Kì thi khảo sát chất lượng trước tuyển sinh năm 2009 (lần 1) môn thi: Toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tr−êng THPT §«ng S¬n 1. k× thi KSCL tr−íc tuyÓn sinh n¨m 2009 (lÇn 1) M«n Thi: To¸n Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (§Ò thi gåm 02 trang). phÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh C©u I (2 ®iÓm) Cho hµm sè y = x 3 − 3 x 2 + 4 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi d là đ−ờng thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 ®iÓm ph©n biÖt A, M, N sao cho hai tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M vµ N vu«ng gãc víi nhau. C©u II (2®iÓm)  x 2 + 1 + y( x + y ) = 4 y 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:  2 ( x + 1)( x + y − 2) = y 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:. (x, y ∈ R ). 1 sin 3 x. sin 3 x + cos 3 x cos 3 x =− π  π 8  tan x −  tan x +  6  3  1. C©u III (1 ®iÓm) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ x ln( x 2 + x + 1)dx 0. Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông gãc cña A’ lªn mÆt ph¼ng (ABC) trïng víi t©m O cña tam gi¸c ABC. Mét mÆt ph¼ng (P) chøa BC vµ vu«ng gãc víi AA’, c¾t l¨ng trô theo mét thiÕt diÖn cã diÖn tÝch b»ng. a2 3 . TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng 8. trô ABC.A’B’C’. C©u V (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ ba sè thùc d−¬ng tháa mPn abc = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu 1 1 1 + 2 + 2 thøc P = 2 2 2 a + 2 b + 3 b + 2c + 3 c + 2 a 2 + 3. PhÇn tù chän ThÝ sinh chØ ®−îc lµm mét trong hai phÇn: PhÇn 1 hoÆc PhÇn 2 PhÇn 1. C©u VI.a (2 ®iÓm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x 2 − 2 x và elip x2 + y 2 = 1 . Chøng minh r»ng (P) giao (E) t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 9 Viết ph−ơng trình đ−ờng tròn đi qua 4 điểm đó. 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có ph−ơng trình 2 x + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 11 = 0 vµ mÆt ph¼ng (α) cã ph−¬ng tr×nh 2x + 2y – z + 17 = 0. ViÕt. (E):. ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (β) song song víi (α) vµ c¾t (S) theo giao tuyÕn lµ ®−êng trßn cã chu vi b»ng 6π. n.  1  C©u VII.a(1®iÓm) T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña  x +  , 4 2 x  2. biÕt r»ng n lµ sè nguyªn d−¬ng tháa mPn: 2Cn0 +. 22 1 23 2 2 n+1 n 6560 Cn + Cn + L + Cn = ( Cnk lµ sè tæ 2 3 n +1 n +1. hîp chËp k cña n phÇn tö). 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PhÇn 2. C©u VI.b (2 ®iÓm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đ−ờng thẳng d1: x + y + 5 = 0, d2: x + 2y - 7= 0 vµ tam gi¸c ABC cã A(2 ; 3), träng t©m lµ ®iÓm G(2; 0), ®iÓm B thuéc d1 vµ ®iÓm C thuéc d2 . ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 = 0. Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P). Tìm gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc MA 2 + MB 2 + MC 2 e x − y + e x + y = 2( x + 1) C©u VII.b (1 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  x + y (x, y ∈ R ) e = x − y + 1 ----------------***HÕt***---------------Chó ý:. ThÝ sinh dù thi khèi B vµ D kh«ng ph¶i lµm c©u V. ThÝ sinh kh«ng ®−îc sö dông tµi liÖu. C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Hä vµ tªn thÝ sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Sè b¸o danh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tr−ờng thpt đông sơn i K× thi KSCL tr−íc tuyÓn sinh n¨m 2009(lÇn 1) H−íng dÉn chÊm m«n to¸n - §iÓm toµn bµi kh«ng lµm trßn. - Học sinh làm các khác nếu đúng vẫn đ−ợc điểm tối đa. - NÕu häc sinh lµm c¶ hai phÇn trong phµn tù chän th× kh«ng tÝnh ®iÓm phÇn tù chän. - ThÝ sinh dù thi khèi B, D kh«ng ph¶i lµm c©u V; thang ®iÓm dµnh cho c©u I.1 vµ c©u III lµ 1,5 ®iÓm. C©u Néi dung §iÓm 3 2 I.1 1,00 Kh¶o s¸t hµm sè y = x − 3 x + 4 1. Tập xác định: R 2. Sù biÕn thiªn: 0,25 a) Giíi h¹n: lim y = lim (x 3 − 3x 2 + 4) = −∞, lim y = lim (x 3 − 3x 2 + 4) = +∞ x → −∞. x → −∞. x → +∞. x → +∞. 2. b) B¶ng biÕn thiªn: y' = 3x - 6x, y' = 0 ⇔ x = 0, x = 2 B¶ng biÕn thiªn: x -∞ 0 2 y' + 0 0 + 4. +∞ +∞. 0,50. y 0 -∞ - Hàm số đồng biến trên (- ∞ ; 0) và (2; + ∞ ), nghịch biến trên (0; 2) - Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 4, đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = 0. 3. §å thÞ: §å thÞ giao víi trôc tung t¹i (0; 4), giao víi trôc hoµnh t¹i (-1; 0),(2; 0). Nhận điểm uốn I(1; 2) làm tâm đối xứng y 4 0,25 2 x -1 O. I.2. 1. 2. Tìm m để hai tiếp tuyến vuông góc ..... d cã ph−¬ng tr×nh y = m(x – 3) + 4. Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của ph−ơng trình x = 3 x 3 − 3x 2 + 4 = m(x − 3) + 4 ⇔ (x − 3)(x 2 − m) = 0 ⇔  2 x − m = 0 Theo bµi ra ta cã ®iÒu kiÖn m > 0 vµ y' ( m ).y' (− m ) = −1 ⇒ (3m − 6 m )(3m + 6 m ) = −1 ⇔ 9m 2 − 36m + 1 = 0 ⇔ m =. II.1. Giải hệ ph−ơng trình đại số Ta thÊy y = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña hÖ x2 + 1 +x+y−2 = 2   y HÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi  2  x + 1 (x + y − 2) = 1  y 3 Lop12.net. 18 ± 3 35 (tháa mPn) 9. 1,00 0,50 0,25 0,25. 1,00 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> §Æt u =. II.2. III. u + v = 2 ⇔ u = v =1  uv = 1. x2 + 1 , v = x + y − 2 Ta cã hÖ y. x2 + 1 =1  Suy ra  y . Gi¶i hÖ trªn ta ®−îc nghiÖm cña hpt ®P cho lµ (1; 2), (-2; 5) x + y − 2 = 1  Gi¶i ph−¬ng tr×nh l−¬ng gi¸c π  π  π  π  §iÒu kiÖn: sin x −  sin x +  cos x −  cos x +  ≠ 0 6  3  6  3  π  π π π    Ta cã tan x −  tan x +  = tan x −  cot  − x  = −1 6  3 6 6    1 Ph−¬ng tr×nh ®P cho t−¬ng ®−¬ng víi ⇔ sin 3 x. sin 3x + cos 3 x cos 3x = 8 1 − cos 2x cos 2x − cos 4x 1 + cos 2x cos 2x + cos 4x 1 ⇔ ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 8 1 1 1 ⇔ 2(cos 2 x + cos 2 x cos 4 x) = ⇔ cos 3 2 x = ⇔ cos 2 x = 2 8 2. π  x = 6 + kπ (lo¹i) π ⇔ , (k ∈ Z) . VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = − + kπ , (k ∈ Z) 6 x = − π + kπ  6 TÝnh tÝch ph©n 2x + 1  dx u = ln(x 2 + x + 1) du = 2 §Æt  ⇒ x + x +1 dv = xdx v = x 2 / 2  1. 2. I=. 1. 3. 