Đề thi tuyển sinh đại học năm học 2009 môn thi: Toán; Khối A

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bộ giáo dục và đào tạo. Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009. §Ò chÝnh thøc. M«n thi: to¸n; Khèi A (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề). PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh (7,0 ®iÓm) C©u I (2,0 ®iÓm) Cho hµm sè. y. x2 2x  3. (1). 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lợt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O. C©u II (2,0 ®iÓm). 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh:. 1  2 sin x  cos x  1  2 sin x 1  sin x . 3. 3 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 3 x  2  3 6  5 x  8  0. C©u III (1,0 ®iÓm) TÝnh tÝch ph©n  2. . . I   cos 3 x  1 cos 2 xdx. 0. C©u IV (1,0 ®iÓm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD =a; gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SBC) vµ (ABCD) b»ng 600. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AD. BiÕt hai mÆt ph¼ng (SBI) vµ (SCI) cïng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD), tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD theo a. C©u V (1,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc d¬ng x, y, z tho¶ m·n x(x + y + z)=3yz, ta cã: (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)≤ 5(y + z)3. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Phần riêng (3,0 điểm): Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo ch¬ng tr×nh ChuÈn C©u VI.a (2,0 ®iÓm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đờng thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đờng thẳng : x  y  5  0 . Viết phơng trình đờng thẳng AB. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x  2 y  z  4  0 và mặt cầu 2 2 2 (S): x  y  z  2 x  4 y  6 z  11  0 . Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (P) c¾t mÆt cÇu (S). theo một đờng tròn. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đờng tròn đó. C©u VII.a (1,0 ®iÓm) 2 Gäi z1 vµ z2 lµ hai nghiÖm phøc cña ph¬ng tr×nh z  2 z  10  0 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 2. A  z1  z 2. 2. B. Theo ch¬ng tr×nh N©ng cao C©u VI.b (2 ®iÓm) 2 2 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C): x   y  4 x  4 y  6  0 và đờng. thẳng : x  my  2m  3  0 , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đờng tròn (C). Tìm m để  cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  2 y  2 z  1  0 và hai đờng x 1 y z  9 x 1 y  3 z 1     1 6 ,  2: 2 1  2 . Xác định toạ độ điểm M thuộc đờng th¼ng 1: 1. thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đờng thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt ph¼ng (P) b»ng nhau. C©u VII.b (1,0 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> . . log 2 x 2  x 2  1  log 2  xy   x 2  xy  y 3 3  81 (x, y R) --- HÕt ---. Huíng dÉn chÊm thi C©u. C©u I. §¸p ¸n PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh a). Kh¶o s¸t hµm sè. y. §iÓm 7 ®iÓm. x2 2x  3. 1.00.  3 D  R \    2 a/ Tập xác định:. 