Chuyên đề Phương trình lượng giác - Chủ đề Hàm số lượng giác

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên. Ch. PH. NG TRÌNH L. NG GIÁC. HÀM S. :. L. ( (. ∀ ∈. π)=. +. = π. = ⇔. =. = ⇔. = π. π. =. ng giác:. sin. π)=. O. +. cotang. α cos. + π)=. c bi t:. = ⇔. = ⇔. tang. ( (. + π)=. * Các giá tr. i h c 2014. NG GIÁC. I- LÝ THUY T: 0. Gi i thi u t ng quan v các hàm s l ∀ ∈ − ≤ ≤ − ≤ ≤ ∀ ∈. Luy n thi. π. =− ⇔. + π. =−. = ⇔. =. = ⇔. =. + π. = ⇔. π =. π. +. π. = ⇔. =. π. +. π π. π. =− ⇔. =π +. + π. =− ⇔. =−. π. + π. =− ⇔. π. =−. π. + π + π. ---------------------------------------------------------. 1. Hàm s y = sin x: * TX : = * Hàm s y = sin x là hàm s l . th :. * T p giá tr : ∀ ∈ − ≤ ≤ . * Tu n hoàn v i chu k : = π .. y. 1 -. -π. π. O. 2. π. x. π 2. 2. Hàm s y = cos x: * TX : = * Hàm s y = cos x là hàm s ch n. th :. * T p giá tr : ∀ ∈ − ≤ ≤ . * Tu n hoàn v i chu k : = π .. y -π. -. 1. π 2. π 2. O. π. x. -1. Giáo viên: LÊ BÁ B O. 1 Lop12.net. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên PH NG TRÌNH L 3. Hàm s y = tan x: π * TX : = + π ∈. NG GIÁC. Luy n thi. * T p giá tr : ∀ ∈. * Hàm s y = tan x là hàm s l . th :. i h c 2014 ∈ .. * Tu n hoàn v i chu k :. =π .. y. x. O. 3. Hàm s y = cot x: * TX : = {π ∈ } * Hàm s y = cot x là hàm s l . th :. * T p giá tr : ∀ ∈ * Tu n hoàn v i chu k :. ∈ . =π .. y. x. O. D ng toán 1: T P XÁC NH C A HÀM S L NG GIÁC *Nh c l i: M t s d ng tìm T p xác nh hàm s th ng g p: ≥ = ! "#. $ %. ≥. =. ! ∈. =. "#. !. $ %. =. ∈. +. =. Giáo viên: LÊ BÁ B O. ! ≠ ! 2 Lop12.net. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên. PH. NG TRÌNH L. Luy n thi. =. ( ). ( )≠. ⇔. ( )≠. =. ( ). ( )≠. ⇔. ( )≠. Bài t p 1: (M c. =. i h c 2014. +. c b n) Tìm TX c a các hàm s sau:. =. H. NG GIÁC. −. π. =. − +. =. −. −. −. ng d n: − ≠. ). ≠ ≠ ≠ +. *. −. π. ≠ ⇔ ⇔. ≠ ⇔. +. /0. ≠. π. ≠ ⇔. ≠. + π⇔. ≠. ≠ π⇔. ≠. π. π π. + π &'(. +. π. &'(. &'(. =. +. π. π. =. π. π. =. + π. + ≥ ∀ ∈ ≥ ∀ ∈. −. ≠ ,- .. π. ≠ ⇔. ⇔ ≥. −. ≠. π &'(. { π}. =. trung bình) Tìm TX c a các hàm s sau: Bài t p 2: (M c 3 3 2 a) y = b) y = c) y = 2 2 sin x − cos x 2sin x − 1 cos x − cos3x H ng d n: 3 3 y= =− 2 sin x − x x x ≠ ⇔ 2x ≠. ). π. + kπ ⇔ x ≠. 1 2sin x ≠ 1 ⇔ sin x ≠ ⇔ 2. cos3 x ≠ cos x ⇔. x≠. π π. x≠. +k. 3 x ≠ − x + k 2π. &'( D = R \. π. + k 2π. 5π. 3 x ≠ x + k 2π. π. &'( D = R \. +k. π. π. + k 2π ,. 5π. + k 2π. + k 2π x ≠ kπ. ⇔. π . &'( D = R \ k. π. 4 4 NH T- GIÁ TR L N NH T C A HSLG x≠k. D ng toán 2: TÌM GIÁ TR NH Ph ng pháp: B c 1: S d ng các k n ng bi n i có các B T và k t lu n GTLN- GTNN. B c 2: Ch rõ GTLN- GTNN xãy ra trong tr ng h p nào?. Giáo viên: LÊ BÁ B O. 3 Lop12.net. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên. PH. Bài t p 1: (M c. NG TRÌNH L. Luy n thi. i h c 2014. c b n) Tìm GTLN- GTNN c a các hàm s sau: = − = − =. H. NG GIÁC. +. ng d n: ∀ ∈ − ≤. =. −. ≤. ⇔ ≥− ⇔− ≤ −. ≥− ≤. − ≤ ≤ &'( 2 3 =. .4 .56. −. = ⇔. = − .4 .56. −. =− ⇔. 1. 70 2. 1. ) ∀ ∈. ≤. ≤. ⇔ ≤. ≤. ⇔− ≤. − ≤− − ≤ ≤−. =− ⇔. =−. − =− ⇔. = ⇔. 