Chuyên đề Ứng dụng của tỷ số thể tích

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Ứng dụng của tỉ số thể tích. Trần Minh Cảnh Chuyên ñề. ỨNG DỤNG CỦA TỶ SỐ THỂ TÍCH Trong các ñề thi tuyển sinh ðại học – Cao ñẳng những năm gần ñây, câu hình học không gian luôn là câu khó ñối với ña số thí sinh, phần lớn các em ñã quên các kiến thức hình học không gian ở chương trình hình học lớp 11. Trong câu này thường có yêu cầu tính thể tích của một khối chóp, khối lăng trụ và kèm theo một ý phụ ñó là tính khoảng cách, tính góc hoặc liên quan ñến quan hệ vuông góc. Bên cạnh cách tính thể tích trực tiếp theo công thức, phương pháp tỉ số thể tích cũng không kém phần hiệu quả và ñầy sức mạnh. Với mong muốn cung cấp cho các em học sinh thêm tài liệu và bài tập về phương pháp này, tôi xin ñược chia xẻ qua tài liệu này. Hy vọng sẽ giúp cho các em học sinh có thêm niềm tin ñể xử lý dạng bài toán này. Tặng học sinh lớp 12 trường THPT Lý Tự Trọng ! I/ Bài toán cơ sở Trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và khối chóp theo công thức ta gặp khó khăn do không xác ñịnh ñược ñường cao hay diện tích ñáy. Tuy nhiên có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính thể tích của các khối ñã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối. Bài toán: (Bài4 sgk HH 12CB trang25) Cho khối chóp S.ABC, trên các ñoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các ñiểm A’, B’, C’ khác ñiểm S. CMR:. VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = . . VS . ABC SA SB SC. (1). Giải: Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A’ lên (SBC) Ta có AH//A’H’. Ba ñiểm S, H, H’ cùng thuộc B hai mp (AA’H’H) và (SBC) nên chúng thẳng hàng. Xét ∆ SAH ta có. A' B' S. SA ' A ' H ' = (*) SA AH. Do ñó :. VS.A' B'C ' VS. ABC. A. H H'. C'. C. 1 A' H '.S∆SB'C '
A' H ' SB'.SC '.sin B ' SC ' 3 = = .
(**) 1 AH SB . SC .sin BSC AH.S∆SBC 3. Từ (*) và (**) ta ñược ñpcm. Chú ý: A’, B’, C’ có thể trùng với các ñầu mút A, B, C khi ñó ta ñược các công thức ñơn giản hơn.. 1. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ứng dụng của tỉ số thể tích. Trần Minh Cảnh. II/ Các dạng toán Dựa vào hai bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ số thể tích của các khối ña diện và một số ứng dụng của nó DẠNG 1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ðA DIỆN Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung ñiểm của CD và I là giao ñiểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ICM và S.ABCD S Giải: Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD, do ñó 1 1 1 1 1 1 VISCM = VB.SCM = . .VD.SBC = . . VS . ABCD 3 3 2 3 2 2 VISCM 1 Vậy = VS . ABCD 12. A. D O. M I. C. B Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung ñiểm của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp ñược chia bởi mp(AB’D’) Giải: Gọi O là giao ñiểm của AC và BD và I là giao ñiểm của SO và B’D’. Khi ñó AI cắt SC tại C’ Ta có. S C'. B'. D'. I. O'. D. A O. B. C. VS . AB ' C ' SB ' SC ' 1 SC ' = . = VS . ABC SB SC 2 SC VS . AC ' D ' SC ' SD ' 1 SC ' = . = VS . ACD SC SD 2 SC 1 SC ' 1 SC ' Suy ra VS . AB ' C ' + VS . AC ' D ' = . (VS . ABC + VS . ACD ) = . .VS . ABCD 2 SC 2 SC Kẻ OO’//AC’ ( O ' ∈ SC ) . Do tính chất các ñương thẳng song song cách ñều. nên ta có SC’ = C’O’ = O’C 1 1 2 3. Do ñó VS . A ' B ' C ' D ' = . .VS . ABCD Hay. VS . A ' B ' C ' D ' 1 = VS . ABCD 6. 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ứng dụng của tỉ số thể tích. Trần Minh Cảnh Bài tập tương tự. Bài 1: Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC, ñáy ABC là tam giác ñều có trực tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung ñiểm các cạnh AB, BC, CA và M, N, P lần lượt là trung ñiểm các ñoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp H.MNP và S.ABC. Từ ñó tính thể tích khối chóp H.MNP. ðS:. VH .MNP 1 = VS . ABC 32. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng ( α ) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính. SM ñể mặt phẳng ( α ) chia hình SC. chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. ðS:. SM 3 −1 = SC 2. DẠNG 2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ðỂ TÍNH THỂ TÍCH Ví dụ 1: (ðH khối B – 2008)
