Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải bài tập bất đẳng thức dành cho học sinh lớp 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phần I: Đặt vấn đề. Học sinh ở khối lớp 10 chất lượng học tập nói chung là còn yếu, có thể do bỡ ngỡ vì thay đổi môi trường ở THCS lên THPT. Phải có thời gian làm quen với trường mới, bạn mới, thầy cô mới và cũng có thể là phương pháp học mới. Vì vậy khi tiếp cận với các bộ môn ở THPT các em phần lớn bước đầu đều thể hiện khả năng tiếp thu chậm, học trước quên sau, đặc biệt môn Toán là môn cơ bản . Đối với chương trình toán lớp 10 khi bước sang phần bất đẳng thức là một phần toán đòi hỏi học sinh phải tư duy nhạy bén và có kỹ năng giải bài tập linh hoạt nên các em thường gặp khó khăn khi tiếp cận bài toán. Nhất là khi gặp phải các bài toán chứng minh Bất đẳng thức, các em thường lúng túng không biết giải quyết vấn đề như thế nào. để giúp các em giải quyết tốt phần bài tập này tôi nghĩ cần phải đưa ra một hệ thống bài tập và các phương pháp giải cơ bản trong phạm vi kiến thức toán các em đã được học. Do vậy tên đề tài là: '' Một số phương pháp gi¶i bµi tËp B§T' dµnh cho häc sinh líp 10”. Với sáng kiến này tôi hy vọng góp phần nhỏ bé và phương pháp giải bài tập bất đẳng thức ở toán lớp 10, giúp các em có được một số kỹ năng, kỹ thuật khi làm bài tập về bất đẳng thức.. Phần II: giải quyết vấn đề.. A: Néi dung I: C¬ së ly luËn. 1/ Sử dụng định nghĩa và biến đổi tương đương. a) KiÕn thøc: xR , x2  0 xR , x  0 x i  0 , i  1,2 ,..., n , n  N  x1  x 2  ...  x n  0. a b  a b 0. a  b   ac b  c.  ac  bc; c  0 a  b   ac  bc; c  0  ac  bc; c  0 a  b, c  d  a  c  b  d a  b, c  d  a  c  b  d a  b, c  d  a  c  b  d a  b, c  d  a  c  b  d b) Bµi to¸n: Bµi to¸n 1: Cho a, b, c, d, e lµ c¸c sè thùc. Chøng minh r»ng:. a 2  b2  c 2  d 2  e2  a  b  c  d  e  Lop12.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Gi¶i: 1  a 2  b 2  c 2  d 2  e2  ab  ac  ad  ae  0  a2   a2   a2   a2     ab  b 2     ac  c 2     ad  d 2     ae  e 2   0  4   4   4   4  2. 2. 2. 2. a  a  a  a     b     c     d     e   0 đúng  (đpcm) 2  2  2  2 . Bµi to¸n 2: Cho. a , b  R.. Chøng minh r»ng:. 2. a 2  b2  ab    2  2 . Gi¶i:. (1). a 2  2ab  b 2 a 2  b2  1  4 2  a 2  2ab  b 2  2a 2  2b 2  a 2  2ab  b 2  0.   a  b   0 đúng  (đpcm) 2. Bµi tËp 3: Chøng minh r»ng: x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx ; x , y , z  R.. Gi¶i: Ta cã: x 2  y 2  2 xy   y 2  z 2  2 yz   2 x 2  y 2  z 2  2 xy  yz  zx  z 2  x 2  2 xz . . .  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx . (®pcm).. Bµi tËp 4: Chøng minh r»ng víi a  b  1. Gi¶i:. 1 1 2   1  a 2 1  b2 1  ab. (1). 1 1 1 1     0 1  a 2 1  ab 1  b 2 1  ab ab  a 2 ab  b 2    0 1  a 2 1  ab  1  b 2 1  ab . 1 . . . . . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  . . a b  a . . 1  a 2 1  ab . . b a  b. . . 1  b 2 1  ab . 0. b  a   a  b   0 1  ab   1  a 2 1  b2 . b  a   a  ab 2  b  ba 2    0  2 2  1  ab   1  a 1  b  .  