70. − =− ⇔. = ⇔. 2. 1. = − .4 .56. ∀ ∈. ≤. + π. = π. = ⇔. &'( 2 3 = − .4 .56 1. π. = ⇔. =. π. +. π. π. =. ≤. ⇔ ≤. ≤. ⇔ ≤. + ≤. ⇔ ≤. + ≤ ≤ ≤. &'( 2 3 =. .4 .56. 1. 70 2. 1. * ∀ ∈. + =. = .4 .56. ≤. + = ⇔. ⇔. = ⇔ = ⇔. =. π. = ⇔ +. =. π. π. ≤. ⇔ ≤. ≤. ⇔− ≤. − ≤− − ≤ ≤−. &'( 2 3 = − .4 .56 1. 70 2. 1. = − .4 .56. Giáo viên: LÊ BÁ B O. − =− ⇔ − =− ⇔. 4 Lop12.net. = ⇔ = ⇔. = ⇔. =. = ⇔. =. π π. +. π. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên. PH. NG TRÌNH L. Bài t p 2: (M c. ng d n: y = 2sin 2 x −. b) y = sin 4 x + cos 4 x + 4. i h c 2014. c) y = cosx + cos x −. π 3. x. y = 2sin 2 x −. ". Luy n thi. trung bình) Tìm GTLN- GTNN c a các hàm s sau:. a) y = 2sin 2 x − cos2x. H. NG GIÁC. x ⇔ y = 1− 2. 70 89 :. x. 5 )0 '9 ;-. 1 1 x + 4 ⇔ y = 1 − sin 2 2 x + 4 = 5 − sin 2 2 x 2 2. ) y = sin 4 x +. π. π. π. x+. x−. x−. = 3. 5 )0 '9 ;-. π. − 3≤ y≤ 3 3 6 6 6 70 89 : 5 )0 '9 ;Bài t p 3: (M c khá) Tìm GTLN- GTNN c a các hàm s sau: a) y = 3 sin x − cos x + 2 b) y = 2sin 2 x ( sin 2 x − 4cos 2 x ) y=. =2. 70 89 :. c) y = 3sin 2 x + 5cos 2 x − 8sin xcosx − 2. H ng d n: Chú ý: i u ki n. ph. x−. d) y =. 2 + cos x sin x + cos x + 2. ng trình y = sin t <) cos t có nghi m là: a 2 + b 2 ≥ c 2. a) y = 3 sin x − cos x + 2 ⇔ 3 sin x − cos x = y − 2 (*) Mi n giá tr c a hàm s trên là ∀y ∈ R sao cho ph ng trình sau: 3 sin x − cos x = y − 2 có nghi m x ∈ R 2. ⇔ 3 + 1 ≥ ( y − 2) ⇔ y 2 − 4 y ≤ 0 ⇔ 0 ≤ y ≤ 4 &'( 2 3 y = 4 .4 .56. 3 sin x − cos x = 2. 1. ⇔ sin x − 70 2. 1. y = 0 .4 .56. π 6. π. H. ng khác:. H. ng 2: y = 3 sin x − cos x + 2 = 2. " = > ">. ( y − 2). π 6. =. π 2. + k 2π ⇔ x =. 2π + k 2π 3. 3 sin x − cos x = −2 ⇔ sin x −. 70 89 : H ng 3:. =1⇔ x −. 6. = −1 ⇔ x −. π 6. =−. π 2. + k 2π ⇔ x = −. π 3. + k 2π. 3 1 π sin x − cos x + 2 = 2sin x − +2 2 2 6. 5 )0 '9 ;-. 9. (. 3 sin x − cos x. ). 2. ≤ ( 3 + 1) ( sin 2 x + cos 2 x ) = 4. 2. ≤ 4 ⇔ −2 ≤ y − 2 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ y ≤ 4 70 89 : 5 )0 '9 ;-. Giáo viên: LÊ BÁ B O. 5 Lop12.net. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên. PH. NG TRÌNH L. NG GIÁC. Luy n thi. ) y = 2sin 2 x ( sin 2 x − 4cos 2 x ) ⇔ y = 2sin 2 2 x − 8sin 2 x cos 2 x = 2 ⇔ y = −4sin 4 x − cos 4 x + 1 y = 3sin 2 x + 5 70 89 :. 70 89 :. x − 8sin x. i h c 2014. 1 − cos 4 x − 4sin 4 x 2. 5 )0 '9 ;-. x−2⇔ y =3. 1−. x. <. 1+. x. − 4sin 2 x − 2. 5 )0 '9 ;-. 2 + cos x ⇔ y ( sin x + cos x + 2 ) = 2 + cos x ⇔ y sin x + ( y − 1) cos x = 2 − 2 y sin x + cos x + 2 2 2 V i i u ki n có nghi m y 2 + ( y − 1) ≥ ( 2 − 2 y ) 70 89 : 5 )0 '9 ;BÀI T P T LUY!N: Bài t p 1: Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a các hàm s : 1 + 4cos 2 x 1) y = 2 + 4cosx 2) y = 3 − 8sin 2 x.cos 2 x 3) y = 4) y = 2sin 2 x − cos2x 3 * y=. 5) y = 3 − 2 sin x. 6) y = cosx + cos x −. π 3. 7) y = cos 2 x + 2cos2x 8) y = 5 − 2sin 2 x.cos 2 x. Bài t p 2: Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a các hàm s : 1) y = sin 2 x − 4sin x − 2 2) y = a sin x + bcosx ( a 2 + b 2 > 0 ) 3) y = 3sin 2 x + 5cos 2 x − 8sin xcosx − 2. 