Bài giảng chuyên đề : Bài toán liệt kê; Cấu trúc dữ liệu và giải thuật; Quy hoạch động; Lý thuyết đồ thị

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỐ PHỨC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Khái niệm số phức Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i2 = -1 được gọi là số phức. a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. Tập hợp số phức được kí hiệu là C. Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R  C . Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo. 2. Biểu diễn hình học  Số phức z = a + bi  a, b  R  được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi u   a, b  trong mp(Oxy) (mặt phẳng phức). y M (a,b). b Trục thực. O. a. x. Trục ảo. 3. Hai số phức bằng nhau a  a ' a  bi  a ' b ' i    a, b, a ', b '  R  b  b '. 4. Cộng và trừ hai số phức  a  bi   a ' b ' i    a  a '   b  b ' i  a  bi   a ' b ' i    a  a '   b  b ' i  Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi 5. Nhân hai số phức   a  bi    a ' b ' i    aa ' bb '   ab ' ba ' i  k  a  bi   ka  kbi  k  R  6. Số phức liên hợp Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z  a  bi zz z z' z z' z z z. z '  z. z ' ;     z' z' z. z  a 2  b 2 z là số thực  z  z z là số ảo  z   z. 7. Modul của số phức Cho số phức z = a + bi.  z  a 2  b 2  z.z  OM z  0, z  C ;. z 0 z0. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> z. z '  z . z '. z z  z' z' z  z'  z z'  z  z'. 8. Chia hai số phức  z 1 . 1 z. 2. z  z  0. z' z ' .z z ' .z ' 1  z .z  2   z z. z z. 9. Căn bậc hai của số phức x 2  y 2  a 2 xy  b.  z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi  z 2  w  .  w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0  w  0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau  Hai căn bậc hai của a > 0 là  a  Hai căn bậc hai của a < 0 là  a.i 10. Phương trình bậc hai Az 2  Bz  C  0 * (A, B, C là các số phức cho trước, A  0) Công thức nghiệm giống phương trình bậc 2 trên tập số thực Nếu z0  C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là nghiệm của (*) 11. Dạng lượng giác của số phức  z  r  cos  i sin    r  0  là dạng lượng giác của số phức z = a + bi  r  a 2  b 2  a  z  0   cos  r  b  sin   r.   là một acgumen của z,    Ox, OM   z  1  z  cos  isin II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI Dạng tìm phần thực, phần ảo của một số phức Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức i + (2 – 4i) – (3 – 2i) Giải: Ta có: i + (2 – 4i) – (3 – 2i) = ( 0 + 2) + (1- 4)i + (-3 + 2i) = (2 – 3) + (-3 + 2)i = -1 – i Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – 1. Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của số phức  1  i    2i  3. 3. Giải:.  1  i    1  3  1 Ta có: 3  2i   23  i 3  8i 3. 3. 2. i  3  1 i 2  i 3  2  2i. Lop12.net.   1  i    2i   2  10i 3. 3.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10. Bài 3: (A10) Tìm phần ảo của số phức z, biết z . . 2 i.  1  2i  2. Giải:. . . . Ta có: z  1  2 2i 1  2i  5  2i  z  5  2i Phần ảo của số phức z bằng:  2. Bài 4: (CD10) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  2  3i  z   4  i  z   1  3i  . Tìm phần thực và phần ảo của z. 2. Giải: Gọi z = a + bi  a  R, b  R  . Đẳng thức đã cho trở thành 6a  4b - 2(a  b)i  8 - 6i 6a  4b  8 a  2   2a  2b  6 b  5. Vậy số phức z đã cho có phần thực là -2, phần ảo là 5 Bài 5: (CDA09) Cho số phức z thỏa mãn 1  i   2  i  z  8  i  1  2i  z . Tìm phần thực và phần ảo của z. 2. 