Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1. GV : Nguyễn Thị A. CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Bài 1.1: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số  Tìm TXĐ  Tính y’. Tìm các điểm tới hạn.  Lập bảng biến thiên  Kết luận. Bài 1.2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R hoặc trên từng khoảng của tập xác định.  Tìm TXĐ  Tính y’  Hàm số ĐB trên R y '  0, x  R.   0  a  0 ( Hàm số nghịch biến trên R  y '  0, x  R   0 )  a  0 Từ đó suy ra điều kiện của m. Bài 1.3: Tìm m để hàm bậc 3 đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a,b) * Cách 1: + Hàm số ĐB trên (a,b)  y '  0, x   a, b   y '  0, x   a, b  ( vì y’liên tục tại x = a và x =b)  g(x)  h(m) , x   a, b   min g  x   h  m   a ,b   . (*). + Tính g’(x) . Cho g’(x) = 0 tìm nghiệm x0   a, b  Tính g  x0  , g  a  , g  b  => min g  x   a ,b    + Từ (*) suy ra điều kiện của m. * Cách 2: (thường dùng khi tham số m có bậc 2) + Hàm số ĐB trên (a,b)  y '  0, x   a, b . Bài 1. 5 : Chứng minh bất đẳng thức P(x) > Q(x), x   a, b  bằng cách sử dụng tính đơn điệu ( Chuyển vế đưa BĐT về dạng : f(x) = P(x) – Q(x) >0 )  Xét hàm số f(x) = P(x) – Q(x) liên tục trên [a,b).  Tính f '( x) . Chứng tỏ f '( x)  0, x  [a, b)  Hàm số đồng biến trên [a,b).  x   a, b  : f ( x)  f (a ) =… Suy ra đpcm --------------------------------------------------------------Phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 2.1: Tìm cực trị của hàm số  Quy tắc 1: + Tìm TXĐ + Tính y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có) +Lập bảng biến thiên + Kết luận : Hàm số đạt cực đại tại x =… và yCĐ = … Hàm số đạt cực tiểu tại x =… và yCT = …  Quy tắc 2 ( thường dùng đối với hàm lượng giác): + Tìm TXĐ + Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi + Tính y” Tính y”(xi) +Kết luận : y”(xi) >0 => hs đạt CT tại xi và yCT =… y”(xi) <0 => hs đạt CĐ tại xi và yCĐ =… Bài 2.2: Tìm m để hàm số có ( ko có )cưc trị. (Lưu ý : hàm số có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua nghiệm đó)  Tìm TXĐ  Tính y’ - Hàm bậc ba có cực trị ( hoặc có CĐ, CT hoặc có 2 cực trị)  pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt.  y '  0.  . a  0. - Hàm b3 ko có cực trị  y’=0 có n0 kép hoặc vô n0.. Có 2 trường hợp :.   0 * TH1 : y '  0, x  R   suy ra m a  0. -. * TH2 : y’ = f(x) =0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa …….(điều kiện về x1, x2 để hàm số ĐB trên (a,b) – xem phần so sánh các số với nghiệm của tam thức bậc hai ) Suy ra m Kết hợp hai trường hợp trên ta được đáp số m cần tìm. Bài 1.4: Tìm m để hàm số ĐB , NB trên đoạn có độ dài bằng d. + Tìm TXĐ + Tính y’ + Hàm số có khoảng ĐB, NB  y’ = 0 có 2 nghiệm.   0 .suy ra m. (*) a  0. phân biệt x1, x2  . + Biến đổi x1  x2  d thành  x1  x2   4 x1 x2  d 2 2. Dùng định lí Viet đưa pt trên về pt theo m. Giải pt tìm m , so với đk (*) để được m cần tìm.. .suy ra m.. Hàm. b2 có cực trị  pt y’=0 có hai nghiệm b1. phân biệt khác x0 ( với x0 là nghiệm ở mẫu).   0 ( với g(x) = tử số của y’ )  g  g ( x0 )  0 Giải hệ tìm m. Bài 2.3 : Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0.  Tìm TXĐ  Tính y’ Cách 1:  Hàm số đạt cực trị tại x = x0 => y’(x0) = 0 .tìm m  Với mỗi giá trị m tìm được, ta thay vào y’. lập bảng biến thiên. Dựa vào BBT kết luận m đó có thỏa ycbt không..  y '  x0   0  y "  x0   0. Cách 2 : Hàm số đạt cực trị tại x = x0   Giải hệ tìm m. Trang 1. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1. GV : Nguyễn Thị A. . Bài 2.4 : Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) tại x = x0  Tìm TXĐ  Tính y’ , y”.  y '  x0   0  y "  x0   0. . Hàm số đạt cực đại tại x = x0  .  a.b  0  b0.  . Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A thuộc Oy thì tam giác ABC cân tại A. -------------------------------------------Phần 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ.  y '  x0   0 )  y "  x0   0. ( Hàm số đạt cực tiểu tại x0  .  Giải hệ tìm m. Bài 2.5 : Tìm m để hàm số bậc 3 có hai cực trị (hoặc có cực đại và cực tiểu) thỏa điều kiện K ( đk về x1, x2) . + Tìm TXĐ + Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. (*) + Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm của pt y’ = 0 ( Ta có thể suy ra các hoành độ này hoặc tổng , tích của các hoành độ) + Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K. So với điều kiện (*) để được m thỏa ycbt. Bài 2.6 : Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 có hai điểm cực trị thỏa đk K cho trước ( VD: đt qua 2 cực trị vuông góc hoặc song song với đt cho trước,….) + Tìm TXĐ + Tính y’ + Tìm m để hàm số có 2 cực trị. (*) + Lấy y chia y’ ta được : y = y’.g(x) + (ax + b) Gọi M 1  x1 , y1  , M 2  x2 , y2  là các điểm cực trị. => y '  x1   0 và y '  x2   0 Suy ra : y1  ax1  b ,. y2  ax2  b. Bài 3.1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a,b)  Xét hàm số trên (a,b)  Tính y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có )  Lập bảng biến thiên  Dựa vào BBT kết luận max y , min y .  a,b   a,b  Bài 3.2 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b]  Xét hàm số trên [a,b]  Tính y’ Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi  [a, b]  . Kết luận max y , min y . [ a,b] [ a,b] Bài 3.3 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b] hoặc trên R, với f(x) là hàm lượng giác phức tạp  Biến đổi f(x) về cùng một hàm số lượng giác của cùng một cung  Đặt t = HSLG đó . điều kiện của t Ta được : g(t) = … Tính g’(t) . Cho g’(t) = 0 tìm các nghiệm ti.  [ ,  ]. Tính g( ti) , g   , g   . 2. y  ax  bx  c  a 0 . . + TXĐ : D = R + Tính y’ = 4ax3 +2bx. x0  y'  0   2  4ax  2b  0.  *.  . Hàm số luôn đạt cực trị tại x = 0 Hàm số có 3 cực trị  y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt  pt (*) có 2 nghiệm phận biệt khác 0  a.b <0  Hàm số có 2 CĐ và 1 CT  y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a<0. a  0 b  0.   . Hàm số có 2 CT và 1 CĐ  y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a>0. a  0 b  0. . Tính y  xi  , y  a  , y  b .  t  [ ,  ] . Do đó : đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là dm : y = ax +b + Tìm m thỏa điều kiện K. + So với (*) kết luận m cần tìm . Bài 2. 7 : Cực trị của hàm trùng phương 4. Hàm số có đúng 1 cực trị  pt (*) vô nghịêm hoặc có nghiệm kép bằng 0.. Suy ra : max y  max g  t   .... khi x  .... [ , ] [ a,b]. min y  min g  t   .... khi x  .... [ , ] [ a,b] Bài 3.4 : tìm m để hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN ) bằng d trên [a,b]  Xét hàm số y = f(x) trên [a,b]  Tính y’ . cho y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có )  Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ <0) với mọi x thuộc [a,b] => hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên [a,b] )  Suy ra max y ( hoặc min y ) [ a,b] [ a,b]  Cho max y = d (hoặc min y =d ) tìm m. [ a,b] [ a,b] Bài 3.5 : Ứng dụng của GTLN, GTNN vào giải toán VD : trong các hình chữ nhật có chu vi 12cm , tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.. Trang 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1. GV : Nguyễn Thị A. Phần 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 4.1 : Khảo sát hàm bậc 3 , bậc 4 trùng phương  B1 : Tập xác định : D = R  B2: Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm nghiệm .  