Chuyên đề Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. Luyện thi Đại học 2013. Chủ đề: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG Chuyên đề “Hình Học Không Gian” nói chung và chủ đề “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung” nói riêng, là một chủ đề tương đối khó khăn với đa số học sinh. Chúng tôi biên soạn tài liệu này nhằm giúp các em nhìn nhận vấn đề trên dễ dàng hơn và có hệ thống hơn. I-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: Để xác định Khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau và đoạn vuông góc chung, thông thường dùng 2 phương pháp cơ bản sau: Phương pháp 1: Bước 1: Xác định mặt phẳng ( a ) ^ a tại A và (a ) cắt b. Bước 2: Chiếu vuông góc b xuống ( a ) được hình chiếu b ' . Bước 3: Kẻ AH ^ b ' , dựng hình chữ nhật AHKP. Dể dàng chứng minh: PK là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng a và b . ïìb Ì ( a ) Trong trường hợp đặt biệt : í ïîa ^ ( a ) + Dựng AH ^ b Þ AH là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng a và b .. a. b. P. K I. A a. b'. H. b. H. a. A a. Phương pháp 2: Bước 1: Xác định mặt phẳng ( a ) // a và. P. b Ì (a ) . Bước 2: Chiếu vuông góc đường thẳng a trên mặt phẳng ( a ) được đường thẳng. a. b. a ' , a 'Ç b = { K } Bước 3: Dựng hình chữ nhật AHKP. Dễ dàng chứng minh được: KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng a và b .. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. A. a. 1 Lop12.net. a'. H K. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 II-MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HOẠ: Bài tập 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD. Hướng dẫn: A Bước 1: Chọn mặt phẳng ( AHB ) .. Rõ ràng: CD ^ ( AHB ). Bước 2: Dễ thấy, AB Ì ( AHB ) . Dựng HK ^ AB Þ HK là đoạn vuông góc chung của AB và CD. Bước 3: Tính HK:. Xét DAHK vuông tại K: HK = AH - AK 2. K. D B. H. 2 C. Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Dựng b) AB và SC. đoạn vuông góc chung của : a) SA và CD . Hướng dẫn: a) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ABCD ) .. S. Rõ ràng: SA ^ ( ABCD ). Bước 2: Dễ thấy, CD Ì ( ABCD ) . và AD ^ CD Þ AD là đoạn vuông góc chung của SA và CD. B Bước 3: Tính AD (tùy theo giả thiết) b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SC: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( SAD ) . Dễ chứng minh được: AB ^ ( SAD ) Bước 2: Chiếu SC trên ( SAD ) :. A. D. C. S. K. H. Ta có: CD ^ ( SAD ) Þ SD là hình chiếu của SC trên ( SAD ) . + Dựng AH ^ SD Þ AH là khoảng cách của SC và AB. P A + Dựng hình chữ nhật AHKP Þ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SC và AB. B C Bước 3: Tính AH. 1 1 1 = 2+ Xét DSAD vuông tại A: . 2 AH SA AD 2 Bài tập 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, các mặt bên là các hình vuông cạnh a. a) Hình lăng trụ có đặc điểm gì? b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A’B và B’C’. Hướng dẫn: a) Hình lăng trụ đứng tam giác đều cạnh a. b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A’B và B’C’:. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 2 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền. D.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bước 1: Chọn mặt phẳng ( AII ' A ') .. Luyện thi Đại học 2013 C'. A'. Dễ chứng minh được: B ' C ' ^ ( AII ' A '). B'. Bước 2: Chiếu A’B trên ( AII ' A ') :. Ta có: BI ^ ( AII ' A ') Þ A ' I là hình chiếu của A’B trên ( AII ' A ') . + Dựng I ' H ^ A ' I Þ I ' H là khoảng cách của A’B và B’C’. + Dựng hình chữ nhật HKPI’ Þ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng A’B và B’C’. Bước 3: Tính I’H. A 1 1 1 ' ' D A I I = + Xét Xét . vuông tại I’: I ' H 2 A ' I '2 II '2. I'. P. H. K. C I B. Bài