Bài giảng luyện thi Hình học 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------$ 1 . VEC TƠ, CÁC PHÉP TOÁN VỀ VEC TƠ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1) Caùc ñònh nghóa: - Veùc tô - Hai véc tơ cùng phương, cùng hướng - Veùc tô – khoâng - Độ dài véc tơ, hai véc tơ bằng nhau. 2) Caùc quy taéc: uur uuur uuur Quy taéc ba ñieåm: " A, B, C baát kì ta coù AB + BC = AC uur uuur uuur Quy taéc hình bình haønh: Neáu ABCD laø hình bình haønh thì AB + AD = AC uur uur uur Quy tắc hiệu: Cho hai điểm A, B với điểm O bất kì ta có OB - OA = AB 3) Caùc tính chaát: Cho I laø trung ñieåm AB, M baát kì thì ta coù uur uur r * IA + IB = O uuur uuur uuur * MA + MB = 2 MI Cho G laø troïng taâm tam giaùc ABC, M baát kì ta coù uur uuur uuur r * GA + GB + GC = O uuur uuur uuur uuur * MA + MB + MC = 3MG r r r r r r a vaø b cuøng phöông, a ¹ 0 Û $k Î ¡ : b=k.a uur uuur (A, B, C thaúng haøng ) Û $k Î ¡ : AB = k.AC r r r r r r Nếu a và b không cùng phương, x bất kì. Khi đó tồn tại duy nhất cặp (m, n) sao cho x=ma+nb. (. ) (. ). (. ). II. Baøi taäp.. uuur uuur uuur uuur BT 1. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi MA + MC = MB + MD, " M ? uur uuur uuur uuur uuur uuur HD :ABCD laø hbh Û AB = DC Û MB - MA = MC - MD, " M uuur uuur uuur uuur Suy ra: hai đoạn thẳng AC, BD có chung trung điểm khi MA + MC = MB + MD, " M . BT 2. Cho ngũ giác ABCDE. Trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE lần lượt là M, N, P, Q. I là 1 trung điểm MP, J là trung điểm NQ. Chứng minh rằng IJ P AE , IJ = AE . 4 Hướng dẫn:. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------BT 3. Gọi H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh raèng uur uur uuur uuur a) OA + OB + OC = OH uuur uuur uuur uuur b) HA + HB + HC = 2 HO HD. - Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua O. CMR AB’CH laø hình bình haønh? - Goïi D laø trung ñieåm cuûa BC. CMR AH= 2OD? Suy ra: uur uuur uuur uuur uuur a) OA = OH + HA = OH - AH uuur uuur = OH - 2OD uuur uur uuur = OH - OB + OC uur uur uuur uuur hay OA + OB + OC = OH (1) b) Goïi G laø troïng taâm tam giaùc ABC ta coù uuur uuur uuur uuur HA + HB + HC = 3HG uuur uuur = 3 HO + OG uuur uur uur uuur = 3HO + OA + OB + OC (2). (. (. ). ). Từ (1), (2) suy ra đpcm cho b). BT 4. Cho tam giác ABC trọng tâm G, M tùy ý. A1, B1, C1 lần lượt là các điểm đối xứng của M qua caùc trung ñieåm I, J, K cuûa caùc caïnh BC, CA, AB. a) CMR AA1, BB1, CC1 đồng quy tại trung điểm O của mỗi đoạn? b) CMR M, O, G thaúng haøng? HD : a) uuur uuuur uuur uuur uuur MA + MA1 = MA + MB + MC uuur uuuur uuur uuur uuur MB + MB1 = MA + MB + MC uuur uuuur uuur uuur uuur MC + MC1 = MA + MB + MC uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur Þ MA + MA1 = MB + MB1 = MC + MC1. Þ AA1 , BB1 , CC1 coù chung trung ñieåm O. b) uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur 2 MO = MA + MA1 = MA + MB + MC = 3MG uuur 3 uuur Þ MO = MG 2 BT 5. Cho tam giác ABC, M là điểm tùy ý trên cạnh BC. Chứng minh rằng: uuur MC uur MB uuur AM = AB + AC . BC BC HD : uuur uur uuur uuur uur uuur uuur uur uuur ïìï AM = AB + BM ïìï MC. AM = MC. AB + MC.BM uuur uuur uuur Þ BC AM = MC. AB + MB. AC í uuur uuur uuur Þ í ïï AM = AC + CM ïï MB. AM = MB. AC + MB.CM îï îï uuur uuur r Vì : MC.BM và MB.CM cùng độ dài ngược hướng nên tổng bằng 0. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------BT 6. Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn AD, BC sao cho uur uuur uuur nAB + mDC MA NB m = = . Chứng minh rằng MN = . MD NC n m+ n HD : uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur ìï MN = MA + AB + BN ìï nMN = nMA + nAB + nBN uuur uur uuur ï ï uuur uuur uuur Þ (m + n) MN = n. AB + m.DC í uuur uuur uuur uuur Þ í uuur ïï MN = MD + DC + CN ïï mMN = mMD + mDC + mCN îï îï uuur uuur ìï n.MA vaø m.MD r ï Vì : í uuur uuur cùng độ dài ngược hướng nên tổng bằng 0. ïï n.BN vaø m.CN ïî BT 7.Cho đoạn thẳng AB và hai số a , b không đồng thời bằng 0. CMR: uur uur r . a) Neáu a + b = 0 thì khoâng toàn taïi I sao cho a IA + b IB = 0 uur uur r b) Neáu a + b ¹ 0 thì toàn taïi duy nhaát ñieåm I sao cho a IA + b IB = 0 BT 8. Cho tam giác ABC và ba số a , b , g không đồng thời bằng 0. CMR: uur uur uur r a) a +b +g ¹ 0 thì toàn taïi duy nhaát ñieåm I sao cho a IA + b IB + g IC = 0 uur uur uur r b) a +b +g = 0 thì khoâng toàn taïi ñieåm I sao cho a IA + b IB + g IC = 0 Giaûi.. a) a +b +g ¹ 0 Þ (a +b )+ (b +g)+ (g +a ) ¹ 0 Þ moät trong ba soá a +b , b +g , g +a ¹ 0 uur uur r Chẳng hạn a +b ¹ 0. Khi đó tồn tại điểm E sao cho a EA + b EB = 0, suy ra uur uur uur r uur uur uur uur uur r a IA + b IB + g IC = 0 Û a IE + EA + b IE + IB + g IC = 0 uur uur r Û (a + b )IE + g IC = 0 neân toàn taïi I laø duy nhaát.. (. ) (. ). b) C/m bằng phản chứng. BT 9. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) MA + 3MB - 2 MC = 2 MA - MB - MC uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) 2 MA + MB + MC = MA + 2 MB + 3MC Giaûi.. uur uur uur r a) Lấy điểm I sao cho IA + 3IB - 2 IC = 0. Khi đó uuur uuur uuur uuur " M, ta coù MA + 3MB - 2 MC = 2 MI uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Maët khaùc 2 MA - MB - MC = MA - MB + MA - MC uur uur uur = BA + CA = 2 EA ( E trung ñieåm BC) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur Suy ra MA + 3MB - 2 MC = 2 MA - MB - MC Û 2 MI = 2 EA. Vậy tập hợp M là đường tròn tâm I, bán kính EA. uur uuur uuur ìï GA + GB + GC = 0r ï b) Laáy 2 ñieåm G, H sao cho í uuur khi đó với mọi M, ta có uuur uuur ïï HA + 2 HB + 3HC = 0r ïî uuur uuur uuur uuur ìï MA + MB + MC = 3MG uuur uuur uuur uuur uuur uuur ïí uuur uuur uuur uuur Þ 2 MA + MB + MC = MA + 2 MB + 3MC ïï MA + 2 MB + 3MC = 6 MH ïî uuur uuur Û 2 3MG = 6 MH Û MG = MH Vậy tập hợp M là đường trung trực của đoạn GH. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------BT 10. Cho tam giác ABC và đường thẳng D . Tìm trên D điểm M sao cho uuur uuur uuur MA + MB + 3MC đạt giá trị nhỏ nhất? uur uur uur r Giải. Lấy I sao cho IA + IB + 3IC = 0. Khi đó " M ta có uuur uuur uuur uuur MA + MB + 3MC = 5MI uuur uuur uuur uuur Vậy MA + MB + 3MC đạt giá trị nhỏ nhất Û 5MI đạt GTNN vì M Ỵ D suy ra M là chân đường cao hạ từ I xuống D . BT 11.Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với AB, BC, CA lần lượt tại M, N, uur uur uur r P. CMR: BC.IM + AC.IN + AB.IP = 0 Ta coù ìï AP = AN = p - a ïï ïí BM = BP = p - b ïï ïïî CN = CM = p - c æ a + b + cö ÷ ç ÷ p= ç ÷ ç ÷ 2 è ø uur uur uuur ìï IM = IB + BM ï í uur uur uuur ïï IM = IC + CM ïî uur uur uuur ìï MCIM = MCIB + MCBM ï Þ í uur uur uuur ïï MBIM = MBIC + MBCM ïî uur MC uur MB uur Þ IM = IB + IC BC BC uur uur uur Þ aIM = ( p - c)IB + ( p - b)IC Tương tự ta có uur uur uur ìï aIM = ( p - c)IB + ( p - b)IC ïï uur uur uur uur uur uur uur uur ïï uur bIN = ( p a ) IC + ( p c ) IA Þ aIM + bIN + cIP = aIA + bIB + cIC (*) í ïï uur uur uur ïï cIP = ( p - b)IA + ( p - a)IB ïî uur uur uur r HB c Ta c/m aIA + bIB + cIC = 0 thaät vaäy. Goïi H=AI Ç BC ta coù = HC b uur uur uur uur uur uuur uur uuur vaø aIA + bIB + cIC = aIA + b( IH + HB) + c( IH + HC ) uur uur uuur uuur r =aIA + (b + c)IH + bHB + cHC 144442r 44443 = 0 ( Do a+b+c ¹ 0 vaø I, A, H thaúng haøng) 0. BT 12. Cho tam giaùc ABC, ñieåm M baát kì trong tam giaùc. Ñaët S(MBC)= Sa , S(MCA)= Sb , uuur uuur uuur r S(MAB) = Sc. CMR: Sa MA + Sb MB + Sc MC = 0 Gọi H là giao điểm của MA với BC. Ta có uuur HC uuur HB uuur MH = MB + MC BC BC HC S( MHC ) S( MAC ) Sb Nhöng = = = HB S( MHB) S( MAB) Sc. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ìï ïï ïï Þ ïí ïï ïï ïïî. Sb HC = BC Sb + Sc Sc HB = BC Sb + Sc. uuur HC uuur HB uuur Sb uuur Sc uuur Þ MH = MB + MC = MB + MC (*) BC BC Sb + Sc Sb + Sc. Sa MH S( MHB) S( MHC ) S( MHB) + S( MHC ) = = = = MA S( MAB) S( MAC ) S( MAB) + S( MAC ) Sb + Sc uuur Sa uuur Þ MH = MB (**) Sb + Sc Maët khaùc. Từ (*), (**) ta có đpcm. BT 13. Cho tam giác đều ABC tâm O, M bất kì nằm trong tam giác. D, E, F lần lươt là chân đường cao hạ từ M xuống BC, CA, AB và H, I, K lần lượt là điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB. CMR: uuur uuur uuur 3 uuur a) MD + ME + MF = MO 2 b) Tam giaùc ABC vaø tam giaùc HIK coù cuøng troïng taâm? Gọi AT, BS, CV là ba đường cao của tam giaùc ABC. Ñaët S(MBC)= Sa , S(MCA)= Sb , S(MAB) = Sc , S(ABC)= S ta coù uuur uuur uuur r Sa MA + Sb MB + Sc MC = 0 (1) Maët khaùc. uuur r r r S uuu MD uuu 3 Sa uuu MD = AT = a AT = AO AT S 2 S uuur uu u r S 3 b Tương tự ME = BO 2 S uuur r 3 Sc uuu MF = CO 2 S uuur uuur uuur Þ MD + ME + MF uuu r uuu r uuu r 3 = Sa AO + Sb BO + Sc CO 2S. (. ). 3 é uuur uuur êS MO - MA + Sb 2S ë a 3 uuur = MO (Sa + Sb + Sc )2S. =. (. uuur uuur uuur uuur ù MO - MB + Sc MO - MC ú û uuu r uuu r uuu r 3 3 uuur Sa MA + Sb MB + Sc MC = MO 2S 144444444442 44444444443 2. ) (. ) (. (. ) ). r 0. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) MH + MI + MK = 2 MD + ME + MF = 3MO suy ra O laø troïng taâm tam giaùc HIK.. (. ). BT 14. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’; A’’, B’’, C’’ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác BCA’, CAB’, ABC’. G, G’, G’’ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC, A’B’C’, A’’B’’C’’. CMR G, G’, G’’ thaúng haøng. BT 15. Cho tứ giác ABCD; X, Y, Z, T theo thứ tự là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. CMR: AX, BY, CZ, DT đồng quy tại trọng tâm của tứ giác. BT 16. Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) MA + MB + MC + MD = MA + MB - 2 MC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) 4 2 MA - MB + 3MC - MD = 3 2 MB + 3MC - MD. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------$2. PHAÂN TÍCH MOÄT VEÙC TÔ THEO HAI VEÙC TÔ KHOÂNG CUØNG PHÖÔNG I. Kiến thức.       * a, b không cùng phương. Khi đó x tồn tại duy nhất cặp số (m, n) sao cho: x=ma+nb m  m '       * a, b khoâng cuøng phöông thì: ma+nb=m'a+n'b   n  n '   *M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  1 nếu MA  k MB.      OA  kOB * MA  k MB (k  1), O baát kì ta coù: OM  1 k II. Baøi taäp. BC  n  0. AC  BD  O . Phaân tích veùc tô Bài 1. Cho hình thang ABCD (BC, AD là hai đáy), AD    AO theo caùc veùc tô AB vaø AD . Do BOC và AOD đồng dạng, ta có:    BC  nAD OC BC    n     AO AD OC  nAO       Maët khaùc AC  AO  OC  AO  nAO   1  n AO  1  1    AO  AC  AB  BC 1 n 1 n 1    AB  nAD 1 n 1  n   AB  AD 1 n 1 n.  . . . Bài 2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H đối xứng với B qua G.  2  1   1   a) CMR: AH  AC  AB vaø CH   AB  AC 3 3 3  1  5  b) M laø trung ñieåm BC. CMR: MH  AC  AB . 6 6. . a).    * AH  AB  2 AG 4  2    AM  AB  AC 3 3  2  1   AH  AC  AB 3   3 * CH  CB  2CG 4  2    CN  CB  CA 3 3  2  1   CH  CA  CB 3 3 2  1    CA  CA  AB 3 3    1  AB  AC 3. . . . . . . . . Lop10.com. .