0.25. b/ Sù biÕn thiªn cña hµm sè  Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đờng tiệm cận lim y   , lim y  . x. 3 2. x. 3 2. , nên đờng thẳng. x. 3 2 là tiệm cận đứng. 1 1 1 lim y  y x   2 , x  2 , nên đờng thẳng 2 lµ tiÖm cËn ngang 1 3 y'   0; x   2 2 2 x  3  B¶ng biÕn thiªn : lim y . 0.25. 0.25 3   3    ;    ;  2  vµ  2  Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng . c/ §å thÞ:  2  0;  §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm  3  vµ C¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm  2;0  3 1 I   ;   2 2  của hai đờng tiệm cận làm NhËn xÐt : §å thÞ nhËn giao ®iÓm. tâm đối xứng.. Lop12.net. 0.25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> y 4 2 x -4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. -2 -4. b) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn * Tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai đường thẳng y = x hoặc y = -x. Mµ y’ < 0, nªn:  x 0  1  y 0  1 1   1  x  2  y  0 (2x 0  3) 2 0   0. C©u II. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh * ĐK:. 0.50 0.25 0.25 2.00 1.00. * 1 : y – 1 = -1(x + 1)  y = -x (loại) * 2 : y – 0 = -1(x + 2)  y = -x – 2. sin x . 1.00. 1 2 , sinx ≠ 1. Pt  1  2sin x  cos x  3 1  2sin x 1  sin x   cos x  2sin x cos x  3 1  sin x  2sin x . 0.50. 2.  cos x  3 s inx  s in2x  3 cos 2 x.      cos   x   cos  2 x   6 3   *. 2  x   k 2 x  k 2 18 3 , k  Z (tho¶ m·n) (loại) 3 Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 3x  2  3 6  5x  8  0. . . 3 * §Æt u  3x  2 , v  6  5 x víi v  0 3 2 Ta đợc 5u  3v  8. * Phơng trình đã cho tơng đơng với Hpt. Lop12.net. 0.50 1.00 0.25.  2u  3v  8  3 2 5u  2v  8  v0 . 0.25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> u  2  * Giải hệ phơng trình ta đợc  v  4  3 3x  2  2  x  2  6  5 x  4 * Do đó  . VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x =. C©u 3. -2 TÝnh tÝch ph©n. * Ta cã * TÝnh. . . . . 2. 2. 0. 0. I   cos 3 x  1 cos 2 xdx   cos 5 xdx   cos 2 xdx  I 1  I 2 0. . . 2. 2. . . . I 1   cos 5 xdx   1  sin 2 x d sin x   sin x 02 0. 2. 0. . . I  I1  I 2 . C©u 4. 0.25. . . 2 2 2 1 8  sin 3 x  sin 5 x  3 5 15 0 0. . 0.25. . 2 12 1 2 1 1  I 2   cos 2 xdx   1  cos 2 x dx  x  . sin 2 x  20 2 0 2 2 4 0 0 2. * TÝnh. 0.25 1.00.  2. 0.25. 8   15 4. 0.25 0.25. * VËy TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp S. J. A. B. I D. H C. * V× c¸c mp(SBI) vµ mp(SCI) cïnh vu«ng gãc víi mp(ABCD), nªn SI lµ đờng cao của hình chóp Gäi H lµ h×nh chiÕu cña I trªn BC th× gãc SHI lµ gãc gi÷a 2 mp(SBC) vµ mp(ABCD). Hay gãc SHI = 600. Lop12.net. 0.25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> * §¸y ABCD cã diÖn tÝch lµ: * Tam gi¸c IBC cã diÖn tÝch. Sd . 1  AB  CD . AD  3a 2 2. S IBC  S d  S IAB  S ICD. IH .BC  2 S IBC  IH . 0.25. 3a 2  2. 3a. 0.25. 5 v× víi trung ®iÓm M cña AB th× tam gi¸c MBC vu«ng c©n ,nªn BC  a 5. Suy ra:. * XÐt tam gi¸c vu«ng SIH :. SI  IH . tan 60 0 . 3a 15 5 . Vëy thÓ tÝch cña. 1 3a 3 15 V  .SI .S d  3 5 h×nh chãp lµ :. C©u 5. Chứng minh bất đẳng thức * V× x,y,z >0 nªn x(x+y+z) = 3yz Đặt. u. 1.00  1. y z yz  3 x x xx. y z  0, v   0, t  u  v  0 x x .Tađợc: 2. 0.25. 