4) y = 2sin 2 x − 4cos 2 x + 8sin xcosx − 1. 5) y = sin 4 x + cos 4 x BÀI T P T LUY!N: Bài t p: Tìm t p xác nh c a các hàm s : x 1) y = sin 3 x 2) y = cos 3. 6) y = sin 6 x + cos 6 x. 4) y = cos. x −1 x +1. cot x sin x + 2 8) y = 4 cosx − 1 cosx + 1 3 2 9) y = cosx + 1 10) y = 11) y = 12) y = tan x + cot x 2 2 sin x − cos x cos x − cos3 x D ng toán 3: XÁC NH TÍNH CH"N L# C A CÁC HÀM S L NG GIÁC Ph ng pháp: B c 1: Tìm t p xác nh D c a hàm s y = f ( x) , lúc ó: − ∈ ), ta th c hi n b c 2. + N u D là t p i x ng (t c là ∀ ∈ + N u D không là t p i x ng ( ∃ ∈ − ∉ ), ta k t lu n hàm s y = f ( x) không ch n c ng không l . B c 2: Xác nh − . Lúc ó: − = ?02 @ = /0 02 A 5) y =. 7 2cosx. 3) y = sin x. 6) y = cot 2 x −. −. =−. π. 7) y =. ?02 @ =. /0 02 /B. L u ý: V m t hình h c: 1. th hàm s ch$n nh n tr c tung Oy làm tr c i x ng. 2. th hàm s l% nh n g c to O làm tâm i x ng. Giáo viên: LÊ BÁ B O. 6 Lop12.net. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên. PH. NG TRÌNH L. NG GIÁC. Luy n thi. Nh n xét: V i các hàm s l ng giác c b!n, ta có: = /0 02 @ A . a. Hàm s b. Hàm s = = = /0 % 02 @ /C . Bài t p 1: Xác nh tính ch n, l c a các hàm s : 3π a) y = 1 + xcos3x b) y = 1 + cosx sin − 2x c) y = x 4 sin 3 x 2 H ng d n: a) TX : D = R . Ta có: ∀ ∈ − ∈ y (−x) = 1+ (−x) (−x) = 1− x x ≠ y ( x) 70 y ( − x ) ≠ − y ( x ). ?02 @ .D. /0 02. E. A. E. d) y =. i h c 2014. x3 − sin x cos2x. /B ;- 1. 3π − 2 x = 1 − cos x cos 2 x 2 TX : D = R . Ta có: ∀ ∈ − ∈ y ( − x ) = 1 − cos ( − x ) cos 2 ( − x ) F − x cos 2 x = y ( x ) ?02 @ .D /0 02 A ;- 1 c) TX : D = R . Ta có: ∀ ∈ − ∈ 4 4 y ( − x ) = ( − x ) sin 3 ( − x ) F − x sin 3 x = − y ( x ) ?02 @ .D /0 02 /B ;- 1. b) y = 1 +. x sin. d) TX : D = R \. π 4. +k. π. . Ta có: ∀ ∈. 2. − ∈. 3. − sin ( − x ) − x 3 + sin x x3 − sin x =− = − y ( x) F ?02 @ .D /0 02 /B ;- + x x (−x) BÀI T P T LUY!N: Bài t p: Xác nh tính ch n, l c a các hàm s : cos2x x3 − sin x 1) y = xcos3x 3) y = x3 sin 3x 4) y = 5) y = cos2x x 1 + cosx 6) y = x − sin 2 x 7) y = 1 − cosx 8) y = 9) y = sin 2000 x + cos2x 1 − cosx 2 2010 sin x + 2010 x 11) y = 12) y = x sin 2 x 10) y = sin x + tan x cosx D ng toán 4: XÁC NH TÍNH TU&N HOÀN C A CÁC HÀM S L NG GIÁC Ph ng pháp: 1. Ch ng minh hàm s y = f ( x ) tu n hoàn Xét hàm s y = f ( x ) , t p xác nh D, ta d oán có s th c d ng T0 sao cho: y (−x) =. (−x). ∀ ∈. (. −. +. 70. ∈. +. ∈. )=. 2. Ch ng minh là chu k c a hàm s ( ngh"a là d ng nh nh t tho! mãn h (1) và (2)). Th c hi n b ng ph n ch ng. B c 1: Gi! s có s T sao cho < < tho! mãn các tính ch t (1) và (2): ∀ ∈. B. (. +. )=. GH. ⇔. I 7J. K. 8. <. <. c 2: Mâu thu#n này ch ng t là s d ng nh nh t tho! mãn (2). K t lu n: V y là chu k c a hàm s y = f ( x) .. 3. Xét tính tu n hoàn các các hàm s l. Giáo viên: LÊ BÁ B O. ng giác, ta s d ng m$t s k t qu!: 7 Lop12.net. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên. PH. NG TRÌNH L. NG GIÁC. Luy n thi. i h c 2014. a. Hàm s b. Hàm s M r ng: (cm). = =. c. Hàm s. =. (. +. ). =. (. +. ). >. L. 0 7J. M. d. Hàm s. =. (. +. ). =. (. +. ). >. L. 0 7J. M. L L. = =. nh lý: Cho c p hàm s. 7J. ∈ . Khi ó, các hàm s :. M π. Mπ.. 0 7J 0 7J. tu n hoàn trên t p M có các chu k l n l =. +. =. π π. .. .. t là. 70. c ng tu n hoàn trên. M. H qu : Hàm s = + tu n hoàn v i chu k T là b$i chung nh nh t c a 0 . Bài t p 1: Ch ng minh r%ng m&i hàm s sau là m$t hàm s tu n hoàn và hãy tìm chu k c a nó: π π π 1) y = 2sin x + 2) y = −cos x − +5 3) y = tan x + 4) y = cos2 x 4 3 4 x π 5) y = cos + 6) y = sin x + cosx 7) y = sin xcosx 8) y = 4sin 2 x 2 4 1 9) y = sin x. SAI L&M ' ÂU? Xét bài toán: Tìm chu k c a hàm s : f ( x) = sin ( ax + b ) ; (a ≠ 0) ( Tr c nghi m Nghuy n V n Nho HSP2006 và nhi u sách khác) M t h(c sinh gi i nh sau: B c 1: G i T là chu k c a hàm s ã cho. B c 2: Lúc ó: f ( x + T ) = f ( x) ⇔ sin a ( x + T ) + b = sin ( ax + b ) ⇔ sin ( ax + b + aT ) = sin ( ax + b ) (*) B c 3: Do hàm s y = sinx tu n hoàn v i chu k T = 2π 2π T' (*) ⇔ aT = 2π ⇔ T = a 2π V y chu k c a hàm s ã cholà T = . (ycbt) a Bài gi!i c a h c sinh trên ã úng ch a? N u ch a thì sai ( b c nào? *L u ý: Nhìn t ng th thì bài gi!i có v úng nh ng b!n ch t thì...sai. Sai vì ch a hi u rõ th nào là chu k c a m t hàm s . Nh c: T c g i là chu k c a hàm s y = f ( x) khi ch) khi: + f ( x + T ) = f ( x) (*) + T là s d ng nh nh t tho! (*). Giáo viên: LÊ BÁ B O. 8 Lop12.net. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên. PH. NG TRÌNH L. NG GIÁC. Luy n thi. i h c 2014. Nh v y i v i bài gi!i trên, ch) úng khi a > 0 . V y trong tr *ng h p t ng quát thì sao? Ta gi!i nh sau: TH1: a > 0 gi!i nh trên. TH2: a < 0 . Th c hi n phép bi n i: sin ( ax + b ) = −sin ( − ax − b ) . Lúc này ta a bài toán v TH1. Bài t p: Tìm chu k c a các hàm s sau: 2x a) y = cos ( 2 x − 4 ) b) y = cot ( −3 x + 1) c) y = tan −1 c) 3 y = sin ( −4 x + 2 ) Bài toán: Cho hàm s f ( x) = a sin ux + b sin vx , trong ó a, b, u , v là các s th c khác 0. u a) Ch ng minh r%ng: N u hàm s y = f ( x) tu n hoàn thì là s h+u t). v u b) Ng c l,i n u là s h+u t) thì hàm s y = f ( x) tu n hoàn. v Ch ng minh: a) Gi! s hàm s y = f ( x ) tu n hoàn v i chu kì T. Ta có: ∀x : f ( x + T ) = f ( x) .. Cho x = 0 , ta có: f (T ) = f (0) ⇔ a sin uT + b. Cho x = −T , ta có: f ( −T ) = f (0) ⇔ − a sin uT + b T' (1) và (2) suy ra :. vT = 1 sin uT = 0. ⇔. vT = k 2π uT = mπ. .. vT = b vT = b. .. vT k 2π v k2 = ⇔ = ∈ Q ( .p.c.m) uT mπ u m. v m 2π m 2π n . = ∈ Q v i m, n là các s nguyên khác 0. Ch n T = = u n u v 2π m 2π n Khi ó: f ( x + T ) = a sin u x + +b v x+ u v = a sin ( ux + 2π m ) + b cos ( vx + 2π n ) = a sin ( ux ) + b cos ( vx ) = f ( x) V y hàm s y = f ( x) tu n hoàn ( .p.c.m) nh lý: Cho c p hàm s tu n hoàn trên t p M có các chu k l n l t là b) Gi! s. 70. 7J. ∈ . Khi ó, các hàm s :. =. +. =. c ng tu n hoàn. trên M. H qu : Hàm s = + tu n hoàn v i chu k T là b$i chung nh nh t c a Ví d) minh h(a 1: Xác nh chu kì c a các hàm s sau: π π 1 1) y = tan 3 x + 2) y = 2cos 2 2 x + 3) y = sin x + sin 2 x 6 3 2 1 1 x x 4) y = sin x + sin 2 x + sin 3 x 5) y = 2 tan − 3tan 6) y = cosx + 2cos 2 x 2 3 2 3 Gi i:. 