.cos2 2x + 1 − cos 3x + 1 = 0 ( *). Ta coù : ( *) ⇔ 4 cos 4x (1 + cos 4x ) + 1 + 1 − cos 3x = 0. ⇔ ( 4 cos2 4x + 4 cos 4x + 1) + 1 − cos 3x = 0 2. ⇔ ( 2 cos 4x + 1) + 1 − cos 3x = 0 1 1 ⎧ ⎧ ⎪cos 4x = − ⎪cos 4x = − ⇔⎨ 2⇔⎨ 2 ⎪⎩cos 3x = 1 ⎪⎩3x = k2π, k ∈ 1 ⎧ ⎪⎪cos 4x = − 2 ⇔⎨ ⎪ x = k2π , k ∈ (có 3 đầ u ngọ n cung) ⎪⎩ 3. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1 ⎧ = − cos 4x ⎪⎪ 2 ⇔⎨ π 2 2π ⎪x = − +m2π hay x = m2π hay x = + m2π , m ∈ ⎪⎩ 3 3 2π ⇔x=± + m2π, m ∈ 3 (ta nhậ n k = ±1 và loạ i k = 0 ). Baø i 158. Giaû i phöông trình: sin 2 3x sin 2 x + cos 3x sin3 x + sin 3x cos3 x ) = sin x sin 2 3x ( *) ( 3sin 4x Ta coù : cos 3x.sin3 3x + sin 3x.cos3 x = ( 4 cos3 x − 3 cos x ) sin 3 x + ( 3 sin x − 4 sin 3 x ) cos3 x = −3 cos x sin 3 x + 3 sin x cos3 x = 3 sin x cos x ( cos2 x − sin 2 x ) 3 3 sin 2x. cos 2x = sin 4x 2 4 1 Vaä y: ( *) ⇔ sin2 x + sin2 3x = sin x sin2 3x vaø sin 4x ≠ 0 4. =. 2. 1 1 ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ sin2 3x − sin x ⎟ − sin4 3x + sin2 3x = 0 vaø sin 4x ≠ 0 4 4 ⎝2 ⎠ 2. 1 ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ sin2 3x − sin x ⎟ + sin2 3x (1 − sin2 3x ) = 0 vaø sin 4x ≠ 0 4 ⎝2 ⎠ 2. 1 ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ sin 2 3x − sin x ⎟ + sin 2 6x = 0 vaø sin 4x ≠ 0 16 ⎝2 ⎠ ⎧sin 4x ≠ 0 ⎪1 ⎪ ⇔ ⎨ sin2 3x = sin x ⎪2 ⎪⎩sin 3x = 0 ∨ cos 3x = 0. ⎧sin 4x ≠ 0 ⎧sin 4x ≠ 0 ⎪ ⎪ ⎪1 ⇔ ⎨sin 3x = 0 ∨ ⎨ = sin x ⎪sin x = 0 (VN) ⎪ 2 ⎩ ⎪⎩sin 3x = ±1 ⎧sin 4x ≠ 0 ⎪ 1 ⎪ ⇔ ⎨sin x = 2 ⎪ ⎪⎩3 sin x − 4 sin 3 x = ±1. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ⎧sin 4x ≠ 0 ⎪ ⇔⎨ 1 ⎪⎩sin x = 2 ⎧sin 4x ≠ 0 ⎪ ⇔⎨ π 5π ⎪⎩ x = 6 + k2π ∨ 6 + k2π, k ∈ π 5π ⇔ x = + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ 6 6. Trường hợp 2. Phương pháp đối lập. ⎧A ≤ M ≤ B thì A = B = M ⎩A = B. Neáu ⎨ Baø i 159. Giaû i phöông trình: sin 4 x − cos4 x = sin x + cos x (*). Ta coù : (*) ⇔ sin 2 x − cos2 x = sin x + cos x ⇔ − cos 2x = sin x + cos x ⎧⎪cos 2x ≤ 0 ⇔⎨ 2 ⎪⎩cos 2x = 1 + 2 sin x cos x ⎧⎪cos 2x ≤ 0 ⎧cos 2x ≤ 0 ⇔⎨ ⇔⎨ 2 ⎪⎩− sin 2x = 2 sin 2x ⎩sin 2x = 0 (cos 2x = ± 1 ) ⇔ cos 2x = −1 π ⇔ x = + kπ, k ∈ 2. Caùc h khaù c Ta coù sin 4 x − cos4 x ≤ sin 4 x ≤ sin x ≤ sin x + cos x Do đó. Baø i 160:. ⎧⎪cos x = 0 π (*) ⇔ ⎨ 4 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ 2 ⎪⎩sin x = sin x Giaû i phöông trình: ( cos 2x − cos 4x ) = 6 + 2 sin 3x (*) 2. Ta coù : (*) ⇔ 4 sin2 3x.sin2 x = 6 + 2sin 3x • Do: sin2 3x ≤ 1 vaø sin2 x ≤ 1 neâ n 4 sin2 3x sin2 x ≤ 4 • Do sin 3x ≥ −1 neân 6 + 2 sin 3x ≥ 4 Vaäy 4 sin2 3x sin2 x ≤ 4 ≤ 6 + 2sin 3x Dấu = của phương trình (*) đú n g khi và chỉ khi. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ⎧sin 2 3x = 1 ⎧sin 2 x = 1 ⎪ 2 ⎨sin x = 1 ⇔ ⎨ ⎩sin 3x = −1 ⎪sin 3x = −1 ⎩ π ⎧ π ⎪ x = ± + k2π, k ∈ ⇔⎨ ⇔ x = + k2π, k ∈ 2 2 ⎪⎩sin 3x = −1. cos3 x − sin 3 x = 2 cos 2x (*) sin x + cos x Ñieà u kieän : sin x ≥ 0 ∧ cos x ≥ 0 Ta coù : (*) ⇔ ( cos x − sin x )(1 + sin x cos x ) = 2 ( cos2 x − sin 2 x ) sin x + cos x. Baø i 161. Giaû i phöông trình:. (. ⎡ cos x − sin x = 0 ⇔⎢ ⎢⎣1 + sin x cos x = 2 ( cos x + sin x ) sin x + cos x π Ta coù : i (1) ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ, k ∈ 4 i Xeù t (2) Ta coù : khi sin x ≥ 0 thì sin x ≥ sin x ≥ sin2 x. (. cos x ≥ cos x ≥ cos2 x sin x + cos x ≥ 1 vaø sin x + cos x ≥ 1 Vaäy Suy ra veá phaû i cuûa (2) thì ≥ 2 1 3 Maø veá traù i cuûa (2): 1 + sin 2x ≤ 2 2 Do đó (2) vô nghiệm π Vaäy : (*) ⇔ x = + kπ, k ∈ 4 Tương tự. Baø i 162:. Giaû i phöông trình:. Ta coù : (*). 3 − cos x − cos x + 1 = 2 (*). ⇔ 3 − cos x = 2 + cos x + 1 ⇔ 3 − cos x = 5 + cos x + 4 cos x + 1 ⇔ −2 ( cos x + 1) = 4 cos x + 1. Ta coù : −2 ( cos x + 1) ≤ 0 ∀x maø 4 cos x + 1 ≥ 0 ∀x Do đó dấ u = củ a (*) xả y ra ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π , k ∈. Lop12.net. ). (1) (2). ).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Baø i 163:. Giaû i phöông trình:. cos 3x + 2 − cos2 3x = 2 (1 + sin 2 2x ) (*). Do bấ t đẳ n g thức Bunhiacố p ski:. AX + BY ≤ neâ n :. A 2 + B2 . X 2 + Y 2. 1 cos 3x + 1 2 − cos2 3x ≤. 