Một số bài toán về cực trị trong không gian oxyz

<span class='text_page_counter'>(1)</span>MỘT SỐ BAØI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz (Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmôn Toán theo chương trình Chuẩn & Nâng Cao) Môn Toán lớp 12 ------------------------Bài toán 1. Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A( 1; 4; 2) ; B( -1; 2; 4), mặt phẳng (P):x+y-z+6=0 và đường x 1 z  2 z thaúng d :   . 2 1 2 1/ Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất. 2/ Tìm toạ độ điểm M trên d sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất. Lời giài đề nghị 1/ M thuoäc (P) sao cho tam giaùc MAB coù chu vi nhoû nhaát: Ta có CV(ABC) = AB + MA+ MB , do AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ nhất khi và chỉ khi (MA+MB) nhoû nhaát. P(A)=1+4-2+6=9 > 0 vaø P(B)= -1+2-4+6=3 > 0 neân A vaø B naèm moät beân maët phaúng (P); do đó điểm M cần tìm là giao điểm của đường thẳng (A’B) và mặt phẳng (P) ; với A’ là điểm đối xứng cuûa A qua (P). Thật vậy , ta có :MA+MB = MA’+ MB = A’B ; với điểm N bất kỳ trên (P) thì NA+NB= NA’+NB  A’B ( Xét tam giác A’NB) , dấu đẳng thức xãy ra khi N  M (đpcm). Giaûi: x  1  t  Phöông trình cuûa ñöông thaúng AA’:  y  4  t z  2  t  Hình chieáu vuoâng goùc H cuûa M treân (P) laø giao ñieåm cuûa AA’ vaø (P) : H(-2;1;5). H laø trung ñieåm cuûa AA’ neân: A’(-5;4;8). x  1  2 t  Phương trình đường thẳng A’B:  y  2  t z  4  2 t  Điểm M là giao điểm của đường thẳng A’B và (P) : M(-3;3;6). Đáp số : M(-3;3;6) Ghi Chú: Bài toán vô nghiệm nếu A và B nằm hai bên mặt phẳng (P) 2/ Tìm M thuoäc d sao cho tam giaùc MAB coù chu vi nhoû nhaát. Ta có CV(ABC)= AB+MA+MB, do AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ nhất khi và chỉ khi (MA+MB) nhoû nhaát x  1  t  Phöông trình tham soá cuûa d:  y  2  t . Ñaët M(1-t;-2+t;2t)  d z  2 t . MA  t  6  t   2  2 t  2. 2. MB .  2  t . 2. 2. 2. 35  5  6 t  20 t  40  6 .  t    9  3.  4  t   4  2 t  2. 2. 2. 2. 5  7  6 t  28t  36  6 .  t    9  3 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2   5  2 35 5   7   t    Ta được: MA  MB  6 .  t      3 9 9  3  . 2. 2. 35 5  5  7 Vaäy (MA+MB) nhoû nhaát khi vaø chæ khi f t    t      t    nhoû nhaát. 9 9  3  3 Ta tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa f(t).  5 35  7 5  ; B'  ;  ; M ' ( t;0) . Trong maët phaúng Oxy, choïn ñieåm ba : A'  ;  3  3 3 3     Ta coù f(t)= M’A’ + M’B’ neân f(t) nhoû nhaát khi vaø chæ khi (M’A’+M’B’)nhoû nhaát, ñieàu naày xaõy . . ra khi ba điểm A’,B’,M’ thẳng hàng hay M ' A'  t. M ' B' ( do M’ thay đổi trên Ox còn A’ và B’ nằm 57 7 hai beân Ox) . Ñieàu kieän cuøng phöông cuûa hai veùctô cho t  . 3(1  7 ).   2(1  2 7 )  1  7 10  14 7  . Đáp Số : M ; ;   3(1  7 ) 3(! 