1  i   2  i  z  8  i  1  2i  z 2. Ta có:.  z 1  i   2  i   1  2i    8  i   2.  z  2i  2  i   1  2i   8  i. z. 8  i  8  i 1  2i    2  3i 2i  1 5. Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3 Dạng tìm môđun của số phức. 1  3i  Bài 1: (A10) Cho số phức z thỏa mãn z . 3. 1 i. Giải:. . . . Tìm môđun của số phức z  iz. 3. Ta có: 1  3i  8 8  4  4i  z  4  4i 1 i  z  iz  4  4i   4  4i  i  8  8i. Do đó z . Vậy z  iz  8 2. Dạng tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: (D10) Tìm số phức z thỏa mãn: z  2 và z 2 là số thuần ảo. Giải: Gọi z = a + bi  a  R, b  R  , ta có: z  a 2  b 2 và z 2  a 2  b 2  2abi. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> a 2  b 2  2 a 2  1 a  1    2 2 2 a  b  0 b  1 b  1. Yêu cầu bài toán tỏa mãn khi và chỉ khi: . Vậy các số phức cần tìm là: 1 + i; 1 – i; -1 + i; -1 – i. Bài 2: (B09) Tìm số phức z thỏa mãn: z   2  i   10 và z.z  25 . Giải: Gọi z = a + bi  a  R, b  R  , Ta có: z   2  i    a  2    b  1 i; Từ giả thiết ta có: z   2  i   10   a  2    b  1  10 2. 2. 1.  2. và z.z  25  a 2  b 2  25. a  3 a  5  b  4 b  0. Giải hệ (1) và (2) ta được . Vậy các số phức cần tìm là: z  3  4i hoặc z  5 Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z 2  z  0 Giải: Gọi z = x + yi  x  R, y  R  , khi đó z 2  z  0   x  yi   x 2  y 2  0 2. . .  x 2  y 2  x 2  y 2  2 xyi  0  x 2  y 2  x 2  y 2  0  2 xy  0  x  0   x  0   x  0    x  0, y  0   2  y  0   x  0, y  1  y 1  y   0   y  y  0  y  1         x  0, y  1   y  0   y  0   y  0    x 1  x   0   x 2  x  0    x  0, y  0       x  0  do x  1  0 . Vậy các số phức cần tìm là: z  0; z  i; z  i Giải phương trình trên tập hợp các số phức Bài 1: (CD10) Giải phương trình z 2  1  i  z  6  3i  0 trên tập hợp các số phức. Giải: Phương trình có biệt thức   1  i   4  6  3i   24  10i  1  5i  2. 2. Phương trình có hai nghiệm là: z  1  2i và z  3i. Bài 2: (A09) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  10  0 . Tính giá trị 2. 2. của biểu thức A  z1  z2 . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Giải: Ta có:   22  4.10  36  36i 2 Phương trình có hai nghiệm là: z1  1  3i và z2  1  3i. z1 .  1. 2.  32  10 và z1  2.  1   3 2. 2.  10. 2. Vậy A  z1  z2  20 Bài 3: (CDA09) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức:. 4 z  3  7i  z  2i z i. Giải: Điều kiện: z  1 Phương trình đã cho tương đương với z 2   4  3i  z  1  7i  0 Phương trình có biệt thức    4  3i   4 1  7i   3  4i   2  i  2. 2. Phương trình có hai nghiệm là: z  1  2i và z  3  i. Dạng tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức (Quỹ tích) Bài 1: (D09) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện z   3  4i   2 . Giải: Gọi z = x + yi  x  R, y  R  , ta có: z  3  4i   x  3   y  4  i Từ giả thiết ta có:.  x  3   y  4  2. 2.  2   x  3   y  4   4 2. 2. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, -4), bán kính R = 2. Bài 2: (B10) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z  i  1  i  z Giải: Gọi z = x + yi  x  R, y  R  , ta có: z  i  1  i  z  x   y  1 i   x  y    x  y  i  x 2   y  1   x  y    x  y  2. 2. 2.  x2  y 2  2 y 1  0  x 2   y  1  2 2. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0, -1), bán kính R =. Lop12.net. 2..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>