0,25. 0,25. 1,00 0,25. 0,25. 0,25. 0,25. 1,00. 0,25. 2. x 1 2x + x ln(x 2 + x + 1) − ∫ 2 dx + + 2 2 x x 1 0 0 1. 1. 1. 1 1 1 2x + 1 3 dx ln 3 − ∫ (2 x − 1)dx + ∫ 2 dx − ∫ 2 2 20 4 0 x + x +1 4 0 x + x +1 1 1 3 3 3 1 1 1 = ln 3 − x 2 − x + ln( x 2 + x + 1) − I 1 = ln 3 − I 1 0 0 4 4 4 4 2 2. =. (. 0,25. ). 1. * TÝnh I1: I 1 = ∫ 0. dx 2. 1   3    x +  +  2   2  . 2. . §Æt x +. 1 3  π π = tan t, t ∈  − ,  2 2  2 2 0,25. π/3. π/3. 3π 2 3 (1 + tan 2 t )dt 2 3 Suy ra I 1 = = = t 2 ∫ 9 3 π / 6 1 + tan t 3 π/ 6. VËy I =. 3π 3 ln 3 − 12 4. 0,25. 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> IV. TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô. 1,00 C’. A’ B’ H A. C O. M. B Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn AA’, Khi đó (P) ≡ (BCH). Do góc A ' AM nhọn nên H nằm giữa AA’. Thiết diện của lăng trô c¾t bëi (P) lµ tam gi¸c BCH. a 3 2 a 3 , AO = AM = Do tam giác ABC đều cạnh a nên AM = 3 3 2 2 2 a 3 a 3 a 3 1 Theo bµi ra S BCH = ⇒ HM.BC = ⇒ HM = 4 8 8 2 AH = AM 2 − HM 2 =. 0,25. 0,25. 3a 2 3a 2 3a − = 4 16 4. Do hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng nên. A' O HM = AO AH. AO.HM a 3 a 3 4 a = = AH 3 4 3a 3 a3 3 1aa 3 1 a= ThÓ tÝch khèi l¨ng trô: V = A' O.S ABC = A' O.AM.BC = 12 23 2 2. 0,25. suy ra A' O =. V. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt .... 1,00. 1 1 1 1 ≤ = 2 2 2 2 a + 2b + 3 a + b + b + 1 + 2 2 ab + b + 1 1 1 1 1 1 1 , 2 T−¬ng tù 2 ≤ ≤ 2 2 b + 2c + 3 2 bc + c + 1 c + 2a + 3 2 ca + a + 1. 0,50. 1 1 1 1  = 1  1 + ab + b  = 1 P≤  + +    2  ab + b + 1 bc + c + 1 ca + a + 1  2  ab + b + 1 b + 1 + ab 1 + ab + b  2. 0,25. Ta cã a. +b2 ≥ 2ab, b2 + 1 ≥ 2b ⇒. 2. 2. 1 1 khi a = b = c = 1. Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng khi a = b = c = 1. 2 2 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua giao ®iÓm cña(E) vµ (P) Hoành độ giao điểm của (E) và (P) là nghiệm của ph−ơng trình x2 + (x 2 − 2x) 2 = 1 ⇔ 9x 4 − 36x 3 + 37x 2 − 9 = 0 (*) 9 XÐt f (x) = 9 x 4 − 36 x 3 + 37x 2 − 9 , f(x) liªn tôc trªn R cã f(-1)f(0) < 0, f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < 0 suy ra (*) có 4 nghiệm phân biệt, do đó (E) c¾t (P) t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt y = x 2 − 2 x  Toạ độ các giao điểm của (E) và (P) thỏa mPn hệ  x 2 2  +y =1 9 P=. VIa.1. 0,25. 5 Lop12.net. 0,25. 1,00 0,25. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 8x 2 − 16 x = 8y ⇒ 9 x 2 + 9 y 2 − 16 x − 8y − 9 = 0 (**) ⇔ 2 2 x + 9 y = 9. VIa.2. 161 8 4 Do (**) lµ ph−¬ng tr×nh cña ®−êng trßn cã t©m I =  ;  , b¸n kÝnh R = 9 9 9 đó 4 giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đ−ờng tròn có ph−ơng trình (**) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (β ).... Do (β) // (α) nªn (β) cã ph−¬ng tr×nh 2x + 2y – z + D = 0 (D ≠ 17) MÆt cÇu (S) cã t©m I(1; -2; 3), b¸n kÝnh R = 5 §−êng trßn cã chu vi 6π nªn cã b¸n kÝnh r = 3.. 2. 0. 0. 0,25. 0,25 0,25 1,00. VËy (β) cã ph−¬ng tr×nh 2x + 2y – z - 7 = 0 T×m hÖ sè cña x2... 2. 1,00. 