tập 15: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong 2 mp vuông góc nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: a) AD và SB b) SA và BD Hướng dẫn: a) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SB và AD: S Bước 1: Chọn mặt phẳng ( SIM ) . Dễ chứng minh được: AD ^ ( SIM ) Bước 2: Chiếu SB trên ( SIM ) :. K. Ta có: BM ^ ( SIM ) Þ SM là hình chiếu của SB trên ( SIM ) . + Dựng IH ^ SM Þ IH là khoảng cách của SB và AD. P + Dựng hình chữ nhật HKPI Þ KP là đoạn vuông góc A chung của 2 đường thẳng SB và AD. Bước 3: Tính IH. 1 1 1 = 2+ Xét DSIM vuông tại I: . 2 IH IS IM 2 b) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BD: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( SEA ) Þ BD // ( SEA ) . R. Bước 2: Chiếu BD trên ( SEA ) : Gọi L và J là trung điểm EA và DO Þ IL ^ SL . + Dựng IH ^ SL Þ IH ^ ( SEA ) . + Dựng JR // IH Þ JR ^ ( SEA ). D M B. S. K. C. D I. L. Suy ra: d ( BD, SA ) = d ( BD, ( SAE ) ) = d ( J , ( SAE ) ) = JR. C. I. H. E. H. A. J P. O B. + Dựng hình chữ nhật RKPJ Þ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SA và BD. Bước 3: Tính JR. 1 1 1 = 2+ 2. Ta có: JR = 2 IH . Xét DSIL vuông tại I: 2 IH IS IL. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 3 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB= a, BC= a , AD=3a , CD= a 7 , SA= a 2 . Khi SA ^ (ABCD) , hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa các đường thẳng : b) AB và SD c) AD và SC a) SA và CD Hướng dẫn: a) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD: S Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ABCD ) . K. Rõ ràng: SA ^ ( ABCD ). Bước 2: Dễ thấy, CD Ì ( ABCD ) . Dựng AH ^ CD Þ AH là đoạn vuông góc chung của SA và CD. A Bước 3: Tính AH: 1 1 1 = + Xét DACD vuông tại A: . B C 2 2 AH AC AD 2 b) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SD: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( SAD ) .. D. H. Rõ ràng: AB ^ ( SAD ). Bước 2: Dễ thấy, SD Ì ( SAD ) . Dựng AK ^ SD Þ AK là đoạn vuông góc chung của SD và AB. Bước 3: Tính AK: 1 1 1 = + Xét DSAD vuông tại A: . AK 2 AS 2 AD 2 c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AD và SC: S Bước 1: Chọn mặt phẳng ( SAB ) .. Dễ chứng minh được: AD ^ ( SAB ). I. D. Ta có: BC ^ ( SAB ) Þ SB là hình chiếu của SC. trên ( SAB ) . + Dựng AI ^ SB Þ AI là khoảng cách của SB và AD. C + Dựng hình chữ nhật AIJP Þ JP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SC và AD. Bước 3: Tính AI. 1 1 1 = + Xét DSAB vuông tại I: . 2 2 AI AS AB 2 Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy AB= a, đường cao SO= h. xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng SB và AD . Hướng dẫn: F Giải bằng Phương pháp 2: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( SBC ) . A. B. Bước 2: Chiếu SB trên ( SIM ) :. J. P. Dễ chứng minh được: AD // ( SBC ). Bước 2: Chiếu AD trên ( SBC ) (hay tính d ( AD, SB ) ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 4 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và AD Þ ON ^ BC Ta có: ( SMN ) ^ ( SBC ) , dựng OH ^ SN Þ OH ^ ( SBC ). Luyện thi Đại học 2013 S. + Dựng MI // OH Þ MI ^ ( SBC ). Suy ra: d ( AD, SB ) = d ( AD, ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) ) = MI. I. K. + Dựng hình chữ nhật MIKP Þ KP là đoạn vuông góc H chung của 2 đường thẳng SB và AD. D Bước 3: Tính MI. Ta có: MI = 2OH . P M 1 1 1 O N A = + Xét DSON vuông tại O: . 2 2 2 OH OS ON B Bài tập 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC và AD. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng DM và D’N. Hướng dẫn: F Giải bằng Phương pháp 2: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( D ' NJ ) . (với hình bình hành DJIM) D' Dễ chứng minh được: DM // ( D ' NJ ). A'. Bước 2: Chiếu DM trên ( D ' NJ ) . (hay tính d ( DM , D ' N ) ). C. C'. B'. Do DJ // MI Þ DJ ^ IJ Þ IJ ^ ( D ' JD ) .. Ta có: ( D ' JD ) ^ ( D ' NJ ) , dựng DH ^ D ' J Þ DH ^ ( D ' NJ ) Suy ra: d ( DM , D ' N ) = d ( DM , ( D ' NJ ) ) = d ( D, ( D ' NJ ) ) = DH. H. K. D J. I. C. M. P. N + Dựng hình chữ nhật HKPD Þ KP là đoạn vuông góc A B chung của 2 đường thẳng DM và D’N. Bước 3: Tính DH. 1 1 1 1 1 1 4 = + = + == + Xét DD ' DJ vuông tại D: . 2 2 2 2 2 2 DH DD ' DJ DD ' MI DD ' AM 2 Bài tập 7: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ .Hãy xác định đoạn vuông góc chung của BD’, B’C. Hướng dẫn: D' C' Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ABC ' D ') .. Dễ dàng chứng minh BC ' ^ ( ABC ' D '). Bước 2: Dễ thấy, BD ' Ì ( ABC ' D ') . Dựng HK ^ BD ' Þ HK là đoạn vuông góc chung của BD’ và B’C. 1 Bước 3: Tính HK: Ta có HK = C ' P 2 1 1 1 = + Xét DBC ' D ' vuông tại C’: 2 2 C 'P C ' D ' C ' B2. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 5 Lop12.net. A'. B' P H D. A. K C B. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 Bài tập 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Hãy xác định đoạn vuông góc chung của hai đương thẳng A’C’ và B’C. Hướng dẫn: D' C' P O' Bước 1: Chọn mặt phẳng ( DBB ' D ') . Dễ chứng minh được: A ' C ' ^ ( DBB ' D '). B'. A'. Bước 2: Chiếu B’C trên ( DBB ' D ') :. Ta có: OC ^ ( DBB ' D '). K. H. Þ B ' O là hình chiếu của B’C trên ( DBB ' D ') . D + Dựng O ' H ^ B ' O Þ O ' H là khoảng cách của A’C’ và B’C. O + Dựng hình chữ nhật O’HKP Þ KP là đoạn vuông góc B A chung của 2 đường thẳng A’C’ và B’C. Bước 3: Tính O’H. 1 1 1 = + . Xét DO ' B ' O vuông tại O’: 2 2 O'H O ' B ' OO '2 Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA = a, SA ^ (ABC), I là trung điểm cạnh BC. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng SI và AB. Hướng dẫn: S F Giải bằng Phương pháp 2: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( SIJ ) , với IJ // AB và AJ ^ IJ .. Dễ chứng minh được: AB // ( SIJ ). Ta có: ( SAJ ) ^ ( SIJ ) , dựng AH ^ SJ Þ AH ^ ( SIJ ) Suy ra: d ( AB, SI ) = d ( AB, ( SIJ ) ) = d ( A, ( SIJ ) ) = AH. K. H. Bước 2: Chiếu AB trên ( SIJ ) (hay tính d ( AB, SI ) ). C. A. B. P. J. I. + Dựng hình chữ nhật AHKP Þ KP là đoạn vuông góc C chung của 2 đường thẳng AB và SI. 1 1 1 = + 2. Bước 3: Tính AH. Xét DSAJ vuông tại A: 2 2 AH AJ SA Bài tập10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, J lần lượt là tâm các hình vuông AĐ’A’ và BCC’B’. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng CI và AJ. D C Hướng dẫn: F Giải bằng Phương pháp 2: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( AA ' J ) . A B P Dễ chứng minh được: CI // ( AA ' J ). Bước 2: Chiếu IC trên ( AA ' J ) (hay tính d ( CI , AJ ) ) Dựng IH ^ MJ , để ý rằng A ' A ^ ( MIJ ) .. 6 Lop12.net. K J. M. ì IH ^ MJ Ta có: í Þ IH ^ ( AA ' J ) î IH ^ A ' A Suy ra: d ( CI , AJ ) = d ( CI , ( AA ' J ) ) = d ( I , ( AA ' J ) ) = IH Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. I. A'. H. D'. C'. B'. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 + Dựng hình chữ nhật IHKP Þ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AJ và CI. Bước 3: Tính IH. 1 1 1 = + 2. Xét DMIJ vuông tại I: 2 2 IH IM IJ Bài tập 11: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi , cạnh 2a , cạnh bên AA’= a 2 , AD’ ^ BA’.