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------   1   1  1  1   5  1  b) MH  MC  CH  BC  CH  BA  AC  AB  AC   AB  AC 2 2 2 3 6   6   Bài 3. Cho tam giác ABC. D, I là các điểm xác định bởi hệ thức 3DB  2 DC  0 và     IA  3IB  2 IC  0 .  a) Tính AD theo AB, AC . b) CMR: A, I, D thaúng haøng.   c) M là trung điểm của AB, N là điểm sao cho AN  k AC . Xác định k để AD, MN, BC đồng quy? HD: Ta coù:    3DB  2 DC  0  2   DB  DC 3 2    DB  BC  3  DB  2 BC. . . . .           1  IA  3IB  2 IC  0  IA  IB  2 IC  IB  IM  BC  DB M laø trung ñieåm AB 2  I laø trung ñieåm cuûa AD.          a) DB  2 BC  DA  AB  2 BA  2 AC  AD  3 AB  2 AC    1   1  b) AI  AM  MI  AB  BD  AD  A, I , D thaúng haøng. 2 2 c) Ta coù AD  BC=D.   Để AD, BC, MN đồng quy thì D, M, N thẳng hàng  DM  mDN (1)  1   1   2   1  5  2    Từ gt ta có DM  DA  DB   DA  DC    DA  DC  DA  2 2 3 3  23      5 1  DA  AC (2) 6  3     DN  DA  AN  AB  k AC (3). . . . . . . . .  5 m          5 1  6 k2 Từ (1),(2),(3) suy ra: DA  AC  m AB  mk AC   6 3 5 m.k  1  3.  2  Baøi 4. Cho tam giaùc ABC, treân BC laáy ñieåm D sao cho BD  BC , goïi E laø ñieåm thoûa maõn heä 5     thức 4 EA  2 EB  3EC  0 .    a) Tính ED theo EB, EC . b) CMR: A, E, D thaún g haøng. c) F là điểm sao cho AF  k AC . Xác định k để B, E, F thẳng hàng?     d) Hãy xác định điểm I và số thực m sao cho: 2 MA  3MB  MC  mMI M Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------$3. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ I. Kiến thức.      1. Ñònh nghóa. a.b  a b cos(a, b ) 2. Tính chaát.   * a.b  b .a      * a b  c  a.b  a.c   a  0      * a.b  0   b  0  a  b   a  b   2 2 * a   a     * OA.OB  OA.OB ' ( B ' laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa B leân OA). . . I. Baøi taäp. Baøi 1. Cho tam giaùc ABC coù AB = 2.a, AC = a, goùc A = 1200. M laø trung ñieåm AC. a) Tính BC vaø BM?    b) Goïi N laø ñieåm treân BC sao cho BN = x. Tính AN theo AB vaø AC ? c) Tìm x để AN vuông góc với BM? HD: a)   2 BC2  AC  AB. . .  AC 2  AB 2  2 AB. AC.cos1200  7a 2  BC  a 7    1   Tương tự BM  AM  AB  AC  AB 2 a  BM  21 2 b) BN  x , CN  a 7  x     x.NC  a 7  x NB  0. . . . .  .  NB  NC    1  AN  AC  AB  x AC  a 7  x AB BC BC a 7   3a 7 c) AN  BM  AN .BM  0  ...  x  4 Bài 2. Cho tam giác ABC đều, độ dài cạnh 3.a. Lấy M, N, P lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = a,  CN = 2.a, AP  = x(0  < x < 3.a). a) Tính AM theo AB vaø AC ?  1   x   b) CMR: PN   AC  AB  3 a  c) Tìm x để AM vuông góc với PN? Bài 3. Cho tam giác ABC đều, nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. a) CMR : M  (O )  MA2  MB 2  MC 2  6 R 2     b) Ñaët P=MA 2  2 MB 2  3MC 2 .cmr : P  2 MO OA  2OB  3OC. . c) Tìm M trên (O) để P đạt GTLN, GTNN. Tìm các giá trị đó? Lop10.com. .

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------           HD: c) P=2 MO OA  2OB  3OC  2 R. OA  2OB  3OC cos MO, OA  2OB  3OC        2 R. OA  2OB  3OC  P  2 R. OA  2OB  3OC (*)          Maët khaùc OA  2OB  3OC  OA  OC  2 OB  OC  CA  2CB   2    CA  2CB  CA2  4CB 2  4CACB  7CA2    CA  2CB  a 7  R 21(ñònh lí sin) (**). . . . . .  . . . . Từ (*), (**) ta có -2R 2 21  P  2 R 2 21. Baøi 4. Cho tam giaù ABC, G là trọng tâm. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:  c a) MBMC  MBMG  AB 2     b) 2 MA  3MB MA  2 MB  0      c) 2 MA  3MB MA  MB  MC  0  d ) MB 2  MC 2  3MBMC.  .  . . . e) 2 MA2  MB 2  2 MC 2 Bài 5. Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. a2  b2  c 2 cos A cos B cos C a) CMR :    2abc a b c     AB AC  b) CMR : M naèm treân tia phaân giaùc Ax cuûa goùc A  AM   0  c b   c) A ' laø trung ñieåm BC. CMR: A'  Ax  b  c Bài 6. Cho hình chữ nhật ABCD. H là hình chiếu của A lên BD; M, N lần lượt là trung điểm của BH, CD. CMR: MA vuông góc với MN. HD :   1    AM  2 AB  AH      MN  1 BC  HD  2    AM .MN  ......  0.  .  . Bài 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  (O, R).   a) CMR: H là trực tâm khi và chỉ khi OH  OA  OB  OC b) Khi tam giác ABC không đều. Tìm điểm M thuộc (O, R) sao cho MA2  MB 2  MC 2 đạt GTLN, GTNN. Bài 8. Tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). D là trung điểm AB, E là trọng tâm tam giác ADC. CMR: OE vuông góc với CD.  1   1    CD  CA  CD  OA  OB  2OC 2 2  1    1   1     OE  OA  OD  OC  OA  OA  OB  OC  3 3 2        1  3OA  OB  2OC 6  CD.OE  ...  0.   .   . . . . . Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài 9. Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. H, K lần lượt là trực tâm tam giác AOB và COD. I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC. CMR: HK vuông góc với IJ. HD     HK  OK  OH      IJ  AB  DC        HK .IJ  OK . AB  OH .DC        OK OB  OA  OH OC  OD          OK .OB  OH .OD  OK .OA  OH .OC (1). . .  . .  .      