2. cos2 3x + ( 2 − cos2 3x ) = 2. Daáu = xaûy ra ⇔ cos 3x = 2 − cos2 3x ⎧cos 3x ≥ 0 ⇔⎨ 2 2 ⎩cos 3x = 2 − cos 3x. Maë t khaùc :. ⎧cos 3x ≥ 0 ⇔⎨ ⇔ cos 3x = 1 ⎩cos 3x = ±1 2 (1 + sin 2 2x ) ≥ 2. daá u = xaû y ra ⇔ sin 2x = 0 Vaäy :. cos 3x + 2 − cos2 3x ≤ 2 ≤ 2 (1 + sin 2 2x ). daá u = cuû a (*) chæ xaû y ra khi: cos 3x = 1 ∧ sin 2x = 0. ⎧cos 3x = 1 ⎪ ⇔⎨ kπ ⎪⎩ x = 2 , k ∈ ( có 4 đầ u ngọ n cung ) ⇔ x = 2mπ , m ∈ Baø i 164:. π⎞ ⎛ Giaû i phöông trình: tg 2 x + cotg 2 x = 2 sin5 ⎜ x + ⎟ (*) 4⎠ ⎝. Ñieà u kieän : sin 2x ≠ 0 • Do bấ t đẳ n g thức Cauchy: tg 2 x + cotg 2 x ≥ 2 daá u = xaû y ra khi tgx = cotgx π⎞ ⎛ • Maë t khaùc : sin ⎜ x + ⎟ ≤ 1 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ neâ n 2 sin5 ⎜ x + ⎟ ≤ 2 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ daá u = xaû y ra khi sin ⎜ x + ⎟ = 1 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ Do đó : tg 2 x + cotg 2 x ≥ 2 ≥ 2 sin5 ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ ⎧tgx = cotgx ⎪ Daáu = cuûa (*) xaû y ra ⇔ ⎨ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ x + 4 ⎟ = 1 ⎝ ⎠ ⎩. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ⎧tg 2 x = 1 ⎪ ⇔⎨ π ⎪ x = + k2π , k ∈ ⎩ 4 π ⇔ x = + k2π, k ∈ 4. Trường hợp 3: AÙp duïng:. ⎧ A ≤ M vaø B ≤ M ⎧A = M thì ⎨ ⎩A + B = M + N ⎩B = N ⎧sin u = 1 sin u + sin v = 2 ⇔ ⎨ ⎩sin v = 1 ⎧sin u = 1 sin u − sin v = 2 ⇔ ⎨ ⎩sin v = − 1 ⎧sin u = − 1 sin u + sin v = − 2 ⇔ ⎨ ⎩sin v = − 1. Neáu ⎨. Tương tự cho các trường hợp sau. sin u ± cos v = ± 2 ; cos u ± cos v = ± 2. Baø i 165: Ta coù :. Giaû i phöông trình: cos 2x + cos. ( *) ⇔ cos 2x + cos. 3x =2 4. 3x − 2 = 0 ( *) 4. 3x ≤1 4 neâ n daáu = cuûa (*) chæ xaû y ra ⎧ x = kπ , k ∈ ⎧cos 2x = 1 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ x = 8mπ, m ∈ 8hπ 3x ⎪⎩cos 4 = 1 ⎪⎩ x = 3 , h ∈ 8hπ 8h Do : kπ = ⇔k= 3 3 để k nguyê n ta chọ n h = 3m ( m ∈ Ζ ) ( thì k = 8m ) Do cos 2x ≤ 1 vaø cos. Caù c h khaù c ⎧cos 2x = 1 ⎪ ⇔ ⎨ 3x cos = 1 ⎪⎩ 4 Baø i 166:. ⎧ x = kπ , k ∈ ⎪ ⎨ 3kπ ⎪⎩cos 4 = 1. ⇔ x = 8mπ, m ∈. Giaû i phöông trình: cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos x.cos 2x.cos 3x + 2 ( * ). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> cos 2x + cos 4x + cos 6x. = 2 cos 3x cos x + 2 cos2 3x − 1 = 2 cos 3x ( cos x + cos 3x ) − 1. = 4 cos 3x.cos 2x.cos x − 1 1 Vaäy : cos 3x.cos 2x.cos x = ( cos 2x + 6 cos 4x + cos 6x + 1) 4 Do đó : 1 9 ( *) ⇔ cos 2x + cos 4x + cos 6x = ( cos2x + cos 4x + cos6x ) + 4 4 3 9 ⇔ ( cos 2x + cos 4x + cos 6x ) = 4 4 ⇔ cos 2x + cos 4x + cos 6x = 3 ⎧cos 2x = 1 ⎧2x = k2π, k ∈ (1) ⎪ ⎪ ⇔ ⎨cos 4x = 1 ⇔ ⎨cos 4x = 1 (2) ⎪cos 6x = 1 ⎪cos 6x = 1 (3) ⎩ ⎩ ⇔ 2x = k2π, k ∈ ⇔ x = kπ, k ∈ ( Theá (1) vaøo (2) vaø (3) ta thaáy hieån nhieâ n thoûa ) Baø i 167: Giaû i phöông trình: cos 2x − 3 sin 2x − 3 sin x − cos x + 4 = 0 ( * ) Ta coù :. ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 3 1 cos 2x + sin 2x ⎟⎟ + ⎜⎜ sin x + cos x ⎟⎟ 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠. ( *) ⇔ 2 = ⎜⎜ −. π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ 2 = sin ⎜ 2x − ⎟ + sin ⎜ x + ⎟ 6⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ ⎧ π⎞ ⎛ π π ⎧ 2x − = + k2π, k ∈ ⎪sin ⎜ 2x − 6 ⎟ = 1 ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ 6 2 ⇔⎨ ⇔⎨ π ⎪sin ⎛ x + π ⎞ = 1 ⎪ x + = π + h2π, h ∈ ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎪⎩ 6 2 6⎠ ⎝. π ⎧ ⎪⎪ x = 3 + kπ, k ∈ π ⇔⎨ ⇔ x = + hπ, h ∈ 3 ⎪ x = π + h2π, h ∈ ⎪⎩ 3 Caù c h khaù c ⎧ π⎞ ⎛ ⎧ π⎞ ⎛ sin ⎜ 2x − ⎟ = 1 ⎪sin ⎜ 2x − 6 ⎟ = 1 ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ 6⎠ ⎝ ( *) ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎪sin ⎛ x + π ⎞ = 1 ⎪ x + π = π + h2π, h ∈ ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎪⎩ 6⎠ 6 2 ⎝. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ⎧ π⎞ ⎛ ⎪⎪sin ⎜ 2x − 6 ⎟ = 1 ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪ x = π + h2π, h ∈ ⎪⎩ 3. Baø i 168:. ⇔x=. π + hπ, h ∈ 3. Giaû i phöông trình: 4 cos x − 2 cos 2x − cos 4x = 1 ( * ). Ta coù : ( * ) ⇔ 4 cos x − 2 ( 2 cos2 x − 1 ) − (1 − 2 sin 2 2x ) = 1 ⇔ 4cosx − 4 cos2 x + 8 sin 2 x cos2 x = 0 ⇔ cos x = 0 hay 1 − cos x + 2 sin 2 x cos x = 0. ⇔ cos x = 0 hay 1 + cos x ( 2 sin2 