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và BA’ . D' Hướng dẫn: F Giải bằng Phương pháp 2: A' B' ì BE // DD ' P . Bước 1: Chọn mặt phẳng ( AD ' E ) , với í î BE = DD ' K. Dễ chứng minh được: A ' B // ( AD ' E ). D. Bước 2: Chiếu A’B trên ( AD ' E ) (hay tính d ( A ' B, AD ') ). C'. C. I B. A. ì AI ^ BD Ta có: í Û AI ^ ( BB ' D ' B ) Þ ( AD ' E ) ^ ( BB ' D ' B ) î AI ^ BB ' Dựng BH ^ D ' E Þ BH ^ ( AD ' E ). H. E. Suy ra: d ( A ' B, AD ') = d ( A ' B, ( AD ' E ) ) = d ( B, ( AD ' E ) ) = BH. + Dựng hình chữ nhật BHKP Þ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng A’B và AD’. Bước 3: Tính BH. 1 1 1 = + 2. Xét DIBE vuông tại B: 2 2 BH BE BI Bài tập 12: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’, đáy ABC có cạnh a, cạnh bên bằng h. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC’. Hướng dẫn: P F Giải bằng Phương pháp 2: C A ìCD // AB B I . Bước 1: Chọn mặt phẳng ( BDC ') , với í îCD = AB H K Dễ chứng minh được: AC // ( BDC ') Bước 2: Chiếu AC trên ( BDC ') (hay tính d ( AC , BC ') ) Gọi I là trung điểm BD. ìCI ^ BD Ta có: í Û BD ^ ( CC ' I ) Þ ( BDC ') ^ ( CC ' I ) îCC ' ^ BD Dựng CH ^ C ' I Þ CH ^ ( BDC '). A'. C' B'. Suy ra: d ( AC , BC ') = d ( AC , ( BDC ') ) = d ( C , ( BDC ') ) = CH. + Dựng hình chữ nhật CHKP Þ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AC và BC’. Bước 3: Tính CH. 1 1 1 = 2+ Xét DICC ' vuông tại C: . 2 CH CI CC '2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 7 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền. D.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 Bài tập 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo AC’=2a và AB=AA’= a. a) Chứng minh: AC ' ^ CD ' b) d(D,(ACD’). c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AC’, CD’. Hướng dẫn: a) Do AA ' = AB = a Þ ABB ' A ' là hình vuông. ìCD ' ^ DC Suy ra: í Û CD ' ^ ( ADCB ') Þ CD ' ^ AC ' . A' CD ' A ' D ^ î B A b) Ta có: CD ' ^ ( ADCB ') Þ ( ADI ) ^ ( AD ' C ) và ( ADI ) Ç ( AD ' C ) = AI . Dựng DH ^ AI Þ DH ^ ( AD ' C ) Û d ( D, ( AD ' C ) ) = DH. B'. K. H. D'. C'. 1 1 1 D = + . 2 2 2 DH DA DC ' c) Theo câu a, CD ' ^ ( ADCB ') và CD 'Ç ( ADCB ') = { I } .. I. Xét DADC ' vuông tại D:. C. Dựng IK ^ AC ' Þ IK là đoạn vuông góc chung của AC’ và CD’. KI KC ' AD.KC ' = Û KI = . AD DC ' DC ' Bài tập 14: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. a) Chứng minh: BC ' ^ ( A ' B ' CD ) b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB’ và BC’. Hướng dẫn: a) Chứng minh BC ' ^ ( A ' B ' CD ) :. Xét DDAC ' đồng dạng với DKIC ' , ta có:. ì BC ' ^ B ' C Ta có: í Û BC ' ^ ( A ' B ' CD ) . î BC ' ^ CD b) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB’ và BC’: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( A ' B ' CD ) . Dễ chứng minh được: BC ' ^ ( A ' B ' CD ). A C. B. Bước 2: Chiếu AB’ trên ( A ' B ' CD ) :. K. P. Ta có: AH ^ ( A ' B ' CD ). 8 Lop12.net. H. J. I. Þ HB ' là hình chiếu của AB’ trên ( A ' B ' CD ) . + Dựng IJ ^ B ' H Þ IJ là khoảng cách của AB’ và BC’. + Dựng hình chữ nhật IJKP Þ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AB’ và BC’. B' Bước 3: Tính IJ. IJ IB ' CD.IB ' = Û IJ = Xét DCB ' D đồng dạng với DJB ' I , ta có: . CD B ' D B'D. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. D. D'. A' C'. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 15: Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD ^ BC, AD= a và d(D,BC)= a. H là trung điểm của BC . b) DI ^ (ABC) a) Chứng minh: BC ^ (ADH) c) Xác định và tính đoạn vuông góc chung giữa AD và BC. Gợi ý: D ì AH ^ BC Þ BC ^ ( AHD ) î AD ^ BC. a) Kẻ í. K. ì DI ^ BC Þ DI ^ AH í b) î AD = DH = a Þ DI ^ ( AH , BC ) º ( ABC ). O. c) HK. C. A I. H B. Bài tập 16: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc Aˆ = 60 0 và có đường cao SO= a .Tính: d(O,(SBC)) d(AD,SB) Gợi ý: a) OH. Dựng (SOP) ^ (SBC).Kẻ OH ^ SP. b) IK. Dựng (STM) ^ (SBC). Kẻ IK ^ SM.. S. K. I 60 0 A. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 9 Lop12.net. C. H. D. M. O. P B. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>