OK  CK  CO  DK  DO Maët khaùc ta coù:       suy ra OH  BH  BO  AH  AO        OK .OB  CK  CO OB  OB.OC          *          OK .OB  OH .OD  OB.OC  OA.OD (2) OH .OD  AH  AO OD  OA.OD         OK .OA  DK  DO OA  OA.OD          *          OK .OA  OH .OC  OA.OD  OB.OC (3) OH .OC  BH  BO OC  OB.OC  Từ (1), (2), (3) ta có đpcm. Baøi 10. Cho tam giaùc ABC caân taïi A, M laø trung ñieåm BC, H laø hình chieáu cuûa M treân AC vaø E là trung điểm MH. CMR: AE vuông góc với BH. HD.    2 AE  AM  AH      BH  BM  MH        2 AE.BH  AM  AH BM  MH      AM .MH  AH .BM       AM .MH  AM  MH .MC      AM .MH  MH .MC      HM .MH  MH .MH  0.    . .    . . . . . (ñpcm)..  1  Bài 11. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Điểm E xác định bởi AE  AB . Tìm trên AC 3 điểm M sao cho BM vuông góc với CE.. HD.  1     AE  AB  2 AE  BE  0 3    2CE  2CA  2 AE  2  1   CE  CA  CB     3 3 CE  CB  BE. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  . a  x AM  xCM  0    a  x BM  a  x BA  a  x AM  a  x  x   BM  BA  BC.     a a  xBM  xBC  xCM    1  a Vaäy CE  BM  CE.BM  0  ...x   AM  AC 5 5 Bài 12. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = a. Gọi M, N, P là ba điểm lần lượt AM BN CP thuoäc ba caïnh AB, BC, CA sao cho . CMR: AN  PM vaø AN=PM.   AB BC CA HD : AM BN CP Giả sử   k AB BC CA    AM  k AB      BN  kBC    CP  kCA  Ta laïi coù       MP  AP  AM  1  k AC  k AB           AN  AB  BN  AB  kBC  k AC  1  k AB   2  2 Suy ra MP AN  k . 1  k AC  k 1  k AB  0  ñpcm   2 2   2  MP  1  k AC  k AB   1  k  AC 2  a2 AB 2  1  2k  2k 2 a2 .       ñpcm   2   2  AN  1  k AB  k AC   1  k 2 AB 2  a2 AC 2  1  2k  2k 2 a2    Bài 13. Cho hình thang vuông ABCD đường cao AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b. Tìm mối liên hệ giữa a, b, h để: i) AC vuông góc với DB. ii) IA vuông góc với IB với I là trung điểm của CD.   AC  DB  AC.BD  0      AB  BC AD  AB  0        AB AD  AB AB  BC AD  BC AB  0    h2  BC AD  0    BC. AD cos( BC , AD )  h2  0.  . . .  . .  a.b  h2  0  a.b  h2   1   1   IA  IB  AI .BI  0  AD  AC BD  BC  0 2 2          AD.BD  AD.BC  AC .BD  AC .BC  0      AD 2  AD.BC  BC 2  AC .BD  0        AD 2  AD.BC  BC 2  AB  BC BA  AD  0    2 2  AD  AD.BC  BC 2  AB  BC . AD  0. . . . . .  a 2  b 2  h 2  2ab  0  a  b  h. Lop10.com. .

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài 14. Cho tứ giác ABCD. M, N lần lượt là trung điểm AC, BD; P, Q lần lượt là trung điểm cuûa BC, AD. CMR: MN  PQ  AB  CD .    1  1   MN  MA  AN   AC  AB  AD 2 2      1  AB  AD  AC 2    1  1   PQ  PA  AQ  AD  AB  AC 2 2      1  AD  AB  AC 2. . . . . . . . .  2  2 1    2 1    MN  PQ  MN  PQ  AB  AD  AC  AD  AB  AC     4    4     AB. AD  AB. AC  AD. AC   AB. AD  AD. AC  AB. AC      AB. AD  AB. AC  0       AB AD  AC  0  AB.CD  0  AB  CD. . .  .  2. . Bài 15. Cho tứ giác ABCD có các đường chéo vuông góc với nhau, nội tiếp trong đường tròn (O,R). Gọi M là trung điểm của AB, S là giao của hai đường chéo. CMR: MS  CD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD và AC; Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC;    1     * OS  OE  OF  OB  OD  OA  OC 2  1   * OM  OA  OB 2    1     MS  OS  OM  OC  OD  ON     2  MS.CD  ON .CD  0  ñpcm. .  . . . . Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------$ 4. TOÁN QUỶ TÍCH I. Kiến thức. - Chọn đối tượng cố định cho trước, - Biểu diễn các vấn đề liên quan đến điểm cần tìm quỷ tích qua đối tượng cố định. - Keát luaän. II. Baøi taäp. Baøi 1. Cho tam giaù ABC,G là trọng tâm. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:  c a) MBMC  MBMG  AB 2     b) 2 MA  3MB MA  2 MB  0      c) 2 MA  3MB MA  MB  MC  0  d ) MB 2  MC 2  3MBMC.  .  . . . e) 2 MA2  MB 2  2 MC 2 Baøi 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:     a) MA.MC  MB.MD  a2 b) MA2  MB 2  MC 2  3MD 2      c) MA  MB  MC MC  MB  3a2. . . . d )2 MA2  MB 2  MC 2  MD 2. Gọi O là giao của hai đường chéo, ta có.     a) MA.MC  MB.MD  a2        MO  OA MO  OC  MO  OB        MO  OA MO  OA  MO  OB  2    2 MO  OA2  OB 2  a2  MO  a.  .  .  .  . MO  OD  a    MO   OB  a. 2. 2. Keát luaän. b) MA2  MB 2  MC 2  3MD 2   2   2   2   2  MO  OA  MO  OB  MO  OC  3 MO  OD  0         MO OA  OB  OC  3OD  0  3MO.DG  0  MO  DG. . .  .   .  . . Keát luaän.          c) MA  MB  MC MC  MB  3a2  3MG.BC  3a2  MG.BC  a2 (*). . . . Gọi K, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, G lên BC ta có:   a2 a2 MG.BC  a2  KH .BC  a2  KH   M  ()  BC và cách H một khoảng . BC BC      d )Gọi I là điểm thoả mãn hệ thức 2 IA  IB  IC  ID  0            IA  IA  ID  IB  IC  0  IA  DA  CB  0    IA  2 AD  I coá ñònh.   2   2    2   2 2 MA2  MB 2  MC 2  MD 2  2 MI  IA  MI  IB  MI  IC  MI  ID  0. .  .  MI 2  2 IA2  IB 2  IC 2  ID 2  0  MI 2  6a2 Lop10.com.      M  I , a 6 . .