7 ) 3(1  7  Ghi chú: 1/ Có thể tìm điểm M bằng phương pháp hình học sau: gïọi A1 và B1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên d. Điểm M cần tìm sẽ là điểm chia đoạn thẳng A1B1 theo tỉ số: AA1 1 10   2  4 1 14  k . Ta tìm được : A 1   ;  ;  B1   ; ;  ; k   7 ( Ta có thể chứng minh cách 3 3 BB1  3  3 3 3 dựng điểm M như thế là thoả đề bài từ bài toán dựng hình đơn giản trong không gian) 2/ Phương pháp hình học trên cho thấy : đặc biệt , nếu (AB) song song với d thì điểm M cần tìm là giao điểm của d với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Một số bài toán cực trị khác trong không gian Oxyz: Bài toán 2: Cho hai điểm A ; B và đường thẳng d. Tìm trên d điểm M để : a) (MA2+MB2) nhoû nhaát.. . . b) MA  MB nhoû nhaát c) Tam giaùc MAB coù dieän tích nhoû nhaát.. Bài toán 3: Cho điểm A và đường thẳng d. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d có d(M,d) lớn nhất (Đề thi Đại Học Khối A năm 2008). Bài toán 4 : Cho hai đường thẳng d và d’. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với d’ góc lớn nhất. Bài toán 5 : Cho mặt phẳng (P) và đường thăng d. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất. Bài toán 6: Cho hai điểm A;B và đường thẳng d. Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B là : a) Lớn nhất. b) Nhỏ nhát.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN (Bài Toán 2 ) ******************** Bài tập minh hoạ :Trong không gian Oxyz, cho hai điểm : A(1;4;2) , B(-1;2;4) và đường thẳng x 1 y  2 z (d ) :   . Tìm toạ độ điểm M trên (d) sao cho: 1 1 2 . . . . 1/ MA  MB nhoû nhaát.. 2 /(MA 2  MB 2 ) nhoû nhaát. 3/ Dieän tích tam giaùc MAB nhoû nhaát Lời giải tham khảo. 1/ MA  MB nhoû nhaát. Caùch 1: Phöông phaùp giaûi tích. . . Với M( 1-t ; -2+t ; 2t ) thuộc (d) thì: MA  ( t ; 6  t ; 2  2 t ) ; MB  (2  t ; 4  t ; 4  2 t ) . . . . . Do đó : MA  MB  (2  2 t ; 10  2 t ; 6  4 t )  MA  MB  24( t  2) 2  44  44 . . Vaäy MA  MB nhoû nhaát laø. 44 khi t-2=0 hay t=2.. Đáp số : M(-1; 0; 4 ). Caùch 2: Phöông phaùp hình hoïc. Với điểm M bất kỳ trên (d). . . . Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB , ta coù theo qui taéc coäng veùc tô thì : MA  MB  2. MI . . . . Do đó : MA  MB = 2.MI. Vậy MA  MB nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất. Điều nầy xảy ra khi IM vuông góc với (d) , nghĩa là M là hình chiếu vuông góc của I trên (d). (do I cố định) Giải : Đặt M(1-t ; -2+t ; 2t)  (d ) . Trung điểm I của AB có toạ độ I(0;3;3). . . Do đó MI  (1  t ; 5  t ; 3  2 t ) .Đường thẳng (d) có véctơ chỉ phương: a  (1 ; 1; 2) .  . MI  (d )  MI . a  0  (1  t )(1)  (5  t )(1)  (3  2 t )(2)  0  t  2 . Đáp số : M(-1;0;4). 2/ (MA2+ MB2) nhoû nhaát: Caùch 1: Phöông phaùp giaûi tích M(1-t; -2+t ; 2t)  (d ) cho: MA 2+MB2 = (t2+(6-t)2+(2-2 t)2+(-2+t)2+(4-t)2+(4-2t)2. = 12t2 – 48 t +76 = 12(t-2)2 +28  28 . Vaäy (MA2+MB2) nhoû nhaát laø 28 khi t=2 hay M(-1;0;4). Caùch 2: Phöông phaùp hình hoïc: Gọi I là trung điểm AB ; ta có hệ thức độ dài trung tuyến MI trong tam giác MAB: MI 2 AB 2 ; do AB laø haèng soá neân : (MA 2+MB2) nhoû nhaát khi vaø chæ khi MA 2  MB 2   4 2 MI nhỏ nhất, mà I cố định nên MI nhỏ nhất khi IM vuông góc với(d) hay M là hình chiếu vuoâng goùc cuûa I treân (d) Giải: Đặt M(1-t ; -2+t ; 2t)  (d ) . Trung điểm I của AB có toạ độ I(0;3;3).. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>