14TCN 81-90 Quy trình tính toán thủy lực công trình xả kiểu hở và xói lòng dẫn bằng đá do dòng phun

<span class='text_page_counter'>(1)</span>đề số 2 Bài 4. Cho đa thức P(x) = xn + a1xn - 1 + … + an - 1 x + 1, trong đó n là số nguyên dương và các hệ số ak ≥ 0 (k = 1, …, n - 1). Chứng minh rằng nếu đa thøc P(x) cã n nghiÖm sè thùc (ph©n biÖt hoÆc trïng nhau) vµ m lµ sè nguyªn dương bất kì thì P(m) ≥ (m + 1)n. Bài 5. Tìm hai hàm số f(x) và g(x) xác định trên  thoả mãn đồng thời hai ®iÒu kiÖn: a) 3f(x) - g(x) = f(y) - y víi mäi x, y   ; b) f(x)g(x) ≥ x + 2 víi mäi x   . Bài 6. Cho n là một số nguyên dương, a và b là hai số thực không đồng thời b»ng 0. §Æt. a  Δ =    2n  1 . 2 n 1. 2n.  b     . Chứng minh rằng phương trình  2n . x2n + 1 + ax + b = 0 cã mét nghiÖm khi Δ > 0, cã hai nghiÖm khi Δ = 0, cã ba nghiÖm khi Δ < 0. ___________________________________. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> đáp án đề số 2 Bµi 4. Do ak ≥ 0 (k = 1, …, n - 1) vµ P(0) = 1 > 0 nªn tÊt c¶c c¸c nghiÖm cña đa thức P(x) đều là số âm. Gọi các nghiệm của P(x) là - x1, - x2, …, - xn (xk > 0, k = 1, …, n). Theo định lí Viète thì x1x2…xn = 1. V× hÖ sè cao nhÊt cña P(x) b»ng 1 nªn P(x) = (x + x1)(x + x2)…(x + xn). Do đó P(m) = (m + x1)(m + x2)…(m + xn). m 1  1  ...  Ta cã m + xk = 1 1 + xk ≥ (m + 1) xk víi k = 1, 2, …, n. m. V× vËy P(m) ≥ (m + 1)n. m 1. x1 x2 ...xn = (m + 1)n.. Bµi 5. Thay y = x vµo ®iÒu kiÖn thø nhÊt ta ®­îc 3f(x) - g(x) = f(x) - x. Do đó f(x) =. g ( x)  x . 2. Thay f(x) =. g ( x)  x vµo ®iÒu kiÖn thø nhÊt ta ®­îc 2. g(x) = 3x - 3y + g(y). Đặt b = g(0) và thay y = 0 vào đẳng thức trên ta được g(x) = 3x + b vµ f(x) = x +. b . 2. Theo ®iÒu kiÖn th­ hai, ta cÇn cã f(x)g(x) = (3x + b)(x +. b ) ≥ x + 2 víi mäi x   . 2. Từ đó tính được b = 10. VËy hai hµm sè cÇn t×m lµ f(x) x + 5 vµ g(x) = 3x + 10. Bµi 6. §Æt f(x) = x2n + 1 + ax + b th× f’(x) = (2n + 1)x2n + a. Nếu a ≥ 0 thì f’(x) ≥ 0 với mọi x nên f(x) đồng biến trên R, f(x) → + ∞ khi x→ + ∞ và f(x) → - ∞ khi x → - ∞ nên phương trình f(x) = 0 có một nghiệm. Trong trường hợp này ta có Δ > 0. NÕu a < 0 th× f’(x) = 0 khi vµ chØ khi x = ± 2 n  α=. 2n. . x f’(x). a . §Æt 2n  1. a . B¶ng biÕn thiªn cña hµm sè f(x) nh­ sau: 2n  1. -∞ +. -α 0. -. Lop12.net. α 0. +∞ +.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> f(x) -∞ f(- α) f(α) +∞ Phương trình f(x) = 0 có một nghiệm, hai nghiệm hay ba nghiệm tuỳ thuộc vào giá trị của f(- α)f(α) là dương, bằng 0 hay âm. Ta cã f(- α)f(α) = b2 -. 4n 2 a 2 (2n  1) 2. n. . a . 2n  1. Do đó f(- α)f(α) > 0 khi và chỉ khi 4n n 2 n a 2 n 1 a  b2n >  Δ > 0. (2n  1) 2 n 1 2n  1 Tương tự, f(- α)f(α) < 0  Δ < 0, f(- α)f(α) < 0  Δ = 0.. b2 >. 4n 2 a 2 (2n  1) 2. n. . Vậy phương trình f(x) = 0 có một nghiệm khi Δ > 0, có hai nghiệm khi Δ = 0, cã ba nghiÖm khi Δ < 0. _________________________________________________. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>