0.25. t uv 2 1  t  3uv  3    3  3t  4t  4  0   t  2  3t  2   0  t  2 4  2  2. * Chia hai vế cho x3 bất đẳng thức cần chứng minh đưa về. 1  u   1  v   3 1  u 1  v  u  v   5  u  v  3 2 2   2  t   3 1  u  1  v   3 1  u 1  v   3 1  u 1  v  t  5t 3 3 3   2  t   6 1  u 1  v   5t 3   2  t   6(1  u  v  uv )  5t 3 3. 3. 3. 1 t   3 3 2   2  t   6 1  t    5t  4t  6t  4t  0  t  2t  1 t  2   0 3   * * Lại do t  2 ,nên bất đẳng thức luôn đúng. Vậy ta có ĐPCM. 0.25. 0.50. 3. C©u VI.a. PhÇn riªng cho tõng ch¬ng tr×nh Phần đề thi theo chơng trình chuẩn Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và không gian a) Viết phơng trình đờng thẳng. * Vì E    nên toạ độ của E có dạng E(m; 5 – m); Gọi F là trung điểm của AB thì F (12 – m; m – 1). Do E,F đối xứng nhau qua điểm I(6;2) * Theo gi¶ thiÕt IE  FM  IE.FM  0  11  m m  6   m  6 3  m   0. Lop12.net. 3.00 2.00 1.00 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> * Víi m = 6 th× AB cã VTPT lµ: IE  0;3 , suy ra pt AB lµ y = 5. 0.25. * Víi m = 7 th× VTPT lµ IE  1;4 , suy ra pt AB lµ x – 4y + 19 = 0 b) Mặt cầu, đờng tròn giao tuyến. 0.25. * PT m.c viÕt thµnh x  1   y  2  z  3  25 , nªn t©m I(1;2;3) vµ R=5 2. 2. d. 2.1  2.2  3  4 4  4 1. 35 R. * Khoảng cách d từ tâm I đến mp(P) là: Vậy mp(P) cắt mc(I) theo giao tuyến là đờng tròn tâm J, bán kính r. * Bán kính đường tròn r =. C©u VII.a. .. R 2  IJ 2  25  9  4. 0.25 0.25 0.25. * Ph¬ng tr×nh JI lµ x=1+2t,y=2-2t,z=3-t, nªn J=(1+2t;2-2t;3-t) vµ J  P  , suy ra tâm của đờng tròn là J(3 ;0 ;2) Sè phøc * Ph¬ng tr×nh z  2 z  10  0 cã 2 nghiÖm phøc lµ z= -1+3i vµ z = -1- 3i * Do đó A = z12 + z22 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20 Phần đề thi theo chơng trình nâng cao Phơng pháp toạ độ trong không gian 2. C©u VI.b. 1.00. 2. a) T×m tham sè m. 0.25 1.00 0.50 0.50 2.00 1.00. * (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 có tâm là I (-2; -2); R = Điều kiện để  cắt (C) tại hai điểm phõn biệt A, B là. 2. d  I ,   2. 0.25 (1). 1  IA.IB.sin AIB  * Kẻ đường cao IH của IAB, ta có: SABC = 2 = sin AIB  = 1  AIB vuông tại I Do đó SABC lớn nhất khi và chỉ khi sin AIB. 1  4m IA 1 1 2 m  1 2 * Ta đợc IH = (thỏa IH < R)  8  1 – 8m + 16m2 = m2 + 1  15m2 – 8m = 0  m = 0 hay m = 15. b) T×m ®iÓm M * Toạ độ của M có dạng: M (-1 + t; t; -9 + 6t) 1. 2 qua A (1; 3; -1) có véctơ chỉ phương a = (2; 1; -2).    AM  a = (14 – 8t; 14t – 20; 4 – t) AM * Vect¬ = (t – 2; t – 3; 6t – 8) . 261t 2  792t  612  11t  20. * Ta có : d (M, 2) = d (M, (P))   35t2 - 88t + 53 = 0  t = 1 hay t =. Lop12.net. 0.25. 0.50 1.00 0.25 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 53 35  18 53 3   ; ;  * Do đó, có 2 điểm M thoả mãn là : M (0; 1; -3) và M  35 35 35 . C©u VII.b. Gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh. 0.25 1.00 0.25. * Điều kiện xy > 0 log 2 (x  y )  log 2 2  log 2 (xy)  log 2 (2xy)  2 2  x  xy  y  4  * HÖ ph¬ng tr×nh  x  2  x  2   * GiảI hpt ta đợc 2nghiệm là:  y  2 và  y  2 2. 2.  x  y  2xy  2 2  x  xy  y  4. ------------------------------------- HÕt ----------------------------------. Lop12.net. 2. 2. 0.25. 0.50.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>