0 .. 4) Ta có: Hàm s y = sin x tu n hoàn chu kì 2π . Hàm s y = sin 2 x tu n hoàn chu kì π . Giáo viên: LÊ BÁ B O. 9 Lop12.net. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chuyên. PH. NG TRÌNH L. NG GIÁC. Luy n thi. i h c 2014. 1 Suy ra, hàm s y = sin x + sin 2 x tu n hoàn v i chu kì T = 2π . 2 2π . Hàm s y = sin 3 x tu n hoàn chu kì 3 1 1 V y hàm s y = sin x + sin 2 x + sin 3x tu n hoàn v i chu kì 2π 2 3 Ví d) minh h(a 2: Cho hàm s f ( x) = x . Ch ng minh r%ng hàm s trên không tu n hoàn ph i. Gi i: Gi! s hàm s ã cho là tu n hoàn ph!i. Khi ó có t n t,i s d ng T sao cho: ∀x ≥ 0 : x +T = x Cho x = 0 , ta có: (1) T = 1 ⇔ T = k 2π Cho x = T , ta có: 2T = T = 1 ⇔ 2T = m 2π k c: 2 = ∈ Q . Mâu thu#n. V y hàm s ó không tu n hoàn ph!i. L p t) s (1) , ta (2) m Ví d) minh h(a 3: 5x Tìm t t c! các s nguyên n khác 0 hàm s : y = f ( x) = cos nx.sin tu n hoàn v i chu kì n 3π . Gi i: Gi! s hàm s ã cho là tu n hoàn v i chu kì 3π . Lúc ó, ta có: 5( x + 3π ) 5x ∀x : f ( x + 3π ) = f ( x) ⇔ cos n( x + π ).sin = cos nx.sin n n 15π 15π Thay x = 0 ta c: sin =0⇔ = kπ ⇔ 15 = kn . T c là n là c c a 15, do n n ó: n ∈ {±1; ± 3; ± 5; ± 15}. !o l,i: ∀n ∈ {±1; ± 3; ± 5; ± 15} thì: f ( x) = cos n( x + π ).sin. 5( x + 3π ) 5x = cos nx.sin n n. 15 là các s nguyên l nên : n cos n( x + π ) = cos( nx + nπ ) = − cos nx.. Th t v y, vì 3n và. 5( x + 3π ) 5 x 15π 5x = sin + = − sin n n n n Do ó các giá tr n c n tìm là n ∈ {±1; ± 3; ± 5; ± 15} (y.c.b.t) BÀI T P T LUY!N: Bài t p: Xác nh chu k c a các hàm s : π π 1 1) y = tan 3 x + 2) y = 2cos 2 2 x + 3) y = sin x + sin 2 x 6 3 2 1 1 x x 4) y = sin x + sin 2 x + sin 3 x 5) y = 2 tan − 3tan 6) y = cosx + 2cos 2 x 2 3 2 3 sin. Giáo viên: LÊ BÁ B O. 10 Lop12.net. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên. PH. NG TRÌNH L. PH. CHUYÊN *:. NG GIÁC. Luy n thi. NG TRÌNH L. i h c 2014. NG GIÁC. -----------------------------------------------------. Ch. PH. 1:. NG TRÌNH L. NG GIÁC C. B N. I- LÝ THUY T:. 1)Ph ng trình sinx = a (1) Thu t toán: TH1: a > 1 Ph ng trình (1) vô nghi m vì sinx ≤ 1, ∀x ∈ R TH2: a ≤ 1 Ph. ng trình (1) có các ngi m: x = α + k 2π , k ∈ Z x = π − α + k 2π , k ∈ Z (trong ó: sinα = a ) Ho c: x = arcsina + k 2π , k ∈ Z x = π − arcsina + k 2π , k ∈ Z. 2) Ph ng trình cosx = a (2) Thu t toán: TH1: a > 1 Ph ng trình (2) vô nghi m vì cosx ≤ 1, ∀x ∈ R TH2: a ≤ 1 Ph. ng trình (2) có các ngi m: x = α + k 2π , k ∈ Z x = −α + k 2π , k ∈ Z (trong ó: cosα = a ) Ho c: x = arccosa + k 2π , k ∈ Z x = −arccosa + k 2π , k ∈ Z. 3) Ph. ng trình. tanx = a. Thu t toán: i u ki n c a ph. (3) ng trình (3) là: x ≠. π 2. + kπ , k ∈ Z. Ph ng trình (3) có các nghi m là: x = α + kπ , k ∈ Z (trong ó: tanα = a ) x = arctana + kπ , k ∈ Z Ho c:. 4) Ph ng trình cotx = a (4) Thu t toán: i u ki n c a ph ng trình (4) là: x ≠ kπ , k ∈ Z Ph ng trình (4) có các nghi m là: x = α + kπ , k ∈ Z (trong ó: cotα = a ) x = arccota + kπ , k ∈ Z Ho c: II- M+T S K, N-NG C&N L U Ý: I- X. lý d/u “ − ” :. a) Gi!i ph. ng trình: cos 2 x −. Giáo viên: LÊ BÁ B O. π 3. =−. 