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 3. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A vaø AB = c, AC  = b,BC = a. 2 2 a) Tìm điểm I thoả mãn hệ thức a IA  b IB  c 2 IC  0 b) Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức a2 MA2  b2 MB 2  c 2 MC 2  2b2 c 2 . Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A leân BC , ta coù: AB 2  BH .BC , AC 2  CH .BC. 1 1 1   2 2 AH AB AC 2.        AH  AB  BH  HC. AH  HC. AB  HCBH a)          AH  AC  CH HB . AH  HB . AC  HB . CH          BC. AH  HC. AB  HB. AC  BC 2 . AH  HC.BC. AB  HB.BC. AC         BC 2 . AH  AC 2 . AB  AB 2 . AC  a2 HA  b2 AB  c 2 AC  0         a2 IH  IA  b2 IB  IA  c 2 IC  IA  0 I baát kyø       a2 IA  b2 IB  c 2 IC  a2 IH  b2  c 2 IA        Vaäy a2 IA  b2 IB  c 2 IC  0  a2 IH  b2  c 2 IA  0  I laø trung ñieåm AH.. .  .   . . . . . b) Với I là trung điểm AH, ta có:   2   2   a2 MA2  b2 MB 2  c 2 MC 2  a2 MI  IA  b2 MI  IB  c 2 MI  IC. . . . . .  .  a2  b2  c 2 MI 2  a2 IA2  b2 IB 2  c 2 IC 2.  2. (*). b2 .c 2 b2 .c 2 2  IA  a2 4.a2 c 2  BH 2 AH 2 * IB 2   2 4 2 2 b  CH AH 2 * IC 2   2 4 b2 c 2 b2 c 2  b2 BH 2 b2 AH 2 b2 c 2  c 2CH 2 c 2 AH 2  a2 IA2  b2 IB 2  c 2 IC 2      4 2 4 2 4 2 2 2 2 5b c 1 a AH   CH .BC.BH 2  BH .BC.CH 2  4 2 4 2 2 2 1 AB AC .BC =b2 c 2  CH .BH .BC 2  b2 c 2  2 2 BC 2 3b2 c 2  (**) 2 3b2 c 2 Từ (*) và (**) ta được a2 MA2  b2 MB 2  c 2 MC 2  2b2 c 2  a2  b2  c 2 MI 2   2b 2 c 2 2  bc  b2 c2 bc  2a2 MI 2   MI   M  I, . 2 2a  2a  * AH 2 . . . . Lop10.com. .

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 4. Cho tam giaùc ABC vaø ñieåm M tuyø     a) CMR: m  2 MA  MB  3MC độc lập đối với M..   b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR: 2MA 2  MB 2  3MC 2  2 MO.m.. c) Tìm tập hợp điểm M sao cho 2MA 2  MB 2  3MC 2 .. Baøi 5. Cho tam giaùc ABC coù AB = c, AC = b, BC = a.. a2 a) Tìm tập hợp điểm N sao cho NB  NC  2 NA  2 2 2 2 b) Tìm tập hợp điểm M sao cho 3MA  2 MB  MC  l 2 . 2. HD :. a) NB  NC  2 NA 2. 2. 2. a2  AB 2  AC 2  2     2 AI AI  2 NA. . 2. 2.   2   2 a2 a2 2   NA  AB  NA  AC  2 NA  2 2       2 NA AB  AC  0  2 AI 2  4 NA. AI  0     0  2 AI NI  NA  0  NK  AI. . . .  . . . . . I laø trung ñieåm BC, K laø trung ñieåm AI.      A, B, C phaân bieät khoâng thaúng haøng, b)   ! I sao cho: 3IA  2 IB  IC  0 3+2-1  0         3 IA  IB  IB  IC  0  IN  3IM (*) M , N laø trung ñieåm AB, BC    2   Ta coù: 3MA 2  3 MI  IA  3MI 2  3IA2  6 MI .IA   2   2MB2  2 MI  IB  2 MI 2  2 IB 2  4 MI .IB   2   MC2  MI  IC  MI 2  IC 2  2 MI .IC. .        .  3MA 2  2 MB 2  MC 2  4 MI 2  3IA 2  2 IB 2  IC 2 (**). . . 3IA 2  2 IB 2  IC 2  3 IA 2  IB 2  IB 2  IC 2. .  3 AB 2   BC 2  3 AB 2 BC 2 2 2 2   6 IM 2   2 IN   6 IM  2 IN      2   2  2 2  2 2 2 2 6b 18b 3c a Từ (*),(**),(***) suy ra: 3MA 2  2 MB 2  MC 2  4 MI 2     16 16 2 2 1 =4 MI 2  6c 2  3b2  2a2 . 4  1 1 Vaäy 3MA 2  2 MB 2  MC 2  l 2  MI 2  l 2  6c 2  3b2  2a2  4 4 . . . (***). . . Bài 6. Cho tam giác ABC không nhọn. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2  MB 2  MC 2 .       HD : Goïi I laø ñieåm sao cho IA  IB  IC  0  IC  BA  ABIC h.b.h   2   2   2 MA2  MB 2  MC 2  MI  IA  MI  IB  MI  IC  0. .   .  . . . A 0  MI 2  IA2  IB 2  IC 2  IA2  AC 2  IC 2  2.CA.CI .cos ACI  MI 2  0  M  I. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------$ 5. TOÁN TÍNH TOÁN VAØ CHỨNG MINH HỆ THỨC HÌNH HỌC. 1. Kiến thức: * Các phép toán véc tơ và các tính chất. * Các quy tắc đã học. * Hệ thức lượng trong tam giác, chú ý trong tam giác vuông. * Cách xác định góc giữa hai véc tơ, hai đường thẳng. 2. Baøi taäp. Bài 1. Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. a2  b2  c 2 cos A cos B cos C a) CMR :    2abc a b c     AB AC  b) CMR : M naèm treân tia phaân giaùc Ax cuûa goùc A  AM   0  c  b   c) A ' laø trung ñieåm BC. CMR: A'  Ax  b  c        2 HD:a) AB  BC  CA  0  AB  BC  CA  0        a2  b2  c 2  2 AB.BC  2 AB.CA  2 BC.CA  0        a2  b2  c 2  2 BA.BC  2 AB. AC  2CB.CA  0. . .  a2  b2  c 2  2a.c.cos B  2c.b.cos A  2b.a.cos C  0 a2  b2  c 2 cos A cos B cos C    2abc a b c b)Goïi Ax laø tia phaân giaùc goùc A.        AB. AM AC. AM AM  AB AC  A A M  Ax  cos BAM  cos CAM      0 AB. AM AC. AM AM  AB AC      AB AC   AM   0  c b         AB AC  1    AB AC  c) A '  Ax  AA '      0  AB  AC  0  c   c  b 2 b           2 2 AB AB. AC AC. AB AC      0  c  b 1  cos A   0  ... c b c b Bài 2. Trên đáy của AB của tam giác cân ABC cho điểm P. Chứng minh rằng: PC 2  AC 2  AP.BP.         HD : Ta coù AC 2  AP.PB  AC 2  AC  CP PC  CB         AC 2  AC.PC  AC.CB  CP 2  CP.CB         AC 2  AC.PC  CB AC  CP  CP 2         AC AC  PC  CB AC  CP  CP 2       AC  CP AC  CB  CP 2              AP AC  CB  CP 2   AP CA  CB  CP 2   AP.CI  CP 2  CP 2 . . . .         . . .  . . . Nhận xét điểm P ở trong hay ngoài đoạn AB rồi kết luận đẳng thức cần c/m. Bài 3. Cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. IA2 IB 2 IC 2 Chứng minh rằng:    1. bc ca ab Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. HD: Dựng hình bình hành IA2CB2, ta có      IC  IB2  IA2   IB   IA.  . IB2 AC AC b  2  1  IB IB A1B c. IA2 BC BC a  2  1  IA IA BA c     1  aIA  bIB  cIC  0    2 Ta coù aIA  bIB  cIC  0.  . . .     a2 IA2  b2 IB 2  c 2 IC 2  2abIAIB  2bcIBIC  2caICIA  0 Maët khaùc      2  IA  IB  BA  IA  IB  AB 2  2 IAIB  IA2  IB 2  c 2      2  IB  IC  CB  IB  IC  CB 2  2 IBIC  IB 2  IC 2  a2      2  IC  IA  AC  IC  IA  AC 2  2 ICIA  IC 2  IA2  b2.   .   . .  .  . .  a2 IA2  b2 IB 2  c 2 IC 2  ab IA2  IB 2  c 2  bc IB 2  IC 2  a2  ca IC 2  IA2  b2  0. . .  a  b  c  aIA2  bIB 2  cIC 2  abc a  b  c  ñpcm.. Baøi 4. Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh BC = a, CA = b, AB = c. H laø tröc taâm vaø (O,R) laø đường tròn ngoại tiếp tam giác; I, J lần lượt là trung điểm của HA, BC. a) cmr: OH vaø IJ coù chung trung ñieåm.. b) cmr: AH 2  4 R 2  a2. . . c) cmr với mọi vị trí M ta có MA 2  MB 2  MC 2  MH 2  2 MO 2  const.. . d ) cmr: OH 2  9 R 2  a2  b2  c 2. . a) Gọi B’ đối xứng với B qua O. - C/M AHCB’ laø hình bình haønh. - C/M 2.OJ= CB’= HA= 2HI - Keát luaän.     b) Ta có OH  OA  OB  OC tự c / m       OH  OA  OB  OC     AH  OB  OC    AH 2  OB 2  OC 2  2OB.OC (*)    Maët khaùc OB  OC  CB    OB 2  OC 2  2OB.OC  BC 2    2OB.OC  OB 2  OC 2  BC 2 (**) Từ (*),(**) Ta có đpcm.. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------c) Ta coù.   2  MA 2  MO  OA  MO 2  OA2  2 MO.OA   2  MB2  MO  OB  MO 2  OB 2  2 MO.OB   2  MC2  MO  OC  MO 2  OC 2  2 MO.OC   2  MH 2  MO  OH  MO 2  OH 2  2 MO.OH.    .    .        2 2  VT  OA2  OB 2  OC 2  OH 2  2 MO.  OA  OB  OC  OH    3R  OH  const.    0       d ) Ta có OH  OA  OB  OC tự c / m     2        OH 2  OA  OB  OC  OA2  OB 2  OC 2  2OA.OB  2OB.OC  2OC.OA. . .   