=
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang, BAD ABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD) và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a Giải: S Áp dụng công thức (1) ta có VS . BCM SM 1 = = VS .BCA SA 2. N. 2a M. VS .CMN SM SN 1 = . = VS .CAD SA SD 4. 2a a. Suy ra 1 1 VS .BCNM = VS .BCM + VS .CNM = VS . BCA + VS .CAD 2 4 3 3 a 2a a3 = + = 2.3 4.3 3. B. D. A C. Ghi chú: 1 3. 1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức V = B.h gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều 2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối ña diện ABCDMN. 3. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ứng dụng của tỉ số thể tích. Trần Minh Cảnh. Ví dụ 2: (ðH khối A – 2007 ) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a Giải: S Ta có VCMNP CN CP 1 . = = VCMBD CB CD 4. (a). M. VCMBD VM . BCD MB 1 = = = (b) VCSBD VS . BCD SB 2. A. Lấy (a) x (b) vế theo vế ta ñược. B. H. VCMNP 1 1 = ⇒ VCMNP = .VS .BCD VS . BCD 8 8. N. D. C. P. Gọi H là trung ñiểm của AD ta có SH ⊥ AD mà ( SAD ) ⊥ ( ABCD) nên SH ⊥ ( ABCD) . 1 1 a 3 1 2 a3 3 . a = Do ñó VS . BCD = .SH .S∆BCD = . 3 3 2 2 12 3 a 3 Vậy: VCMNP = (ñvtt) 96. Ví dụ 3: (ðH khối D – 2006 ) Cho khối chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với ñáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các ñường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a Giải: Ta có. VSAMN SM SN = . VSABC SB SC. D N. 2a. M. a. C. A. AM và AN lần lượt là các ñường cao trong các tam giác vuông SAB và SAC bằng nhau nên ta có. a. a. B. SM 4 SM SM SA2 4a 2 = = 2 =4⇒ = 2 MB MB AB a SB 5 SN 4 Tương tự = SC 5 4 4 16 9 Do ñó VS.AMN = . .VS.ABC = .VS.ABC. Suy ra VA.BCMN = .VS.ABC 5 5 25 25 1 a 2 3 a3 3 3a 3 3 Mà VS.ABC = .2a. . Vậy VA.BCMN = (ñvtt) = 3 4 6 50. 4. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ứng dụng của tỉ số thể tích. Trần Minh Cảnh. Ghi chú: Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC sau ñây. A c. b ' b2 = c ' c2. c'. B. ( Chứng minh dựa vào tam giác ñồng dạng). b b'. C. H. Ví dụ 4: (ðH khối B – 2006 ) Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a 2 SA vuông góc với ñáy. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AD và SC, gọi I là giao ñiểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a Giải: Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. Ta có I là S trọng tâm của tam giác ABC, do ñó AI 2 AI 1 = ⇒ = AO 3 AC 3 V AI AM 1 1 1 nên AIMN = . = . = VACDN AC AD 3 2 6 V NC 1 Mặt khác ACDN = = VACDS SC 2 V 1 Từ (1) và (2) suy ra AIMN = VACDS 12 1 3. 1 3. Mà VSACD = .SA.S∆ACD = a.. a. Ma. A. (1). 2. D. I. a. O. (2). C. B. a 2a a 3 2 1 a3 2 . Vậy VAIMN = .VSACD = (ñvtt) = 2 6 12 72. Ví dụ 5: (ðH khối D – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc của ñỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là ñiểm H thuộc ñoạn thẳng AC sao cho AH =. AC . Gọi CM là ñường cao của tam giác SAC. Chứng 4. minh rằng M là trung ñiểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Giải: S Từ giả thiết ta tính ñược AH =. a 2 a 14 3a 2 , SH = , CH = , SC = a 2 ⇒ SC = AC . 4 4 4. M. Do ñó tam giác SAC cân tại C nên M là trung ñiểm của SA. Ta có. 1 1 a 2 a 14 a 3 14 (ñvtt) VS . ABC = .SH .S ∆ABC = . . = 3 6 2 4 48. 5. Lop12.net. B. A. VS .MBC SM 1 1 = = ⇒ VS .MBC = VS . ABC VS . ABC SA 2 2. H D. C.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ứng dụng của tỉ số thể tích. Trần Minh Cảnh Bài tập tương tự.