3 π π π ⇔ cos 2 x − = −cos = cos π − 2 3 6 6. 11 Lop12.net. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chuyên. PH. NG TRÌNH L. NG GIÁC. b) Gi!i ph. ng trình: sin 2 x −. π. c) Gi!i ph. ng trình: tan 2 x −. π. i h c 2014 π. 3 ⇔ sin 2 x − = −sin = sin − 2 3 3 6. =−. 3. Luy n thi π π. = − 3 ⇔ tan 2 x −. π. = − tan. π. = tan −. π. 3 3 3 3 Nh n xét: T,i sao l,i s d ng k n ng này? + Gi!m b t t duy “ nh ” máy móc các giá tr c bi t. + Nh v y, x lý d u “ − ” i v i cos thì dùng công th c bù, sin, tan, cot thì dùng công th c i. II- K0 thu t l/y nghi m trên m t kho ng, m t o n: VD: Tìm các nghi m x ∈ [ 0; 2π ] c a ph ng trình: cos2 x = 0 . Gi!i: cos 2 x = 0 ⇔ x =. π 4. +k. π. , k ∈Z .. 2. 1 7 − ≤k≤ Do x ∈ [ 0; 2π ] ⇔ 0 ≤ x ≤ 2π ⇔ 0 ≤ + k ≤ 2π ⇔ 2 2 4 2 k ∈Z. π. V y: k = 0 : x =. π. π. π. B B B. .. =. .. ≠. π. + π. +. , k = 2: x =. π. k = 0,1, 2,3. π. π. π. + 2. , k = 3 : x = + 3. 4 4 2 4 2 4 2 III- K, THU T GI I PH NG TRÌNH CH1A I*U KI!N: Nh c: M$t s hàm s có i u ki n: =. , k = 1: x =. π. ∈. ≠. ≠ π ∈ ,N. =. THU T TOÁN GI I PH NG TRÌNH: c 1: Tìm i u ki n c a ph ng trình. c 2: Gi!i ph ng trình (1) có các giá tr : . c 3: i chi u i u ki n và k t lu n nghi m c a ph. c bi t,. i v i ph. ng trình l. ng giác do. VD1: Gi!i ph. ng trình:. B. c 1: i u ki n: −. B. c 2:. Cách 1:. ⇔ = =. ≠ ⇔. Giáo viên: LÊ BÁ B O. ≥. =. ng trình. = .. =α +. i ph c t p và khó kh n. Kh-c ph c nh này thông qua các VD sau:. π c. ≠. π. + π (*). = ⇔. π. =. π. ⇔ =−. ng trình có nghi m. .. (1). =. −. ∈. c thù là có vô s nghi m d,ng. ∈ nên v n i chi u nghi m t ng i m này, chúng ta bàn lu n cách x lý v n. ph. .. =. =−. π. + π. π. . Th y (2) không tho! (*). V y + π. + π. 12 Lop12.net. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chuyên. PH. NG TRÌNH L. Nh n xét: ôi khi g p ph thu n l i h n. Cách 2: ⇔ = .. ng trình. +. Do. =− ⇔ i chi u i u ki n:. ng giác và. = ⇔. + Bi u di.n các cung d,ng:. = =. π. π. +. ≠. A2. π. +. + Bi u di.n các cung ( i u ki n):. . Kí hi u. π. =. π. + π . Ho c:. Cách 4: i u ki n:. Ta xét:. π. +. ≠. π. ≠. π. VD2: Gi!i ph. i u ki n:. (. ⇔. Gi!i (2): Gi!i (3):. π. + π. = , là. −. )≠ ( − )= ( − )= ( − )= ⇔ − ( − )= =. ). =. (. +. π. +. =. π. π. π. +. , ∈ .. ∈. 7J. )=. −. −. =. −. =−. +. =. ⇔. ⇔ +. )− )−. Giáo viên: LÊ BÁ B O. = =. (. =. =. ≠. (1). ≠. =. +. )=. 13 Lop12.net. +. ∈. +. =. i chi u i u ki n: Thay các nghi m vào ph +. là các ng n cung. −. ⇔. ( (. A4. ∈. ng trình có nghi m là:. (. x. .. + π⇔ ≠. ng trình:. A3. . Suy ra t,i. + π . Nghi m c a pt. π. K t lu n: V y ph. =−. A1. O. + π . Kí hi u: ×. T' hình v th y, các cung trùng nhau t,i nghi m:. y. có 2n ng n cung nghi m. n. π. π. i h c 2014. / 4. =. = ⇔. L u ý: V i h nghi m x = α + k. ⇔. Luy n thi. = O O − thì công th c nghi m nh trên thì. =. = ng tròn l. Cách 3: V. NG GIÁC. +. (. ng trình /0. + =. −. )= 29. +. E. /0. 2 P 9. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chuyên. PH. NG TRÌNH L. III- LUY!N T P: Bài t p 1: Gi!i các ph −. Luy n thi. ng trình sau: =. +. H. NG GIÁC. i h c 2014. =−. =. −. =. ng d n: "Q = ⇔. −. (. = ⇔. )F. −. = ⇔. =. π. + π. = ;. ⇔ =. π. +. ⇔ =π − ;. &'( 9 5R "Q. ;S. %. 2 /0. =. π. + πO. +. π. +. π 70 = π − ;. = ;. = =−. ⇔. =− ⇔. =− ⇔. =−. ⇔ =. &'( 9 5R "Q. ;S. %. 2 /0. =−. π. +. π. +. π. π. +. π ⇔ =−. +. π⇔ =. π. π. +. π. +. π. π. =. ⇔( +. )+. = ⇔. =. π. ⇔ =−. &'( 9 5R. ;S. %. π. =. ⇔. − &'( 9 5R. π. 70 =. =. "Q. π. +. −. 2 /0. + π. π. +. =. Giáo viên: LÊ BÁ B O. 2 /0. π. + π 70 = −. +. π. π. + π. π ⇔ =−. π. + π. + π. π. = ⇔. ;S. π. π⇔ =. +. −. −. = ⇔. = ⇔. = π. T .. = π. 14 Lop12.net. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Chuyên. PH. NG TRÌNH L. NG GIÁC. Bài t p 2: Gi!i các ph ng trình sau: π − + = H. N. Luy n thi. i h c 2014. N. =. =. ng d n: ⇔. −. &'( 9 5R U VW. π. =−. ;S. ⇔ 2 /0. @ 7J % 9 5R. "Q. π. −. =. π. =. ;S. π. + π⇔. π. =. +. π. +. 70. =. S. =. E. L 3% .X. = =. ⇔. =. ⇔. ⇔. ;S. %. 2 /0. =. =. π. π. + π 70 = −. π. ⇔. T .. + π. = ⇔ =−. &'( 9 5R. .. π. =. ⇔. π. =−. π. T .. + π. + π. = ≠ ⇔. ≠. ≠ ⇔ "Q. π. = ⇔. @. =. ≠. π. +. π. π. +. π. + π. + π. = + π⇔. ⇔. 8 .. π. =. 2 P 9 5R. Bài t p 3: Gi!i các ph − = H ng d n: "Q =. ;S. π /0. = π. ng trình sau: +. =. +. = ⇔ ⇔. =. ⇔. (. −. )=. ⇔. =. π. = =. ⇔ =. &'( 9 5R. U VW. ;S. %. @ 7J % 9 5R. Giáo viên: LÊ BÁ B O. 2 /0 ;S. =. π. =. π. +. O. 70 15 Lop12.net. = =. π. + π 70 = S. E. π. =. π. +. π. + π. π. + π. + π. L 3% .X. .. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chuyên. PH. "Q. NG TRÌNH L. ⇔ − ⇔ −. (. =. Luy n thi. i h c 2014. 2 /0. Chú ý: K2t qu. +. =. π. +. =. )⇔. +. ;S. "Q. −. ⇔ −. )= (. −. &'( 9 5R. ⇔. NG GIÁC. =. = ⇔. =. π. π. +. π. +. = −. +. = −. = −. −. +. = −. (. ⇔. )=. +. = ⇔ ⇔. =. (. ⇔. )F. −. ;S. %. 2 /0. Bài t p 4: "S2 %. =. π. 2 P 9 5R. π. +. O. −. Y =. ⇔. +. π. K. π. .D. Z;. π. O. ∈. =. π. = π 70 =. ;S. π. = π. ⇔ =. &'( 9 5R. =. H ng d n: "Q =. (. [ ⇔. N &J. = +. π. ∈. )=. −. ⇔. = ⇔. =. = ⇔. =. π. + π. π. + π O. π. π. ⇔ ≤ ≤. -. ≤. π. + π≤. π. ⇔. − ≤ ≤. = O O. ∈ &'( "5R. 2 L. S2 /0. \ 7J. π. O. =. π. 70 =. π. 2 ] /4. Bài t p 5: Tìm m H ng d n: "Q = [ ⇔(. =. −. ph. ). ng trình sau có nghi m:. =−. Giáo viên: LÊ BÁ B O. −. + =. − .. N. 16 Lop12.net. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Chuyên. PH. "?. &J. =. 9 5R. ;S. N ;^. 0. "?. &J. ≠. 9 5R. ;S. N ;^. 0. _ 9 5R. `8 / '. NG TRÌNH L. ;S. % ;X 2 L. − −. ∈ −∞O −. − ≥ ⇔. −. = =−. +. −. +. +. =. =. +. −. =. +. +. +. +. =. ng trình: (Dùng k0 n3ng h b c). +. =. +. +. =−. +. Bài t p 4: Gi!i ph. ≤−. =. =. =. =. =. +. ng trình:. (π π. =. Bài t p 6: "S2. π. b). )=. Bài t p 5: "S2 % −. − ≤− ⇔. ≥. ∪ [ O +∞ ). =. +. Bài t p 3: Gi!i các ph. Bài t p 7: a) Tìm m. −. ≤ ⇔. −. +. Bài t p 2: Gi!i các ph ng trình: + + = − + =. a). 2). − ≥ ⇔. S2 /0. =. ( 7E. i h c 2014. −. =. Z. BÀI T P T LUY!N: Bài t p 1: Gi!i các ph ng trình: − =. Luy n thi. =−. −. 2. &'( %. NG GIÁC. 2 P 2a 9 5R. ;S. O ∈ [ Oπ ]. ). 