c .. . .  OA2  OB 2  OC 2  OA2  OB 2  AB 2  OB 2  OC 2  BC 2  OA2  OC 2  AC 2. .  9 R 2  a2  b2. . 2. Baøi 5. Cho tam giaùc ABC, treân caïnh AC laáy ñieåm M, treân caïnh BC laáy ñieåm N sao cho : AM = 3MC, NC = 2NB. O laø giao ñieåm cuûa AN vaø BM. Tính dieän tích tam giaùc ABC bieát dieän tích tam giaùc OBN baèng 1.. Ta coù 1 OI .NB SONB OI NO 2     x. SANB 1 AH NA AH .NB 2 1 SANB 2 AH .NB NB   3 SABC 1 CB AH .CB 2 3.SONB 3  SABC   . x x  NO  AO    Ta laïi coù BO  BA  BN  x.BA  1  x BN . NA NA  NB  NM    AO  AM  AB  y. AM  1  y AB. MB MB        AO  BO   y. AM  1  y AB    x.BA  1  x BN            AB  y. AM  1  y AB  x.BA  1  x BN      y. AM  x  y AB  1  x BN  0   1  x   3y   AC  x  y  AC  CB  CB  0 ( gt ) 4 3   3y  x  1   x  y AC  x  y CB   AC  CB 4 3   1 3y  x  10  x  y   4   x  1 x  y  y  2 3 5  . . . Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------$.6. TOÁN VỀ BĐT, GTLN, GTNN CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC. I. Kiến thức. - Nắm các quy tắc đã học - Các bất đẳng thức trong tam giác, bất đẳng thức trị tuyệt đối và các bất đẳng thức cổ điển đã học. - Hệ thức lượng trong tam giác. II. Baøi taäp. Baøi 1. Cho ABC, troïng taâm G. CMR M, ta coù: MA 2  MB 2  MC 2  MA.GA  MB.GB  MC.GC  GA2  GB 2  GC 2 HD :       * MA.GA  MA.GB  MA.GC  MA.GA  MA.GB  MA.GC          = MG  GA GA  MG  GB GB  MG  GC GC     =MG GA  GB  GC  GA2  GB 2  GC 2. .  . . .  . . =GA2  GB 2  GC 2 2 MA.GA  MA2  GA2  *Ta coù 2 MB.GB  MB 2  GB 2 2 MC.GC  MC 2  GC 2 .  2 MA.GA  MA.GB  MA.GC  MA2  MB 2  MC 2  GA2  GB 2  GC 2  MA2  MB 2  MC 2  MA.GA  MA.GB  MA.GC.  MA.GA  MA.GB  MA.GC  MA2  MB 2  MC 2 . MA MB MC    3. Baøi 2. Cho tam giaùc ABC, M tuyø yù. CMR: T= a b c HD: * Trong tam giaùc ABC, ta coù: 4.m 2a =2b2 +2c2 -a2  2(a2 +b2 +c2 )=4m 2a +3a2  2 4.m 2a .3.a2 =4a.m a 3  a.ma . a2 +b2 +c2 2 3. . 1 2 3  2 2 2 a.ma a +b +c. (1).. Do đó:.        MA MA.GA MA.GA 3 3 3 3    2 2 2 MG  GA GA  2 2 2 MG.GA  GA2 . a a.GA a.GA a +b +c   a +b +c      MB MB.GB MB.GB 3 3 3 3    2 2 2 MG  GB GB  2 2 2 MG.GB  GB 2 . b b.GB b.GB a +b +c a +b +c        MC MC.GC MC.GC 3 3 3 3    2 2 2 MG  GC GC  2 2 2 MG.GC  GC 2 . c c.GC c.GC a +b +c a +b +c       3 3  VT  2 2 2 MG.GA  MG.GB  MG.GC  GA2  GB 2  GC 2  3. a +b +c m m m 3 3 Baøi 3. Cho tam giaùc ABC. CMR: T= a  b  c  a b c 2 HD:.   . . ma m2 2 3.ma2  a  2 a a.ma a  b2  c 2 Tương tự... Lop10.com.   .    .  . .

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------A MA  MB  MC  AB  AC. 2     A MB. AB MC. AC A MB. AB MC. AC HD: VT=2cos MA    2cos MA   2 AB AC 2 AB AC       A MA  AB . AB MA  AC . AC =2cos   2 AB AC     AB AC  A =2cos MA  MA   (1).   AB  AC  AB AC  2      AB  AM     AB Dựng hình bình hành AMNP sao cho     AM  AP  1  AMNP laø hình thoi.   AC  AP  AC    AB AC  A A Gọi I=AN  MP. Khi đó:   AN  2 AI  2. AM .cos  2.cos . AB AC 2 2     AB AC    A A Ta coù: 2cos .MA  MA     2cos .MA  MA. AN  AB AC  2 2       A  2cos .MA  MA . AN cos MA, AN 2   A =2MAcos 1  cos MA, AN  0 (2). 2 Từ (1),(2) ta có đpcm.. Baøi 4. Cho ABC, M tuyø yù. CMR: 2cos. . . . . . Baøi 5.. .  . .     Cho ABC, I là điểm xác định bởi 2 IA  IB  IC  0. a) Xaùc ñònh ñieåm I. b) Tìm M để 2MA 2  MB 2  MC 2 đạt GTNN. c) Tính 2IA 2  IB 2  IC 2 trong trường hợp ABC đều có độ dài cạnh bằng a.. Baøi 6.. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>