B3 : Giới hạn : lim y và lim y x . * Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2)..  f  x   g  x  có n0 ' '  f  x   g  x . (C1) tiếp xúc với (C2) . x . . B4: Bảng biến thiên Kết luận : Đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực tiểu  B5: Bảng giá trị : ( 5 điểm đặc biệt)  B6 : Vẽ đồ thị. ( Nhận xét : Đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương nhận Oy làm trục đối xứng) Bài 4.2 : Khảo sát hàm. b1 b1. : y. ax  b cx  d.  d    c . B1 : Tập xác định : D =  \ . . B2: Tính y’.Nhận xét y’>0 hoặc y’ <0, x . . B3 : Giới hạn và tiệm cận : + lim y  y0. d c.  y = y0 là tiệm cận ngang. lim  y   và lim  y   (-  hoặc+  ).  d  x    c .  d  x    c . y  y0  y '  x0  .  x  x0 .  d có hệ số góc k => y '  x0  = k. Giải tìm x0 . suy ra y0 = y(x0)  Suy ra Pt tiếp tuyến d. Cách 2: Dùng đk tiếp xúc + Pt tiếp tuyến d có dạng : y = kx +b.  f  x   kx  b có nghiệm '  f  x   k. + d tiếp xúc với (C)  . + Giải hệ tìm b . Viết pttt d. Lưu ý : Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được cho gián tiếp như sau : + d song song với    : y  k2 x  b2 => k = k2. d x là tiệm cận đứng. c . B4: Bảng biến thiên . Kết luận : - Hàm số đồng biến , nghịch biến trên từng khoảng xác định. - Hàm số không có cực trị.  B5 : Bảng giá trị : ( 4 điểm đặc biệt)  B6 : Vẽ đồ thị. Bài 4.3 : Dựa vào đồ thị (C): y  f  x  đã vẽ, biện. + d vuông góc với    : y  k2 x  b2 => k  + d tạo với    : y  k2 x  b2 một góc  thì. k  k2  tan  ,    00 ,900  1  k1k2. . luận theo m số nghiệm của phương trình F  m, x   0 (1) . Tìm x0, y0. Tính y’ . => y’(x0) Pt tiếp tuyến của (C) tại M  x0 , y0  có dạng :.  Tiếp tuyến d cần tìm có dạng: y  k .  x  x0   y0. x . +.   . Bài 4.5 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.  Gọi M  x0 , y0  là tiếp điểm..  ad  bc  0 . . Bài 4.4 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) tại điểm M  x0 , y0 . Đưa pt (1) về dạng : f  x   g  m . . Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d : y = g(m) ( nằm ngang) Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (C)và d.  Dựa vào đố thị, lập bảng biện luận và kết luận. g(m) m Số nghiệm pt (1). . 1 k2. . +d tạo với chiều dương của trục hoành 1 góc  thì k = tan  Bài 4.6 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A (xA, yA)  Gọi d là tiếp tuyến qua A (xA, yA) và có hệ số góc k . Suy ra : d : y  k  x  x A   y A . d tiếp xúc với (C)  hệ pt sau có nghiệm :.  f ( x)  k  x  x A   y A  f ' x  k .  Giải hệ tìm x ( pp thế). => k . Viết pttt. Cách 2: tìm tọa độ tiếp điểm :  Gọi M 0  x0 , y0  là tiếp điểm.Khi đó y0  f  x0 . - Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số * Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Pt tiếp tuyến của (C) tại điểm M  x0 , y0  có dạng :. y  y0  f '  x0  .  x  x0 . Trang 3. Lop12.net.  Pt tiếp tuyến d tại M có dạng :. y  y0  y '  x0  .  x  x0 . . Vì d qua A(xA, yA) nên :. . Giải pt tìm x0 . Từ đó viết pttt.. y A  y0  y '  x0  .  x A  x0 .