= 900 , CAD
= 1200 , AB = a, AC = 2a, Bài 1: Cho khối tứ diện ABCD có
ABC = BAD AD = 3a . Tính thể tích tứ diện ABCD. ðS: VABCD. a3 2 = 2. Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với ñáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a ðS: VS . A ' B ' C ' D ' =. 16a 3 45. Bài 3: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có tất cả các cạnh ñều bằng. Gọi M, P lần lượt là trung ñiểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N. Tính theo a thể tích khối chóp S.DMNP.. ðS: VS .DMNP. a3 2 = 36. Bài 4: (ðH khối B – 2010) Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ ñã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. ðS: VABC . A ' B 'C ' =. 3a 3 3 7a và R = 8 12. DẠNG 3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH Việc tính khoảng cách từ một ñiểm ñến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác ñịnh chân ñường cao. Khó khăn này có thể ñược khắc phục nếu ta tính khoảng cách thông qua thể tích của khối ña diện, mà khoảng cách ñó chính là ñộ dài ñường cao của khối ña diện. Sau ñây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: (ðH khối D – 2002 ) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A ñến mp(BCD). Giải: 2 2 2 Ta có AB + AC = BC ⇒ AB ⊥ AC 1 Do ñó VABCD = AB. Ac. AD = 8cm 2 6 Mặt khác CD = 4 2 , BD = BC = 5 Nên ∆BCD cân tại B, gọi I là trung ñiểm của CD 1 2 2 ⇒ S ∆BCD = DC.BI = 5 − (2 2) 2 = 2 34 2 2 3V 3.8 6 34 Vậy d ( A, ( BCD )) = ABCD = = 17 S ∆BCD 2 34 6. Lop12.net. D. I. 4 5. 4. C. A 5. 3. B.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Ứng dụng của tỉ số thể tích. Trần Minh Cảnh. Ví dụ 2: (ðH khối D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thang,

= 900 , AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với ñáy và SA ABC = BAD = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H ñến mp(SCD) Giải: Ta có. S. VS . HCD SH = VS .BCD SB. ∆SAB vuông tại A và AH là ñường cao nên H SH SA2 2a 2 SH 2 Ta có = = 2 =2⇒ = 2a HB AB 2 a SB 3 A a 2 2 1 a 2 a3 2 Vậy VS.HCD = VS.BCD = . a 2. = 3 3 3 2 9 B 1 C Mà VS .HCD = d ( H , ( SCD)).S∆SCD . 3 2 2 2 ∆SCD vuông tại C ( do AC + CD = AD ), 1 1 3a 3 2 a do ñó S ∆SCD = CD.SC = .a 2.2a = a 2 2 . Vậy d ( H ,( SCD)) = 2 = 2 2 9a 2 3. D. Ví dụ 3: (ðH khối D – 2008) Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = a 2 . Gọi M là trung ñiểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai ñường thẳng AM và B’C Giải: A' C' Gọi E là trung ñiểm của BB’,ta có EM//CB’ Suy ra B’C //(AME) nên B' d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME)) Ta có. VC . AEM MC 1 = = VC . AEB CB 2. a 2. 1 1 1 a2 a 2 a3 2 ⇒ VC . AEM = VEACB = . . . = 2 2 3 2 2 24 3V Ta có d (C ,( AME )) = C . AEM S ∆AEM. H. A. a. a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, ta có BH ⊥ AE Hơn nữa BM ⊥ ( ABE ) ⇒ BM ⊥ AE , nên ta ñược AE ⊥ HM Mà AE =. E C. M B. a 6 1 1 1 3 a 3 , ∆ABE vuông tại B nên = + = 2 ⇒ BH = 2 2 2 2 BH AB EB a 3. a 2 a 2 a 21 ∆BHM vuông tại B nên MH = + = 4 3 6. 7. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Ứng dụng của tỉ số thể tích 1 Do ñó S∆AEM = AE.HM = 2 3a 3 Vậy: d (C ,( AME )) = a2 24.. Trần Minh Cảnh 1 a 6 a 21 a 2 14 . . = 2 2 6 8 2 a 7 = 7 14 8. Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông ñể tính S∆AEM Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung ñiểm của BC. Tính khoảng cách Từ A ñến mp(BCC’B’) Giải: B' C' Theo giả thiết ta có A’H ⊥ (ABC). Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên AH =. A'. 1 BC = a. ∆A ' AH vuông tại H nên ta có 2. A' H =. A ' A2 − AH 2 = a 3 1 a.a 3 a 3 Do ñó VA '. ABC = a 3 = . 3 2 2 VA '. ABC 1 Mặt khác = VABC . A ' B ' C ' 3. 