b  a   ab  1  0 2    1  ab  1  a 2 1  b2  2. Vì a  b  1  ab  1  ab – 1  0  (2) đúng  (đpcm) Bµi tËp 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P  x 2  xy  y 2  3 x  3 y  2000. Gi¶i: P  x  1  y  1  xy  x  y  1998 2. 2.  x  1  y  1  x y  1  y  1  1997 2. 2.  x  1  y  1  x  1y  1  1997 2. 2. 2. y 1 3  2   x  1    y  1  1997  2  4   P  1997 .DÊu ''='' x¶y ra khi vµ chØ khi x  y  1. Bµi tËp 6: Cho a, b,c  0 ;2  vµ a  b  c  3 . Chøng minh r»ng: Gi¶i:. a 2  b 2  c 2  5.. a  1         0  b  1      ,  ,   1;1  §Æt c  1   2 2 2 B§T        2 Trong 3 sè  ,  , lu«n tån t¹i 2 sè cïng ≥ 0, hoÆc cïng ≤ 0. Gi¶ sö 2 sè đó là:  ,  . Khi đó:.  2   2   2   2   2  2   2     2   2  2 2  2.. II: Sö dông tam thøc bËc hai.. 2 Tam thøc bËc hai lµ biÓu thøc cã d¹ng f x   ax  bx  c ; a  0  . T am thøc cã nghiÖm khi   b 2  4 ac  0 .. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bµi to¸n 1: Cho tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng:. pa 2  qb 2  pqc 2 ; p, q; p  q  1. Gi¶i: B§T  pa 2  1  p  b 2  p 1  p  c 2  0; p.. . .  f  p   c 2 p 2  a 2  b 2  c 2 p  p 2  0; p. .   a2  b2  c 2. . . 2. .  4b 2 c 2.  a 2  b  c  . a 2  b  c  2. 2. .   a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c   0. Do đó: c f  p   0 ; p  f  p   0; p. 2. Bµi tËp 2: Chøng minh r»ng: 19 x 2  54 y 2  16 z 2  16 xz  24 y  36 xy  0 ; x , y , z  R. Gi¶i:. f x   19 x 2  2 8 z  18 y x  54 y 2  16 z 2  24 y XÐt: Ta cã: ' x  g y   702 y 2  168 y  240 z 2 .. Ta l¹i cã: ' y  84 z   702.240 z 2  161424 z 2  0 2.  ' x  g y   0  f x   0 . VËy ta cã (®pcm).. Bµi tËp 3: Cho p 2  q 2  a 2  b 2  c 2  d 2  0 . Ch­ng minh r»ng:. p. Gi¶i:. 2. . .  a 2  b 2 . q 2  c 2  d 2  pq  ac  bd . 2. 2 ' 2 2 2 2 2 2 XÐt:   pq  ac  bd   p  a  b q  c  d   0.. .  . . Theo (gt)  p 2  a 2  b 2  q 2  c 2  d 2  0   Ýt nhÊt mét biÓu thøc dương, chẳng hạn: p 2  a 2  b 2  0. 2 2 2 2 2 2 2 XÐt: f x   p  a  b x  2 pq  ac  bd x  q  c  d .  px  q   ax  c   bx  d  2. 2. 2 2  aq p   bq    f       c     d    0  p q   p  . p  p 2  a 2  b 2 .f    0  f x  q. . . Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> có nghiệm. Do đó '  0 . Vậy:. p. 2. . .  a 2  b 2 . q 2  c 2  d 2  pq  ac  bd  . 2. Bµi tËp 4: Cho x , y , z  là nghiệm của hệ phương trình: x 2  y 2  z 2  8   xy  yz  zx  4. Chøng minh r»ng: . Gi¶i:. 8 8  x, y ,z  3 3. x  y  z 2  16   xy  yz  zx  4 §Æt t  x  y  z  t  4. HÖ Ta cã:. y  z  t  x y  z  t  x   2 yz  4  x y  z  yz  x  tx  4 Theo ĐL Viet thì y , z  là nghiệm của phương trình:. . . u 2  t  x u  x 2  tx  4  0. Vì y , z  luôn tồn tại nên phương trình luôn có nghiệm. . . . .    t  x   4 x 2  tx  4  0  3 x 2  2 tx  16  t 2  0 2. Mµ.  8  3  x  0 8 8 2 2 t  4  t  16  3 x  2tx  0    x 3 3 0  x  8  3. Tương tự, ta cũng có:. . 8 8  y ,z  3 3. . VËy ta cã (®pcm).. Bµi tËp5: T×m MGT cña hµm sè: y. Gi¶i: Ta cã: NÕu:. 2 x 1 x  x 4 2. y 0  MGT  y 0 x 2  y 0  2 x  4 y 0  1  0. y0  0  x . 