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1. GV : Nguyễn Thị A. Bài 4.7: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường: Cho 2 hàm số y = f(x, m) và y = g(x, m) có đồ thị lần lượt là.  C1  ,  C2  . Biện luận theo m số giao điểm của (C1) và (C2): * B1 : Lập pt hoành độ giao điểm của  C1  và  C2 . f(x,m) = g(x, m) (1) * B2: Biện luận theo m số giao điểm của  C1  và  C2  . Chú ý : * Nếu (1) là pt bậc hai thì ở bước 2 ta làm như sau: - Tính  . - Biện luận theo  => số nghiệm pt (1) => Số giao điểm của  C1  và  C2  .. xa  Ax  Bx  C  0 (2) - Tính  , Biện luận theo  => Số nghiệm pt(2) => số 2. nghiệm pt (1). Bài 4.8 : Nghiệm của pt bậc ba: Số n0 của pt b3 bằng số giao điểm của (C) với trục Ox Có 3 nghiệm tạo thành cấp số cộng Có 3 n0 đơn phân biệt Có 1 n0 kép, 1 n0 đơn Có duy nhất 1 n0 đơn. Đồ thị của hàm số và trục hoành Cắt tại 3 điểm cách đều nhau (hay 3 điểm lập thành CSC) Cắt nhau tại 3 điểm phân biệt Tiếp xúc nhau tại 1 điểm và cắt nhau tại 1 điểm Cắt nhau tại 1 điểm. a  0 b  0. Lưu ý :* ax + b = 0 , m  . a  0  * ax  bx  c  0, m  b  0 c  0 . Nếu.  Đặt F(m) = f(x0,m) . F(m) = y0 không đổi => F’(m) = 0 . Giải pt tìm x0.  Thay vào (*) tìm y0. Kết luận điểm cố định. Bài 4.11: Đồ thị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cho đồ thị (C) : y = f(x) . Dựa vào đồ thị (C) , vẽ đồ thị (C’) : a) y  f x , b) y  f ( x).  . f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và điểm uốn nằm trên trục Ox f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và yCĐ .yCT <0 f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và yCĐ .yCT = 0.  Vẽ đồ thị (C) : y = f(x) a) Đồ thị hàm số y  f ( x) Ta có:.  f ( x), y  f ( x)    f ( x),. f ( x)  0. b) Đồ thị hàm số y  f ( x ). b   x1  x2  x3  a  c   x1 x2  x2 x3  x1 x3  a  d   x1 x2 x3  a . Ta có: y  f ( x ) là hàm số chẳn và.  f ( x), y  f(x)  f ( x),. x  0 x  0. +Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung +Bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái trục tung. Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung qua trục tung. Suy ra đồ thị hàm số y  f ( x ). Bài 4.9 : Tìm những điểm trên đồ thị hàm hữu tỉ. P  x có tọa độ nguyên Q  x. * Phân tích y . f ( x)  0. +Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên trục hoành +Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành Suy ra đồ thị hàm số y  f ( x). Có 2 trường hợp : * f ’(x) = 0 có n0 kép hoặc vô n0. * f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và yCĐ .yCT >0. Định lí Viet về pt bậc 3:. y. Biến đổi pt theo ẩn m. Áp dụng đk pt có n0 m  các hệ số đồng thời bằng 0. giải tìm x0, y0. => Kết luận.. Cách 2:  Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm) M  x0 . y0    Cm  , m  y0  f  x0 , m  , m (*). . Pt bậc 3.  . 2. * Nếu (1) là pt bậc 3 thì ở bước 2 t a làm như sau : - Đoán 1 nghiệm của pt ( giả sử pt có nghiệm x = a) - Thực hiện phép chia đa thức ( Sơ đồ Hoocne). Ta có: (1)  (x-a)(Ax2 +Bx + C) = 0  . Bài 4.10 :Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x,m) Cách 1:  Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm) M  x0 . y0    Cm  , m  y0  f  x0 , m  có n0 m. P  x a , với A(x) là đa  A x  Q  x Q  x. thức , a   * Tọa đô điểm trên đồ thị nguyên  x nguyên và a là bội của Q(x). * Thử lại các giá trị m tìm được => Kết luận.. Trang 4. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>