Ôn thi Đại học & Cao đẳng môn Toán - Chương VII: Phương trình lượng giác chứa căn và phương trình lượng giác chứa giá trị tuyệt đối

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHÖÔNG VII PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VAØ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢ N G GIÁ C CHỨ A CĂ N Caù c h giaû i :. Á p dụ n g cá c cô n g thứ c ⎧A ≥ 0 ⎧B ≥ 0 A = B⇔⎨ ⇔⎨ ⎩A = B ⎩A = B ⎧B ≥ 0 A =B⇔⎨ 2 ⎩A = B Ghi chú : Do theo phương trình chỉnh lý đã bỏ phầ n bấ t phương trình lượ n g giác nê n ta xử lý điều kiệ n B ≥ 0 bằ n g phương phá p thử lạ i và chú n g tô i bỏ các bà i toán quá phức tạ p . Baø i 138 : Giaû i phöông trình. ( *) ⇔. 5 cos x − cos 2x + 2 sin x = 0 ( *). 5 cos x − cos 2x = −2 sin x. ⎧sin x ≤ 0 ⇔⎨ 2 ⎩5 cos x − cos 2x = 4 sin x ⎧⎪sin x ≤ 0 ⇔⎨ 2 2 ⎪⎩5 cos x − 2 cos x − 1 = 4 1 − cos x ⎧sin x ≤ 0 ⇔⎨ 2 ⎩2 cos x + 5 cos x − 3 = 0 ⎧sin x ≤ 0 ⎪ ⇔⎨ 1 ⎪⎩cos x = 2 ∨ cos x = −3 ( loạ i ) ⎧sin x ≤ 0 ⎪ ⇔⎨ π ⎪⎩ x = ± 3 + k2π, k ∈ ] π ⇔ x = − + k2π, k ∈ ] 3. (. ). (. ). Baø i 139 : Giaû i phöông trình sin3 x + cos3 x + sin3 x cot gx + cos3 xtgx = 2 sin 2x Ñieà u kieän :. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ⎧cos x ≠ 0 ⎧sin 2x ≠ 0 ⎪ ⇔ sin 2x > 0 ⎨sin x ≠ 0 ⇔ ⎨ ⎩sin 2x ≥ 0 ⎪sin 2x ≥ 0 ⎩ Lú c đó : ( *) ⇔ sin3 x + cos3 x + sin2 x cos x + cos2 x sin x = 2 sin 2x. ⇔ sin2 x ( sin x + cos x ) + cos2 x ( cos x + sin x ) = 2sin 2x. (. ). ⇔ ( sin x + cos x ) sin 2 x + cos2 x =. 2 sin 2x. ⎧⎪sin x + cos x ≥ 0 ⇔⎨ 2 ⎪⎩( sin x + cos x ) = 2 sin 2x ⎧ π⎞ ⎛ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪ 2 sin ⎜ x + ⎟ ≥ 0 ⎪sin ⎜ x + ⎟ ≥ 0 4⎠ ⇔⎨ ⇔⎨ 4⎠ ⎝ ⎝ ⎪1 + sin 2x = 2 sin 2x ⎪sin 2x = 1 ( nhaä n do sin 2x > 0 ) ⎩ ⎩ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪⎪sin ⎜ x + 4 ⎟ ≥ 0 ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⇔ ⎪ x = π + kπ, k ∈ ] ⎪⎩ 4 π ⇔ x = + m2π, m ∈ ] 4. Baø i 140 : Giaû i phöông trình. ⎧ π⎞ ⎛ ⎪⎪sin ⎜ x + 4 ⎟ ≥ 0 ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ x = π + m2π ∨ x = 5π + m2π ( loạ i ) , m ∈ ] ⎪⎩ 4 4. π⎞ ⎛ 1 + 8 sin 2x. cos2 2x = 2 sin ⎜ 3x + ⎟ ( *) 4⎠ ⎝. ⎧ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ 3x + 4 ⎟ ≥ 0 ⎪ ⎝ ⎠ Ta coù : (*) ⇔ ⎨ ⎪1 + 8 sin 2x cos2 2x = 4 sin2 ⎛ 3x + π ⎞ ⎜ ⎟ ⎪⎩ 4⎠ ⎝ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ 3x + 4 ⎟ ≥ 0 ⎪ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪1 + 4 sin 2x (1 + cos 4x ) = 2 ⎡1 − cos( 6x + π ) ⎤ ⎢⎣ ⎪⎩ 2 ⎥⎦ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ 3x + ⎟ ≥ 0 4⎠ ⇔⎨ ⎝ ⎪1 + 4 sin 2x + 2 ( sin 6x − sin 2x ) = 2 (1 + sin 6x ) ⎩ ⎧ π⎞ ⎧ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪⎪sin ⎜ 3x + 4 ⎟ ≥ 0 ⎪⎪sin ⎜ 3x + 4 ⎟ ≥ 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪sin 2x = 1 ⎪ x = π + kπ ∨ x = 5π + kπ, k ∈ ] ⎪⎩ ⎪⎩ 2 12 12 π ⎛ ⎞ So lạ i vớ i điề u kiệ n sin ⎜ 3x + ⎟ ≥ 0 4⎠ ⎝. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> π + kπ thì 12 π⎞ ⎛ ⎛π ⎞ sin ⎜ 3x + ⎟ = sin ⎜ + 3kπ ⎟ = cos kπ 4⎠ ⎝ ⎝2 ⎠ ⎡1 , ( neá u k chaü n ) ( nhaä n ) =⎢ ⎢⎣ −1 , ( nế u k lẻ ) ( loạ i ) 5π • Khi x = + kπ thì 12 π⎞ ⎛ ⎛ 3π ⎞ ⎛ π ⎞ sin ⎜ 3x + ⎟ = sin ⎜ + 3kπ ⎟ = sin ⎜ − + kπ ⎟ 4⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎡ −1 , nế u k chẵ n ( loạ i ) =⎢ ⎢⎣1 , neá u k leû ( nhaä n ) π 5π + m2π ∨ x = + ( 2m + 1) π, m ∈ ] Do đó ( *) ⇔ x = 12 12 •Khi x =. Baø i 141 : Giaû i phöông trình. 1 − sin 2x + 1 + sin 2x = 4 cos x ( * ) sin x. Lú c đó : ( *) ⇔ 1 − sin 2x + 1 + sin 2x = 2 sin 2x ( hieån nhieân sinx = 0 khoâ n g laø nghieä m , vì sinx =0 thì VT = 2, VP = 0 ) ⎧⎪2 + 2 1 − sin2 2x = 4 sin2 2x ⇔⎨ ⎪⎩sin 2x ≥ 0 ⎪⎧ 1 − sin2 2x = 2 sin2 2x − 1 ⇔⎨ ⎪⎩sin 2x ≥ 0 ⎧1 − sin 2 2x = 4 sin4 2x − 4 sin2 2x + 1 ⎪ 1 ⎪ ⇔ ⎨sin2 2x ≥ 2 ⎪ ⎪⎩sin 2x ≥ 0 ⎧sin 2 2x 4 sin 2 2x − 3 = 0 ⎪ ⇔⎨ 1 ⎪sin 2x ≥ 2 ⎩ ⎧ 3 − 3 ∨ sin 2x = ⎪sin 2x = ⎪ 2 2 ⇔⎨ ⎪sin 2x ≥ 2 ⎪⎩ 2 3 ⇔ sin 2x = 2 π 2π ⇔ 2x = + k2π ∨ 2x = + k2π, k ∈ ] 3 3. (. ). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> π π + kπ ∨ x = + kπ, k ∈ ] 6 3 Chú ý : Có thể đưa về phương trình chứa giá trị tuyệ t đố i ⎧sin x ≠ 0 ( *) ⇔ ⎪⎨ ⎪⎩ cos x − sin x + cos x + sin x = 2 sin 2x ⇔ cos x − sin x + cos x + sin x = 2 sin 2x ⇔x=. Baø i 142 : Giaû i phöông trình sin x + 3 cos x + sin x + 3 cos x = 2 ( *) π 3 cos x Ñaë t t = sin x + 3 cos x = sin x + π cos 3 π⎞ π⎞ 1 ⎛ ⎛ ⇔t= sin ⎜ x + ⎟ = 2 sin ⎜ x + ⎟ π 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ cos 3 ( *) thaønh