Đề thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh - Toán 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI CHỌN HOC SINH GIỎI TỈNH - TOÁN 12 (Thêi gian lµm bµi 180 phót) Bài 1: Cho hệ phương trình:  x  y  xy  a  2 2  x y  xy  3a  8. Với điều kiện nào của a thì hệ có nghiệm. Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh: 2 sin A  sin B  sin C   1 tan A  tanB  tanC 3 3. Bài 3: Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm: cos 4 x  1  cos x   m 4. Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, đường cao bằng h. (P) là mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC, (P) cắt SB,SC,SD lần lượt B, ,C , , D, . 1. h phải thỏa mãn điều kiện gì để C , thuộc cạnh SC khi đó tính diện tích thiÕt diÖn.. 2. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SAB , C , D , . Bµi 5: a, b, c lµ ba sè thùc  0 chøng minh r»ng : a2 b2 c2 a b c      b2 c2 a2 b c a. đáp án đề thi chọn học sinh giỏi 12 -----------------------------§¸p ¸n Bµi 1 (4 ®iÓm)  x  y  xy  a  2 2  x y  xy  3a  8  x  y  xy  a   xy  x  y   3a  8. x  y  s  xy  p. §Æt . ®iÒu kiÖn S 2  4 P *. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> p  s  a   ps  3a  8. đưa về phương trình t 2  at  3a  8  0 điều kiện để phương trình có nghiệm 0  a 2  43a  8  0  a 2  12a  32  0  a  4  a  8 (1). a  a  ; s2  2 2 1/ a  8  s,p  0 a  a   4; p   4 tháa m·n S= 2 2 8 a  a  2/a<  sp  0 khi đó S=  0; p   0 tháa m·n 3 2 2 a  a  8 ;p 3/  a  4  s; p  0 khi đó S= thÕ vµo 2 2 3 a   2  4 a     4  a 2 a  4   a  2 2 a  8  4a 2  13a  8  0 2 ) *s  4p  (  2    2. S1=. . 8 13  33 a 3 8. VËy víi nh÷ng gi¸ trÞ:. 8 13  33 a hoÆc a  8 3 8. Bµi2 (4 ®iÓm) : 2 sin A  sin B  sin C   1 tan A  tanB  tanC  2 sin A  1 tan A  A + 3 3 3 3 2 1 2 SinB  tan B  B  sin C  tan C  C  0 3 3 3. Vai trß nh­ nhau.  2 1 §¨t f(x) = sin x  tan x  x x   0, . 3  2 1 1  2 1 f ,  x   cos x   1 =  2 cos x   1 2 3 3 cos 2 x  3 cos x 1 áp dụng bất đẳng thức côsi cosx+cosx+ 2  3  f ' x   0  f(x) hàm đồng cos x  biÕn x   0,   f(x)  f(0) =o Thay x=A,x=B, x=C  2 3. A.B,C nhọn do đó f(A)>0;f(B)>0,f(C)>0 vậy bất đẳng thứ được chứng minh Bµi 3 (4 ®iÓm ) cos 4 x  1  cos x   m 4. §Æt t = cosx ®iÒu kiÖn t  1 XÐt hµm sè f(x)= t4 +(1-t)4 T×m gi¸ trÞ lín vµ nhá nhÊt trªn t  1 f’(x)=4t3 - 4(1-t)3 f’(x)=0 khi t=. 1 2 1 2. f(1) =1; f(-1) = 17 ; f( ) =. 1 1 vậy phương trình có nghiệm  m  17 8 8. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bµi 4 (5 ®iÓm). MÆt ph¼ng ®i qua A vu«ng gãc víi SCsÏ c¾t (SAC) theo ®­êng cao AC’ cña tam gi¸c SAC muèn cho ®iÓm C’ n¨m trªn SC thi gãc SAC nhän suy S. C ’ ’. K. B. C. H D. A ra  HSC <450 . VËy ta cã SH>HC  h a. 2 2. 2 gäi k lµ giao ®iÓm cña ®­êng cao SH cña h×nh chãp víi AC’ta cã:. P   SC  P  //BDVËy (P) c¾t (SBD) theo B’D’ ®i qua K vµ //BD .Nªn (P) c¸t   BD  SC. h×nh chãp SABCD theo thiÕt diÖn lµ tø gi¸c AB’C’D’ cã 2 ®­êng chÐo vu«ng gãc lµ AC’ vµ B’D’ (Do B’D’ vu«ng gãc (SAC v× BD//B’D’) VËy diÖn tÝch thiÕt diÖn AB’C’D’ lµ S=. 1 AC’ B’D’ mµ AC’.SC = SH.AC = dt (tg SAC) suy ra 2 ha 2 2ah. AC’ =. =. a2 h2  2. a 2  2h 2. Tõ tÝnh chÊt trùc t©m tam gi¸c SAC cã : HK.HS = HA.HC HK =. a2 2h 2  a 2  SK  2h 2h. theo tính chất 2 tam giác đồng dạng SB’D’ và SBD. . B' D' SK 2h 2  a 2 a 2 2h 2  a 2    B' D'  BD SB 2h 2h 2 a 2 2h 2  a 2. VËy S =. h.  22h. 2. .  a  2. 2/ H×nh chãp SAB’ C’D’ cã chiÒu cao lµ SC’ víi SC’.SC = SH.SK( v× tø gi¸c HCC’K néi tiÕp ®­îc) nªn: SC’ =. 2h 2  a 2 2(2h 2  a 2 ). VÇy thÓ tÝch h×nh chãp SAB’C’D’ 2V =.  . 1 1 SC’.dt(AB”C’D’) = 3 3.  . a 2 2h 2  a 2 6h 2h 2  a 2. 2. (§VTT). Lop12.net. 2h 2  a 2.  22h. = a . a 2 2h 2  a 2. 2(2h 2  a 2 ) h. 2. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bµi 5( 3 §iÓm) a2 b2 c2 a b c      b2 c2 a2 b c a  a2 b   b2 c2   c2 a2  a2 b2 c2  a b c   2  2    2  2    2  2   2  2  2       3 (1) b  c c  a a  b c a b c a b.  a2 b  a b a  2  2   2 .  2 b a b b  b  b2 c2  b c b  2  2   2 .  2 c c c c  c  c2 a2  c a c  2  2   2 .  2 b a a a  a  a2 b  2  2 b b. MÆt kh¸c.   b2 c2    2  2 c  c.   c2 a2    2  2 a  a.  a b c a b c   2(   )  2    (*) b c a b c a . a2 b2 c2 a2 b2 c2 3    3 .  3 (**) b2 c2 a2 b2 c2 a2. Céng vÕ cho vÕ ta ®­îc (1) ®iÒu ph¶i chøng minh. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>