x − 1) = 0 ⇔ cos x = 0 hay 1 − cos x cos 2x = 0 ( * *) 1 ⇔ cos x = 0 hay 1 − ( cos 3x + cos x ) = 0 2 ⇔ cos x = 0 ∨ cos 3x + cos x = 2 ⎧cos 3x = 1 ⇔ cos x = 0 ∨ ⎨ ⎩cos x = 1. ⎧cos x = 1 ⇔ cos x = 0 ⇔ ⎨ 3 ⎩4 cos x − 3 cos x = 1 ⇔ cos x = 0 ∨ cos x = 1 π ⇔ x = + kπ ∨ x = k2π, k ∈ 2 Caùc h khaù c ( * *) ⇔ cos x = 0 hay cos x cos 2x = 1 ⎧cos x = 1 ⎧cos x = − 1 ⇔ cos x = 0 ∨ ⎨ ∨⎨ ⎩cos 2x = 1 ⎩cos 2x = − 1 ⎧ x = k2π, k ∈ ⎧ x = π + k2π, k ∈ π ⇔ x = + kπ, k ∈ ∨ ⎨ ∨⎨ 2 ⎩cos 2x = 1 ⎩cos 2x = − 1 π ⇔ x = + kπ ∨ x = k2π, k ∈ 2 Baø i 169: Giaû i phöông trình: 1 tg2x + tg3x + = 0 ( *) sin x cos 2x cos 3x Ñieà u kieän : sin 2x cos 2x cos 3x ≠ 0 Lú c đó : sin 2x sin 3x 1 + + =0 ( *) ⇔ cos 2x cos 3x sin x.cos 2x.cos 3x ⇔ sin 2x sin x cos 3x + sin 3x sin x.cos 2x + 1 = 0. ⇔ sin x ( sin 2x cos 3x + sin 3x cos 2x ) + 1 = 0. Lop12.net. ( loạ i ).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> ⇔ sin x.sin 5x = −1 1 ( cos 6x − cos 4x ) = −1 2 ⇔ cos 6x − cos 4x = 2 ⇔−. ⎧cos 6x = 1 ⇔⎨ ⇔ ⎩cos 4x = −1. ⎧t = cos 2x ⎪ 3 ⎨4t − 3t = 1 ⇔ ⎪ 2 ⎩2t − 1 = −1. ⎧t = cos 2x ⎪ 3 ⎨4t − 3t = 1 ⎪ ⎩t = 0. Do đó : (*) vô nghiệm . Caùc h khaù c. ⎧sin x = 1 ⎧sin x = − 1 ⇔ sin x. sin 5x = −1 ⇔ ⎨ hay ⎨ ⎩sin 5x = − 1 ⎩sin 5x = 1 π π ⎧ ⎧ ⎪ x = + k2π, k ∈ ⎪ x = − + k2π, k ∈ hay ⎨ ⇔⎨ 2 2 ⎪⎩sin 5x = − 1 ⎪⎩sin 5x = 1 ⇔ x ∈∅. Baø i 170:. Giaû i phöông trình: cos2 3x.cos 2x − cos2 x = 0 ( * ). 1 1 (1 + cos 6x ) cos 2x − (1 + cos 2x ) = 0 2 2 ⇔ cos 6x cos 2x = 1 1 ⇔ ( cos 8x + cos 4x ) = 1 2 ⇔ cos 8x + cos 4x = 2. Ta coù : ( *) ⇔. ⎧cos 8x = 1 ⇔⎨ ⎩cos 4x = 1 ⎧2 cos2 4x − 1 = 1 ⇔⎨ ⎩cos 4x = 1 ⎧cos2 4x = 1 ⇔⎨ ⎩cos 4x = 1 ⇔ cos 4x = 1 ⇔ 4x = k2π, k ∈ kπ ,k ∈ ⇔x= 2 Caùc h khaù c ⇔ cos 6x cos 2x = 1 ⎧cos 2x = 1 ⎧cos 2x = −1 ⇔⎨ hay ⎨ ⎩cos 6x = 1 ⎩cos 6x = −1. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ⎧2x = k2π, k ∈ ⎧2x = π + k2π, k ∈ ⇔⎨ hay ⎨ ⎩cos 6x = 1 ⎩cos 6x = −1 kπ x= ,k ∈ 2 Caùc h khaù c ⎧cos 8x = 1 ⎧cos 8x = 1 ⇔⎨ ⎨ ⎩cos 4x = 1 ⎩4x = k2π, k ∈ kπ ⇔x= ,k ∈ 2. Trường hợp 4: DUØNG KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ x y = a laø haøm giaûm khi 0< a <1. Do đó ta có sin x. m. cos x. m. < sin x. n. < co s x. sin x. m. ≤ sin x. cos x. m. ≤ co s x. n. ⇔ n > m, ∀x ≠ n. π 2. ⇔ n > m, ∀x ≠. + kπ , k ∈. π 2. + kπ , k ∈. ⇔ n ≥ m, ∀x n. ⇔ n ≥ m, ∀x. x2 = cos x ( *) Baø i 171: Giaû i phöông trình: 1 − 2 x2 + cos x Ta coù : ( *) ⇔ 1 = 2 x2 y= + cos x treâ n R Xeù t 2 Ta coù : y ' = x − sin x y '' = 1 − cos x ≥ 0 ∀x ∈ R vaø Do đó y’(x) là hà m đồ n g biế n trê n R Vaäy ∀x ∈ ( 0, ∞ ) : x > 0 neâ n y ' ( x ) > y ' ( 0 ) = 0 ∀x ∈ ( −∞, 0 ) : x < 0 neâ n y ' ( x ) < y ' ( 0 ) = 0. Do đó :. x2 + cos x ≥ 1 ∀x ∈ R Vaäy : y = 2 Daáu = cuûa (*) chæ xaû y ra taï i x = 0 Do đó ( * ) ⇔ x = 0 •. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Baø i 172: Giaû i phöông trình sin 4 x + sin 6 x = sin 8 x + sin10 x (*). Ta coù 4 8 2 ⎪⎧sin x ≥ sin x vaø daá u =xaû y ra khi vaø chæ khi sin x = 1hay sinx = 0 ⎨ 6 10 2 ⎪⎩ sin x ≥ sin x vaø daá u =xaû y ra khi vaø chæ khi sin x = 1 hay sinx = 0 2 ⇔ sin x = 1 ∨ sinx = 0. ⇔x= ±. π. 2. + k 2π. ∨ x = k 2π , k ∈. Caù c h khaù c (*) ⇔ sin 4 x = 0 hay 1+ sin 2 x = sin 4 x + sin 6 x ⇔ sin x = 0 hay sin 2 x =1. BAØI TAÄP Giaû i caù c phöông trình sau 1.. lg ( sin 2 x ) − 1 + sin 3 x = 0. 4.. π⎞ ⎛ sin 4x − cos 4x = 1 + 4 2 sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ 1 sin2 x + sin 2 3x = sin x. sin 2 3x 4 sin x π = cos x. 5.. 2 cos x + 2 sin 10x = 3 2 + 2 cos 28x. sin x. 6.. ( cos 4x − cos 2x ). 7.. sin x + cos x = 2 ( 2 − sin 3x ). 8.. sin 3x ( cos 2x − 2 sin 3x ) + cos 3x (1 + sin 2x − 2 cos 3x ) = 0. 9.. tgx + tg2x = − sin 3x cos 2x. 10.. 2 log a ( cot gx ) = log 2 ( cos x ). 2. 3.. 2. = 5 + sin 3x. 12.. ⎡ π⎤ 2sin x = cos x vớ i x ∈ ⎢0, ⎥ ⎣ 2⎦ 13 14 cos x + sin x = 1. 13.. cos 2x − cos 6x + 4 ( sin 2x + 1) = 0. 14.. sin x + cos x = 2 ( 2 − cos 3x ). 15.. sin 3 x + cos3 x = 2 − sin 4 x. 16. 17.. cos2 x − 4 cos x − 2x sin x + x 2 + 3 = 0 sin x 2 + sin x = sin2 x + cos x. 18.. 3 cot g 2 x + 4 cos2 x − 2 3 cot gx − 4 cos x + 2 = 0. 11.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>