t + t = 2 sin. ⇔. t = 2−t. ⎧2 − t ≥ 0 ⎧t ≤ 2 ⇔⎨ ⇔⎨ 2 2 ⎩t = 4 − 4t + t ⎩t − 5t + 4 = 0 ⎧t ≤ 2 ⇔⎨ ⇔ t =1 ⎩t = 1 ∨ t = 4. Do đó ( * ). π⎞ 1 π π π 5π ⎛ ⇔ sin ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = + k2π hay x + = + k2π, k ∈ ] 3⎠ 2 3 6 3 6 ⎝ π π ⇔ x = − + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ ] 6 2. Baø i 143 : Giaû i phöông trình 3 tgx + 1 ( sin x + 2 cos x ) = 5 ( sin x + 3 cos x ) ( *) Chia hai vế củ a (*) cho cos x ≠ 0 ta được ( *) ⇔ 3 tgx + 1 ( tgx + 2) = 5 ( tgx + 3) Ñaë t u =. tgx + 1 vớ i u ≥ 0. Thì u − 1 = tgx 2. (*) thaø n h 3u ( u 2 + 1) = 5 ( u 2 + 2 ). ⇔ 3u 3 − 5u 2 + 3u − 10 = 0 ⇔ ( u − 2 ) ( 3u 2 + u + 5 ) = 0 ⇔ u = 2 ∨ 3u 2 + u + 5 = 0 ( voâ nghieä m ). Do đó. ( *) ⇔. tgx + 1 = 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ⇔ tgx + 1 = 4 π π⎞ ⎛ ⇔ tgx = 3 = tgα ⎜ vớ i − < α < ⎟ ⇔ x = α + k π , k ∈ ] 2 2⎠ ⎝. (. Baø i 144 : Giaû i phöông trình. ( *) ⇔ (. ). 1 − cos x + cos x cos 2x =. ). 1 sin 4x ( *) 2. 1 − cos x + cos x cos 2x = sin 2x cos 2x. ⎧cos x ≥ 0 ⇔⎨ hay ⎩cos 2x = 0. 1 − cos x + cos x = sin 2x. ⎧cos x ≥ 0 ⎧cos x ≥ 0 ⎪ ⎪ hay ⎨sin 2x ≥ 0 ⇔⎨ π ⎪⎩2x = 2 + kπ, k ∈ ] ⎪ 2 ⎩1 + 2 ( 1 − cos x)cosx = sin 2x ⎧cos x ≥ 0 ⎧cos x ≥ 0 ⎪ ⎪ hay ⎨sin 2x ≥ 0 ⇔⎨ π π ⎪⎩ x = 4 + k 2 , k ∈ ] ⎪ 2 ⎩1 + 2 ( 1 − cos x)cosx = sin 2x ( VT ≥ 1 ≥ VP ). ⎧cos x ≥ 0 ⎪sin 2x ≥ 0 ⎧cos x ≥ 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ hay ⎨ 2 π 5π ⎪⎩ x = ± 4 + hπ hay x = ± 4 + hπ, h ∈ ] ⎪sin 2x = 1 ⎪⎩(1 − cos x ) cos x = 0 π ⇔ x = ± + hπ, h ∈ ] 4 ⎧sin 2x = 1 ⎧sin 2x = 1 hay ⎨ hay ⎨ ⎩cos x = 0 ( ⇒ sin 2x = 0 ) ⎩cos x = 1 ( ⇒ sin x = 0 ⇒ sin 2x = 0 ) π ⇔ x = ± + hπ, h ∈ ] 4. Baø i 145 : Giaû i phöông trình sin3 x (1 + cot gx ) + cos3 x (1 + tgx ) = 2 sin x cos x ( *) sin x + cos x ⎞ ⎛ cos x + sin x ⎞ 3 ⎟ + cos x ⎜ ⎟ = 2 sin x cos x sin x cos x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. ( *) ⇔ sin3 x ⎛⎜. (. ). ⇔ ( sin x + cos x ) sin 2 x + cos2 x = 2 sin x cos x. ⎧sin x + cos x ≥ 0 ⇔⎨ ⎩1 + sin 2x = 2 sin 2x ⎧ π⎞ ⎛ sin ⎜ x + ⎟ ≥ 0 ⎪ + ≥ sin x cos x 0 ⎧ ⎪ 4⎠ ⎝ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩sin 2x = 1 ⎪ x = π + kπ, k ∈ ] ⎪⎩ 4. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ⎧ π⎞ ⎛ ⎪⎪sin ⎜ x + 4 ⎟ ≥ 0 ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪ x + π = π + kπ, k ∈ ] ⎪⎩ 4 2 ⎧ π⎞ ⎛ ⎪⎪sin ⎜ x + 4 ⎟ ≥ 0 ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪ x + π = π + h2π hay x + π = 3π + h2π, h ∈ ] ⎪⎩ 4 2 4 2 π ⇔ x = + h2π, h ∈ ] 4. Baø i 146 : Giaû i phöông trình. cos 2x + 1 + sin 2x = 2 sin x + cos x ( *). π⎞ ⎛ Ñieà u kieän cos 2x ≥ 0 vaø sin ⎜ x + ⎟ ≥ 0 4⎠ ⎝ Lú c đó : ( *) ⇔. ( cos x + sin x ). cos2 x − sin 2 x + 2. ⇔ cos2 x − sin 2 x + ( cos x + sin x ) + 2 cos 2x. ⇔ cos x ( cos x + sin x ) + ( sin x + cos x ) cos 2x. 2. = 2 cos x + sin x 2. ( cos x + sin x ) = 4 ( sin x + cos x ) = 2 ( sin x + cos x ). ⎡sin x + cos x = 0 ⇔⎢ ⎣cos x + cos 2x = 2 ⎡ tgx = −1 ⇔⎢ ⎢⎣ cos 2x = 2 − cos x ( * *) ⎡ tgx = −1 ⇔⎢ 2 ⎣cos 2x = 4 − 4 cos x + cos x. ⇔ tgx = −1 ∨ cos2 x + 4 cos x − 5 = 0 ⇔ tgx = −1 ∨ cos x = 1 ∨ cos x = −5 ( loạ i ) π + kπ ∨ x = k2π, k ∈ ] 4 π ⎛ π⎞ Thử lạ i : • x = − + kπ thì cos 2x = cos ⎜ − ⎟ = 0 ( nhận ) 4 ⎝ 2⎠ π⎞ ⎛ Vaø sin ⎜ x + ⎟ = sin kπ = 0 ( nhaä n ) 4⎠ ⎝ • x = k2π thì cos 2x = 1 ( nhaä n ) ⇔x=−. π⎞ π ⎛ vaø cos ⎜ x + ⎟ = cos > 0 ( nhaä n ) 4⎠ 4 ⎝ π Do đó (*) ⇔ x = − + kπ ∨ x = k2π, k ∈ ] 4 Chú ý : Tại (**) có thể dùn g phương trình lượ n g giá c khô n g mự c. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ⎧cos x + cos 2x = 2 ⎪⎩sin x + cos x ≥ 0. ( * *) ⇔ ⎪⎨. ⎧cos x = 1 ⎪ ⇔ ⎨cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 ⎪sin x + cos x ≥ 0 ⎩. ⎧cos x = 1 ⇔⎨ ⇔ x = 2kπ, k ∈ ] ⎩sin x + cos x ≥ 0 Caù c h khaù c. ( *) ⇔ ⇔. cos2 x − sin 2 x +. ( cos x + sin x ). (cos x + sin x).(cos x − sin x ) +. 2. = 2 cos x + sin x. ( cos x + sin x ). ⎧⎪cos x + sin x > 0 ⇔ cos x + sin x = 0 hay ⎨ ⎪⎩ cos x − sin x + ⎧⎪cos x + sin x > 0 ⇔ tgx = − 1 hay ⎨ ⎪⎩2 cos x + 2 cos 2x = 4. 2. = 2 cos x + sin x. ( cos x + sin x ) = 2. ⎧⎪cos x + sin x > 0 ⇔ tgx = − 1 hay ⎨ ⎪⎩cos x + cos 2x = 2 ⎧cos x = 1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ ] hay ⎨ 4 ⎩cos 2x = 1 π ⇔ x = − + kπ hay x = 2kπ, k ∈ ] 4 ( nhaä n xeù t: khi cosx =1 thì sinx = 0 vaø sinx + cosx = 1 > 0 ). BAØI TAÄP 1. Giaû i phöông trình : a/ 1 + sin x + cos x = 0 4x cos − cos2 x 3 b/ =0 1 − tg 2 x c/ sin x + 3 cos x = 2 + cos 2x + 3 sin 2x sin 2 x − 2 sin x + 2 = 2 sin x − 1 3tgx e/ 2 3 sin x = − 3 2 sin x − 1. d/. sin2 2x + cos4 2x − 1 =0 f/ sin cos x g/ 8 cos 4x cos2 2x + 1 − cos 3x + 1 = 0 h/. sin x + sin x + sin2 x + cos x = 1. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> k/ 5 − 3sin 2 x − 4 cos x = 1 − 2 cos x l/ cos 2x = cos2 x 1 + tgx 2. Cho phöông trình : 1 + sin x + 1 − sin x = m cos x (1) a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 b/ Giaû i vaø bieä n luaän theo m phöông trình (1) 3. Cho f(x) = 3cos6 2x + sin 4 2x + cos4x – m a/ Giaû i phöông trình f(x) = 0 khi m = 0 b/ Cho g ( x ) = 2 cos2 2x 3 cos2 2x + 1 . Tìm tấ t cả các giá trị m để phương trình f(x) = g(x) coù nghieä m . ( ÑS : 1 ≤ m ≤ 0 ) 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệ m 1 + 2 cos x + 1 + 2sin x = m. (ÑS :. 1+ 3 ≤ m ≤ 2 1+ 2. ). B) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢ N G GIÁ C CHỨ A CÁ C TRỊ TUYỆ T ĐỐ I Caù ch giaû i :. 1/ Mở giá trị tuyệ t đố i bằn g định nghĩa 2/ AÙ p duïn g • A = B ⇔ A = ±B. ⎧B ≥ 0 ⎧B ≥ 0 ⎧A ≥ 0 ⎧A < 0 •A =B⇔⎨ ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ∨⎨ 2 ⎩ A = ±B ⎩ A = B ⎩ A = −B ⎩A = B Baø i 147 : Giaû i phöông trình cos 3x = 1 − 3 sin 3x ( *). ⎧1 − 3 sin 3x ≥ 0. ( *) ⇔ ⎪⎨. 2 2 ⎪⎩cos 3x = 1 − 2 3 sin 3x + 3sin 3x 1 ⎧ ⎪sin 3x ≤ 3 ⇔⎨ ⎪1 − sin 2 3x = 1 − 2 3 sin 3x + 3 sin2 3x ⎩. 1 ⎧ ⎪sin 3x ≤ 3 ⇔⎨ ⎪4 sin 2 3x − 2 3 sin 3x = 0 ⎩ 1 ⎧ ⎪sin 3x ≤ 3 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin 3x = 0 ∨ sin 3x = 3 ⎪⎩ 2 ⇔ sin 3x = 0. ⇔x=. kπ ,k ∈] 3. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Baø i 148 : Giaû i phöông trình 3sin x + 2 cos x − 2 = 0 ( * ). ( *) ⇔ 2 cos x. = 2 − 3sin x. ⎧2 − 3sin x ≥ 0 ⇔⎨ 2 2 ⎩4 cos x = 4 − 12 sin x + 9 sin x 2 ⎧ ⎪sin x ≤ 3 ⇔⎨ ⎪4 1 − sin 2 x = 4 − 12 sin x + 9 sin 2 x ⎩. (. ⇔. ⇔ ⇔ ⇔. ). 2 ⎧ ⎪sin x ≤ 3 ⎨ ⎪13 sin2 x − 12 sin x = 0 ⎩ 2 ⎧ ⎪⎪sin x ≤ 3 ⎨ ⎪sin x = 0 ∨ sin x = 12 ⎪⎩ 13 sin x = 0 x = kπ, k ∈ ]. Baø i 149 : Giaû i phöông trình sin x cos x + sin x + cos x = 1 ( * ). π⎞ ⎛ Ñaë t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n : 0 ≤ t ≤ 2 Thì t 2 = 1 + 2sin x cos x t2 − 1 +t =1 Do đó (*) thà nh : 2 ⇔ t 2 + 2t − 3 = 0. ⇔ t = 1 ∨ t = −3 ( loạ i ) Vaäy ( * ) ⇔ 12 = 1 + 2sin x cos x ⇔ sin 2x = 0. kπ ,k ∈] 2 Baø i 150 : Giaû i phöông trình. ⇔x=. sin x − cos x + 2 sin 2x = 1 ( * ). (. Ñaë t t = sin x − cos x ñieà u kieä n 0 ≤ t ≤ 2 Thì t = 1 − sin 2x ( *) thaønh : t + 2 1 − t 2 = 1 2. (. ). ⇔ 2t 2 − t − 1 = 0 1 ⇔ t = 1 ∨ t = − ( loạ i do điề u kiệ n ) 2 2 khi t = 1 thì 1 = 1 − sin 2x. Lop12.net. ).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ⇔ sin 2x = 0 kπ ⇔x= ,k ∈] 2 Baø i 151 : Giaû i phuông trình sin 4 x − cos4 x = sin x + cos x ( * ). ( *) ⇔ ( sin2 x + cos2 x )( sin2 x − cos2 x ) =. sin x + cos x. ⇔ − cos 2x = sin x + cos x. ⎧⎪− cos 2x ≥ 0 ⇔⎨ 2 ⎪⎩cos 2x = 1 + 2 sin x cos x ⎧⎪cos 2x ≤ 0 ⇔⎨ 2 ⎪⎩1 − sin 2x = 1 + sin 2x ⎧⎪cos 2x ≤ 0 ⇔⎨ 2 ⎪⎩ sin 2x = − sin 2x ⎧cos 2x ≤ 0 ⇔⎨ ⎩sin 2x = 0 ⎧cos 2x ≤ 0 ⇔⎨ 2 ⇔ cos 2x = −1 ⎩cos 2x = 1 π ⇔ x = + kπ, k ∈ ] 2. Baø i 152 : Giaû i phöông trình. 3 sin 2x − 2 cos2 x = 2 2 + 2 cos 2x ( *). (. Ta coù : ( * ) ⇔ 2 3 sin x cos x − 2 cos2 x = 2 2 + 2 2 cos2 x − 1. ). ⎛ 3 ⎞ 1 ⇔ cos x ⎜⎜ sin x − cos x ⎟⎟ = cos x 2 ⎝ 2 ⎠ π⎞ ⎛ ⇔ cos x.sin ⎜ x − ⎟ = cos x 6⎠ ⎝ ⎧cos x > 0 ⎧cos x < 0 ⎪ ⎪ ⇔ cos x = 0 ∨ ⎨ ∨⎨ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪sin ⎜ x − 6 ⎟ = 1 ⎪sin ⎜ x − 6 ⎟ = −1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ ⎧cos x > 0 ⎧cos x < 0 ⎪ ⎪ ⇔ cos x = 0 ∨ ⎨ ∨⎨ π π π π ⎪⎩ x − 6 = 2 + k2π, k ∈ ] ⎪⎩ x − 6 = − 2 + k2π, k ∈ ] ⎧cos x > 0 ⎧cos x < 0 π ⎪ ⎪ ⇔ x = + kπ, k ∈ ] ∨ ⎨ ∨⎨ 2π π 2 ⎪⎩ x = 3 + k2π, k ∈ ] ⎪⎩ x = − 3 + k2π, k ∈ ] π ⇔ x = + kπ, k ∈ ] 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Baø i 153 : Tìm caùc nghieä m treâ n ( 0, 2π ) cuû a phöông trình :. sin 3x − sin x = sin 2x + cos 2x ( *) 1 − cos 2x 2 cos 2x sin x π⎞ ⎛ Ta coù : ( * ) ⇔ = 2 cos ⎜ 2x − ⎟ 4⎠ 2 sin x ⎝ Ñieà u kieän : sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ • Khi x ∈ ( 0, π ) thì sin x > 0 neâ n :. π⎞ ⎛ 2 cos 2x = 2 cos ⎜ 2x − ⎟ 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ ⇔ 2x = ± ⎜ 2x − ⎟ + k2π, k ∈ ] 4⎠ ⎝ π ⇔ 4x = + k2π, k ∈ ] 4 π kπ ⇔x= + ,k ∈] 16 2 π 9π Do x ∈ ( 0, π ) neâ n x = hay x = 16 16 Khi x ∈ ( π, 2π ) thì sinx < 0 neâ n :. ( *) ⇔. ( *) ⇔ − cos 2x = cos ⎛⎜ 2x −. π⎞ ⎟ 4⎠. ⎝ π⎞ ⎛ ⇔ cos ( π − 2x ) = cos ⎜ 2x − ⎟ 4⎠ ⎝ π ⇔ 2x − = ± ( π − 2x ) + k2π, k ∈ ] 4 5π ⇔ 4x = + k2π, k ∈ ] 4 5π kπ ⇔x= + ,k ∈] 16 2 21π 29π ∨x= • Do x ∈ ( π, 2π ) neâ n x = 16 16. Baø i 154. Cho phöông trình : sin 6 x + cos6 x = a sin 2x (*) Tìm a sao cho phöông trình coù nghieä m .. Ta coù :. sin6 x + cos6 x = ( sin2 x + cos2 x )( sin4 x − sin2 x cos2 x + cos4 x ) = ( sin2 x + cos2 x ) − 3 sin2 x cos2 x 2. 3 sin 2 2x 4 Ñaë t t = sin 2x ñieà u kieän 0 ≤ t ≤ 1 =1−. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 3 2 t = at ( * *) 4 1 3 ⇔ − t = a (do t = 0 thì (**) voâ nghieäm ) t 4 1 3 Xeù t y = − t treâ n D = ( 0,1] t 4 1 3 thì y ' = − 2 − < 0 t 4 thì (*) thaø n h : 1 −. Do đó : (*) có nghiệ m ⇔ a ≥ Baø i 155. Cho phöông trình. 1 • 4. cos 2x = m cos2 x 1 + tgx. ( *). ⎡ π⎤ Tìm m để phương trình có nghiệm trê n ⎢ 0, ⎥ ⎣ 3⎦. Ñaë t t = tgx thì Vaäy : (*) thaø n h: 1 − t 2 = m 1 + t ( * *) (chia 2 veá cho cos2 ≠ 0 ). π thì t ∈ ⎡⎣0, 3 ⎤⎦ 3 (1 − t )(1 + t ) = 1 − t 1 + t 1 − t2 = Vaäy (**) ⇔ m = ( ) 1+ t 1+ t Xeù t y = (1 − t ) 1 + t treâ n ⎡⎣ 0, 3 ⎤⎦ Khi 0 ≤ x ≤. Ta coù. y' = − 1+ t +. (1 − t ). =. −2 (1 + t ) + (1 − t ). 2 1+ t 2 1+ t −3t − 1 ⇔ y' = < 0 ∀t ∈ ⎡⎣0, 3 ⎤⎦ 2 1+t. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ⎡ π⎤ Do đó : (*) có nghiệ m trê n ⎢ 0, ⎥ ⇔ 1 − 3 ⎣ 3⎦. (. ). 1+ 3 ≤ m ≤ 1•. BAØI TAÄP 1. Giaû i caùc phöông trình a/ sin x − cox = 1 − 4 sin 2x. b/ 4 sin x + 3 cos x = 3 c/ tgx = cot gx +. 1 cos x. ⎛ 1 + 3 cos2 x ⎞ 1 1 1 + − 2 = − 2⎜ ⎟ 2 sin x 1 − cos x 1 + cos x ⎝ sin x ⎠ 1 e/ cot gx = tgx + sin x f/ 2 cos x − sin x = 1. d/. g/ h/ m/. 1 + cos x + 1 − cos x = 4 sin x cos x 1 − cos 2x 1⎞ ⎛ = 2 ⎜ cos x − ⎟ sin x 2⎠ ⎝ cos 2x + 1 + sin 2x =. sin 3 x + cos3 x 2. n/ cos x + sin 3x = 0 1 sin x s/ cos x + 2 sin 2x − cos 3x = 1 + 2 sin x − cos 2x r/ cot gx = tgx +. o/. tg 2 x 1 = tgx + 1 + tgx − 1 tgx − 1. p/ sin x − cos x + sin x + cos x = 2 2. sin x + cos x + a sin 2x = 1 Tìm tham soá a döông sao cho phöông trình coù nghieä m 3. Cho phöông trình: sin x − cos x + 4 sin 2x = m a/ Giaû i phöông trình khi m = 0 b/ Tìm m để phương trình có nghiệ m. Lop12.net. (ÑS. 2−4≤ m≤. 65 ) 16.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>