1 2. y 0  0  PT (*) cã nghiÖm, Ta cã:.  4  2 19  4  2 19  y0  15 15   4  2 19  4  2 19   MGT :  ;  15 15   0    15 y 0  8 x 0  4 . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> III: Bất đẳng thức Côsi: a) D¹ng tæng qu¸t: ab  ab ; a  0, b  0 . DÊu ''='' x¶y ra khi vµ chØ khi a  b 1 2 x yz  3 xyz ; x, y , z  R . DÊu ''='' x¶y ra khi vµ chØ khi  2 3. x  y  z.. x1  x2  ...  xn  n.  3. n. x1 x2 ...xn . DÊu ''='' x¶y ra khi vµ chØ khi. x1  x 2  ...x n. b) Bµi tËp: Bµi to¸n1: (§¸nh gi¸ tõ TB céng  TB nh©n). Chøng minh r»ng:. a. 2. . . .  b 2 . b 2  c 2 . c 2  a 2  8 a 2 b 2 c 2 ; a, b, c. Gi¶i: a 2  b 2  2 ab   b 2  c 2  2 bc   a 2  b 2 . b 2  c 2 . c 2  a 2  8 a 2 b 2 c 2  8 a 2 b 2 c 2 .  c 2  a 2  2 ca . . . . . Bài tập2: (Tách nghịch đảo). Chứng minh rằng: Gi¶i: V×. a b   2 ; a, b  0 b a. a b a b a b a b .  1  a, b cùng dấu. Do đó:     2 .  2 b a b a b a b a. Bµi tËp3:(Thªm h»ng sè phô). Chøng minh r»ng: Gi¶i:. a b  1  b a  1  ab; a, b  1 b  1  1 ab   2 2    a b  1  b a  1  ab a  1  1 ab  b a  1  b a  1.1  b.  2 2 . a b  1  a b  1.1  a.. Bài tập4: ( Ghép đối xứng). Chứng minh rằng: bc ca ab    a  b  c; a, b, c  0 a b c. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Gi¶i:  bc ca . c a b   1  ca ab  ca ab bc ca ab  .  a    a  b  c ; a, b, c 0   2 b c  b c a b c   1  ab bc  ab bc  .  b   2 c a  c a  1  bc ca     2 a b . Bµi tËp5: ( §æi biÕn sè). Chøng minh r»ng: a b c 3    ; a, b, c 0. bc c a ab 2. Gi¶i: §Æt. B§T. y zx  a   2 b  c  x  xzy   c  a  y  b  2 a  b  z   xy z  c  2  y zx xzy xy z   3 2x 2y 2z x y z x y z              6 y x x z z y (*). . Mµ VT (*)  2 x . y  2 z . x  2 y . z  6 y x. x z. z y. c) Một số bài tập áp dụng Bất đẳng thức Côsi: Cho a, b, c  0, a  b  c  1 chøng minh r»ng: 1. b+c  16 abc 2. (1- a)(1-b)(1-c)  8abc  1  1  1 3. 1    1    1    64  a  b  c  a  b  c  4. 1   1   1    8  b  c  a . a2 b2 c2 abc    5. bc ac ab 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> B: Đối tượng phục vụ xây dựng đề tài: Häc sinh khèi 10 Ban tù nhiªn. C: Nội dung và phương pháp nghiên cứu: I: Nội dung: bất đẳng thức. II: Phương pháp: Các phương pháp giải toán BĐT, SGK, khảo sát trên lớp. D: Kết quả sau khi áp dụng đề tài: Sau khi áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi thấy chất lượng học sinh khá lên rõ rệt. Qua nhiều đợt kiểm tra, kết quả cụ thể ở lớp 10A2 như sau: *) Trước: Khá=8%; TB=80%; Yếu=12% *) Sau: Kh¸=10%; TB=83%:YÕu=7%. PhÇn III: KÕt luËn. Với kết quả đạt được sau khi áp dụng đề tài tôi mong muốn đề tài này song kết quả thu được còn rất khiêm tốn, rất mong được sự góp ý, giúp đỡ của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn, góp thêm một phần nhỏ vào việc giảng d¹y häc sinh trªn líp.. tµi liÖu tham kh¶o.. 1.kỹ thuật chứng minh BĐT: trần phương 2.các bài toán BĐT cơ bản hay và khó: nguyễn đễ 3. SGK- §¹i sè 10. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>