2a. B a. C. H. K. a 3. A. 2 2 a3 Suy ra VA '.BCC ' B ' = VABC . A ' B ' C ' = .3. = a 3 3 3 2 3V Ta có d ( A ', ( BCC ' B ')) = A '. BCC ' B ' S BCC ' B ' Vì AB ⊥ A ' H ⇒ A ' B ' ⊥ A ' H ⇒ ∆A ' B ' H vuông tại A’. a 2 + 3a 2 = 2a = BB ' . ⇒ ∆BB ' H cân tại B’. Gọi K là trung ñiểm a 14 của BH, ta có B ' K ⊥ BH . Do ñó B ' K = BB '2 − BK 2 = 2 a 14 Suy ra S BCC ' B ' = B ' C '.BK = 2a. = a 2 14 2 3 3a 3 14a Vậy d ( A ',( BCC ' B ')) = 2 = . 14 a 14. Suy ra B’H =. Bài tập tương tự Bài 1: (ðH khối D – 2009) Cho lăng trụ ñứng ABCA’B’C’có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung ñiểm của A’C’, I là giao ñiểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A ñến mp(IBC) ðS: d ( A,( IBC )) =. 2a 5 5 8. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Ứng dụng của tỉ số thể tích. Trần Minh Cảnh. Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, ñiểm M thuộc AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ M ñến mp(AB’C) ðS: d ( A, ( AB ' C )) =. a 2. Bài 3: Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC),
ABC = 900 . Tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = b ab. ðS: d ( A, ( BCD)) =. a 2 + b2. Bài 4: Cho tứ diện ñều ABCD, biết AB = a, M là 1 ñiểm ở miền trong của tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ M ñến các mặt của tứ diện ðS: h1 + h2 + h3 + h4 =. 3VABCD 2 =a S ∆ACB 3. Bài 5: Cho tứ diện ABCD và ñiểm M ở miền trong của tứ diện. Gọi r1, r2, r3, r4 lần lượt là khoảng cách từ M ñến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện. Gọi h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ các ñỉnh A, B, C, D ñến các mặt ñối diện của tứ diện. CMR:. r1 r2 r3 r4 + + + = 1. h1 h2 h3 h4. DẠNG 4: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH ðA GIÁC Việc tính diện tích ña giác phẳng ñược quy về việc tính diện tích tam giác theo 1 2. công thức S∆ = ah , trong ñó h – chiều cao và a là ñộ dài cạnh ñáy. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, ñặc biệt là việc tính diện tích của các ña giác phẳng trong không gian, tính trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn. Khi ñó có thể tính diện tính ña giác thông qua thể tích của các khối ña diện. Sau ñây là một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: (ðH khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC ñỉnh S, có ñộ dài cạnh ñáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SB và SC. Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết rằng ( AMN ) ⊥ ( SBC ) S Giải: Gọi K là trung ñiểm của BC và I là trung N VS . AMN SM SN 1 = . = (1) VS . ABC SB SC 4 Từ ( AMN ) ⊥ ( SBC ) và AI ⊥ MN (do ∆AMN cân tại A ) nên AI ⊥ ( SBC ) ⇒ AI ⊥ SI Mặt khác, MN ⊥ SI do ñó SI ⊥ ( AMN ). I. ñiểm của MN. Ta có. 9. Lop12.net. M. C. A K. O. B.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Ứng dụng của tỉ số thể tích. Trần Minh Cảnh. SI .S ∆AMN 1 1 SO = ⇒ S ∆AMN = .S ∆ABC (O là trọng tâm của tam giác ABC) SO.S ∆ABC 4 4 SI Ta có ∆ASK cân tại A (vì AI vừa là ñường cao vừa là trung tuyến) nên a 3 a 15 AK = AS = ⇒ SO = SA2 − OA2 = 2 6 1 a 2 1 a 15 a 2 3 a 2 10 Và SI = SK = Vậy S∆AMN = . . = (ñvdt). 2 4 4 6a 2 4 16 4. Từ (1) ⇒. Bài tập tham khảo Bài 1: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’. Biết ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = b, AA’ = c (c2 ≥ a 2 + b 2 ). Một mặt phẳng (α ) qua A và vuông góc với CA’cắt lăng trụ theo một thiết diện. a) Xác ñịnh thiết diện ñó b) Tính diện tích thiết diện xác ñịnh ở câu a) ðS: Thiết diện AMN có diện tích S AMN =. ab a 2 + b 2 + c 2 2c. Bài 2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB = x, AC = y, AD = z, các góc
= CAD
= DAB
= 900 . Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) BAC a) Chứng minh rằng:. 1 1 1 1 = 2+ 2+ 2 2 AH x y z. b) Tính diện tích tam giác BCD ðS: S∆BCD =. 1 2 2 x y + y2 z 2 + z 2 x2 2. --------o0o--------. 10. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>