Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt năm học 2007 - 2008 đề thi môn: Toán dành cho học sinh các trường thpt không chuyên

<span class='text_page_counter'>(1)</span>së gd&®t vÜnh phóc -----------------------đề chính thức. kú thi chän häc sinh giái líp 12 thpt n¨m häc 2007-2008 đề thi môn: toán Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ------------------------------------. 3 x  y  x  y Bài 1. Giải hệ phương trình:   x  y  x  y  2. cos x )  log (cos x) Bài 2. Giải phương trình: 2 log ( 3 sin x 2. Bài 3. Tìm tất cả các cặp số thực (a ; b) để với mọi xR ta có: a(cos x  1)  b 2  1  cos(ax  b 2 )  0 Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy của hình chóp có độ dài bằng 2, chiÒu cao b»ng h. Gäi C1(O; r) lµ h×nh cÇu t©m O b¸n kÝnh r néi tiÕp h×nh chãp; gäi C2(K; R) lµ hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với 8 cạnh của hình chóp. Biết rằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) bằng khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD). a) Chøng minh r»ng: r . 1 h2 1 h. b) Tính giá trị của h, từ đó suy ra thể tích của hình chóp. Bµi 5. Cho f lµ mét hµm liªn tôc trªn [0; 1] tháa m·n f (0)  f (1) . Chøng minh r»ng víi bÊt kú 1 n. số nguyên dương n nào cũng tồn tại một số c  [0 ;1] sao cho f (c)  f (c  ) .. ----HÕt---(C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm). Hä vµ tªn thÝ sinh ....................................................................................... SBD........................ Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> së gd&®t vÜnh phóc ------------------------. kú thi häc sinh giái líp 12 thpt n¨m häc 2007-2008 hướng dẫn chấm môn: toán (Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên) ------------------------------------. Bµi 1 (2.0 ®iÓm): Néi dung tr×nh bµy. §iÓm. x  y  0 §K:  x  y  2  0. 0.25. x  y Lập phương hai vế PT đầu của hệ có: x  y  ( x  y ) x  y   x  y  1 y  0 +Víi x  y thay vµo PT thø hai cña hÖ cã: 2 y  2( y  1)   2  y 1 2 y  y  1  0  §èi chiÕu §K, suy ra ( x; y )  (1; 1) lµ mét nghiÖm cña hÖ. +Víi x  y  1 thay vµo PT thø hai cña hÖ cã: 1  1 3 y   2y 1  2y  3    y x 2 2 2 2 y 2  y  1  3 1 §èi chiÕu §K, suy ra ( x; y )  ( ; ) lµ mét nghiÖm cña hÖ. 2 2 Vậy hệ PT đã cho có 2 nghiệm như trên.. 0.50. 0.50. 0.50 0.25. Bµi 2 (2.5 ®iÓm): Néi dung tr×nh bµy. §iÓm. sin x  0 §K:  cos x  0. 0.25. cos x 2 )  log 2 cos x (1) PT đã cho  log 3 ( sin x. 0.25. §Æt t  log 2 cos x  cos x  2 t (2). Tõ (1)&(2) suy ra:. t. 4  3t t 1 4. t  0 t t  0  4 t . §Æt f (t )     4 t  t   4  t t t 3 4  3  12    4  1 (3)  3  Dễ thấy f (t ) đồng biến và f (1)  1  (3)  t  1 1  Thay t  1 vµo (2)  cos x  , kÕt hîp víi §K suy ra: x   k 2 , k  Z 2 3 Vậy PT đã cho có duy nhất họ nghiệm: x . . 3.  k 2 , k  Z. 0.50. 0.50 0.50 0.25 0.25. Bµi 3 (1.5 ®iÓm): Néi dung tr×nh bµy.  f ' ( x)  0 x  R Đặt f ( x)  a (cos x  1)  b 2  1  cos(ax  b 2 ) . Khi đó f ( x)  0 x  R    f (0)  0  a sin x  a sin( ax  b 2 )  0 x  R (1)  2 . Dễ thấy (2)  b  0 . Khi đó: b  1  cos b 2  0 (2) a  0 (1)  a sin( ax)  a sin x x  R   a  1 Thö l¹i thÊy (a ; b)  (0 ; 0) vµ (a ; b)  (1; 0) tháa m·n yªu cÇu. VËy cã hai cÆp sè (a ; b) cÇn t×m. Lop12.net. 1. §iÓm 0.50 0.50 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bµi 4 (3.0 ®iÓm):. Néi dung tr×nh bµy a) Gọi I là tâm ABCD; M, J, N tương ứng là trung điểm DA, AB, BC DÔ thÊy O vµ K cïng n»m trªn ®­êng th¼ng SI.. §iÓm. Trong SMN cã: IN = 1  SN  h 2  1  nöa chu vi SMN: p  1  h 2  1 . DÔ thÊy r chÝnh lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp SMN. MÆt kh¸c cã: 1 h2 1 (1). h 1 h2 1 b) Hình cầu (C2) tiếp xúc cạnh AB tại J, khoảng cách từ K đến mp(ABCD) = r Suy ra: R 2  KJ 2  1  r 2 .  AE  AJ  1 Gäi E lµ tiÕp ®iÓm cña (C2) víi SA    SE  SA  1 (2) E  SA Xét 2 trường hợp: TH1: K ≡ O.. 2 S SMN  SI .MN  2. p.r  2h  2.(1  h 2  1).r  r . h. 0.25. . 0.25 0.25 0.50. Từ (2) suy ra: SE  SI 2  IA 2  1  h 2  2  1 (3). MÆt kh¸c SE  SO 2  OE 2  (h  r ) 2  R 2  (h  r ) 2  1  r 2 (4). 0.50. Tõ (1), (3), (4) cã: 1  1  h  h  2 , dÔ thÊy kh«ng tån t¹i h tháa m·n. TH2: K đối xứng O qua I.. 0.25. Khi đó có SE  SK 2  KE 2  (h  r ) 2  R 2  (h  r ) 2  1  r 2 (5).. 0.50. 7 3. 0.25. 2. Tõ (1), (3), (5) cã:. 2. h 2  1  h 2  2  3 , gi¶i PT ®­îc duy nhÊt h . TÝnh ®­îc thÓ tÝch cña h×nh chãp b»ng:. 4 7 9. 0.25. Bµi 5 (1.5 ®iÓm): Néi dung tr×nh bµy 1 §Æt g ( x)  f ( x)  f ( x  )  g (x) lµ hµm liªn tôc trªn [0; 1] n 1 n 1 )  f (0)  f (1)  0 (1) Với mỗi số nguyên dương n tính được: g (0)  g ( )  ...  g ( n n i j Do g liªn tôc, nªn tõ (1)  tån t¹i i , j Z  vµ 1  i , j  n sao cho g ( )  0 vµ g ( )  0 (2) n n k i j Tõ (2) vµ g liªn tôc  tån t¹i c  n»m gi÷a vµ (khi đó c  [0;1] ) sao cho: g (c)  0 n n n 1  f (c)  f (c  ) (§pcm). n. -----------------------------Lop12.net. 2. §iÓm 0.50 0.25 0.25. 0.50.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>