0,25. Kho¶ng c¸ch tõ I tíi (β) lµ h = R 2 − r 2 = 5 2 − 3 2 = 4 2.1 + 2(−2) − 3 + D  D = −7 = 4 ⇔ − 5 + D = 12 ⇔  Do đó D = 17 (lo¹i) 2 2 + 2 2 + (−1) 2 VII.a. 0,25. (. ). Ta cã I = ∫ (1 + x) n dx = ∫ C 0n + C 1n x + C 2n x 2 + L + C nn x n dx 2. 1 1 1   C nn x n +1  =  C 0n x + C 1n x 2 + C 2n x 3 + L + n +1 3 2  0. 0,25. 22 1 23 2 2 n +1 n Cn + Cn +L+ C n (1) 2 3 n +1 2 3 n +1 − 1 1 MÆt kh¸c I = (2) (1 + x) n +1 = 0 n +1 n +1 22 23 2 n +1 n 3 n +1 − 1 Cn = Tõ (1) vµ (2) ta cã = 2C 0n + C 1n + C 2n + L + n +1 2 3 n +1 n +1 3 − 1 6560 = ⇔ 3 n +1 = 6561 ⇒ n = 7 Theo bµi ra th× n +1 n +1. suy ra I = 2C 0n +. 7. VIb.1. k. 14 −3 k. 7 7 7−k  1  1 1   Ta cã khai triÓn  x + 4  = ∑ C 7k x  4  = ∑ k C 7k x 4 2 x 0 2 0  2 x  14 − 3k Sè h¹ng chøa x2 øng víi k tháa mPn =2⇔k=2 4 1 21 VËy hÖ sè cÇn t×m lµ 2 C 27 = 4 2 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn .... Do B ∈ d1 nªn B = (m; - m – 5), C ∈ d2 nªn C = (7 – 2n; n) 2 + m + 7 − 2n = 3.2 m− 2n = −3 m = −1 Do G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn  ⇔ ⇔ 3 − m − 5 + n = 3.0 − m+ n = 2 n = 1 Suy ra B = (-1; -4), C= (5; 1) Gi¶ sö ®−êng trßn (C) ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC cã ph−¬ng tr×nh x 2 + y 2 + 2ax + 2 by + c = 0 . Do A, B, C ∈ (C) nªn ta cã hÖ. ( ). a = −83 / 54 4 + 9 + 4 a + 6 b + c = 0   1 + 16 − 2a − 8b + c = 0 ⇔ b = 17 / 18 c = −338 / 27 25 + 1 + 10a + 2 b + c = 0   VËy (C) cã ph−¬ng tr×nh x 2 + y 2 −. 338 17 83 =0 x+ y− 27 9 27 6 Lop12.net. 0,25. 0,25. 0,25. 1,00 0,25 0,25. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> VIb.2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt .... 1,00. 7 8  Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC, suy ra G =  ; ;3  3 3 . (. ) ( 2. ) ( 2. Ta cã F = MA 2 + MB 2 + MC 2 = MG + GA + MG + GB + MG + GC. ). 2. 0,25. = 3MG2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + 2MG(GA + GB + GC) = 3MG 2 + GA 2 + GB 2 + GC 2. F nhá nhÊt ⇔ MG2 nhá nhÊt ⇔ M lµ h×nh chiÕu cña G lªn (P) 7/3− 8/3−3−3 19 ⇔ MG = d(G, ( P )) = = 1+1+1 3 3 56 32 104 64 GA 2 + GB 2 + GC 2 = + + = 9 9 9 3 2. VIIb.  19  64 553 VËy F nhá nhÊt b»ng 3.  + 3 = 9 khi M lµ h×nh chiÕu cña G lªn (P) 3 3  Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh mò e x − y = x + y + 1 e x − y + e x + y = 2(x + 1) ⇔  x+y  x+y e = x − y + 1 e = x − y + 1 e v = u + 1 e v = u + 1 (1) §Æt u = x + y , v = x - y ta cã hÖ  u ⇔ u v e − e = v − u (2 ) e = v + 1 - NÕu u > v th× (2) cã vÕ tr¸i d−¬ng, vÕ ph¶i ©m nªn (2) v« nghiÖm - T−¬ng tù nÕu u < v th× (2) v« nghiÖm, nªn (2) ⇔ u = v ThÕ vµo (1) ta cã eu = u+1 (3) . XÐt f(u) = eu - u- 1 , f'(u) = eu - 1 B¶ng biÕn thiªn: u -∞ 0 +∞ f'(u) 0 + f(u). 0,25 0,25. 0,25. 1,00. 0,25. 0,25. 0,25. 0 Theo b¶ng biÕn thiªn ta cã f(u) = 0 ⇔ u = 0 . x = 0 x + y = 0 Do đó (3) có 1 nghiệm u = 0 ⇒ v = 0 ⇒  ⇔ y = 0 x − y = 0 VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®P cho cã mét nghiÖm (0; 0). 7 Lop12.net. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>