2 *5R. T. b P. ph. ng trình sau có nghi m:. −. b) V i giá tr nào c a a thì ph. (. Giáo viên: LÊ BÁ B O. +. Y. K −. % 9 5R. ;S. = .D. )=. Z; O ∈ −. (π ) − (π. ). +. ). −. (. (π ) =. π. −. (. −. + =. =. (. 17 Lop12.net. +. )=. +. .. ng trình sau có nghi m duy nh t thu$c. ). O. π 2. ;π. ). T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Chuyên PH NG TRÌNH L NG GIÁC Luy n thi i h c 2014 Ch 2: PH NG TRÌNH L NG GIÁC TH 4NG G5P I- LÝ THUY T:. D ng 1:. Ph. ng trình b c hai theo m t hàm l ng giác: asin 2 x + bsinx + c = 0 ( a ≠ 0 ) (5). t t = sinx ; t ≤ 1, ∀x ∈ R. Thu t toán:. Pt (5) tr( thành: at 2 + bt + c = 0 . Gi!i theo Hoàn toàn t ng t , i v i các d,ng:. suy ra. .. acos 2 x + bcosx + c = 0 a tan 2 x + b tan x + c = 0 a cot 2 x + b cot x + c = 0 VÍ D6 MINH H7A: Bài t p 1: Gi!i các ph. ng trình sau:. +. − =. +. +. H. ( a ≠ 0). − =. =. +. =. ng d n: "Q ⇔ c. =. (. )+. −. =. − = ⇔−. −. +. + = ⇔ / 4 =−. =−. =−. ⇔ =. `8 / '. N. '. =. ". + =. − ≤ ≤ =−. N. +. &'( 9 5R. "Q. =. ⇔. +. {. ;S. %. π. π. +. π. +. π. 2 /0. =−. π. +. π 70 =. π. +. π. π} = ⇔. =π +. ⇔. = ⇔. `8 / '. &'( 9 5R. π ;S. Giáo viên: LÊ BÁ B O. +. = ⇔. +. F. T . 2 /0. =π +. π. 18 Lop12.net. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Chuyên. PH. "Q. NG TRÌNH L. −. (. +. (. ⇔ ⇔ +. ⇔. +. (. −. +. U% 9 5R. ;S. "Q. )=. −. (. ). ). +. (. −. Luy n thi. i h c 2014. ). −. ). −. =. =. +. =. N. =−. ). (. − −. +. −. −. (. ⇔. ). − +. ⇔. NN. =−. N 70 NN /0 % 9 5R. ;S. )'. b. =. 70. .Y. K \. K $ (8. =. ⇔ − `8 / '. NG GIÁC. =. =. ⇔. &'( 9 5R. +. ;S. 2 /0. π. =. ⇔. −. =−. = 7E. π 2. π. =. Bài t p 2: Gi!i các ph ng trình sau: 4 1) 4 tan 2 x + 5 − =0 cos x 2 3) + 2 tan 2 x + 5 ( tan x + cot x ) + 4 = 0 2 sin x H ng d n: "Q. = ⇔. − = ⇔. 2) sin x + 3 cos x +. 2 sin x + 3 cos x. =3. + π + −. = ⇔. −. − =. N. = c. [ 5R. =. N &J. =. N &J. =−. `8 / '. ;S. N. = ⇔ =−. &'( 9 5R. [ 5R. =. ⇔. =. T .. π 7E. =− 2 /0. =−. =. 2. π. ≠. + ;S. − = ⇔. = ⇔. ;S. + c. −. ≤ +. Giáo viên: LÊ BÁ B O. = ⇔. −. + = ⇔. 19 Lop12.net. =. '. =. '. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Chuyên. PH. N &J. NG TRÌNH L. =. +. NG GIÁC. = ⇔. +. π. Luy n thi π =− + π. =. ⇔ =. N &J. =. `8 / '. &'( 9 5R. "Q. c. +. (. ⇔. (. ;S. %. )+. +. +. ). +. =. π. +. 2 /0. = ⇔. =−. π. =. π. +. π. + =. π. +. π. π +. π 70 =. π. +. π. π. =. ⇔. = ⇔. π. i h c 2014. +. (. +. (. )+. +. [ 5R. =. )+. +. ;S. =. N. =. N. +. =−. + = ⇔. =−. N &J. =−. =−. N &J. =−. =− ⇔. `8 / '. &'( 9 5R. ⇔. ;S. 7E. =−. =− ⇔. 2 /0. =−. 2 =−. π. π. + π. + π. BÀI T P T LUY!N: Bài t p1: Gi!i các ph ng trình sau: −. + =. Bài t p 2: Gi!i các ph − − +. +. −. − =. −. − =. ng trình sau: − =. −. +. + =. = +. =. +. Bài t p 3: Gi!i các ph ng trình sau: 4 2 1) + cos 2 x + 9 − cos x = 1 2 cos x cos x. −. =. − =. −. + =. =. +. =. +. 1 1 5 2) cos x + cos 2 x + tan 2 x + = 2 cos x 2. 3) 3 ( tan 2 x + cot 2 x ) + 2( 3 − 1) ( tan x − cot x ) − 4 − 2 3 = 0. Giáo viên: LÊ BÁ B O. 20 Lop12.net. T Toán THPT Phong i n.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>